EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 GRUPO Educação adistância Caderno de Estudos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Ruy Piehowiak Editora UNIASSELVI 2012 NEAD

2 Copyright Editora UNIASSELVI 2012 Elaboração: Prof. Ruy Piehowiak Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri Grupo UNIASSELVI Indaial P613e Piehowiak, Ruy Equações diferenciais / Ruy Piehowiak. Indaial : Uniasselvi, p. : il ISBN Equações diferenciais. I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.

3 APRESENTAÇÃO Caro(a) acadêmico(a)! Seja bem-vindo(a) à disciplina de Equações Diferenciais. Para estudar Equações Diferenciais não há como desvincular o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, pois as palavras equação e diferencial sugerem que estudemos equações que envolvam derivadas. As derivadas são estudadas no segmento da matemática chamado de cálculo diferencial, que, consequentemente, nos leva ao cálculo integral. O cálculo utiliza ideias da matemática elementar e as estende para situações mais gerais, ou seja, o cálculo consiste na matemática elementar (álgebra, geometria, trigonometria) aperfeiçoada pelo processo do limite. Nesta disciplina, você irá aprimorar seus conhecimentos sobre o Cálculo Diferencial e Integral. Se você já se interessou pelo que foi estudado no cálculo, vai ver que neste caderno terá tópicos mais abrangentes e, também, interessantes. A disciplina fornece uma série de ferramental necessária a outras disciplinas, como, por exemplo, a Física. O cálculo é considerado um dos maiores feitos do intelecto humano. Espero que, além de perceber a utilidade, também perceba a beleza matemática. O entendimento do conteúdo e das nuances que circundam este estudo é apenas a ponta do iceberg, principalmente para aqueles acadêmicos que pretendem avançar seus estudos, como em especialização, mestrado etc. Prof. Ruy Piehowiak UNI Quero enfatizar a postura que um(a) acadêmico(a) de matemática deve ter ao estudar. Inicialmente, para ler um texto de matemática, principalmente na modalidade de ensino a distância, é bastante diferente de ler uma revista ou um jornal. Assim, não desanime se precisar ler um conceito ou a resolução de um exemplo mais de uma vez para entendê-lo. Sugiro que possua um papel, lápis e computador com software matemático (por exemplo, o winplot) à sua mão para entender o conteúdo trabalhado no Caderno de Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algébrica. iii

4 UNI Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. Desejo a você excelentes estudos! UNI iv

5 SUMÁRIO UNIDADE 1 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS... 1 TÓPICO 1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS INTRODUÇÃO Recordando a Função de Uma Variável Funções de duas variáveis gráficos DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 2 CURVAS DE NÍVEL INTRODUÇÃO Curvas de nível RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 3 LIMITE E CONTINUIDADE INTRODUÇÃO DEFINIÇÕES BÁSICAS LIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 4 DERIVADAS PARCIAIS INTRODUÇÃO RELEMBRANDO ALGUMAS regras de derivação DERIVADAS PARCIAIS DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA GENERALIZAÇÃO DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR LEITURA COMPLEMENTAR RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE AVALIAÇÃO UNIDADE 2 DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MÚLTIPLAS v

6 TÓPICO 1 REGRA DA CADEIA E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA INTRODUÇÃO REGRA DA CADEIA DERIVAÇÃO IMPLÍCITA RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 2 DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE INTRODUÇÃO DIFERENCIABIBLIDADE DIFERENCIAL GRADIENTE DERIVADAS DIRECIONAIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 3 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INTRODUÇÃO EXTREMOS LOCAIS PROBLEMAS ENVOLVENDO MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 4 INTEGRAIS MÚLTIPLAS INTRODUÇÃO INTEGRAL DUPLA INTEGRAL DUPLA SOBRE RETÂNGULO INTEGRAIS ITERADAS INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIÕES GENÉRICAS LEITURA COMPLEMENTAR RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE AVALIAÇÃO UNIDADE 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TÓPICO 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM INTRODUÇÃO definições e terminologias TipoS de uma Equação Diferencial Ordem de uma Equação Diferencial Linearidade de uma Equação Diferencial vi

7 2.4 Solução de uma Equação Diferencial Solução geral Solução particular Equação Diferencial Separável Método de resolução da equação diferencial Equações diferenciais Lineares de 1ª ordem Método de resolução da equação diferencial Equações Exatas Método de resolução da equação diferencial RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM substituições INTRODUÇÃO Equações de Bernoulli Método de resolução da equação diferencial Equações Diferenciais HOMOGÊNEAS FUNÇÕES HOMOGÊNEAS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Método de resolução da equação diferencial RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 3 Equações Diferenciais lineares de SEGUNDA Ordem INTRODUÇÃO Equações Diferenciais lineares de SEGUNDA Ordem Equações Diferenciais lineares de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes Método de resolução da equação diferencial LEITURA COMPLEMENTAR RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE AVALIAÇÃO REFERÊNCIAS vii

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9 UNIDADE 1 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS Objetivos de aprendizagem Ao final desta unidade você deverá ser capaz de: conhecer os principais conceitos que envolvem funções de diversas variáveis; identificar o domínio de funções de diversas variáveis; reconhecer as curvas de níveis de forma algébrica; reconhecer as curvas de níveis geometricamente; calcular os limites de funções de diversas variáveis; identificar a continuidade de funções de diversas variáveis; calcular as derivadas parciais; interpretar geometricamente as derivadas parciais. PLANO DE ESTUDOS Esta unidade está dividida em quatro tópicos, apresentando os conceitos e a utilização das funções de diversas variáveis. No Tópico 1 é apresentado o estudo do domínio de uma função de diversas variáveis e as curvas de nível, seguido de vários exemplos para auxiliá-lo(a) na compreensão e resolução dos exercícios propostos no final de cada tópico. No Tópico 2 daremos uma atenção especial às curvas de nível, tanto na representação gráfica como no seu reconhecimento algébrico. No Tópico 3 serão estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funções de uma variável. No Tópico 4 aprenderemos como derivar funções de diversas variáveis e, sobretudo, entender o significado geométrico das derivadas parciais. Finalizamos a unidade com um texto complementar onde será dada ênfase às personalidades matemáticas que contribuíram no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral e, consequentemente, das equações diferenciais. TÓpico 1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS TÓpico 2 CURVAS DE NÍVEL TÓpico 3 LIMITES E CONTINUIDADE TÓpico 4 DERIVADAS PARCIAIS

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11 UNIDADE 1 TÓPICO 1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS 1 INTRODUÇÃO Você já estudou limites, derivadas e integrais: conceitos vistos em funções de uma variável. Nesta unidade estudaremos as funções de duas ou mais variáveis, e veremos que as regras do cálculo para funções de uma variável permanecem essencialmente as mesmas. Funções com mais de uma variável independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemáticos aplicados à engenharia, por exemplo, do que funções de uma variável. Os estudos de probabilidade, estatística, dinâmica dos fluidos e trabalho são exemplos que conduzem, de uma maneira natural, a funções de mais de uma variável; daí a importância do seu estudo. 2 Recordando a Função de Uma Variável Representamos a função de uma variável por duas variáveis x e y, sendo que chamamos de x a variável independente da função e de y a variável dependente da função. Assim, denotamos a relação entre as variáveis por y = f (x), deixando explícito que y depende de x. Exemplo 1 y = 2x + 1. x Exemplo 2 f (x) = x Habitualmente, ao trabalharmos com funções, um dos primeiros cuidados que devemos ter é em relação ao conjunto domínio das funções, isto é, para que valores reais às funções estão definidas. Então, dada uma função f(x), devemos encontrar valores para os quais a

12 4 função tenha imagem. TÓPICO 1 UNIDADE 1 Exemplo 3 Encontre o domínio da função f(x) = A função f(x) é uma função racional, pois temos a variável x no denominador. Esta função tem dois cuidados a serem tomados em relação ao domínio. (i) Desde que iniciamos nossos estudos com frações, sabemos que não é possível ter zero no denominador das frações. (ii) Temos a variável x no radicando da raiz quadrada. Como estamos considerando f(x) uma função real, o radicando não pode assumir valores negativos. x² 16 > 0 Assim, juntando as condições (i) e (ii), teremos x² 16 > 0. Observe que temos que resolver uma inequação do 2º grau. Para isso, consideramos inicialmente apenas a equação (igualdade) a fim de obtermos as raízes. x² - 16 = 0. Determinando as raízes desta equação do segundo grau incompleta: x² = 16 x = x = Analisando a função quadrática f(x) = x² - 16, sabemos que seu gráfico corresponde a uma parábola com concavidade voltada para cima e zeros de função em x = - 4 e x = 4. Logo, os valores de x que satisfazem a inequação são x < - 4 ou x > 4. Assim, D(f) = {x R x < - 4 ou x > 4}.

13 UNIDADE 1 TÓPICO 1 5 FIGURA 1 ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO f (x) = x² - 16, ATRAVÉS DE SEU ESBOÇO GRÁFICO Fonte: O autor 3 Funções de duas variáveis Definição Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de números reais (x,y). Uma função real f de duas variáveis em D é uma regra que associa um único número real z = f(x,y) a cada par ordenado (x,y) em D. O conjunto D(f) é o domínio de f(x,y). Os números x, y e z são denominados variáveis. Como os valores da função f(x,y) dependem de x e de y, e os valores de z dependem da escolha de x e de y, então x e y são denominadas variáveis independentes e z é denominada variável dependente. Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto do R 2 e cuja imagem é um subconjunto de R. Uma maneira de visualizá-la é através de um diagrama de flechas, conforme a seguir: FIGURA 2 DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMÍNIO E A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Fonte: O autor

14 6 TÓPICO 1 UNIDADE 1 Exemplo 4 Dada a função que calcula o perímetro de um retângulo f(x,y) = 2(x + y), calcule o valor de f (2,5). x y Basta substituir, em f(x,y), o x por 2, o y por 5 e calcular. Então: f(2,5) = 2(2 + 5) f(2,5) = 2 7 f(2,5) = 14 Exemplo 5 A função T (x,y) = 60-2x² - 3y² representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. A temperatura oscila em relação à distância percorrida no sentido dos eixos positivos x e y. Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3, 1) em graus Celsius. T (3,1) = ² - 3 1² T (3,1) = T (3,1) = 39 C FIGURA 3 AQUECIMENTO DE UMA CHAPA FONTE: O autor Exemplo 6 Dada a função f(x,y) = x² + y², calcule f(1, - 2)..

15 UNIDADE 1 TÓPICO 1 7 f(x,y) = x² + y² f(1, 2) = 1² + ( 2)² f(1, 2) = f(1, 2) = 5 NOTA! No estudo do domínio de uma função devemos avaliar quais números reais são possíveis atribuir para as variáveis x e y para obtermos valores reais para z = f(x,y). Vamos relembrar algumas restrições! Consideremos os casos a seguir em que A e B são expressões em função de x e y. Se f(x,y) = A então, necessariamente, B 0. B Se f(x,y) =, onde n é par, então, necessariamente, A 0. Se f(x,y) = log c A com c > 0 e c 1 então, necessariamente, A > 0. Exemplo 7 Encontre o conjunto domínio da função f (x,y) = 3x² y². Esta função não apresenta nenhuma restrição para os valores de x e y. Portanto, D(f) = {(x, y) R 2 } ou D( f ) = R 2. Exemplo 8 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = e o represente grafi camente. Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 3x 2y não pode ser negativo. 3x 2y 0 2y 3x ordem: Multiplicando ambos os membros da desigualdade por ( 1) e alterando a relação de 2y 3x y 3 x 2

16 8 TÓPICO 1 UNIDADE 1 Portanto, Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x y) do exemplo anterior, primeiro trace o gráfico de y = 3 x e depois determine qual a região correspondente à desigualdade 2 y 3 2 x. O gráfico de y = 3 x corresponde a uma reta crescente que contém a origem. Note 2 que esta reta divide o plano em duas regiões. Para identificar qual região expressa o domínio de f (x,y), atente para a desigualdade estabelecida. Neste exemplo, como se trata de uma reta e a relação de ordem é dada pelo sinal, então isto implica que o domínio é expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela. FIGURA 4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f. FONTE: O autor Exemplo 9 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = 5x y x². Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o denominador y x² não pode tornar-se nulo.

17 UNIDADE 1 TÓPICO 1 9 Então, y x² 0 y x² Portanto, 5x Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x,y) = procedemos do y x² mesmo modo que no exemplo anterior. A função que expressa o domínio é dada por y x², cuja representação no plano é uma parábola com concavidade voltada para cima e que possui seu vértice na origem. A relação de diferença, porém, implica que pertencem ao domínio todos os pontos do plano, exceto os que se encontram sobre a parábola expressa pela relação y = x². FIGURA 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor Exemplo 10 Determine o conjunto domínio de f(x,y) = e o represente graficamente. Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 3x² + y² 18 não pode ser negativo. 3x² + y² x² + y² 18

18 10 TÓPICO 1 Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18: 3x ² y ² x² y² UNIDADE 1 A função x² y² + = 1representa uma elipse centrada na origem do plano cartesiano, 6 18 cujo eixo maior, definido sobre o eixo das ordenadas, é igual a 2 8,48 e cujo eixo menor, definido sobre os eixos das abscissas, é igual a 2 4,90. Atribuídas as características geométricas da função que define o domínio, traçamos o seu gráfico. A relação de desigualdade estabelecida é. Isto implica que os pontos que pertencem ao domínio se encontram sobre a elipse e fora dela. ATENÇÃO! Ao sentir dificuldade em caracterizar as funções quanto à sua representação geométrica, retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analítica. FIGURA 6 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor

19 UNIDADE 1 TÓPICO 1 11 Exemplo 11 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = h (x 3y + 1) e o represente graficamente. Como In (x 3y + 1) é definido somente quando x 3y + 1 > 0, então, x 3y + 1 > 0 x 3y > 1 3y > x 1 ordem: Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relação de 3y < x + 1 y < x Neste exemplo a função domínio, expressa pela desigualdade y < x + 1 3, representa, no plano, uma região que se encontra abaixo da reta y = x + 1. Observe que os pontos sobre 3 a reta não pertencem ao conjunto domínio. FIGURA 7 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor

20 12 TÓPICO 1 Exemplo 12 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = UNIDADE 1 e o represente graficamente. Esta função apresenta restrição para os valores de x e y. A expressão que representa o radicando, 4 x² y², não pode ser negativa. 4 x² y² 0 x² y² 4 ordem: Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relação de x² + y² 4 O conjunto domínio da função f (x,y) =, expresso pela desigualdade x² + y² 4, compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes à circunferência centrada na origem do plano cartesiano, de raio 2. FIGURA 8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor

21 UNIDADE 1 TÓPICO gráficos DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R 3 tal que z = f (x,y) e (x,y) D. Fazer a representação gráfica das funções de duas variáveis é normalmente complicado e requer habilidade manual. Assim, vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemáticos que fazem os gráficos de superfícies. O objetivo aqui é apenas mostrar os gráficos das funções de duas variáveis e não a construção manual dos gráficos. Os gráficos, que você encontrará ao longo do Caderno de Estudos, foram construídos através do Winplot, que é um software livre disponível na internet, e do Maple 11, um software comercial que possui inúmeros recursos matemáticos. DICAS! Caro(a) acadêmico(a)! Você pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA. Exemplo 13 Represente graficamente a função f (x,y) = 2 3x 4y. FIGURA 9 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 2 3x 4y FONTE: O autor

22 14 TÓPICO 1 Exemplo 14 Represente graficamente a função f (x,y) = 3x² y². UNIDADE 1 FIGURA 10 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 3x² y² FONTE: O autor Exemplo 15 Represente graficamente a função f (x,y). FIGURA 11 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = FONTE: O autor

23 UNIDADE 1 TÓPICO 1 15 Exemplo 16 Represente graficamente a função f (x,y) = sen x sen y FIGURA 12 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = sen x sen y FONTE: O autor 4 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS Definição Seja D um subconjunto de R n. Uma função real f de n variáveis reais definida em D é uma relação entre D e R, que associa a cada ponto (x 1, x 2,..., x n ) D um único valor real z, denotado por z = f (x 1, x 2,..., x n ). Notação: As variáveis (x 1, x 2,..., x n ) são as variáveis independentes, e z é a variável dependente. O conjunto de todos os valores possíveis de f é chamado imagem de f, e é denotado por lm(f). Assim,

24 16 TÓPICO 1 UNIDADE 1 Definição Seja f uma função de n variáveis. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos do espaço R n+1 dado por: No caso em que n = 1, f será uma função de uma variável e seu gráfico será uma curva C com equação y = f (x 1 ). Quando n = 2, f será uma função de duas variáveis e seu gráfico será uma superfície S com equação z = f (x 1,x 2 ). dimensão 4. Quando n = 3, não podemos esboçar o gráfico da função f, pois ele está no espaço de Exemplo 17 Esboce o gráfico da função f (x,y) = 6 2x + 3y. Para esboçar o gráfico de uma função, temos que conhecer o domínio desta função. O domínio desta função f é D(f) = R² e o gráfico da função f é o conjunto: graf (f) = {(x,y,z) R³ z = 6 2x + 3y} Geometricamente, o gráfico de f representa um plano. Vamos fazer algumas considerações sobre a função e os eixos, como se fôssemos traçar o gráfico manualmente. Então começamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos três eixos coordenados. Se na equação z = 3 2x 3y fizermos: x = 0 e y = 0, vem z = 6 x = 0 e z = 0, vem y = 2 y = 0 e z = 0, vem x = 3. Obtemos assim os pontos A 1 = (0, 0, 6), A 2 = (0, 2, 0) e A 3 = (3, 0, 0), nos quais o plano intercepta os eixos coordenados. A porção do gráfico que está no primeiro octante está esboçada na figura a seguir.

25 UNIDADE 1 TÓPICO 1 17 FIGURA 13 PLANO COM EIXOS COORDENADOS FONTE: O autor Exemplo 18 Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função f (x, y, z) = Esta função não apresenta restrição para os valores de x, y e z. Assim, D(f) = R ³ (todo o espaço). Já para o conjunto imagem, teremos apenas os reais não negativos. Logo, Im (f) = R +.

26 18 TÓPICO 1 UNIDADE 1 RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico, os principais assuntos estudados foram: Definição de função de diversas variáveis. Conjunto domínio e conjunto imagem de função. Representação gráfica do domínio. Representação gráfica das superfícies z = f (x,y) usando recurso computacional. Listamos algumas situações envolvendo o estudo do domínio para funções de diversas variáveis que impõem restrições ao conjunto domínio. Consideremos os casos a seguir, em que A e B são expressos em função de x e y. ü Se f (x,y) = então devemos considerar B 0. ü Se f (x,y) =, onde n é par, então devemos considerar A 0. ü Se f (x,y) =, onde n é par, então devemos considerar A 0 e B 0. ü Se f (x,y) =, onde n é par, então devemos considerar B > 0. ü Se f (x,y) = log c com c > 0 e c 1 então devemos considerar A > 0.

27 UNIDADE 1 TÓPICO 1 19 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre funções de diversas variáveis. 1 Nos problemas a seguir, calcule o valor da função nos pontos específi cos: a) f (x,y) = (x 1)² + 2xy³ ; f (2, 1); f (1,2) 3x + 2y b) f (x,y) = ; f (1,2) ; f ( 4,6) 2x + 3y c) g (x,y) = ; g (4,5); g ( 1,2) d) g (u,v) = 10u ½ v ⅔ ; g (16,27); g (4 1331) e) f (x,y) = y + x ; f (1,2); f(2, 3) x y 2 Nos problemas a seguir, descreva o domínio das funções e represente-o graficamente: 5x + 2y a) f (x,y) = 4x + 3y b) g (x,y) = 36 x² + y² c) f (x,y) = x + y 2 3x + 5y d) f (x,y) = x² + 2y² 4 e) f (x,y) = In (x + y 4) f) g (x,y) = e xy x 2y

28 20 TÓPICO 1 UNIDADE 1

29 UNIDADE 1 TÓPICO 2 CURVAS DE NÍVEL 1 INTRODUÇÃO Neste tópico veremos como representar uma superfície (figura tridimensional) em um gráfico bidimensional. Talvez você já tenha visto algum gráfico nesta situação: na prática, são chamados mapas topográficos. Nestes mapas, uma paisagem tridimensional, como a extensão de uma montanha, por exemplo, está representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevação constante, conforme pode ser visto na figura a seguir. FIGURA 14 MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA FONTE: Disponível em: < topografia>. Acesso em: 11 jul

30 22 TÓPICO 2 UNIDADE 1 O objetivo deste tópico é mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de nível. Muitas das curvas que encontraremos correspondem a gráficos de funções já conhecidas, as quais você estudou na disciplina de Geometria Analítica, tais como: reta, parábola, cúbica, circunferência, elipse e hipérbole. 2 Curvas de nível O conjunto de todos os pontos onde uma função f (x,y) tem um valor constante c R é chamado de curva de nível de f. Assim, as curvas de nível são obtidas a partir de funções de duas variáveis z = f (x,y) interceptadas por planos paralelos ao plano xy. Definição Seja c um número real. O conjunto de pontos no plano onde uma função f (x,y) tem um valor constante f (x,y) = c é chamado de curva de nível de f. Exemplo 1 Identifique as curvas de nível para g (x,y) = 4 x y em c = 0 e c = 6. Represente graficamente. g (x,y) = c para c = 0 g (x,y) = 4 x y 0 = 4 x y y = 4 x y = x + 4 Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular 1) que intercepta o eixo y em 4. g (x,y) = c para c = 6 g (x,y) = 4 x y 6 = 4 x y y = 4 6 x y = x 2 Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular 1) que intercepta o eixo y em 2.

31 UNIDADE 1 TÓPICO 2 23 FIGURA 15 CURVAS DE NÍVEL DE g (x,y) = 4 x y FONTE: O autor Outro exemplo que ilustra as curvas de nível é o que muitos autores chamam de mapa de contorno, conforme figura a seguir. FIGURA 16 MAPA DE CONTORNO DE g (x,y) = 4 x y FONTE: O autor IMPORTANTE! Considerando diferentes valores para a constante c, igualmente espaçados, obtemos um conjunto de curvas de nível chamado mapa de contorno, representadas no mesmo plano cartesiano.

32 24 TÓPICO 2 UNIDADE 1 Exemplo 2 Identifique as curvas de nível para f (x,y) = x² y² em c = 0, c = -3 e c = 4. Represente graficamente. f (x,y) = c para c = 0 x² y² = 0 y² = x² y = ± { y = x y = x Estas duas equações representam duas retas (Figura 17). A reta de equação y = x representa, no plano, a bissetriz dos quadrantes ímpares, enquanto que a reta de equação y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares. f (x,y) = c para c = 3 x² y² = 3 x² y² x² y² + = x² y² A equação + = 1 representa uma hipérbole equilátera, com a = b = 3 que 3 3 tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17). f (x,y) = c para c = 4 x² y² = 4 x² y² 4 = x² y² = Esta equação representa uma hipérbole equilátera, com a = b = 2, centrada na origem do plano cartesiano, com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17).

33 UNIDADE 1 TÓPICO 2 25 FIGURA 17 CURVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = x² y² FONTE: o autor FIGURA 18 MAPA DE CONTORNO DE f (x,y) = x² y² FONTE: o autor DICAS! Caro(a) acadêmico(a)! Para desenhar os mapas de contorno, sugiro que utilize um software matemático, como, por exemplo, o Winplot. Na internet você encontra diversos tutoriais sobre o Winplot, inclusive onde baixar o programa, que é freeware. Agora tente você, identifique as curvas de nível para g (x,y) = 4 2x² y² em c = 0 e c = 2 e as represente graficamente.

34 26 TÓPICO 2 UNIDADE 1 Exemplo 3 Identifique as curvas de nível para f (x,y) = 5 x ² y ² em c = 1 e c = 2. Represente graficamente. f (x,y) = c para c = 1 5 x ² y ² = 1 5 x ² y ² = 1 x ² y ² = 4 (-1) x² + y² = 4 Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano, com raio igual a 2 (Figura 19). f (x,y) = c para c = 2 5 x ² y ² = 2 5 x ² y ² = 4 x ² y ² = 1 ( 1) x ² + y ² = 1 Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano, com raio igual a 1 (Figura 19). FIGURA 19 CURVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = 5 x ² y ² FONTE: o autor

35 UNIDADE 1 TÓPICO 2 27 FIGURA 20 MAPA DE CONTORNO DE f (x,y) = 5 x ² y ² FONTE: o autor

36 28 TÓPICO 2 UNIDADE 1 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico fizemos análises e representações gráficas das curvas de nível de uma função f, que são curvas resultantes da interseção de planos paralelos ao plano xy com a superfície z = f (x,y). E ainda estudamos: Representação gráfica das curvas de nível. Reconhecimento algébrico das curvas de nível.

37 UNIDADE 1 TÓPICO 2 29 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre funções de diversas variáveis. 1 Associe as superfícies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D. (A) (1) (2) (B) 3 3

38 30 TÓPICO 2 UNIDADE 1 (3) (C) (4) (D) 2 Nas questões a seguir, identifique algebricamente as curvas de nível para valores de c dados. a) f (x,y) = x ² + y ² 9 c { 4, 2, 1, 0}; b) f (x,y) = y ² x c {0, 1, 2, 3} 3 Nas questões a seguir, represente graficamente as curvas de nível das funções. Agora, você escolherá alguns valores para c. É importante que você faça os gráficos manualmente e, se for possível, utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos. a) f (x,y) = x ² + 9y ² b) f (x,y) = y ² x³ c) g (x,y) = 3 + 2x y

39 UNIDADE 1 TÓPICO 3 LIMITE E CONTINUIDADE 1 INTRODUÇÃO O que estudaremos agora já foi estudado no Cálculo Diferencial e Integral, onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para função de uma variável. Neste tópico estenderemos o conceito de limite às funções de duas variáveis, um conceito fundamental do cálculo do qual decorrem outros, como, por exemplo, a noção de continuidade. Para isso, enunciaremos algumas definições de Análise Matemática. Tente entender os conceitos e só depois avance para a próxima seção. 2 DEFINIÇÕES BÁSICAS Definição Sejam P = (x 1, x 2,..., x n ) e A = (a 1, a 2,...a n ) pontos em R n. A distância entre P e A, denotada por P A, é dada por: P A = (x 1 a 1 )² + (x 2 a 2 )² (x n a n )² Exemplo 1 Dados os pontos P = (1, 2, 3) e A = (3, 1, 2) em R³, encontre P A. P A = (1 3)² + ( 2 1)² + (3 ( 2))² = 8 u.c. Definição Sejam A = (a 1, a 2,..., a n ) R n e r > 0 um número real. A bola aberta de centro em A e raio r, que indicaremos por B(A; r), é definida como sendo o conjunto de todos

40 os pontos P = (x 1, x 2,..., x n ), tais que P A < r, ou seja: B(A; r) = {(x 1, x 2,...,x n ) R n ; x 1 a 1 )² + (x 2 a 2 )² (x n a n )² < r Exemplo 2 a) Em R, a bola aberta B(a; r) é o intervalo aberto (a r, a + r). FIGURA 21 INTERVALO EM R FONTE: O autor b) Em R², a bola aberta B((a 1, a 2 ); r) representa o conjunto dos pontos internos à circunferência de centro em (a 1, a 2 ) e raio r. FIGURA 22 r de A FONTE: O autor Definição Seja S um subconjunto de R n. Um ponto A é um ponto de acumulação de S, se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S, mesmo que A não necessariamente pertença a S. Exemplo 3 Seja S = {(x,y) R² x > 0 e y < 2}. Mostre que todos os pontos pertencentes ao conjunto S são pontos de acumulação. Todos os pontos pertencentes a S são pontos de acumulação de S, pois atendem à Definição Ainda, os pontos (0,y), com y 2, e (x, 2), com x > 0, são pontos de acumulação de S e não pertencem a S. (Figura 23).

41 UNIDADE 1 TÓPICO 3 33 FIGURA 23 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO CONJUNTO S FONTE: O autor Exemplo 4 Seja S = {(x,y) N 2 2 x 4 e 1 y 5}. Mostre que o conjunto S não possui pontos de acumulação. Mostraremos que os pontos de S não são pontos de acumulação de S pois não atendem à Definição Para qualquer ponto P(x,y) R 2, a bola aberta de centro P e raio r < 1 não contém uma infinidade de S. Portanto, o conjunto S não possui pontos de acumulação. (Figura 24). FIGURA 24 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO CONJUNTO S FONTE: O autor

42 34 TÓPICO 3 UNIDADE 1 3 LIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS A seguir, definiremos limite de uma função de diversas variáveis. Definição Sejam f : S R n R uma função, e A um ponto de acumulação de S. Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A é um número real L se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que f (X) L < ε sempre que X S e 0 < X A < δ. Neste caso, escrevemos lim f (X) = L x A O estudo de funções de três ou mais variáveis (n 3) difere pouco do estudo de funções de duas variáveis. Desta forma, por simplicidade de apresentação, vamos estudar as funções de duas variáveis no restante desta unidade. Começaremos reescrevendo a definição de limite de funções de duas variáveis. Definição Sejam f : S R 2 R uma função, e (a, b) um ponto de acumulação de S. Dizemos que o limite de f (x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b) é um número real L se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que f (x,y) L < ε sempre que (x,y) S e 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ Neste caso, escrevemos lim (x,y) (a,b) f (x,y) = L A definição de limite de função pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente. De fato, escrever lim (x,y) (a,b) f (x,y) = L, equivale a dizer que, dado qualquer ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, para todo (x,y) B ((a,b); δ) tenhamos f (x,y) (L ε, L + ε). A figura a seguir ilustra, no caso de uma função f : A R n R, a definição de limite. FIGURA 25 FUNÇÃO f : A R n R FONTE: Disponível em: < Calculo2Diferencia%E7%E3o.pdf>. Acesso em: 18 jun

43 UNIDADE 1 TÓPICO 3 35 Exemplo 5 Usando a definição de limite, mostre que lim (4x) (3y) = 5. (x,y) (2,1) Devemos mostrar que ε > 0, δ > 0 tal que (4x 3y) 5 < ε sempre que (x,y) (2,1) < δ Com o objetivo de encontrar o δ desejado, trabalharemos com a desigualdade que envolve ε. Assim, usando propriedades do valor absoluto, podemos escrever: (4x 3y) 5 = 4x 3y (8 3) = 4x 8 3y + 3 = 4x 8 (3y 3) = 4 (x 2) 3(y 1) 4 x y 1 Como 0 < (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ podemos escrever x 2 (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ e y 1 (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ, temos que 4 x y 1 < 4 δ + 3 δ. Assim, tomando δ = ε 7, temos (4x 3y) 5 4 x y 1 < 4 ε = ε 7 = ε sempre que 0 < (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ. Portanto, lim (4x 3y) = 5 (x,y) (2,1) Teorema Sejam f : S R 2 R uma função de duas variáveis, S 1 e S 2 subconjuntos de S e (a,b) um ponto de acumulação de S 1 e S 2. Se f (x,y) tem limites diferentes quando (x,y) tende (a,b) através dos pontos de S 1 e S 2 então lim f (x,y) não existe. (x,y) (a,b) ATENÇÃO! Lembre-se de que o fato de o ponto (a,b) ser um ponto de acumulação de S 1 e S 2 não significa que (a,b) S 1 S 2. Exemplo 6 Usando a definição de limite, mostre que lim (x,y) (0,0) 5xy não existe. x y

44 36 TÓPICO 3 UNIDADE 1 Observemos que o conjunto domínio de f é R 2 (0,0). Para mostrar que o limite não existe, usaremos o Teorema Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem {y = kx k R, (x,y) R 2 }. Calculando f (x,y) com y = kx, temos f (x,kx) = = = 5xkx x 2 + (kx) 2 5kx 2 x 2 (1+ k 2 ) 5k 1+ k 2 Então, lim f (x, kx) = lim (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) 5k 1+ k 2 Assim, o limite de f depende do percurso do ponto (x,y) quando ele tende à origem. Por exemplo, considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes). lim f (x,x) = lim (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) = Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela origem. De fato, para cada coeficiente angular k R, f (x,kx) = 5k 1+k 2, qualquer que seja x R, corroborando, assim, o cálculo do limite desenvolvido anteriormente. Portanto, concluímos através do Teorema que lim 5xy x 2 + y 2 não existe. O teorema a seguir é muito parecido com o que já foi visto em cálculo nas propriedades de limites de funções de uma variável. (x,y) (0,0) Teorema Se lim f (x,y) = L e lim g (x,y) = M, e c R então: (x,y) (a,b) (x,y) (a,b)

45 UNIDADE 1 TÓPICO 3 37 Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir. Exemplo 7 Calcule Exemplo 8 Calcule Temos lim (x 3 x 2 y) = 0 e lim (x 2 y 2 ) = 0. (x,y) (2,2) (x,y) (2,2) Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0. Para resolver o limite, fatoram-se o 0 numerador e denominador fazendo as simplificações possíveis, como fazíamos com limites indeterminados, no caderno de Cálculo Diferencial e Integral. Então,

46 38 TÓPICO 3 UNIDADE 1 4 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS Você se recorda da definição de continuidade estudada na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral? Agora estudaremos esta definição aplicada às funções de diversas variáveis. Acompanhe a seguir: Definição Sejam f : S R 2 R uma função, e (a,b) S um ponto de acumulação de S. Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f está definida no ponto (a,b) (ii) lim f(x,y) existe; (x,y) (a,b) (iii) lim f(x,y) = f(a,b). (x,y) (a,b) Quando uma ou mais destas condições não é satisfeita, dizemos que a função é descontínua no ponto (a,b). Dizemos que f é contínua, se f for contínua em todos os pontos do domínio de f. Exemplo 9 Considere a função de duas variáveis f(x,y) = 3x + y 2. a) Mostre que f é contínua no ponto (2, 3). b) Mostre que f é contínua. a) Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição (i) f (2,3) = = 15 (ii) lim f(x,y) = lim (3x + y 2 ) = = 15 (x,y) (2,3) (iii) lim (3x + y 2 ) = f (2,3) (x,y) (2,3) (x,y) (2,3) Logo, f é contínua no ponto (2, 3). b) Seja (a,b) D (f) = R 2

47 UNIDADE 1 TÓPICO 3 39 lim f(x,y) = lim (3x + y 2 ) = 3a + b 2 = f (a,b). (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) Como (a,b) é um ponto qualquer, segue que f (x,y) é contínua. Exemplo 10 c) Verifique se a função f (x,y) = In (xy + 3x) é contínua no ponto (3,2). Verificaremos se a função satisfaz as três condições da Definição Logo, f é contínua no ponto (3, 2). Exemplo 11 Verifique se a função f (x,y) = é contínua no ponto (3,3). Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição (i) f (3,3) = 5, pois x = y (ii) =, portanto o limite não existe. (iii) Como lim f(x,y) f(3,3), concluímos que a função é descontínua no ponto (3,3). (x,y) (3,3) Teorema Se g(x) for contínua em a e h(y) for contínua em b, então f(x,y) = g(x) h(y) é contínua em (a,b).

48 40 TÓPICO 3 UNIDADE 1 Teorema Se h(x, y) for contínua em (a,b) e g(u) for contínua em u = h (a,b), então a composição f(x,y) = g(h(x,y)) é contínua em (a,b). Exemplo 12 Use o Teorema para mostrar que a função f(x,y) = 7x 3 y 5 é contínua. Os polinômios g(x) = 7x 3 e h(y) = y 5 são contínuos em cada ponto da reta real. Logo, pelo Teorema 3.4.1, a função f(x,y) = 7x 3 y 5 é contínua em cada ponto (x,y) do plano xy, ou seja, f(x,y) é contínua. Exemplo 13 Use o Teorema para mostrar que a função f(x,y) = cos (7x 3 y 5 ) é contínua. Como h(x,y) = (7x 3 y 5 ) é contínua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u é contínua em cada ponto u da reta real, segue do Teorema que a composição f(x,y) = cos (7x 3 y 5 ) é contínua em todo R 2.

49 UNIDADE 1 TÓPICO 3 41 RESUMO DO TÓPICO 3 Caro(a) acadêmico(a)! Neste tópico os principais assuntos estudados foram: O conceito de limite de função de diversas variáveis. Definição de função contínua e suas propriedades. É importante saber analisar se uma função é contínua ou não. Destacamos a Definição 3.4.1, que trata da continuidade. Lembre que f : S R 2 R uma função, e (a,b) S um ponto de acumulação de S. Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f está definida no ponto (a,b); (ii) lim f(x,y) existe; (x,y) (a,b) (iii) lim f(x,y) = f(a,b). (x,y) (a,b) Lembre-se de que, se uma destas condições não for satisfeita, a função é descontínua em (a,b).

50 42 TÓPICO 3 UNIDADE 1 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre limite e continuidade de funções de diversas variáveis. 1 Use a definição de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 2 Nos exercícios a seguir, calcule os limites. a) lim (x 2 y 3 2xy + 4). (x,y) (2, 1) (x,y) (3,1) b) lim (x,y) (2, 1) c) lim (x,y) (0,0) d) lim (x,y) (0,0) x + 4y 2x 2 + 3xy x 3 + 2x 2 + xy 2 + 2y 2 x 2 xy x + x 2 + y 2 y 3 Mostre que lim (x,y) (0,0) x 2 y não existe. x y 4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (x,y) = 3x 2 + y Verifique se a função f(x,y) = 4x2 3x + y x 2 + y 2 1 { xy, (x,y) (0,0) 6 Verifique se a função f(x,y) = 5x 2 + y 2 0, (x,y) = (0,0) é contínua no ponto (1,3).

51 UNIDADE 1 TÓPICO 4 DERIVADAS PARCIAIS 1 INTRODUÇÃO e Integral? Você se recorda das regras de derivação estudadas na disciplina de Cálculo Diferencial Aqui veremos como elas se aplicam às funções de duas variáveis independentes, que permitem uma visualização gráfica, possibilitando um entendimento, de maneira simples, do conceito de derivadas parciais. Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funções com um número maior de variáveis. As regras de derivação que você aprendeu na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral serão utilizadas neste momento novamente. 2 RELEMBRANDO ALGUMAS regras de derivação Se u é uma variável real e c, α R, então: (c) = 0 (e u ) = e u u (c u) = c (sen u) = cos u u (u α ) = α u α 1 u (cos u) = sen u u Exemplo 1 Se f(x) = 5x 3 4x + 3e x 5, então f (x) = 15x e x.

52 44 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Lembre-se de que se y = f (x), então a taxa de variação de y em relação a x é dada pela derivada de f em relação a x, que é definida por f (x) = lim Δx 0 f(x + Δx) f(x) Δx 3 DERIVADAS PARCIAIS Nesta seção estudaremos sobre as derivadas parciais. Acompanhe! 3.1 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS A definição de derivada parcial de uma função de duas variáveis é parecida com a enunciada para funções de uma variável, sendo utilizadas as mesmas regras de derivação. A diferença aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra, conforme veremos nas definições a seguir. Definição Seja f : A R 2 R uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f em relação a x e a y são funções f x e f definidas por y f x = lim h 0 f (x + h,y) f (x,y) h f y = lim h 0 f (x,y + h) f (x,y) h desde que os limites existam. O símbolo chama-se D-rond (pronuncia-se derron), que significa D-redondo, em francês. Esta notação é apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que, quando trabalhamos com funções de uma variável, era representada por d. É conveniente ter essa maneira distinta de estender a notação diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variáveis, pois aqui não tem sentido falarmos simplesmente em derivada, apenas em derivadas parciais.

53 UNIDADE 1 TÓPICO 4 45 z = f (x,y) Existem outras notações para representar as derivadas parciais. Se, escrevemos: f x = f x (x,y) = z x = D x f f y = f y (x,y) = z y = D y f ATENÇÃO! Preste muita atenção na simbologia de derivada. Quando estamos derivando uma função de uma variável, por exemplo, y = f (x), então a derivada é identificada por dy. Mas quando estamos dx derivando uma função de duas ou mais variáveis, por exemplo, z = f (x,y), então as derivadas são identificadas por z x e z y. Exemplo 2 Aplicar a definição para achar f x e f y para f (x,y) = 3x2 2xy. f x = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 f (x + h,y) f (x,y) h 3 (x + h) 2 2 (x + h)y 3x 2 + 2xy h 3x 2 + 6xh + 3h 2 2xy 2hy 3x 2 + 2xy h 6xh + 3h 2 2hy h = lim h 0 h (6x + 3h 2y) h = lim 6x + 3h 2y h 0 = 6x 2y.

54 46 TÓPICO 4 UNIDADE 1 f y = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 f (x,y + h f (x,y) h 3x 2 2x (y + h) 3x 2 + 2xy h 3x 2 2xy 2xh 3x 2 + 2xy h 2xh h = lim ( 2x) h 0 = 2x. Logo, obtemos f x = 6x 2y e f y = 2x. Exemplo 3 Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 5x 3 4xy + 3e xy³ 5. Para encontrar a derivada parcial de f em relação a x, devemos olhar para a variável y da função f como uma constante, e derivamos apenas a variável x, ou seja, aplicaremos as regras de derivação somente na variável x. f x = 5 3x2 4 1 y + 3e xy³ 1 y 3 0 = 15x 2 4y + 3y 3 e xy³ De forma análoga, para derivar parcialmente f em relação a y, devemos olhar para a variável x da função f como uma constante, e derivamos apenas a variável y, ou seja, aplicaremos as regras de derivação somente na variável y. f y = 0 4x 1 + 3exy³ x 3y 2 0 = 4x + 9xy 2 e xy³ Exemplo 4 Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 3x 2 = xy + y. Derivando f em relação a x, (lembre-se de considerar o y como constante) f x = 6x y

55 UNIDADE 1 TÓPICO 4 47 f y = x + 1 E derivando f em relação a y, (agora considere o x como constante) Exemplo 5 Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = e x y e y x. f x = ex y 1 e y x ( 1) = e x y + e y x f y = ex y ( 1) e y x 1 = e x y e y x Exemplo 6 Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = (x + y) sen (x y). Observe que a função f é um produto de outras duas funções u e v. Assim, lembramos que (u v) = u v + u v f x = 1.sen(x y) + (x + y) 1 cos (x y) = sen (x y) + (x + y) cos (x y) f y = 1 sen (x y) + (x + y) ( 1) cos (x y) = sen (x y) (x + y) cos (x y) Exemplo 7 Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = e xy + In (x 2 + y). f x = y exy 2x x 2 + y f y = x 1 exy x 2 + y Utilizamos a regra (In u) = u u

56 48 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Até aqui, estivemos preocupados com o cálculo da derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis. Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado. Passemos, agora, a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfície. Se (x 0, y 0 ) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical y = y 0 cortará a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x, y 0 ). (Figura 26) Definição A derivada parcial da função f em relação à variável x é representada por f x e é definida num ponto P (x, y ) do domínio por: 0 0 f x (x 0, y 0 ) = lim Δ x 0 f (x 0 + Δ x, y 0 ) f (x 0, y 0 ), se este limite existir. Δ x FIGURA 26 FUNÇÃO f (x,y) FONTE: Disponível em: < php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul Se (x 0, y 0 ) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical x = x 0 cortará a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x,y 0 ). (Figura 27) Definição A derivada parcial da função f em relação à variável y é representada por f y e é definida num ponto P (x, y ) do domínio por: 0 0 f y (x 0, y 0 ) = lim Δ x 0 f (x 0, y 0 + Δ x ) f (x 0, y 0 ), se este limite existir. Δ x

57 UNIDADE 1 TÓPICO 4 49 FIGURA 27 FUNÇÃO f (x,y) FONTE: Disponível em: < php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul Exemplo 8 Sendo f (x,y) = 2x 2 y 4y 3, calcule f x, f y, f (3,1), f x y (3,1). f x = 2 2x y 0 f x = 4xy f (3,1) = = 12 x f y = 2x y 2 f y = 2x 2 12y 2 f y (3,1) = f (3,1) = = = 6 y Exemplo 9 { 5xy, se (x,y) (0,0) Sendo f (x,y) = 2x + 3y, calcule f 0, se (x,y) = (0,0) x e f. y

58 ( 50 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Nos pontos (x,y) (0,0), podemos aplicar as regras de derivação. Assim, temos f x = = = 5y (2x + 3y) 5xy 2 (2x + 3y) 2 10xy + 15y 2 10xy (2x + 3y) 2 15y 2 (2x + 3y) 2 f y = = 5x (2x + 3y) 5xy 3 (2x + 3y) 2 10x 2 (2x + 3y) 2 Para calcularmos as derivadas de f na origem, usamos a definição de derivada parcial, ( f x (0,0) = lim h 0 ( f (0 + h, 0 ) f (0,0) h ( 5h 0 = lim h 0 2h h 0 ( = 0. f y (0,0) = lim h 0 ( f (0,0 + h) f (0,0) h = lim h 0 ( 5 0 h 0 3h h ( = 0. Assim, obtemos as derivadas parciais da função f com relação a x e com relação a y em todos os pontos (x,y) do domínio. 3.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA A interpretação das derivadas parciais é análoga à interpretação da derivada simples. Sabemos que, para a função y = f (x), a derivada f (x 0 ) pode ser interpretada ou como a taxa de variação de y em relação a x no ponto x 0 ou como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x 0.

59 UNIDADE 1 TÓPICO 4 51 Para interpretar as derivadas parciais, consideramos a função z = f (x,y) e as suas derivadas parciais no ponto (x 0, y 0, z 0 ). Vamos interpretar f x (x, y ): então suponha que C é a interseção da superfície z = f (x,y) com o plano y = y 0 (o que equivale a considerar y como constante). Geometricamente, f x (x, y ) pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente 0 0 à curva C 1 no ponto (x 0, y 0 ) que se denota por f x (x, y ) = tg α. 0 0 Da mesma forma, supondo C 2 a interseção da superfície z = f (x,y) com o plano x = x 0 (o que equivale a considerar x como constante), interpretamos f y (x 0, y 0 ) geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva C 2 no ponto (x 0, y 0 ) que se denota por f y (x 0, y 0 ) = tg b. Veja na Figura 28 a situação descrita anteriormente. A derivada parcial f x (x, y ) também pode ser interpretada como a taxa de variação 0 0 de z em relação a x ao longo da curva C 1. E a derivada parcial f y (x, y ) também pode ser 0 0 interpretada como a taxa de variação de z em relação a y ao longo da curva C 2. Assim, estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variável está sendo alterada. FIGURA 28 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS FONTE: Disponível em: < php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul Exemplo 10 A função T (x,y) = 60 2x 2 3y 2 representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontre a razão de variação da temperatura em relação à distância percorrida ao longo da chapa da direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1, 2). Considere a temperatura medida em graus Celsius, e a distância em cm. T T = 0 2 2x = 4x x = (1, 2) = 4 1 = 4 C / cm x

60 52 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Assim, podemos interpretar o valor 4 C / cm obtido na derivada em x da seguinte forma: a temperatura está diminuindo 4 C à medida que x aumenta uma unidade. T T = 0 2 3y = 6y y = (1, 2) = 6 2 = 12 C / cm y Assim, o valor 12 C / cm significa que a temperatura diminui 12 C à medida que y aumenta uma unidade. Exemplo 11 Suponha que D = x 2 + y 2 é o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados têm comprimentos x e y que são permitidos variar. Determine uma fórmula para a taxa de variação de D em relação a x, se x varia, com y considerado constante, e utilize esta fórmula para determinar a taxa de variação de D em relação a x no ponto x = 3 e y = 4. A fórmula para a taxa de variação de D em relação a x é D = x 2 + y 2 D = (x 2 + y 2 ) ½ D x = 1 2 (x 2 + y 2 ) -½ (2x) D x = x x 2 + y 2 A taxa de variação instantânea de D em relação a x, no ponto (3, 4), é D x (3, 4) = 3 = Assim, D aumenta a uma taxa de 3 5 no ponto (3, 4). de unidade para cada unidade de aumento de x 4 GENERALIZAÇÃO Na seção anterior estudamos as derivadas parciais de funções de duas variáveis. Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funções de n variáveis reais. Definição Seja f : A R n R uma função de n variáveis, e seja x = (x 1, x 2,..., x n ) A. Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relação a x i por ( f (x) = lim f (x,..., x + h,..., x,..., x ) 1 i i n, quando esse limite existir. x h 0 i h (

61 UNIDADE 1 TÓPICO 4 53 Definição Seja f : A R n R uma função de n variáveis e seja B A o conjunto formado por todos os pontos x tais que f (x) existe. Definimos a função derivada parcial de x i 1ª ordem de f em relação a x i como a função que a cada x B associa o número f (x) dado x i por f (x) = lim f (x,..., x + h,..., x ) f (x,..., x,..., x ) 1 i n 1 i n. x h 0 i h ( ( Exemplo 12 Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = 1 + xy 2 2z 3. Exemplo 13 Ao derivar f em relação a x, lembre-se de considerar y e z como constantes f x = y 2 Derivando f em relação a y, (agora considere x e z como constantes) f y = 2xy E derivando f em relação a z, (considere x e y como constantes) f z = 6z2 Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = yz In (xy). Observe primeiramente que a função é dada por um único termo e teremos que usar as regras do produto e do logaritmo natural. Derivando f em relação a x, (considere y e z como constantes). Como a variável x aparece apenas no logaritmando, usaremos a regra do logaritmo natural. f x = yz y xy = yz x Derivando f em relação a y, (considere x e z como constantes). Como a variável y aparece no fator que multiplica o logaritmo e também no logaritmando, então aplicaremos a regra do produto e junto à regra do logaritmo natural. f y = z In (xy) + yz x xy = z In (xy) + z E derivando f em relação a z, (considere x e y como constantes). A variável z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo, então aplicaremos a regra da derivada simples em z. f z = y In (xy).

62 54 TÓPICO 4 UNIDADE 1 5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR As derivadas parciais f x e f são funções de x e y, e assim, elas mesmas podem ter y derivadas parciais. Com isso, teremos outras quatro derivadas parciais, estas de segunda ordem de f, as quais são definidas por: Exemplo 14 Sendo f (x,y) = y 2 e x + 5y, calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f. f x = y2 e x f y = 2y ex + 5 Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem, vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relação a x e a y. Fique atento(a) à notação! Exemplo 15 Sendo f (x,y) = x 2 cos y + y 2 sen x, encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f.

63 UNIDADE 1 TÓPICO 4 55 Exemplo 16 Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (x,y) = x + 3y. Primeiro, devemos escrever a função na forma de potência. f (x,y) = (x + 3y) ½ E observe que devemos aplicar a regra da potência para a derivação (u α ) = α u α 1 u.

64 56 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Exemplo 17 Dada a função f (x,y) = x 3 y + 4x 2 y 3, calcule: a) 2 f y x ; b) 2 f c) 3 f x 2 x y x d) 3 f y x 2 UNI Talvez você tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem 2 f e 2 f são iguais. Será que isto ocorre sempre? x y y x Respondendo à pergunta: não. Pois a igualdade entre as derivadas parciais mistas ocorre quando a função f (x,y) e suas derivadas parciais 2 f 2 f x 2, x y, 2 f y x e 2 f forem todas y 2 contínuas, fato este que nem sempre ocorre.

65 UNIDADE 1 TÓPICO 4 57 UNI Caro(a) acadêmico(a), mostre que considerando a função f (x,y) = { xy 2 f x y (0,0) = 0 e 2 f x y 3, se (x,y) (0,0) x 2 + y 2 0, se (x,y) = (0,0) (0,0) = 1, Este fato se repete para função de três variáveis, isto é, teremos a igualdade das seis derivadas parciais mistas 2 f 2 f =, 2 f 2 f = e 2 f 2 f = se f (x, y, z) e todas as suas x y y x x z z x y z z y derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contínuas. UNI Verifique se, de fato, as derivadas mistas são iguais para a função f (x, y, z) = xy 2 z 3 + 3yz. Teorema (Teorema de Shwarz) Suponhamos que f seja uma função de duas variáveis, x e y, definida em bola aberta B, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em B. Então 2 f x y 2 f (a, b) = (a, b), para todo (a, b) B. y x Como consequência do teorema, se a função z = f (x,y) tem todas as derivadas parciais contínuas em uma bola aberta, então a ordem da derivada não altera o produto. Por exemplo: UNI A seguir, apresentaremos a biografia de dois grandes matemáticos: Johann Bernoulli e Leonhard Euler, que, entre outros, também contribuíram bastante para o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

66 58 TÓPICO 4 LEITURA COMPLEMENTAR JOHANN BERNOULLI ( ) UNIDADE 1 Johann Bernoulli, irmão de Jacques Bernoulli, nasceu no dia 27 de julho na Basileia. Seus pais, Nicolaus e Margaretha Bernoulli, queriam que ele fosse comerciante ou médico. Johann pode ter sido influenciado quando criança pelo seu irmão Jacques, que já estava na carreira matemática. Em 1682, com 15 anos de idade, trabalhou no comércio durante um ano, porém não gostou da atividade. Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina, apesar de ter sempre gostado de Matemática. Quatro anos depois seu irmão foi nomeado professor de Matemática na Universidade e, de 1687 a 1690, Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Cálculo. Na época, essas teorias não tinham sido compreendidas por nenhum outro matemático e os irmãos Bernoulli foram os primeiros a estudálas. Os dois irmãos e Leibniz iniciaram uma série de artigos publicados na Acta Eruditorum, dando origem à difusão do Cálculo Leibniziano, tornando-o amplamente conhecido. Em 1691, Johann foi à França, onde conheceu o marquês de L Hospital. O marquês interessou-se pelo novo Cálculo e ofereceu um bom salário para que Johann lhe ensinasse. O acordo permitia ao marquês usar todo o conteúdo ensinado como o desejasse. A consequência disso foi a importante contribuição de Johann Bernoulli, conhecida como Regra de L Hospital, publicada pelo marquês em seu primeiro livro sobre Cálculo, em No prefácio do livro, L Hospital fez menção a Johann Bernoulli, mas não lhe atribuiu o famoso teorema. Só depois da morte do marquês, Johann contestou a autoria, porém havia perdido a credibilidade no assunto, devido às desavenças públicas, principalmente com seu irmão Jacques Bernoulli. Esse reconhecimento só aconteceu em 1922, quando encontraram uma cópia do curso na Basileia. A determinação da equação da catenária foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli, em Esse problema existia há mais de 50 anos e Galileo, em 1636,

67 UNIDADE 1 TÓPICO 4 59 sugerira uma solução. Em 1646, Huygens provou que a solução de Galileo era falsa, mas também não conseguiu resolver o problema. A catenária é a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos. O problema era determinar sua equação. Utilizando o Cálculo Leibniziano, Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso público do novo Cálculo. Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = a x e y = x x. Para Bernoulli, a integração era a operação inversa da diferenciação. Tal concepção permaneceu até a época de Cauchy. Johann teve três filhos: Nicolaus ( ), Daniel ( ) e Johann ( ). Todos eles foram matemáticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinâmica conhecido como Princípio de Bernoulli. Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Cálculo, porém escreveu sobre a isócrona, sólidos de resistência mínima, trajetórias, problemas isoperimétricos, conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que, após a morte de seu irmão em 1705, foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia. Johann Bernoulli morreu no dia 1º de janeiro de 1748, na Basileia. FONTE: E-CÁLCULO. Mapa da história: Leibniz. Disponível em: < bernoulli1.htm>. Acesso em: 10 jun EULER, LEONHARD ( ) Nascido na Basileia, Suíça, Leonhard Euler foi a figura matemática dominante do seu século e o matemático mais prolífico de que se tem notícia. Era também astrônomo, físico,

68 60 TÓPICO 4 UNIDADE 1 engenheiro e químico. Foi o primeiro cientista a dar importância ao conceito de função, estabelecendo desse modo uma base sólida para o desenvolvimento do cálculo e de outras áreas da matemática. A coleção completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes. Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analítica, da trigonometria, do cálculo e da teoria dos números. Ainda jovem, Euler demonstrou um futuro promissor como matemático, apesar de seu pai preferir que estudasse teologia. Felizmente, Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemática. Graduou-se pela Universidade da Basileia, defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton. Euler conseguiu uma posição em São Petersburgo e durante alguns anos foi médico na Marinha russa. Em 1733 tornou-se professor de Matemática na Academia de Ciências de São Petersburgo. Em 1736 publicou a obra Mechanica, em dois volumes, na qual aplicou sistematicamente o cálculo à matemática de uma massa e incorporou muitas equações diferenciais novas à mecânica. Em 1738 ele perdeu a vista direita. Em 1741 conseguiu uma posição como diretor matemático da Academia de Ciências de Berlim. Lá desenvolveu alguns trabalhos, como a tradução e a melhoria de Principles of Gunnery, de Robin; a publicação de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess, de 1768 a 1772; e o ensino de Lagrange por correspondência. Em 1766, Euler retornou à Rússia a convite de Catarina, a Grande. Em 1771, perdeu a visão no olho esquerdo, ficando completamente cego. Seu trabalho foi do cálculo e da análise à medida que publicou sua trilogia, Introductio in analysin infinitorum, Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis. Esses trabalhos, que perfaziam um total de seis volumes, fizeram da função uma parte central do cálculo e tratavam de álgebra, trigonometria, geometria analítica e teoria dos números. Por meio desses tratados, Euler influenciou grandemente o ensino da matemática. Diz-se que todos os livros didáticos de cálculo desde 1748 são essencialmente cópias de Euler ou cópias de cópias dele. Algumas de suas contribuições para as equações diferenciais são as seguintes: a redução da ordem, o fator integrante, coeficientes indeterminados, a teoria das equações lineares de segunda ordem e soluções das séries de potências. Ele também incorporou o cálculo vetor e as equações diferenciais em seus trabalhos. Euler deu à geometria analítica moderna e à trigonometria o que o livro Elements, de Euclides, deu à geometria, e a tendência resultante de apresentar a matemática e a física em termos matemáticos prosseguiu desde então. Euler enriqueceu a matemática com muitos conceitos técnicos e notações ainda em uso nos dias de hoje. Ele deu ordem ao caos da notação matemática. Estabeleceu a maior parte da notação que utilizamos hoje (seno, co-seno, e, "pi", "i", sigma, f para função). A contribuição de Euler para a teoria dos números e para a física foi igualmente impressionante. Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies), de 1765, ele fundou as bases da mecânica contínua e da teoria lunar. Sua influência no campo da física matemática foi tão difusa que a maior

69 UNIDADE 1 TÓPICO 4 61 parte das descobertas não é creditada a ele. No entanto, temos as equações de Euler para a rotação de um corpo rígido, fluxo de um fluido ideal incompressível, flexão de vigas elásticas e carregamentos para empenamento de colunas. "Ele calculava sem esforço aparente, como os homens respiram, ou como as águias se sustentam no vento". Euler foi o Shakespeare da matemática universal, ricamente detalhista e incansável. Teoremas principais: adição de séries; teorema das pontes de Königsberg. Principais obras: Introductio in analysin infinitorum; Institutiones calculi differentialis; Institutiones calculi integrali; Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum; Mechanica; Letters to a German princess. FONTE: GUIA para a história do Cálculo: Euler, Leonhard. Disponível em: < bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/bios/euler.htm>. Acesso em: 17 jul

70 62 TÓPICO 4 UNIDADE 1 RESUMO DO TÓPICO 4 Caro(a) acadêmico(a)! Neste tópico foram estudadas as derivadas parciais. Você deve ter percebido que o seu cálculo é similar ao cálculo de derivadas simples, a diferença está no fato de ter, agora, duas variáveis e ter que derivar a função em termos de uma delas enquanto a outra é considerada como constante. Ou seja, f estamos derivando x f (x,y) em relação a x considerando y como constante. A derivada parcial f x (x, y ) é a inclinação da reta tangente à curva da superfície z = f (x,y) 0 0 no plano vertical y = y 0. Analogamente, f y (x, y ) é a inclinação da reta tangente à curva da superfície z = f (x,y) no 0 0 plano vertical x = x 0.

71 UNIDADE 1 TÓPICO 4 63 parciais. Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre derivadas 1 A função T (x,y) = 60 2x 2 3y 2 representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2, 3) e chegou-se aos resultados z z (2, 3) = 8 e (2, 3) = 18. Dê os significados para os dois valores x y obtidos com as derivadas parciais no ponto (2, 3). 2 Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas parciais f x e f y a) f (x,y) = 2x 2 3y 4 das funções: b) f (x,y) = (x 2 1) (y + 2) c) f (x,y) = (xy 1) 2 d) f (x,y) = 1 x + y e) f (x,y) = e x + y + 1 f) f (x,y) = In (2x + y) 3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem 2 f, 2 f x 2 x y, 2 f y x e 2 f y a seguir: 2 das funções a) f (x,y) = e 3x sen y b) f (x,y) = xe y + y + 1

72 64 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade.

73 UNIDADE 2 DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MÚLTIPLAS Objetivos de aprendizagem Nessa unidade vamos: conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funções de várias variáveis; aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciais; calcular implicitamente as derivadas de funções de várias variáveis; entender o conceito de diferenciabilidade; entender o conceito de vetor gradiente e saber calculá-lo; entender o conceito de derivada direcional e saber calculá-la; calcular os mínimos e máximos locais de funções de várias variáveis; resolver problemas envolvendo minimização e maximização de funções de várias variáveis; aplicar o conceito de integrais múltiplas; calcular as integrais múltiplas. PLANO DE ESTUDOS Esta unidade está dividida em quatro tópicos, apresentando os conceitos e a utilização das derivadas parciais e também a integração de funções de várias variáveis. Dando continuidade ao estudo da unidade anterior, seguimos com a regra da cadeia e a derivação implícita de funções de várias variáveis, resolvendo diversos exemplos para auxiliá-lo(a) na compreensão e resolução dos exercícios propostos no final de cada tópico como você já está habituado em nossos cadernos de estudos. Nos tópicos seguintes, continuamos explorando outros conceitos e aplicações relacionados com as derivadas parciais tais como: diferenciabilidade de uma função de várias variáveis, diferencial, vetor gradiente, derivadas direcionais, extremos locais e problemas envolvendo a otimização (minimização e maximização) de funções de várias variáveis. Encerramos esta unidade com o estudo das integrais múltiplas que é a integração de funções de várias variáveis. Esperamos que este material possa auxiliá-lo em seus estudos. TÓpico 1 REGRA DA CADEIA E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA TÓpico 2 DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE TÓpico 3 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS TÓpico 4 INTEGRAIS MÚLTIPLAS

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75 UNIDADE 2 TÓPICO 1 REGRA DA CADEIA E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 1 INTRODUÇÃO A regra para funções compostas é tradicionalmente chamada de regra da cadeia. Nesta seção, vamos apresentar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. 2 REGRA DA CADEIA Inicialmente, consideramos dois casos específicos de funções de duas variáveis e em seguida, apresentamos a regra da cadeia generalizada. Teorema (Regra da Cadeia derivada total) Suponha que z = f (x,y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = x (t) e y = y (t) são funções diferenciáveis de t. Então a função z = f (x(t), y (t)) é uma função diferenciável de t e

76 68 TÓPICO 1 UNIDADE 2 FIGURA 29 DIAGRAMA DA ÁRVORE PARA A REGRA DA CADEIA FONTE: O autor Exemplo 1 Sejam z = f (x,y) = 4x 3 y 2, x = t 4 e y = 3t 2 Começamos calculando as derivadas parciais z x = 12x2 y 2 z y = 8x 3 y e em seguida calculamos as outras derivadas x t = 4t 3 dy dt = 6t Aplicamos a regra da cadeia, substituindo as derivadas calculadas anteriormente: Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressão acima temos dz dt = 12(t 4 ) 2 (3t 2 ) 2 4t 3 + 8(t 4 ) 3 3t 2 6t = 144t t 15 = 288t 15. Exemplo 2 Sejam z = f (x,y) = In (3x 2 + y), x = t + 1 e y = 5t. a) Calcule z t usando a regra da cadeia.

77 UNIDADE 2 TÓPICO 1 69 b) Determine a função composta z = f (t + 1,5 t) e calcule dz dt. a) Aplicaremos a regra da cadeia Sabendo que y = In u y = u u, calcularemos separadamente. Agora aplicamos Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressão anterior, temos dz dt = 6(t + 1) + 5 3(t + 1) 2 + 5t ou seja, dz dt = 6t (t + 1) 2 + 5t b) A função composta é z = f (t + 1,5 t) z = In (3(t + 1) t). A derivada de z em relação a t (calculada a partir desta expressão) é dz dt dz dt = = 3.2(t + 1) + 5 3(t + 1) 2 + 5t 6t + 1 3(t + 1) 2 + 5t UNI Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2. A facilidade do uso da regra da cadeia está em derivar funções menores e posteriormente, na substituição, ter menos trabalho algébrico.

78 70 TÓPICO 1 UNIDADE 2 Exemplo 3 Sejam z = x 2 + 2xy + y 2, x = cos t e y = sen t. Determine dz dt. Usando a regra da cadeia: dz = z. dx + z. dy dt x dt y dt = (2x + 2y) ( sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t sen t), ou seja, dz = 2(cos 2 t sen 2 t). dt Vimos no Teorema como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a função tem duas variáveis independentes. Vamos generalizar esta derivada total para funções com mais de duas variáveis. Se a função tiver mais de duas variáveis, representaremos por f (x 1, x 2, x 3,... x n ), onde x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t),... x n (t), são funções de t, então a sua derivada, em relação a t, é dada pela regra da cadeia Como a derivada acima possui muitas parcelas, é possível reescrever a regra usando o somatório Exemplo 4 Dada a função f (x,y,z) = 3x 2y 3 + z 2 onde x = sen t, y = e 2t e z = 4t 2 3. Encontre a derivada total. Usando a regra da cadeia

79 UNIDADE 2 TÓPICO 1 71 Exemplo 5 A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua largura é de 6 cm e está crescendo 0,2 cm/s? A área de um retângulo pode ser escrita como A (x,y) = xy, consideremos x o comprimento e y a largura. Através do enunciado, percebe-se que devemos calcular da, já que as outras dt taxas dadas são: dx = 0,5 e dy = 0,2. O cálculo da derivada deve ser feito para o ponto de dt dt coordenadas (8, 6). Como a área está em função de duas variáveis x e y, e estas, por sua vez estão relacionadas ao tempo, através da regra da cadeia, temos: Calculamos as derivadas parciais para A (x,y) = xy, obtendo: A = y x e A = x y Substituindo na regra da cadeia, da = y 0,5 + x 0,2 dt = 6 0, ,2 = 4,6

80 72 TÓPICO 1 UNIDADE 2 Dizer que da = 4,6 cm 2 /s significa que a área de um retângulo de dimensões 8x6, está dt crescendo 4,6 cm 2 a cada segundo. Exemplo 6 Uma peça cilíndrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura. Se o raio diminuir à razão de 0,02 cm/s e a altura aumentar à razão de 0,03 cm/s, então determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo. Sejam r e h o raio e a altura de uma peça cilíndrica, respectivamente, e seja t o tempo em segundos. Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas dr = 00,2 dt e dh = 00,3 dt no instante em que r = 12 e h = 18. Queremos calcular dv dt volume do cilindro para obter: nesse instante. Para isso, usamos a fórmula V (r, h) = pr 2 h do dv = V. dr + V. dh dt r dt h dt = 2prh. dr + pr 2. dh dt dt Substituindo os dados na regra da cadeia, temos: dv = 2p ( 0,02) + p ,03 dt = 8,64p + 4,32p = 4,32p Portanto, dv = 4,32p cm 3 /s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e dt 18 cm de altura, está diminuindo 4,32p cm 3 a cada segundo. Teorema (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (u,v) seja uma função diferenciável de u e v, onde u = u (x,y) e v = v (x,y) são funções diferenciáveis de x e de y. Então z = f (u(x,y),v(x,y)) é uma função de x e y, e: Vamos construir um esquema, denominado de diagrama da árvore, para melhor compreensão e execução da regra da cadeia. Proceda da seguinte forma:

81 UNIDADE 2 TÓPICO 1 73 I) Trace um diagrama em árvore, exprimindo as relações entre as variáveis envolvidas. II) Para cada ramificação da árvore, determine a derivada parcial com relação a estas variáveis. III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo, ao longo do caminho. IV) Some as contribuições de cada caminho. FIGURA 30 DIAGRAMA DA ÁRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS FONTE: O autor Exemplo 7 Se z = f (u,v) = e u cos v, onde u = xy e v = x + y 2, determine z x e z usando a regra y da cadeia. e

82 74 TÓPICO 1 UNIDADE 2 Teorema (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u 1, u 2,..., u n ) seja uma função diferenciável de n variáveis u 1, u 2,..., u n, onde cada u j é uma função diferenciável de m variáveis, x 1, x 2,..., x m. Então w é uma função de x 1, x 2,..., x m e para cada i = 1, 2,..., m. Exemplo 8 Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis w = f (x, y, z), x = x (r, θ, γ), y = y (r, θ, γ) e z = z (r, θ, γ). Determine w, w r θ e w γ. Aplicando o Teorema temos Exemplo 9 Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais z s e z t z = x 2 + xy + y 2, x = s + t e y = st. para as funções Aplicando o Teorema temos:

83 UNIDADE 2 TÓPICO DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Vimos no estudo das funções de uma variável (no Caderno de Estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral) que uma equação do tipo F (x,y) = 0 define y implicitamente como uma função diferenciável de x, ou seja, y = f (x). Nesta seção, vamos estudar a derivação (derivação parcial) de funções dadas de forma implícita. Consideraremos duas situações específicas. Suponhamos que a função y = f (x) seja definida implicitamente pela equação F (x,y) = 0. Se f e F são funções diferenciáveis e F = (x, f (x)) 0), então podemos encontrar a derivada dy y dx derivando ambos os lados da equação F (x,y) = 0 em relação a x. Usando a regra da cadeia temos, Como F = (x, f (x)) 0) y e dx = 1, segue dx A situação colocada anteriormente pode ser escrita sob condição da função F estar definida em uma bola aberta, conforme estamos tratando as funções de duas variáveis. A seguir veremos como aplicar a derivada implícita neste contexto. Se F é definida numa bola aberta contendo (a,b), onde F (a,b) = 0, F = (a,b) 0 e y F x e F são funções contínuas nessa bola. Então a equação F (x,y) = 0 define y como y uma função de x perto do ponto (a,b), e a derivada dessa função é dada pela fórmula obtida anteriormente. Essa relação nos dá um caminho mais simples para encontrar derivadas de funções definidas implicitamente. Teorema Suponha que F (x,y) seja diferenciável e que a equação F (x,y) = 0 defina y como uma função diferenciável de x. Então em qualquer ponto onde F 0, y

84 76 TÓPICO 1 UNIDADE 2 Exemplo 10 Supondo que a função y = f (x) é definida implicitamente pela equação In (x 2 y) + 2x 3 = 4y, determine sua derivada dy dx. A equação dada pode ser escrita da seguinte forma: F (x,y) = In (x 2 y) + 2x 3 4y = 0. Calculando as derivadas parciais temos F 2xy = + 6x 2 = 2 + 6x 2 x x 2 y x F x 2 1 = 4 = 4 y x 2 y y e Aplicando a fórmula do Teorema obtemos Vamos ver como fica o Teorema da Função Implícita para funções de duas variáveis independentes. Suponhamos que a função z = f (x,y) seja dada implicitamente pela equação F (x,y,z) = 0. Se f e F são funções diferenciáveis e F (x, y, f (x,y)) 0, podemos aplicar a regra da cadeia z para obter as z e z. Derivando os dois membros da equação F (x,y,z) = 0 em relação a x, x y temos

85 UNIDADE 2 TÓPICO 1 77 Mas (x) = 1 x e (y) = 0, portanto x De modo semelhante, obtém-se: Como no caso anterior, estamos assumindo que a equação F (x,y,z) = 0 define z implicitamente como função de x e y. Outra versão do Teorema da Função Implícita fornece as condições para que a hipótese seja válida. Teorema Suponha que F (x,y,z) seja continuamente diferenciável e que z = f (x,y) é uma função diferenciável que satisfaz a equação F (x,y,z) = 0. Então em qualquer ponto (x,y,z) onde F 0, z Exemplo 11 Determine z x e z y se x4 + y 4 + z 4 = 5xyz 2. A equação x 4 + y 4 + z 4 = 5xyz 2 pode ser escrita da seguinte forma: F (x,y,z) = x 4 + y 4 + z 4 5xyz + 2 e esta função é continuamente diferenciável. Vamos calcular as derivadas parciais de F. Então, pelo Teorema 1.3.2, temos:

86 78 TÓPICO 1 UNIDADE 2 Exemplo 12 Suponha que a função diferenciável z = f (x,y) seja definida pela equação xy + ze = 0.

87 UNIDADE 2 TÓPICO 1 79 RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico, você viu que: Se a função tiver mais de duas variáveis, representaremos por f (x 1, x 2, x 3..., x n ), onde x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t),... x n (t), são funções de t, então a sua derivada em relação a t é dada pela regra da cadeia Se z = f (x,y) é uma função das variáveis x e y que dependem de duas outras variáveis, digamos, u e v. Então: z = f (x(u, v), y (u, v)) é uma função composta de u e v. Dizemos que u e v são as variáveis independentes. Se w = f (u 1, u 2,..., u n ) é uma função diferenciável de n variáveis u 1, u 2,..., u n, onde cada u j é uma função diferenciável de m variáveis, x 1, x 2,..., x m. Então w é uma função de x 1, x 2,..., x m e para cada i = 1, 2,..., m. A derivada implícita é usada para encontrar as derivadas parciais z x e z quando z estiver y definida implicitamente por uma equação F (x, y, z) = 0. Então em qualquer ponto (x, y, z) onde F 0, z

88 80 TÓPICO 1 UNIDADE 2 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. 1 Considere as funções f (x,y) = 4y 3x 2, x (t) = t 3 1 e y (t) = 1 t 3. Calcule a função composta z = f (x(t), (t)). Encontre dz dt Encontre dz dt usando o item (a). usando a regra da cadeia. 2 Use a regra da cadeia para determinar z x e z y, sabendo que z = u 2 + v 2, u = x 2 y 2 e v = e 2xy. 3 Determine a derivada da função implícita f tal que y = f (x) está definida pela equação x 4 y + 4xy 3 78 = 0. 4 Se x 3 xy + 4xz 5 = 0, calcular z x e z y implícita. usando a regra de derivação de função 5 Mostre que a equação F (x,y) = x 2 y + sen y = 0 define implicitamente uma função derivável y = f (x). 6 O raio de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de 3 cm/s e a altura está diminuindo a uma taxa de 2 cm/s. A que taxa está variando o volume do cone no instante em que a altura é igual a 20 cm e o raio é igual a 14 cm? 7 Um carro A está viajando para o norte na rodovia 16, e um carro B está viajando para o oeste na rodovia 83. Os dois carros se aproximam da interseção dessas rodovias. Em certo momento, o carro A está a 0,3 km da interseção viajando a 90 km/h, ao passo que o carro B está a 0,4 km da interseção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante? 8 Determine z x e z y se xyz3 = cos (x + y + z). 9 Determine z x e z se yz = In (x + z). y

89 UNIDADE 2 TÓPICO 2 DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE 1 INTRODUÇÃO Neste tópico, vamos estender o conceito de diferenciabilidade de função de uma variável às funções de duas variáveis. Esse conceito tem consequências muito importantes no cálculo, assim como nos problemas de otimização que estudaremos no próximo tópico. Também será estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais, conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias. 2 DIFERENCIABIBLIDADE Vamos então introduzir o conceito de diferenciabilidade, que entre outras propriedades, garante a continuidade da função. Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funções de uma variável. Considere uma função f de uma variável real. Dizer que f é diferenciável em x = x 0 significa que o existe, isto é, é um número real. Em outras palavras, f é diferenciável em x 0 quando existe um número real denotado por f (x 0 ), tal que Podemos reescrever este limite da seguinte forma:

90 82 que é equivalente a TÓPICO 2 UNIDADE 2 Assim, f é diferenciável em x 0 se existir um número real, f (x 0 ), tal que Neste caso, se uma função é derivável num ponto, ela é contínua no ponto. Com isso temos condições de apresentar a definição de diferenciabilidade de função de duas variáveis. Definição Seja f : A R 2 R uma função definida no conjunto aberto A. Dizemos que f é diferenciável no ponto (x 0, y 0 ) A, se as derivadas parciais f (x 0, y 0 ) x existem e se e f (x 0, y 0 ) y diferenciável. Quando f é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, dizemos que f é Da Definição podemos destacar alguns pontos: Para provar que uma função é diferenciável em (x 0, y 0 ) usando a definição, devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x 0, y 0 ) e, além disso, que o limite Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x 0, y 0 ), f não é diferenciável no ponto (x 0, y 0 ). Se o limite

91 UNIDADE 2 TÓPICO 2 83 for diferente de zero ou não existir, f não será diferenciável no ponto (x 0, y 0 ) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto. Exemplo 1 Use a Definição para mostrar que f (x,y) = 5x + 2y é diferenciável. Seja (x 0, y 0 ) D (f ) = R 2. Para mostrar que f é diferenciável em (x 0, y 0 ) devemos mostrar que f (x0, y 0 ) e f (x 0, y 0 ) existem e que o limite da Definição é zero. x y A função f tem derivadas parciais em (x 0, y 0 ) e são dadas por f (x0, y 0 ) = 5 e f (x x 0, y 0 ) = 2. y Agora, Como (x 0, y 0 ) é um ponto qualquer em R 2, temos que f é diferenciável. Teorema Se f é diferenciável em A R 2 então f é contínua em cada ponto de A. Exemplo 2 Verifique se a função f (x, y) = é contínua no ponto (3,3).

92 84 TÓPICO 2 UNIDADE 2 Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição (Unidade 1). (i) f (3,3) = 5, pois x = y. (ii) portanto este limite não existe. Como concluímos que a função é descontínua no ponto (3,3). Mostramos que f é descontínua no ponto (3,3), portanto pelo Teorema f não é diferenciável em (3,3). Nem sempre é fácil usar a Definição para verificar a diferenciabilidade de uma função. O teorema a seguir fornece uma condição suficiente para que uma função seja diferenciável. Teorema Se as derivadas parciais f x e f existem em algum conjunto aberto A y contendo (x 0, y 0 ) e são contínuas em (x 0, y 0 ), então f (x,y) é diferenciável em (x 0, y 0 ). Exemplo 3 Mostre que a função f (x,y) = cos (xy) é diferenciável em todo R 2. Para mostrar que f é diferenciável, aplicaremos o Teorema 2.2.2, então calcularemos as derivadas parciais. f f = y sen(xy) e = x sen(xy) x y Temos que as derivadas parciais são contínuas em todo ponto (x,y) R 2. Logo, pelo Teorema a função f (x,y) é diferenciável em todo ponto de R 2. Exemplo 4 Os polinômios (funções polinomiais) em várias variáveis são claramente diferenciáveis em todo ponto de R n. Exemplo 5 Verifique se a função f (x,y) = x 2 3y 2 abaixo é diferenciável em R 2. A função f tem derivadas parciais em todos os pontos de R 2 e são dadas por f f = 2x e x y = 6y.

93 UNIDADE 2 TÓPICO 2 85 As derivadas parciais são contínuas, pois são funções polinomiais. Portanto, f é diferenciável em R 2. Exemplo 6 Verifique se a função g (x,y) = e x+y abaixo é diferenciável em R 2. A função g tem derivadas parciais em todos os pontos de R 2. Estas são dadas por g x = ex+y e g y = ex+y. Daí segue que as funções derivadas parciais são contínuas em R 2. Portanto, g é diferenciável em R 2. 3 DIFERENCIAL Suponha que saibamos o valor de uma função derivável em um ponto (x 0,y 0 ) e que desejamos prever a variação que esse valor sofrerá se formos para um ponto x 0 + dx. Como os valores da reta são mais simples de calcular, o cálculo da variação da reta nos oferece um modo prático de estimar a variação em f conforme podemos observar na Figura 31. FIGURA 31 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL FONTE: Disponível em: < Acesso em: 23 jun

94 86 TÓPICO 2 UNIDADE 2 Para funções de uma variável, y = f (x), definimos a diferencial dx como uma variável independente, ou seja, dx pode valer qualquer número real. A diferencial de y é definido como dy = f (x) x. Dessa definição decorre que y representa a variação da altura da curva y = f (x) e dy representa a variação da altura da reta tangente quando x varia da quantidade dx = x. Conforme podemos observar na Figura 31. A diferencial de uma função de uma variável, y = f (x), é aproximadamente igual ao acréscimo y da variável dependente y. Nesta seção, vamos definir a diferencial de uma função de duas variáveis z = f (x,y), e veremos que esta representa uma boa aproximação para o acréscimo da variável z quando os acréscimos das variáveis independentes são pequenos. Se z = f (x,y), então o incremento (aumento ou diminuição) de z é z = f (x + x, y + y) f (x,y). Definição Seja z = f (x,y) uma função diferenciável. A diferencial de f, denotada por df ou dz, é dada por dz = z z dx + dy, onde dx e dy são as diferenciais das variáveis x y independentes x e y respectivamente. A diferencial dz também é chamada de diferencial total de f (x,y), a mesma que estudamos no tópico anterior. Se nos movermos de (x 0,y 0 ) para um ponto (x 0 + x, y 0 + y) próximo, a variação resultante é dada por df (x 0,y 0 ) = f x (x,y f ) dx y (x,y ) dy. 0 0 Exemplo 7 Calcule a diferencial dz da função z = 4x 2 y 3 3y Para calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas parciais z x = 8xy3 e z y = 12x2 y 2 6y. Pela Definição temos dz = z z dx + x y dy dz = 8xy 3 dx + (12x 2 y 2 6y) dy. Exemplo 8 Calcule a diferencial de f (x,y) = x 2 + y 2 no ponto (1,2).

95 UNIDADE 2 TÓPICO 2 87 A diferencial de f no ponto (1,2) é dada por dz = f f (1,2) dx + (1,2) dy x y Como f f (1,2) = 2 e (1,2) = 4, temos x y dz = 2dx + 4dy. Podemos estimar a variação com diferenciais. Suponha que conheçamos os valores de uma função diferenciável f (x,y) e suas derivadas parciais em um ponto (x 0,y 0 ) e queiramos predizer quanto o valor de f variará se nos movermos para um ponto (x 0 + x, y 0 + y) próximo. Em outras palavras, podemos estimar a variação z de z pelo valor do diferencial dz, em que dx é a variação em x e dy é a variação em y. Exemplo 9 Considere a função z = 7x + 3y 2. a) Determine a diferencial total dz. b) Calcule z e dz, se x variar de 2 para 2,05 e y variar de 1 para 0,98. Compare os valores de z e dz. a) Da Definição temos a diferencial total dz = f x dx + f y dy dz = 7dx + 6y dy. b) O ponto (x 0,y 0 ) = (2,1), dx = x = 0,05 e dy = y = 0,02. O incremento de z é z = f (2,05; 0,98) f (2,1) z = 7 (2,05) + 3 (0,98) 2 ( ) = 0,2312 e a diferencial total é dz = 7(0,05) + 6 1( 0,02) = 0,23. Portanto, observe que z dz. Exemplo 10 O raio e a altura de um cilindro são medidos com 3 m e 8 m respectivamente, com possíveis erros de 0,05 m. Use diferenciais para calcular o erro máximo no cálculo do volume. Primeiro recordamos a fórmula do cálculo do volume de um cilindro. V = π r 2 h

96 88 TÓPICO 2 UNIDADE 2 Para estimarmos a variação de V calculamos dv (r 0,h 0 ) = V r (r,h V ) dr h (r,h ) dh 0 0 dv = 2π r 0 h 0 dr + π r 0 2 h 0 dh = 2π 3 8 0,05 + π ,05 = 2,4π + 3,6π = 4,8π 15,08 m 3. de 15,08 m 3. Portanto, o erro de 0,05 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro Exemplo 11 Ao redor do ponto (1,0), f (x,y) = x 2 (y + 1) é mais sensível a variações em x ou y? Primeiro vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Querer saber sobre a sensibilidade à variação é o mesmo que pedir para estimar a variação da função no ponto. Assim, vamos calcular a diferencial de f dz = f x (1,0) dx + f y (1,0) dy. Para facilitar o cálculo das derivadas parciais escrevemos f (x,y) = x 2 y + x 2, daí segue f x f x = 2xy + 2x e f y = x2 (1,0) = 2 e f y (1,0) = 1. Então, temos o cálculo da variação da função causada por pequenas variações dx e dy dz = 2dx + 1dy. Portanto, uma variação de x em uma unidade variará f em cerca de 2 unidades e, uma variação de y em uma unidade variará f em cerca de 1 unidade. A função é 2 vezes mais sensível a uma pequena variação de x que a uma pequena variação de tamanho igual a de y. Exemplo 12 O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo, 3% e 5%, respectivamente. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo na área calculada. A área do retângulo dado por x de comprimento e y de largura é a função A(x,y) = xy. Temos, f x = y e f y = x.

97 UNIDADE 2 TÓPICO 2 89 Cada erro é de, no máximo, 3% e 5%, isto é, x 0,03 e y 0,05. Para achar o erro máximo na área, tomamos o maior erro nas medidas de x e y. Daí, tomamos dx = 0,03 e dy = 0,05. Calculando a diferencial, obtemos: dz = z x dx + z y dy. dz = y0,03 + x0,05. Estimamos que o erro percentual máximo em A é de 8%. 4 GRADIENTE Vimos nas seções anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variação de uma função de várias variáveis e que estas taxas dependem da escolha da direção e sentido da variação. Como essas variações são indicadas por vetores, é natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direção e sentido específicos. Nesta seção, vamos definir o gradiente de uma função, que aparece em diversas aplicações matemáticas. Definição Seja z = f (x,y) uma função que admite derivadas parciais no ponto (x 0,y 0 ). O gradiente de f no ponto (x 0,y 0 ), denotado por são as derivadas de f nesse ponto, ou seja, f (x 0,y 0 ), é um vetor cujos componentes f (x 0,y 0 ) = f x (x,y f ), 0 0 y (x,y ) = f 0 0 x (x,y ) i + f 0 0 y (x,y ) j. 0 0 NOTA! O gradiente f associa um vetor f (x 0,y 0 ) a cada ponto (x 0,y 0 ) do domínio de f. Usamos a notação a,b para o par ordenado que se refere a um vetor para não confundir com o par ordenado (a,b) que corresponde a um ponto no plano.

98 90 NOTA! TÓPICO 2 UNIDADE 2 Ao representar vetores com a notação v = ai + bj, lembramos que i e j representam os vetores canônicos, ou seja, vetores no R 2 onde suas respectivas coordenadas são dadas por i = 1,0 e j = 0,1. Quando trabalhamos com um ponto genérico (x,y), escrevemos f (x,y) = f x, f y = f x i + f y j. O símbolo f é lido como gradiente de f. O símbolo, denominado del, é um delta grego maiúsculo invertido. O uso de para o gradiente foi popularizado pelo físico escocês P. G. Tait ( ) que o denominava nabla. Em hebraico, nabla significa harpa e se refere à semelhança de um com uma harpa antiga de dez cordas. O grande físico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notação e chamava o gradiente de inclinação. Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando: Ainda harpejando naquela nabla? (ROGAWKI, 2009, p. 809). Em seguida, estendemos a definição de gradiente para funções com n variáveis. Definição Sejam A R n aberto, p (x 1, x 2,...x n ) A e f : A R uma função tal que as derivadas parciais existem em p. O gradiente de f no ponto p é o vetor do R n denotado por f (p) e definido por f f (p) = (p), f (p),..., f (p). x 1 x 2 x n Exemplo 13 Determine o gradiente da função f (x,y) = 3x 2 2xy + 5y. Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f. f f = 6x 2y e x y = 2x + 5 Em seguida, escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definição f (x,y) = 6x 2y, 2x + 5. Exemplo 14 Calcule o gradiente da função f (x,y) = 3x 2 y x ⅔ y 2 no ponto (1,3).

99 UNIDADE 2 TÓPICO 2 91 Faremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o cálculo do vetor no ponto (1,3). f x = 6xy 2 3 x -⅓ y 2 e f y = 3x2 2x ⅔ y Então, f = 6xy 2 3 x -⅓ y 2, 3x 2 2x ⅔ y. Agora, no ponto, f (1,3) f (1,3) = ⅓ 3 2, ⅔ 3 = 12, 3. Portanto, o gradiente de f no ponto (1,3) é o vetor f (1,3) = 12, 3. Exemplo 15 Determine o gradiente da função g(x,y,z) = xyz 2 em um ponto (x,y,z). Temos, g x = yz2, g y = xz2 e g z = 2xyz. Então, g (x,y,z) = yz 2, xz 2, 2xyz. Exemplo 16 Encontre o gradiente de f(x,y) = 1 6 (x2 + y 3 ) em (0, 2) e esboce alguns vetores gradientes. As derivadas parciais são f x = 1 6 x e f y = 1 2 y2. f (x,y) = 1 3 x i y2 j Para construir o gráfico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma: escolhemos um ponto, por exemplo (x 0,y 0 ), o ponto (x 0,y 0 ) é o início do vetor e o vetor gradiente f (x 0,y 0 ) = a,b fornece o representante do vetor que irá no ponto (x 0,y 0 ). Lembramos que um vetor de componentes a,b tem início na origem do plano e extremidade no ponto (x 0,y 0 ). Quando desejamos graficar um vetor fora da origem, usamos um representante do vetor a,b. Em seguida é mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0, 2). Então, temos f (0, 2) = 2 j, isto é o vetor 0,2 tem origem no ponto (0, 0) e extremidade no ponto (0, 2). Conforme podemos ver na Figura 32.

100 92 TÓPICO 2 UNIDADE 2 FIGURA 32 VETORES GRADIENTES DE f (x,y) = 1 6 (x2 + y 3 ). FONTE: Disponível em: < Curva-de-N%C2%B4%C4%B1vel-Superf%C2%B4%C4%B1ciede-N%C2%B4%C4%B1vel>. Acesso em: 5 set Do gráfico construído no Exemplo 16 é possível pensar num campo de vetores gradiente de uma função, que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função. calcularmos Como vimos, o gradiente é um vetor. Talvez você esteja agora se perguntando: e se resolvendo o Exemplo 16. f (x,y) (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde? Vamos responder Exemplo 17 Encontre o gradiente de f (x,y) = x 2 y 2 e esboce alguns vetores gradientes. As derivadas parciais são f x = 2x e f y = 2y. Então, f = 2x i 2y j. Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos específicos e suas normas. (x,y) f (x,y) (0,0) (0,0) 0 f (x,y) (1,0) (2,0) 2 (x,0) (2x,0) 2x (0,y) (0, 2y) 2y (1,1) (2, 2) 2 2 (x,y) (2x, 2y) 2 (x,y)

101 UNIDADE 2 TÓPICO 2 93 Interpretando a coluna da direita, percebe-se que à medida que o ponto se afasta da origem, o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distância do ponto à origem. FIGURA 33 GRÁFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = x 2 y 2. FONTE: Disponível em: < Acesso em: 5 set Teorema Suponha que z = f (x,y) seja diferenciável numa bola aberta centrada em P 0 (x 0,y 0 ) e que f (x 0,y 0 ) 0. i) Então f (x 0,y 0 ) é normal à curva de nível de γ por P 0 (x 0,y 0 ). ii) A taxa máxima de crescimento de γ no ponto P 0 (x 0,y 0 ) ocorre na direção e no sentido do gradiente. Analogamente, a taxa mínima de crescimento de γ no ponto P 0 (x 0,y 0 ) ocorre na direção contrária a do gradiente. NOTA! Lembramos o conceito de vetor normal, quer dizer que o vetor é perpendicular a uma curva.

102 94 TÓPICO 2 UNIDADE 2 NOTA! O gradiente de γ no ponto P 0 (x 0,y 0 ) aponta na direção de maior variação da função numa vizinhança do ponto. A figura a seguir ilustra o Teorema FIGURA 34 VETOR GRADIENTE NORMAL À CURVA DE NÍVEL FONTE: O autor Exemplo 18 O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por V = x 2 + 4y 2 + 9z 2. Ache a direção e a taxa máxima de variação de V em (3, 2,1). De acordo com o Teorema a direção onde ocorre a taxa máxima de variação é dada pelo vetor gradiente. Então, V x = 2x, V y = 8y e V z = 18z. Assim, V = 2x, 8y, 18z. Calculando o gradiente no ponto (3, 2,1), obtemos: V (3, 2,1) = 6, 16, 18 que nos indica a direção de crescimento do potencial elétrico. E a taxa de variação do gradiente é dada pela sua norma:

103 UNIDADE 2 TÓPICO 2 95 é máxima Portanto, o gradiente V (3, 2,1) 24,8. V (3, 2,1) = 6, 16, 18 nos dá a direção onde a taxa de variação 5 DERIVADAS DIRECIONAIS Caro acadêmico! Já estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variação da função em duas direções diferentes, na direção do eixo x através de f x (x,y ) e na direção 0 0 do eixo y através de f y (x,y ). Nesta seção, veremos como utilizar a derivada parcial para 0 0 determinar a inclinação em qualquer direção; para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional. Suponha que uma função f (x,y) seja definida em uma região R no plano xy, que P(x 0,y 0 ) seja um ponto em R e que u = u 1 i + u 2 j seja um versor. Então as equações x = x 0 + su 1 e y = y 0 + su 2 parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u. Se o parâmetro s mede o comprimento de arco de P na direção de u, encontramos a taxa de variação de f em P na direção de u calculando df em P (Figura 7). ds NOTA! Lembramos que versor é um vetor unitário, ou seja, um vetor cujo módulo é 1. Definição A derivada de f em P(x 0,y 0 ) na direção do versor u = u 1 i + u 2 j é o número

104 96 TÓPICO 2 UNIDADE 2, desde que o limite exista. FIGURA 35 A TAXA DE VARIAÇÃO DE f Em P NA DIREÇÃO DE u FONTE: O autor Quando u = i, a derivada direcional em P é f x calculada em (x,y ). Quando u = j, a 0 0 derivada direcional em P é f y calculada em (x,y ). A derivada direcional generaliza as duas 0 0 derivadas parciais. Então, assim é possível encontrar a taxa de variação de f em qualquer direção u. Teorema Se f (x,y) for diferenciável em P (x 0,y 0 ), então é o produto escalar do gradiente de f em P e u. A expressão do Teorema por ser escrita como

105 UNIDADE 2 TÓPICO 2 97 Em seguida, apresentaremos a definição de derivada direcional para uma função de várias variáveis, fazendo uma extensão da Definição Definição Sejam A R n aberto, P (x 1, x 2,..., x n ) A, f : A R uma função e u um vetor unitário em R n. A derivada direcional de f no ponto (x 1, x 2,..., x n ) e na direção do versor u é denotada por Esta definição generaliza o conceito de derivada parcial, isto é, as derivadas parciais de uma função podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais. Exemplo 19 Calcule a derivada direcional da função f (x,y) = x 3 y + 2y 2 no ponto (1, 2) na direção do vetor v = 4i + 3j. Note que v não é um versor (vetor unitário) e a Definição pede que o vetor direção seja unitário. Assim, vamos primeiro calcular o vetor unitário u na direção de v. Agora, calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1, 2). Portanto, pelo Teorema 2.5.1, temos:

106 98 TÓPICO 2 UNIDADE 2 A derivada direcional f (1, 2) representa a taxa de variação de z na direção de u. u Isto é a inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção da superfície f (x,y) = x 3 y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1, 2,0) na direção de u.

107 UNIDADE 2 TÓPICO 2 99 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você viu que: O conceito de diferenciabilidade através do cálculo de limite. Destacamos o Teorema Se f é diferenciável em A ponto de A. R 2 então f é contínua em cada Outro resultado importante; Teorema Se as derivadas parciais f x e f y existe em algum conjunto aberto A contendo (x 0,y 0 ) e são contínuas em (x 0,y 0 ), então f (x,y) é diferenciável em (x 0,y 0 ). A aplicação da diferencial e como se calcula: a diferencial de f, denotada por df ou dz, é dada por dz = z x dx + z y dy. O gradiente de uma função f é o vetor das derivadas parciais: Geometricamente, o vetor gradiente é normal à curva de nível de f (x,y) por P. A derivada direcional: Se f (x,y) for diferenciável em P (x 0,y 0 ), então o produto escalar do gradiente de f em P e u.

108 100 TÓPICO 2 UNIDADE 2 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente. Mostre que as funções a seguir são diferenciáveis em R 2. 1 f (x,y) = 3x 2 y + 4xy 2 2 f (x,y) = x 2 7xy + 2xy 2 3 f (x,y) = sen (xy 2 ) 4 Se z = x 2 xy + 3y 2 e (x,y) varia de (3, 1) a (2,96; 0,95), compare os valores de dz e z. 5 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo 0,1 cm. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo. 6 O período T de um pêndulo simples com uma pequena oscilação é calculado da fórmula T = 2π L, onde L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração da g gravidade. Suponha que os valores de L e g tenham erros de, no máximo, 0,05% e 0,01%, respectivamente. Use diferencias para aproximar o erro percentual máximo no valor calculado de T. 7 O raio de um cilindro circular reto é medido com um erro de, no máximo, 2% e altura é medida com um erro de, no máximo, 4%. Qual o erro percentual máximo possível no volume calculado? Nas questões de 8 a 10, determine o vetor gradiente das seguintes funções nos pontos indicados: 8 z = x 2 y + 3xy + y 2, P (0,3)

109 UNIDADE 2 TÓPICO p 9 f (x,y) = xy sen (x + y), P = 2, 0 10 f (x,y,z) = xy + xz + yz, P ( 1,3,5) 10xy 11 Se T (x,y) = é a temperatura em graus Celsius, sobre uma lâmina x 2 + 4y metálica, x e y medidos em cm, determine a direção de crescimento máximo de T a partir do ponto (1,1) e a taxa máxima de crescimento de T, nesse ponto.

110 102 TÓPICO 2 UNIDADE 2

111 UNIDADE 2 TÓPICO 3 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 INTRODUÇÃO Uma aplicação importante de cálculo diferencial de várias variáveis, é a da otimização de funções. Otimizar uma função significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo. No Caderno de Cálculo Diferencial e Integral, você já estudou como encontrar os máximos e mínimos de funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, temos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos. Vamos fazer algo parecido neste tópico para as funções de várias variáveis. Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis. 2 EXTREMOS LOCAIS Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto, o modelo de luxo e o modelo padrão, e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padrão seja dado pela função C (x, y). Como determinar o nível de produção x = a e y = b para o qual o custo é mínimo? Iniciaremos definindo os extremos locais que são chamados de máximos e mínimos de uma função. Definição Sejam A R 2 aberto, P (x 0, y 0 ) A, f : A R uma função. i) P (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo local de f se f (x, y) f (x 0, y 0 ) para todo (x, y) numa vizinhança de (x 0, y 0 );

112 104 TÓPICO 3 UNIDADE 2 ii) P (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f se f (x, y) f (x 0, y 0 ) para todo (x, y) numa vizinhança de (x 0, y 0 ). Definição Dizemos que um ponto P (x 0, y 0 ) do domínio de uma função f (x, y) é um ponto crítico (ou estacionário) se: i) f x (x, y ) = 0 e f 0 0 y (x, y ) = 0, ou 0 0 ii) pelo menos uma das derivadas parciais f x (x, y f ), 0 0 y (x, y ) não existe. 0 0 O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos críticos, assim como acontece em função de uma variável. Teorema Se f (x, y) tem um mínimo ou máximo local em (x 0, y 0 ), então (x 0, y 0 ) é um ponto crítico de f (x, y). Geometricamente, um ponto é ponto crítico de uma função num ponto quando o gráfi co da função nesse ponto não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos críticos de uma função de duas variáveis. Exemplo 1 Encontre os pontos críticos da função f (x, y) = 9x 3 + y3 3 4xy. queremos encontrar os pontos críticos da função f (x, y) = 9x 3 + y , devemos igualar as derivadas parciais a zero. 4xy. Aplicando a Definição Calculando as derivadas parciais, temos f x = 27x2 4xy e f y = y2 4xy. Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equações obtemos, 27x 2 4xy = 0 y 2 4xy = 0 Isola-se x na segunda equação x = y2 4 e substitui na primeira equação 27x 2 4xy = 0 27 y xy = 0

113 UNIDADE 2 TÓPICO y 4 64y = 0 y (27y 3 64) = 0 y 1 = 0 ou 27y 3 64 = 0 y 3 = y 2 = 4 3 Substituímos os valores de y na segunda equação x = y2 4 x 1 = 02 4 x = y2 4 x 2 = x 1 = 0 x 2 = 4 9 Portanto, (0,0) e 4 4 9, 3 são os pontos críticos de f (x, y). NOTA! Lembre-se de que já estudamos gradiente de uma função que f (x,y) = f x, f y f (x,y) em. Então na Defi nição poderíamos dizer que P (x 0,y 0 ) é um ponto crítico se f (x 0,y 0 ) = 0 ou se f (x,y) não existe. Exemplo 2 Mostre que f (x,y) = x 2 + y 2 xy + x tem um ponto crítico. Segundo a Defi nição 3.2.2, devemos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos, se existem.

114 106 TÓPICO 3 UNIDADE 2 As derivadas parciais são f x = 2x y + 1 e f y = x + 2y. Então, Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equações temos, 2x y + 1 = 0 x + 2y = 0 agora, resolvemos o sistema pelo método da adição. y = 1 3 Assim, x = 2 3 e y = Existe apenas um ponto crítico P 3, 1. 3 Para sabermos se este ponto crítico é um ponto máximo ou mínimo da função podemos aplicar a Defi nição o que pode ser complicado em algumas situações. Porém, podemos usar o recurso gráfi co tanto da superfície como das curvas de nível (mapa de contornos), através de um software computacional como veremos na Figura 37. FIgUrA 36 gráfico DA FUNÇÃO f (x,y) = x 2 + y 2 xy + x. FIgUrA 37 MAPA DE CONTOrNOS DE f (x,y) = x 2 + y 2 xy + x. FONTE: O autor FONTE: O autor

115 UNIDADE 2 TÓPICO Pelo gráfi co da função (Figura 36) é possível dizer que o ponto P 2 3, 1 é 3 mínimo local, e na Figura 37 as curvas de nível são curvas fechadas que circundam o ponto P indicando assim um extremo local. Acabamos de ver que é possível determinar o tipo de ponto crítico a partir do mapa de contorno, então podemos classifi car os pontos críticos através das seguintes características gráfi cas: i) se P (x 0, y 0 ) é um mínimo local, então as curvas de nível próximas de P são curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x, y) cresce em todas as direções a partir de P (Figura 37); ii) se P (x 0, y 0 ) é um máximo local, então as curvas de nível próximas de P são curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x, y) decresce em todas as direções a partir de P; iii) se P (x 0, y 0 ) é um ponto de sela, então as curvas de nível de f (x, y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhança de P em quatro regiões. O mapa de contornos mostra que f (x, y) é decrescente na direção x e crescente na direção y (Figura 38); iv) se P (x 0, y 0 ) é um ponto de sela outra situação, então as curvas de nível em (x 0, y 0 ) tem uma forma padrão número oito (Figura 39). FIgUrA 38 MAPA DE CONTOrNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA FIgUrA 39 MAPA DE CONTOrNOS PONTO DE SELA PADrÃO NÚMERO OITO FONTE: O autor FONTE: O autor

116 108 TÓPICO 3 UNIDADE 2 Segue da Definição e do Teorema que os extremos relativos ocorrem nos pontos críticos. Contudo, uma função não precisa ter um extremo relativo em cada ponto crítico, isto quer dizer que um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante. Um ponto crítico que não é um máximo relativo nem um mínimo relativo é chamado de ponto de sela. NOTA! Nas funções de duas variáveis, não temos pontos de inflexão, como em funções de uma variável. Podemos ter um ponto de sela, quando numa direção a função atinge um máximo num ponto e em outra direção, um mínimo no mesmo ponto. O nome se dá pela semelhança com uma sela de cavalo: máximo na direção das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e mínimo na direção longitudinal (dorso) do cavalo. Em seguida, vamos estudar um método que permite classificar os pontos críticos com critérios bem definidos. Mas, antes definiremos a hessiana. Definição Sejam A C 2. A matriz hessiana de f, representada por H(f), é dada por R 2 aberto, P (x 0, y 0 ) A, f : A R uma função de classe Exemplo 3 Seja f (x,y) = 3x 2 + y 2. Calcule a matriz hessiana de f no ponto (0,0). Pela Definição 3.2.3, calculamos as derivadas parciais no ponto dado. f x = 6x, f y = 2y, 2 f x 2 = 6, 2 f x y = 0, 2 f y x = 0 e 2 f y 2 = 2 Portanto, H (0,0) = é a matriz hessiana de f no ponto (0,0). Teorema (Teste da segunda derivada) Sejam A R 2 aberto, P (x 0, y 0 ) A, f : A R uma função de classe C 2. Suponhamos que P (x 0, y 0 ) seja um ponto crítico da função f.

117 UNIDADE 2 TÓPICO i) Se H (x 0,y 0 ) > 0 e 2 f x (x,y ) > 0, então (x,y ) é um ponto mínimo local de f ii) Se H (x 0,y 0 ) > 0 e 2 f x (x,y ) < 0, então (x,y ) é um ponto máximo local de f iii) Se H (x 0,y 0 ) < 0, então (x 0,y 0 ) é um ponto de sela. iv) Se H (x 0,y 0 ) = 0, nada se conclui. Para facilitar o entendimento e visualizar a classificação dos pontos críticos apresentamos o gráfi co e um texto explicativo. Os pontos P e q são pontos de máximo, porque qualquer deslocamento em sua vizinhança irá descer. O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e Sq sobe, mas no sentido SL ou ST desce. FONTE: CANESIN, Wilson. Funções de várias variáveis Notas de aula parte II. Disponível em: < Acesso em: 28 out FIgUrA 40 gráfico DE SUPErFÍCIE FONTE: Disponível em: < setores/72/ifvv01.pdf>. Acesso em: 28 out Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema Exemplo 4 Considere a função f (x,y) = x 2 + y 2 xy + x. Determine, caso existam, os pontos de máximo e os pontos de mínimo local da função. Vimos no Exemplo 2 que o ponto 2 3, 1 é o único ponto crítico de f. Para classifi cá-lo 3

118 110 TÓPICO 3 UNIDADE 2 vamos usar o Teorema Calculando as derivadas parciais de segunda ordem. Temos 2 f x = 2, 2 f 2 x y = 1, 2 f y x = 1 e 2 f = 2. Então, 2 y Como H 2 3, 1 > 0 e 2 f 3 x 2 2 3, 1 > 0, segue que 2 3 3, 1 é um ponto 3 mínimo local de f. Exemplo 5 Encontre os máximos e mínimos de f (x,y) = 1 3 x y3 x 4y + 20, caso existam. Vamos encontrar inicialmente os pontos críticos de f, fazendo f x = 0 e f y = 0. f x = x2 1 e f y = y2 4 x 2 1 = 0 y 2 4 = 0 Resolvendo o sistema, temos os pontos críticos (1,2), (1, 2), ( 1,2) e ( 1, 2). Calculando as derivadas parciais de segunda ordem. Temos 2 f x = 2x, 2 f 2 x y = 0, 2 f y x = 0 e 2 f y = 2y. 2 Agora, calculamos o determinante hessiano. Então, Para classifi car os pontos críticos, usaremos o Teorema

119 UNIDADE 2 TÓPICO Vamos analisar o ponto (1,2). Temos H (1,2) > 0 e 2 f (1,2) > 0, logo (1,2) é um ponto mínimo local de f. 2 x Vamos analisar o ponto (1, 2). Temos H (1, 2) < 0, logo (1, 2) é um ponto de sela de f. Vamos analisar o ponto (1, 2). Temos H ( 1,2) < 0, logo ( 1,2) é um ponto de sela de f. Vamos analisar o ponto ( 1, 2). Temos H ( 1, 2) > 0 e 2 f ( 1, 2) < 0, logo ( 1, 2) é um ponto máximo local de f. 2 x Os gráficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11, ilustram os cálculos apresentados anteriormente. FIGURA 41 GRÁFICO DA SUPERFÍCIE DE f. FIGURA 42 MAPA DE CONTORNOS DE f. FONTE: O autor FONTE: O autor 3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximização e minimização de funções de várias variáveis. Como, por exemplo, em problemas geométricos, físicos, econômicos, entre outros.

120 112 TÓPICO 3 UNIDADE 2 Exemplo 6 Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de 32 cm 3 e que requer uma quantidade mínima de material para a sua construção. x: comprimento da caixa (cm) y: largura da caixa (cm) z: altura da caixa (cm) A: área da superfície da caixa (cm 2 ) V: volume da caixa (cm 3 ) V = xyz xyz = 32 z = 32 xy queremos minimizar a área de superfície. A = xy + 2xz + 2yz com a restrição do volume. Substituindo z obtemos A = xy + 2x 32 xy + 2y 32 xy A(x,y) = xy + 64 y + 64 x, x > 0 e y > 0. Como a região é aberta, o mínimo deve ocorrer num ponto crítico de A. Passemos então a determiná-los: A x = y 64 x 2 A y = x 64 y 2 y 64 x 2 = 0 x 64 y 2 = 0 y = 64 x 2 x x 2 2 = 0 y = 4 x x4 64 = 0 x 1 x3 64 = 0 x = 0 e x = 4

121 UNIDADE 2 TÓPICO Assim, o ponto (4,4) é ponto crítico de A. Usando o teste da segunda derivada (Teorema 3.2.2), obtemos: 2 A x = 128, 2 A 2 x 3 x y = 1, 2 A y x = 1, 2 f y = y 3 Calculando o determinante hessiano, temos H (4,4) = = 4 1 = 3 Daí, H (4,4) > 0 e 2 A (4,4) > 0, portanto o ponto (4,4) é o mínimo local de A. 2 x Logo, a caixa que usa o mínimo de material tem altura (z = 2) e base quadrada (x = y = 4). Exemplo 7 A função T (x,y) = x 2 + y 2 8x + 5y + 20 dá a temperatura, em graus Celsius, T de cada ponto (x, y) de uma chapa circular (exceto as bordas, que é constituída de outro material) de raio 6 cm, localizada no centro do plano xy. Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa, se existir. A função T (x,y) = x 2 + y 2 8x + 5y + 20 tem domínio D(T) = {(x,y) x 2 + y 2 < 36}. Calculando as derivadas parciais de primeira ordem, temos: T x = 2x 8 e T y = 2y + 5 2x 8 = 0 2y + 5 = 0 resolvendo o sistema, temos o único ponto crítico 4, 5 2 e T 4, 5 2 = 9 4 = 2,25 C. Calculando as derivadas parciais de segunda ordem. Temos: 2 T x 2 = 2, 2 T x y = 0, 2 T y x = 0, 2 T y 2 = 2.

122 114 TÓPICO 3 Agora, calculamos o determinante hessiano. Então, UNIDADE 2 H 4, 5 2 = = 4. Pelo Teorema 3.2.2, temos H 4, 5 2 > 0 e 2 T x 2 > 0, assim, o ponto 4, 5 2 é mínimo. Portanto, o ponto mais frio da chapa tem temperatura de 2,25ºC e está localizado no ponto 4, 5 2. Exemplo 8 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12 cm de largura, que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade máxima. A área da seção da calha é formada pela área do retângulo, mais a área dos dois triângulos, conforme a fi gura. A = 2 (triângulo) + retângulo A = 2 x cos θ x sen θ x x sen θ A = f (x,θ) = x 2 cos θ sen θ + 12x sen θ 2x 2 sen θ obtendo Agora vamos estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. Deriva-se a função, f x = 2x sen θ cos θ + 12x sen θ 4x sen θ f y = x2 sen 2 θ + x 2 cos 2 θ + 12x cos θ 2x 2 cos θ

123 UNIDADE 2 TÓPICO Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema, temos 2x sen θ cos θ + 12x sen θ 4x sen θ = 0 2x cos θ = 4x 12 cos θ = 4x 12 2x cos θ = 2 6 x x 2 sen 2 θ + x 2 cos 2 θ + 12x cos θ 2x 2 cos θ = 0 x 2 ( sen 2 θ + cos 2 θ) + 12x cos θ 2x 2 cos θ = 0 x 2 cos 2θ + 12x cos θ 2x 2 cos θ = 0 x (2 cos 2 θ 1) 2x cos θ + 12 cos θ = 0 x (2 cos 2 θ 2 cos θ 1) + 12 cos θ = 0 Substituímos o valor cos θ = 2 6 x na segunda equação e resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 6 x = 1 2. cos θ = 1 2 θ = π 3 rad ou θ = 60 O ponto (4,60 ) encontrado parece ser bastante razoável, omitiremos o teste da segunda derivada, também por causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área A para valores de x e θ.

124 116 TÓPICO 3 UNIDADE 2 x θ A Então, pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade é máxima no ponto (4,60 ). FONTE: Disponível em: <www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/72/ifvv01.pdf.>. Acesso em: 30 maio 2012.

125 UNIDADE 2 TÓPICO RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico, você estudou alguns conceitos e teoremas importantes: Dizemos que P (x 0,y 0 ) é um ponto crítico de f (x,y) se f x (x, y ) = f 0 0 y (x, y ) = 0 ou se não 0 0 existir uma das duas derivadas parciais. Definimos a matriz hessiana de f (x,y) por. O Teorema (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificação do ponto crítico de f (x,y). Suponhamos que P (x 0,y 0 ) seja um ponto crítico da função f. i) Se H (x 0,y 0 ) > 0 e 2 f x (x,y ) > 0, então (x,y ) é um ponto mínimo local de f ii) Se H (x 0,y 0 ) > 0 e 2 f x (x,y ) < 0, então (x,y ) é um ponto máximo local de f iii) Se H (x 0,y 0 ) < 0, então (x 0,y 0 ) é um ponto de sela. iv) Se H (x 0,y 0 ) = 0, nada se conclui.

126 118 TÓPICO 3 UNIDADE 2 Nos exercícios 1 e 2, encontre os pontos críticos das funções dadas. 1 f (x,y) = x 2 + y 2 + xy 6x f (x,y) = x 2 + 8y 4 + xy 3y 2 y 3 Nos exercícios 3 a 7, encontre os pontos críticos e os extremos locais das funções dadas 3 f (x,y) = x 3 + y 3 6xy 4 f (x,y) = 1 3 x x3 + 4xy y 2 5 f (x,y) = x 3 + y 2 6xy + 6x + 3y 2 6 f (x,y) = 4x 3x 3 2xy 2 7 f (x,y) = x 4 + y 4 4xy 8 A temperatura T ( C) em cada ponto de um painel plano é dada pela equação T (x,y) = 16x x 40y 2. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região. 9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado R$ 0,30 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 0,40 a garrafa. O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, venderam 70 5x + 4y garrafas da marca local e x + 7y garrafas da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro?

127 UNIDADE 2 TÓPICO 4 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1 INTRODUÇÃO Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida f (x) dx resulta em outra função, denominada função primitiva de f (x). Estudamos também que a integral definida é dada por, desde que tal limite exista. O valor calculado na integral definida, quando f (x) 0, tem como interpretação imediata o cálculo da área da região compreendida entre o eixo x, o gráfico de f (x) e as retas x = a e x = b. Neste tópico, vamos estudar a integral dupla definida, cuja interpretação geométrica, quando f (x,y) 0, corresponde ao cálculo do volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x,y) e inferiormente pela região definida sobre o plano xy. 2 INTEGRAL DUPLA 2.1 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETÂNGULO Definição (Volume sob uma superfície) Se f é uma função de duas variáveis, contínua e não negativa, numa região R do plano xy, então o volume do sólido compreendido entre a superfície z = f (x,y) e a região R é definido por.

128 120 TÓPICO 4 UNIDADE 2 A ideia envolvida na Definição é a mesma empregada na integral definida simples. Assim, a região R é dividida em sub-retângulos, faremos isso com o intervalo em x ( x) e com o intervalo y ( y), formamos os sub-retângulos R ij cada um com área A = x y. FIGURA 43 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA, QUANDO f (x,y) 0 FONTE: Disponível em: < INTEGRAL_DUPLA.doc>. Acesso em: 30 maio Definição A integral dupla de f sobre o retângulo R é se esse limite existir. A soma presente nas duas definições acima é chamada de soma dupla de Riemann e é usada como uma aproximação do valor da integral dupla. 2.2 INTEGRAIS ITERADAS Nas integrais duplas que estudaremos neste tópico, serão consideradas apenas as integrais duplas definidas. E na sua resolução, aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo. O cálculo da integral dupla é muito complicado pela definição, então veremos como calcular a integral dupla através da integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funções de uma variável real. A expressão iterada quer dizer repetida.

129 UNIDADE 2 TÓPICO UNI Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais. Suponha que f seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo R = [a,b]x[c,d]. d A integral f (x,y) dy significa que a variável x é mantida fixa (como constante) e f (x,y) é c integrado em relação a variável y, com y variando de c até d. d Como f (x,y) dy é um número que depende do valor de x ele define uma função de x, c d F (x) = f (x,y) dy. c Integrando a função A(x) em relação a variável x de a até b, obtemos. IMPORTANTE! Lembre-se, quando a integral é definida, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo f (x) dx = F(b) F(a). b a Exemplo 1 Calcular a integral. Resolvendo a integral dupla como integral iterada, temos. Vamos resolver primeiro a integral que está dentro dos colchetes, considerando como constante a variável x, já que a função está sendo integrada primeiramente em relação a variável y (pois a diferencial nesta integral é dy).

130 122 TÓPICO 4 UNIDADE 2 2 Assim, xy 2 dy = 3x. 1 Agora, substituímos este resultado na integral final. E verifique que a integral que falta resolver é uma integral apenas na variável x. Portanto,. Exemplo 2 Calcular a integral. Resolvendo a integral dupla como integral iterada, temos Vamos resolver primeiro a integral que está dentro dos colchetes, considerando como constante a variável y, já que a função está sendo integrada primeiramente em relação a variável x (pois a diferencial nesta integral é dx).

131 UNIDADE 2 TÓPICO Assim, (x + y + 1) dx = 2y Agora, substituímos este resultado na integral final. E verifique que a integral que falta resolver é uma integral apenas na variável y. = 1 Portanto,. Teorema (Teorema de Fubini) Se f for contínua no retângulo R = [a,b]x[c,d], então

132 124 TÓPICO 4 UNIDADE 2 UNI Verifique a aplicação do teorema de Fubini no Exemplo INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIÕES GENÉRICAS por D, onde D Vamos considerar funções contínuas definidas sobre regiões fechadas, que denotaremos R 2. Convém separarmos a região plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II. Uma região plana D é dita do tipo I, se está contida entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja D = {(x,y)/ a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} onde g 1 (x) e g 2 (x) são contínuas em [a,b]. FIGURA 44 ÁREA ENTRE CURVAS FONTE: O autor

133 UNIDADE 2 TÓPICO Definição Se f é contínua em uma região D do tipo I tal que D = {(x,y)/ a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} então Exemplo 3 Escreva f (x,y) da sobre a região D que está compreendida entre o gráfico das funções D y = 1 x 2 e y = 1 x. Vamos escrever esta integral considerando a região do tipo I. Assim, g 1 (x) = 1 x e g 2 (x) = 1 x 2. Então usaremos

134 126 TÓPICO 4 FIGURA 45 ÁREA ENTRE CURVAS UNIDADE 2 FONTE: O autor Uma região plana D é dita do tipo II, se está contida entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja D = {(x,y)/ c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} onde h 1 (y) e h 2 (y) são contínuas em [c,d]. FIGURA 46 ÁREA ENTRE CURVAS FONTE: O autor

135 UNIDADE 2 TÓPICO Definição Se f é contínua em uma região D do tipo II tal que D = {(x,y)/ c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} então Exemplo 4 Escreva f (x,y) da sobre a região D que está compreendida entre o gráfico das funções D y = 1 x 2 e y = 1 x. Vamos escrever esta integral considerando a região do tipo II. FIGURA 47 ÁREA ENTRE CURVAS FONTE: O autor Assim, h 1 (y) = 1 y e h 2 (y) = 1 y 2. Então usaremos

136 128 TÓPICO 4 UNIDADE 2 Exemplo 5 Calcule f (x,y) da sobre a região D compreendida entre y = 1 2 x, y = x, x = 2 e x = 4. D Conforme pode ser observada a região no gráfico, convêm aplicar o tipo I. FIGURA 48 ÁREA ENTRE CURVAS FONTE: O autor Assim,.

137 UNIDADE 2 TÓPICO = 11 6 Portanto, f (x,y) da = 11 6 D. Exemplo 6 Calcule f (xy y 3 ) da sobre a região D mostrada no gráfico abaixo. D Conforme pode ser observada a região no gráfico, vamos aplicar o tipo II. A projeção da região D sobre o eixo dos y dá o intervalo 0 y 1 e as funções tem que estar na variável y. Então, h 1 (y) = y 4 e h 2 (y) = y 1 2. FIGURA 49 ÁREA ENTRE CURVAS FONTE: O autor

138 130 TÓPICO 4 UNIDADE 2 Assim,. UNI Você estudou integração no final do Caderno de Cálculo Diferencial e Integral e verificou que é possível calcular a área entre duas curvas utilizando a integral simples. Vamos ver agora que também é possível calcular a área entre duas curvas utilizando a integral dupla.

139 UNIDADE 2 TÓPICO Exemplo 7 Calcule a área compreendida entre as curvas y = 1 2 x, y = x, x = 2 e x = 4. A área compreendida entre as curvas dadas é a mesma mostrada no Exemplo 5. Assim, aplicamos o a integral dupla do tipo I. Para a montagem da integral o procedimento é o mesmo feito no exemplo 5. FIGURA 50 ÁREA ENTRE CURVAS FONTE: O autor

140 132 TÓPICO 4 UNIDADE 2 Portanto, a área definida entre as curvas é dada por. IMPORTANTE! Concluindo a ideia do cálculo da área entre curvas, verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 2.3. A única diferença é que devemos considerar a função integrante como a constante unitária, isto é, f (x,y) = 1. Exemplo 8 Calcule a área entre as curvas y = 5 x 2 e y = x + 3. A área compreendida entre as curvas dadas acima está representada a seguir. Assim, aplicamos o a integral dupla do tipo I. Para a montagem da integral o procedimento é o mesmo feito anteriormente. Precisamos encontrar os limites numéricos da variável x igualando a variável y. FIGURA 51 ÁREA ENTRE CURVAS FONTE: O autor

141 UNIDADE 2 TÓPICO = 9 2 Portanto, a área definida entre as curvas é dada por 9 2. LEITURA COMPLEMENTAR GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN ( ) Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz, Alemanha. Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instrução estudando em Berlim e Göttingen, mas em condições muito modestas por causa de sua saúde frágil e de sua timidez. Ainda no ensino secundário estudou os trabalhos de Euler e Legendre. Aos 19 anos, Riemann foi, com todo o apoio do pai, para a Universidade de Göttingen estudar teologia com o objetivo de tornarse clérigo. Mais tarde, pediu permissão ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemática, transferindo-se, um ano depois, para a Universidade de Berlim, onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi. Em 1849, retornou a Göttingen, onde obteve o grau de doutor em Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funções complexas. Nessa tese encontram-se as chamadas equações diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas, porém, antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma função de variável complexa e o produtivo conceito de superfície de Riemann, que introduziu considerações topológicas na análise. Três anos mais tarde, foi nomeado Privatdozent, cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadêmica. Com a morte de Gauss em 1855, Dirichlet foi chamado a Göttingen

142 134 TÓPICO 4 UNIDADE 2 como seu sucessor e passou a incentivar Riemann, primeiro com um pequeno salário e depois com uma promoção a professor assistente. Em 1859, morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituí-lo. O período de 1851 a 1859, do ponto de vista econômico, foi o mais difícil da vida de Riemann, mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos. Riemann era um matemático de múltiplos interesses e mente fértil, contribuindo não só para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos números como também para o da análise matemática. Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma função através da definição do que atualmente chamamos Integral de Riemann. Durante uma conferência-teste, generalizou todas as geometrias, euclidianas e não euclidianas, estabelecendo a Geometria Riemanniana, que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein. Em 1859, publicou seu único trabalho em Teoria dos Números: um artigo dedicado ao Teorema dos Números Primos, no qual partindo de uma identidade notável descoberta por Euler, chegou a uma função que ficou conhecida como Função Zeta de Riemann. Nesse artigo, provou várias propriedades importantes dessa função, e enunciou várias outras sem prová-las. Durante um século, depois de sua morte, muitos matemáticos tentaram prová-las e acabaram criando novos ramos da análise matemática. Riemann morreu de tuberculose, no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca, na Itália, durante a última de suas várias viagens para fugir do clima frio e úmido do norte da Alemanha. FONTE: Disponível em: < Acesso em: 12 jun

143 UNIDADE 2 TÓPICO RESUMO DO TÓPICO 4 Estudamos no Tópico 4 as integrais múltiplas. Primeiramente, vimos que o procedimento do cálculo destas integrais é feito por iteração, isto é, repetição. Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora. E substituindo os limites de integração pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Depois estudamos como calcular áreas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos. Projetando a região sobre o eixo dos x, que chamamos de tipo I e escrevemos a integral como. Projetando a região sobre o eixo dos y, que chamamos de tipo II e escrevemos a integral como. E finalizando, também estudamos a possibilidade de calcular a área entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima, onde a função integrante é dada por f (x,y) = 1.

144 136 TÓPICO 4 UNIDADE 2 Calcule a integral, onde R : 0 x 2, 1 y 4. 1 x 2 dxdy R 2 xy 2 dxdy R Calcule a integral, onde R : 0 x 2, 0 y x. 3 x 3 y dxdy R 4 e x + y dxdy R 5 Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada por xy = 2, y = 1 e y = x + 1. Calcule, por integração dupla, a área da região limitada determinada pelo par de curvas dado. 6 x 2 = 4y e 2y x 4 = 0 7 y = x e x = 4y y 2 8 x + y = 5 e xy = 6.

145 UNIDADE 2 TÓPICO Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da Unidade 2, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade.

146 138 TÓPICO 4 UNIDADE 2

147 UNIDADE 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Objetivos de aprendizagem Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: conhecer os principais conceitos que envolvem as equações diferenciais; identificar os diferentes tipos de equações diferenciais; diferenciar as equações diferenciais; resolver as equações diferenciais. PLANO DE ESTUDOS Na Unidade 3 estudaremos as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e algumas equações diferenciais de segunda ordem. Neste intuito, a unidade será dividida em três tópicos. O Tópico 1 inicia com a definição de equações diferenciais, ordem e classificação. Na sequência serão apresentadas as equações diferenciais ordinárias de primeira ordem separáveis, lineares e exatas e seus respectivos métodos de resolução. No tópico 2, destacaremos as equações diferenciais de primeira ordem que envolvem substituições em suas resoluções, em particular as equações de Bernoulli e as equações homogêneas. Finalizamos a unidade com o Tópico 3, estudando as equações diferenciais lineares de segunda ordem. Nesse tópico, nosso estudo se restringirá às equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. TÓpico 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM TÓpico 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM substituições TÓpico 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE segunda ORDEM

148

149 UNIDADE 3 TÓPICO 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1 INTRODUÇÃO Neste tópico, vamos abordar as características de uma equação diferencial quanto ao seu tipo, a sua ordem e a sua linearidade. Na sequência, discutiremos os processos de resolução de uma equação diferencial de primeira ordem, segundo sua classificação em separáveis, lineares ou exatas. Vejamos alguns exemplos de equações diferenciais: 2 definições e terminologias Uma equação que relaciona uma função desconhecida a uma ou mais de suas derivadas é chamada de uma equação diferencial. As equações são classificadas quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.

150 142 TÓPICO 1 UNIDADE TIPOS DE UMA EqUAÇÃO DIFErENCIAL Uma equação diferencial pode ser classifi cada como ordinária ou parcial. Se a função envolvida for uma função de somente uma variável, dizemos que a equação é ordinária (EDO). Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada parcial, então é denominada de equação diferencial parcial (EDP). Vejamos alguns exemplos: i) u y = 5 u, u = u(x, y) x parcial ii) d 2 y dx 2 6 dy dx + 8y = 0 iii) 2 z x + 2 z 2 y 2 z = 0, z = z(x, y) 2 y parcial ordinária 2.2 OrDEM DE UMA EqUAÇÃO DIFErENCIAL quanto à ordem uma equação diferencial pode ser de 1ª, de 2ª,..., de n-ésima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equação. i) y 3xy = x 1 ordem ii) y + y = cos t 2 ordem iii) dy dx 2 + 3y = 2 1 ordem iv) d 2 y dx 2 6 dy dx + 8y = 0 v) d 3 y dt 3 t dy dt + (t 2 1)y = e t vi) xy 5y = 0 2 ordem 3 ordem 1 ordem

151 UNIDADE 3 TÓPICO Linearidade de uma Equação Diferencial Uma equação diferencial é dita linear se a função e suas derivadas envolvidas na equação forem de primeiro grau. Caso contrário, dizemos que a EDO é não linear. Vejamos alguns exemplos: i) dy dx + 3y = 2 ii) dy dx + sen y = 2 iii) d 3 y dx x dy + 7y = 3 ex linear dx linear não linear iv) d 3 y dt 3 + dy dt + t (y 2 1) = e t não linear 2.4 Solução de uma Equação Diferencial Uma função y = y(x) é solução de uma equação diferencial em um dado intervalo I, se a equação diferencial for satisfeita para todo x I, ou seja, se y(x) e suas derivadas satisfizerem à equação diferencial neste intervalo para todo x I. Exemplo 1 Verifique se a função y(x) = e x 2 é solução de y (x) + 2xy = x. Dado a função y(x) = e x 2, vamos encontrar a derivada de primeira ordem. y (x) = 3 2 ( 2x)e x 2 y (x) = 3xe x 2 Agora, substituímos y e y na equação diferencial y (x) + 2xy = x.

152 144 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Então, a função y(x) = e x 2 satisfaz à equação diferencial e, portanto y é solução da equação diferencial dada. Exemplo 2 Verifique se a função y(x) = e 2x é uma solução da equação diferencial d 2 y dx 5 dy + 6y = 0. 2 dx Dado a função y(x) = e 2x, vamos encontrar as derivadas de primeira e segunda ordem. dy dx = 2e2x e d 2 y dx 2 = 4e2x Agora, vamos substituí-las na equação diferencial d 2 y dx 5 dy + 6y = 0. 2 dx 4e 2x 5 2e 2x + 6e 2x = 0 4e 2x 10e 2x + 6e 2x = 0 De fato, a função y(x) = e 2x satisfaz à equação diferencial. Exemplo 3 Verifique se a função y(x) = x(in x) 2 + 7x é solução da equação diferencial xy (x) y(x) = 2xh x. Dado a função y(x) = x(in x) 2 + 7x, vamos encontrar a derivada de primeira ordem. Agora, substituímos y e y na equação diferencial xy (x) y(x) = 2xh x, obtendo:

153 UNIDADE 3 TÓPICO x In x = 2x In x Portanto, a função y(x) = x(in x) 2 + 7x satisfaz à equação diferencial Solução geral Dada uma equação diferencial, dizemos que a sua solução é uma função que satisfaz a identidade proposta por esta equação. Esta função, expressa por y = F(x) + c, contém uma constante arbitrária, oriunda do processo de integração. Então, dizemos que y = F(x) + c, c R é uma família de soluções da EDO e, assim, para cada valor arbitrário de c temos uma solução (função) diferente para a mesma EDO. Porém, observe que derivando-as obteremos as mesmas funções, tendo em vista que a derivada de uma constante é zero. Por exemplo, dada a equação diferencial y (x) = 5x 2, sua solução geral é dada por y(x) = 5 2 x2 2x + c. Vamos considerar c = 1 e c = 3, então y 1 (x) = 5 2 x2 2x 1 e y 2 (x) = 5 2 x2 2x + 3. Agora vamos derivar estas soluções (funções) y 1 (x) = 5x 2 e y 2 (x) = 5x 2 podemos ver que as derivadas são iguais. Daí o fato da solução y = F(x) + c, c R ser denominada de solução geral da EDO Solução particular A solução deduzida da solução geral atribuindo-se valores particulares à constante arbitrária c é chamada de solução particular. Quando uma equação diferencial é utilizada como um modelo matemático em alguma aplicação, há normalmente uma condição inicial y(x 0 ) = y 0 que torna possível calcular a constante arbitrária c, que aparece na solução geral.

154 146 TÓPICO 1 UNIDADE 3 NOTA! Um problema com uma equação diferencial satisfazendo alguma condição adicional (por exemplo, y(x 0 ) = y 0 é denominado problema do valor inicial (PVI). Exemplo 4 Considerando dy dx = 2x, então y = x2 + c é uma solução geral da EDO, c R. Vamos encontrar a solução particular, utilizando a condição adicional y(3) = 4. Desse modo, a partir da solução geral y = x 2 + c, atribuímos a x o valor 3 e a y o valor 4, determinando assim a constante c: y = x 2 + c 4 = c 4 = 9 + c c = 5 Substituindo o valor de c na solução geral obtemos a solução particular da EDO: y = x 2 5. ESTUDOS FUTUROS! Caros acadêmico(a)! Leia com bastante atenção o texto a seguir sobre as EDOs. Assim, vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais são as suas finalidades. O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer Vamos imaginar por um momento que temos uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal dy = f (x,y) e, além disso, que não podemos encontrar nem inventar dx um método para resolvê-la analiticamente. Essa situação não é tão ruim quanto parece, uma

155 UNIDADE 3 TÓPICO vez que muitas vezes é possível juntar informações úteis sobre a natureza das soluções, diretamente da própria equação diferencial. Por exemplo, já vimos que, quando f (x,y) e f satisfazem determinadas condições de continuidade, as questões qualitativas sobre a y existência e a unicidade de soluções podem ser respondidas. Veremos nesta seção que outras questões qualitativas sobre propriedades da solução Como uma solução se comporta nas proximidades de um determinado ponto? Como uma solução se comporta quando x? podem frequentemente ser respondidas quando a função f depende somente da variável y. Vamos começar, porém, com um conceito simples de cálculo: a derivada dy de uma função dx diferenciável y = y(x) dá as inclinações das retas tangentes em pontos sobre seu gráfico. Inclinação Como uma solução y = y(x) de uma equação diferencial de primeira ordem dy dx = f (x,y) é necessariamente uma função diferenciável em seu intervalo I. Assim, a curva integral correspondente em I não deve ter interrupções e deve ter uma reta tangente em cada ponto (x,y(x)). A inclinação da reta tangente em (x,y(x)) sobre uma curva integral é o valor de sua derivada primeira dy nesse ponto e isso é sabido da equação diferencial: f (x,y(x)). Suponha dx agora que (x,y) representa qualquer ponto em uma região do plano xy sobre o qual a função f está definida. O valor f (x,y) que a função atribui ao ponto representa a inclinação de uma reta ou, como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear. Por exemplo, consideramos a equação dy = 0,2xy, onde f (x,y) = 0,2xy. No ponto, de coordenadas (2, dx 3), por exemplo, a inclinação de um elemento linear é f (2,3) = 1,2. A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinação positiva passando por (2,3). Conforme mostrado na figura (b), se uma curva integral também passar por (2,3), fará isto tangenciando esse segmento de reta; em outras palavras, o elemento linear é uma miniatura da reta tangente nesse ponto. Figura 1.1.a: elemento linear em um ponto figura 2 Figura 1.1.b: o elemento linear é uma tangente à curva integral que passa pelo ponto

156 148 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Campos de Direções Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (x,y) no plano xy e em cada ponto (x,y) desenharmos um elemento linear com a inclinação (x,y), a coleção de todos os elementos lineares será chamada de campo de direções ou campo de inclinações da equação diferencial dy = f (x,y). Visualmente, o campo de direções dx sugere a aparência, ou forma, de uma família de curvas integrais da equação diferencial e, consequentemente, pode ser possível vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluções por exemplo, regiões no plano nas quais uma solução exibe um comportamento não usual. Uma única curva integral que segue seu caminho em um campo de direções deve acompanhar o padrão de fluxo do campo; ela é tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha. FONTE: Zill (2003, p ) 3 Equação Diferencial Separável Estudaremos alguns tipos de equações diferenciais que requerem métodos distintos de resolução. Vamos iniciar pelas equações diferenciais separáveis, caracterizando-as e determinando seu processo de resolução. Definição A equação y = f (x,y) será separável se f puder ser expressa como um produto de uma função p(x) e uma função q(y). Assim, a equação diferencial terá a forma y = p(x) q(y) ou dy = p(x) q(y) ou dx y 1 q(y) = p(x), onde p(x) e q(y) são contínuas em seu domínio.

157 UNIDADE 3 TÓPICO Método de resolução da equação diferencial Considerando a equação diferencial dada, o primeiro passo para resolvê-lo é separar as variáveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais, obtendo a seguinte igualdade 1 dy = p(x)dx. q(y) A seguir, integramos ambos os lados da igualdade 1 q(y) dy = p(x)dx. explícita. E, sempre que for possível, escrevemos a função (solução geral da EDO) na sua forma Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o método. Exemplo 5 Resolva a equação diferencial dy dx = 6ex. dy dx = 6ex Inicialmente, vamos separar as variáveis: dy = 6e x dx Integrando ambos os lados da igualdade: dy = 6ex dx dy = 6 ex dx y + c 1 = 6e x + c 2 Isolando a variável y: y = 6e x + c 2 c 1

158 150 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Para deixar uma única constante na função, consideramos c = c 2 c 1, donde temos que: y = 6e x + c Exemplo 6 Resolva a equação diferencial dy dx = x y 2. dy dx = x y 2 Dada a equação diferencial acima, vamos separar as variáveis: Multiplicando ambos os lados da igualdade por y 2, temos: y 2 dy = x dx Integrando ambos os lados da igualdade: y 2 dy = x dx y c 1 = x2 2 + c 2 Isolando a variável y: y 3 3 = x2 2 + c 2 c 1 y 3 = 3x (c 2 c 1 ) Para deixar uma única constante na função, consideramos c = 3(c 2 c 1 ).

159 UNIDADE 3 TÓPICO Portanto, as soluções da EDO dada são da forma c R. NOTA! Não há necessidade de usar duas constantes na integração de uma equação separável q(y) dy = p(x) dx, pois se escrevermos Q(y) + c 1 = P(x) + c 2, a diferença c 2 c 1 poderá ser substituída por uma única constante c, resultando Q(y) = P(x) + c. Em várias ocasiões ao longo deste tópico, renomearemos constantes de forma conveniente. Por exemplo, múltiplos de constantes ou combinações de constantes podem, algumas vezes, ser substituídas por uma única constante. Definição Chamamos de família de funções ao conjunto de várias funções da forma y = f (x) + c, c R, ou seja, ao conjunto formado pelas as funções tem o mesmo comportamento, a menos da constante c R. Exemplo, a família de funções y(x) = x 3 2x + c. FIGURA 52 Figura 1.2. FONTE: O autor

160 152 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Exemplo 7 resolva a equação diferencial y y + x = 0. Podemos reescrever a equação dada como: dy dx y + x = 0. Subtraindo x em ambos os lados da igualdade, obtemos: dy dx y = x y dy dx = x y dy dx dx = x dx y dy = x dx y dy = x dx Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade, junto à variável x: y 2 2 = x c y 2 = x 2 + 2c Considerando k = 2c, temos: y 2 = x 2 + k Podemos deixar a função na forma implícita: x 2 + y 2 = k Neste caso, é interessante deixar esta solução na forma implícita, pois facilita a identificação quanto ao tipo de curva obtida. Neste exemplo, obtemos circunferências centradas na origem do plano cartesiano com raio igual a k. OBSErVAÇÃO: Note que, para não carregar a notação, aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no cálculo.

161 UNIDADE 3 TÓPICO Exemplo 8 Determine a solução geral da equação diferencial dy dx = sen (2x). Repetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores, temos: dy = sen (2x) dx. Integrando os dois lados da igualdade: dy = sen (2x) dx. substituição: Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade, vamos aplicar a técnica de y = 1 2 sen u du u = 2x y = 1 2 ( cos u) + c du = 2 dx y = 1 2 cos (2x) + c 1 2 du = dx FIGURA 53 GRÁFICO DAS SOLUÇÕES DA EDO FONTE: O autor

162 154 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Exemplo 9 Encontre a solução geral da equação diferencial dy dt = e t y. dy dt = e t y Primeiramente, vamos recordar a propriedade do produto de potências de mesma base, onde a m a n = a m + n, com a, m, n R. Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda, ou seja, separando a expressão a m+n em um produto de duas potências de mesma base: dy dt = e t e y dy = e t e y dt e y dy = e t dt ey dy = e t dt e y = e t + c Para isolar y, precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade. In e y = In (e t + c) Pelas propriedades operatórias dos logaritmos, em particular a propriedade da potência do logaritmo, temos que In a k = k In a e, portanto: y In e = In (e t + c) Como In e = 1, temos: y = In (e t + c). Portanto, y(x) = In (e t + c) é solução da EDO proposta A c R. Exemplo 10 Resolva a equação diferencial (2 + y) dt + (t 3) dy = 0.

163 UNIDADE 3 TÓPICO Na equação (2 + y) dt + (t 3) dy = 0 devemos separar as variáveis. Neste caso, deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade: (t 3) dy = (2 + y) dt dy 2 + y = dy t 3 Agora, basta integrar os dois lados da igualdade: dy 2 + y = dy t 3 Estas integrais são resolvidas aplicando a técnica de substituição; donde obtemos: In(2 + y) = In(t 3) + c In(2 + y) + In(t 3) = c Agora, aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base, para a qual, teremos In (a b) = In a + In b. Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda, ou seja, multiplicaremos os logaritmandos e, obteremos assim: In[(2 + y) (t 3)] = c Portanto, a igualdade (2 + y) (t 3) = e c, da EDO proposta. A c R, é uma solução, na forma implícita, Exemplo 11 Resolva a equação diferencial y = x e y x. Primeiramente, vamos mudar a notação da derivada: dy dx = x e y x Para resolver a equação, devemos separar as variáveis: dy dx = x e y e x Para isso, multiplicamos ambos os lados da igualdade por e y :

164 156 TÓPICO 1 UNIDADE 3 dy y x e = xe dx e y dy = xe x dx Integramos ambos os lados da igualdade: Para resolver a integral (1), utilizaremos a técnica da substituição: w = y dw = dy e y dy = e w dw = e w + c 1 = e y + c 1 Enquanto que, para a integral (2), aplicaremos a técnica da integração por partes: udv = u v vdu xe x dx = x ( e x ) ( e x ) dx xe x dx = xe x e x + c 2 u = x du = dx dv = e x dx v = e x Retomando a igualdade e y dy = xe x dx, temos: e y dy = xe x dx e y + c 1 = xe x e x + c 2 Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1), obtendo: e y = xe x + e x + c Colocando a expressão e x em evidência, no lado direito da igualdade: e y = e x (x + 1) + c

165 UNIDADE 3 TÓPICO Para isolar a variável y, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade: In e y = In e x (x + 1) + c Pela propriedade operatória da potência do logaritmo, temos: y = In e x (x + 1) + c Portanto, y(x) = In e x (x + 1) + c é solução da EDO proposta, A c R. Exemplo 12 Encontre a solução particular da equação diferencial y = xy y y + 1 no ponto y(2) = 1. Deixamos a solução na forma implícita. Agora, substituímos as variáveis x e y, pelos valores dados no enunciado.

166 158 TÓPICO 1 UNIDADE 3 y(2) = 1 c = 1 A função y que satisfaz à equação diferencial e atende à condição y(2) = 1, é dada por 4 Equações diferenciais Lineares de 1ª ordem Continuamos a busca por soluções de equações diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equações lineares. Definição Uma EDO da forma: y + p(x)y = q(x) ou dy + p(x)y = q(x), dx onde p(x) e q(x) são funções lineares e contínuas em algum intervalo I é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. NOTA! Observe a forma deste tipo de EDO. Cada equação diferencial que estudaremos possui uma forma-padrão diferente. Fique bastante atento! Teorema A solução da equação dy + p(x)y = q(x) é dx

167 UNIDADE 3 TÓPICO y = 1 v(x) v(x) q(x)dx onde v(x) = e H(x) ; com H(x) = p(x)dx. A função v(x) é chamada fator integrante. UNI Desafie-se e faça a demonstração matemática da solução da equação diferencial linear! 4.1 Método de resolução da equação diferencial Vamos descrever os passos para resolver uma equação diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante. Escreva a equação linear dada na forma-padrão y + p(x)y = q(x). Encontre uma primitiva de p(x), isto é, resolva p(x)dx. Encontre o fator integrante v(x) = e p(x)dx. Multiplique ambos os lados da equação diferencial y + p(x)y = q(x) pela função v(x). Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto. Resolva a equação e, se possível de a solução na forma explícita. Aplicaremos o método em alguns exemplos para entendê-lo melhor. Exemplo 13 Encontre a solução geral da equação y + 3y = 12 (método do fator integrante). Observe que a equação diferencial já está na forma-padrão y + p(x)y = q(x), onde p(x) = 3 e q(x) = 12. O primeiro passo é calcular a primitiva de p(x).

168 160 TÓPICO 1 UNIDADE 3 H(x) = p(x)dx, então, temos H(x) = 3dx = 3x. Escrevendo o fator integrante v(x) = e p(x)dx, v(x) = e H(x) v(x) = e 3x Agora, multipliquemos a EDO por v(x). e 3x y + 3e 3x y = 12e 3x Observemos o lado esquerdo: nele, devemos identificar a derivada do produto (u v) = u v + u v. Se considerarmos as funções u = y e v = e 3x, teremos u = y e v = 3e 3x. Então Integrando ambos os lados da igualdade: e 3x y = 12 e 3x dx Atente para o fato de que a integral e 3x dx foi resolvida pelo método da substituição. e 3x y = 12 3 e3x + c e 3x y = 4e 3x + c Isolando a variável y, y = 4e 3x e 3x + c e 3x Portanto, y(x) = 4 + c e 3x, c R é solução geral da EDO. Vamos deduzir um modelo de solução geral para as equações lineares ordinárias de primeira ordem com coeficientes constantes (dedução do fator integrante), ou seja,

169 UNIDADE 3 TÓPICO dy dt + ay = b ou y + ay = b Comparando a EDO apresentada com a forma-padrão y + p(x)y = q(x), identificamos que p(x) = a e q(x) = b. Assim, p(x) e q(x) são constantes. Neste caso, H(x) = p(x)dx H(x) = adx = ax e o fator integrante v(x) = e p(x)dx fica v(x) = e H(x) v(x) = e ax Multiplicando a EDO por v(x), e ax y + ae ax y = be ax Observe o lado esquerdo da equação: nele, devemos identificar a derivada do produto (u v) = u v + u v. Se considerarmos as funções u = y e v = e ax, teremos u = y e v = ae ax. Então Integrando ambos os membros da igualdade: e ax y = b e ax dx A integral e ax dx foi resolvida pelo método da substituição. e ax y = b a eax + c Isolando a variável y y = b a eax e ax + c e ax Portanto, y(x) = b a + c e ax, c R é a solução geral da EDO y + ay = b.

170 162 TÓPICO 1 UNIDADE 3 UNI Caro(a) acadêmico(a)! Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvê-lo usando o resultado demonstrado anteriormente? Exemplo 14 Encontre a solução geral da equação y + y = x. Observe que a equação diferencial já está na forma-padrão y + p(x)y = q(x), com p(x) =1 e q(x) = x. Vamos calcular a primitiva de p(x). H(x) = p(x)dx, então, temos H(x) = dx = x. Assim, o fator integrante v(x) = e p(x)dx é v(x) = e H(x) v(x) = e x. Multiplicamos a EDO por v(x). e x y + e x y = xe x Observe o lado esquerdo da igualdade, e identifique a derivada do produto (u v) = u v + u v. Se considerarmos as funções u = y e v = e x, teremos u = y e v = e x. Então Integrando ambos os lados da igualdade:

171 UNIDADE 3 TÓPICO e x y = x e x dx Para resolver esta integral x e x dx precisaremos aplicar o método da integração por partes. Considerando u = x e dv = e x dx teremos du = dx e v = e x. Então, aplicando a fórmula da integração por partes u dv = u v v du. e x y = xe x e x dx e x y = xe x e x + c Isolando a variável y, y = xe x e x e x e x + c e x Portanto, y(x) = x 1 + c e x, c R é a solução geral da EDO. Exemplo 15 Encontre a solução geral da equação x dy dx = x2 5y. Veja que a equação diferencial não está na forma-padrão y + p(x)y = q(x). Então, primeiro, temos que reescrevê-la na forma-padrão. Assim, identificamos p(x) = 5 x e q(x) = x. Vamos calcular a primitiva de p(x). H(x) = 5 x = In x 5 dx = 5 In x.

172 164 TÓPICO 1 E, assim, o fator integrante v(x) = e p(x)dx pode ser escrito como: UNIDADE 3 v(x) = e H(x) v(x) = e In x 5. v(x) = x 5. Multiplicando a EDO por v(x), x 5 y + x 5 5 x y = x x5 x 5 y + 5x 4 y = x 6. Observe o lado esquerdo da igualdade. Nele devemos identificar a derivada do produto (u v) = u v + u v. Se considerarmos as funções u = y e v = x 5, teremos u = y e v = 5x 4. Então: Integrando ambos os lados da igualdade: x 5 y = x 6 dx x 5 y = x7 7 + c y = x7 7 x 5 + cx 5 Portanto, y(x) = x2 7 + cx 5 é a solução geral da EDO, A x R. Exemplo 16 Encontre a solução geral da equação dy dx + 4x3 y = 20x 3. Observe que a equação diferencial já está na forma-padrão y + p(x) y = q(x). Identificamos p(x) = 4x 3 e q(x) = 20x 3.

173 UNIDADE 3 TÓPICO Vamos calcular a primitiva de p(x). H(x) = p(x) dx, então, temos H(x) = 4x 3 dx = x 4. Escrevemos o fator integrante v(x) = e p(x)dx. v(x) = e H(x) v(x) = e x 4. Multiplicamos a EDO por v(x). e x 4 y + 4x 3 e x 4 y = 20x 3 e x 4 Observamos o lado esquerdo da igualdade, nele devemos identificar a derivada do produto: (u v) = u v + u v. Se considerarmos as funções u = y e v = e x 4 teremos u = y e v = 4x 3 e x 4. Então Integramos ambos os lados da igualdade: e x 4 y = 20 x 3 e x 4 dx A integral x 3 e x 4 dx foi resolvida pelo método da substituição. e x 4 y = 1 4 ex 4 + c y = 1 4 e3x e x 4 + e x 4 Portanto, y = 1 4 e3x x 4 + c e x 4, A x R é a solução geral da EDO. O exemplo a seguir traz uma aplicação prática de EDO no movimento retilíneo uniformemente variado.

174 166 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Exemplo 17 Sabe-se que, no movimento retilíneo uniformemente variado, a aceleração a = dv dt é constante. Supondo que o movimento parte do repouso, e sabendo que v = ds, determine s(t). dt Partimos da primeira EDO apresentada: dv dt = a dv = a dt v = at + c 1 ds dt = v ds dt = at + v 0 ds = (at + v 0 ) dt v(t) = at + c 1 s = at v t + c 0 2 Fazendo c 1 = v 0, onde v 0 será a velocidade inicial. v(t) = at + v 0 s(t) = at v t + c 0 2 Substituindo c 2 = s 0, onde s 0 será a posição inicial. s(t) = at v t + s 0 0 O próximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI). Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condição inicial. Exemplo 18 Resolva o seguinte problema do valor inicial y + 2 x y = x, x > 0, y(2) = 3. Identificamos p(x) = 2 x e q(x) = x. Vamos calcular a primitiva de p(x). H(x) = 2 x dx = 2 In x H(x) = In x 2. Escrevemos o fator integrante v(x) = e p(x)dx. v(x) = e H(x) v(x) = e In x 2

175 UNIDADE 3 TÓPICO v(x) = x 2 Multiplicamos a EDO por v(x). x 2 y + x 2 2 x y = x 2 x x 2 y + 2xy = x 3 Observando o lado esquerdo, devemos identificar a derivada do produto (u v) = u v + u v. Se considerarmos as funções u = y e v = x 2 teremos u = y e v = 2x. Então: Integramos ambos os lados da EDO: x 2 y = x 3 dx x 2 y = x C Portanto, y(x) = x C x 4, A x R é a solução geral da EDO. Agora, substituímos as variáveis x e y, pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a solução particular. y = C 2 2 = C 4 = 3 C 4 = 2 C = 8

176 168 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Portanto, y(x) = x x 2, A x R é a solução particular da EDO. Observe que a solução deste problema de valor inicial é válida em todo intervalo ]0, + [, conforme a figura a seguir mostra esta solução. FIGURA 54 SOLUÇÃO DO PROBLEMA FONTE: O autor 5 Equações Exatas Estudaremos outro tipo de equação diferencial de primeira ordem, as chamadas equações diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais. A seguir, veremos a definição de uma equação diferencial exata e o teorema que estabelece um critério para identificar se uma EDO é exata. Definição Uma expressão diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se, e somente se, corresponde o diferencial de primeira ordem da forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 é chamada de equação exata se a expressão à esquerda for uma diferencial exata. Teorema (Critério para diferencial exata) Sejam M(x,y) e N(x,y) contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região R (retangular) definida por a < x < b e c < y < d. Então uma condição necessária e suficiente para que M(x,y) dx + N(x,y) dy seja uma diferencial exata é: M y = N x.

177 UNIDADE 3 TÓPICO Método de resolução da equação diferencial Verificar se a equação M(x,y) dx + N(x,y) dy é exata. Se for exata, então existe uma função f para a qual f x = M(x,y). Integrando a equação exata em relação a variável x (mantendo o y constante) para encontrar f, obtemos f (x,y) = M(x,y) dx + o(y), onde a função arbitrária o (y) é a constante de integração. Agora, precisamos encontrar a função arbitrária o (y). Derive a função f (x,y) em relação a variável y encontrada anteriormente e supomos que f = N(x,y). Da comparação, determina- y se o (y). Finalmente, integramos o (y) em relação a y e substituímos o valor encontrado para o (y) na função f (x,y). Exemplo 19 Resolva a equação diferencial (x,y) dx + (e y + x)dy = 0. Em primeiro lugar, precisamos verificar se esta equação é exata. Sendo M(x,y) = x + y e N(x,y) = e y + x, verificaremos se M y = N x. Como, M y = 1 e N = 1, assim a EDO é exata. x Então, existe f (x,y) tal que f x = x + y. Vamos integrar f = x + y em relação à variável x (mantendo o y constante) para x encontrar f. f (x,y) = (x + y) dx f (x,y) = x xy + o (y). Para encontrar a função arbitrária o (y), derivemos a função f (x,y) em relação à y.

178 170 TÓPICO 1 UNIDADE 3 f y = x + o (y) Comparando a derivada parcial encontrada f y = x + o (y) com N(x,y), f y = N(x,y). x + o (y) = e y + x, daí, temos: o (y) = e y. Agora, vamos integrar o (y) = e y. Então: o (y) = e y dy o (y) = e y c Voltando na f (x,y) e substituindo o (y), temos: f (x,y) = x xy + e y + c, c R. EDO. Definição Chamamos de curvas integrais as várias funções (soluções) de uma Exemplo 20 Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 1) dy = 0. Sendo M (x,y) = 2xy e N (x,y) = x 2 1, temos M y = 2x = N x Assim, a EDO é exata. Então existe f (x,y), tal que f x = 2xy. Integrando f x f (x,y) = 2xy dx = 2xy em relação a x, obtemos

179 UNIDADE 3 TÓPICO f (x,y) = x 2 y + o (y) Agora encontraremos a função arbitrária o (y) derivando f (x,y) em y. f y = x 2 + o (y) Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (x,y) f y = N (x,y). x 2 + o (y) = x 2 1, daí o (y) = 1. Agora, integramos o (y) = 1. Então: o (y) = dy o (y) = y + c. Logo, f (x,y) = x 2 y y + c, c R. UNI Nos exemplos 19 e 20, a função f (x,y) está na forma implícita. Escreva a função na forma explícita y = f (x). Exemplo 21 Resolva a EDO (y cos x + 2x e y ) dx + (sen x + x 2 e y 1) dy = 0 Verifiquemos se a equação diferencial é exata. Sendo M (x,y) = y cos x + 2x e y e N (x,y) = sen x + x 2 e y 1, temos M y = cos x + 2x e y = N x Assim, a EDO é exata. Logo, existe f (x,y) tal que f x = y cos x + 2x e y.

180 172 TÓPICO 1 Integrando f x = y cos x + 2x e y em relação à x, obtemos: f (x,y) = (y cos x + 2x e y ) dx UNIDADE 3 f (x,y) = y sen x + x 2 e y + o (y) Agora encontraremos a função arbitrária o (y) derivando f (x,y) em y: f y = sen x + x 2 e y + o (y) Comparemos a derivada parcial encontrada f y = sen x + x 2 e y + o (y) com N (x,y). sen x + x 2 e y + o (y) = sen x + x 2 e y 1, o (y) = 1. Então, o (y) = dy o (y) = y + c, c R. Logo, f (x,y) = y sen x + x 2 e y y + c. Exemplo 22 Verifi que se a equação (x In y e xy ) dx + 1 y + y In x dy = 0 é exata. Sejam M (x,y) = x In y e xy e N (x,y) = 1 y + y In x, Então, M y = x 1 y + xe xy e N x = y 1 y. Assim, M y N x Portanto, a EDO não é exata.

181 UNIDADE 3 TÓPICO UNI OBSERVAÇÃO: Para resolver esta equação diferencial é preciso utilizar um outro procedimento, que não veremos neste caderno, mas que você pode encontrar, por exemplo, em Boyce, W.; Di Prima, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7ª Ed. São Paulo: LTC, Exemplo 23 Encontre a curva integral da equação (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y e x sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = π 4. O enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para uma EDO exata. Verificaremos se a EDO é exata. Sendo M (x,y) = 2x sen y + e x cos y e N (x,y) = x 2 cos y e x sen y, temos M y = 2x cos y e x sen y = N x. Assim, a EDO é exata. Como a equação é exata, então existe f (x,y) tal que f x = 2x sen y + e x cos y. Integrando f x = 2x sen y + e x cos y em relação a x, obtemos f (x,y) = (2x sen y + e x cos y) dx f (x,y) = x 2 sen y + e x cos y + o (y). f y = x 2 cos y e x sen y + o (y) Comparamos a derivada parcial encontrada f y = x 2 cos y e x sen y + o (y) com N (x,y). x 2 cos y e x sen y + o (y) = x 2 cos y e x sen y, o (y) = 0.

182 174 Agora, integramos o (y) = 0. Então, TÓPICO 1 UNIDADE 3 o (y) = c. Logo, f (x,y) = x 2 sen y + e x cos y + c, c R é a solução geral da EDO. Agora, substituímos as variáveis x e y, pelos valores dados no enunciado y (0) = p 4. x 2 sen y + e x cos y = c 0 2 sen p 4 + e 0 cos p 4 = c c = 2 2. Portanto, x 2 sen y + e x cos y = 2 2 é a solução particular da EDO, ou seja, a curva integral que passa pelo ponto y (0) = p 4. NOTA! Caro(a) acadêmico(a)! Se depois da leitura do Tópico 1 e da realização dos exercícios, ainda tiver dúvidas procure esclarecêlas antes de iniciar o estudo do Tópico 2. Bons estudos!

183 UNIDADE 3 TÓPICO RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico, estudamos as Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos às equações diferenciais, e a partir daí, estudamos três tipos de equações diferenciais. O primeiro tipo de equação estudada foi a Separável, cuja forma-padrão é dada por y = p(x) q(y) ou dy = p(x) q(y) ou y q(y) = p(x). A resolução deste tipo de EDO é feita através da separação dx das variáveis e em seguida faz-se a integração da igualdade. O segundo tipo de equação estudada foi a Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem que tem a forma-padrão y + p(x) y = q(x) ou dy dx + p(x) y = q(x). Para a sua resolução, utilizamos o fator integrante v(x) = e H(x), onde H(x) = p(x)dx. E o terceiro tipo de equação diferencial estudada foi a Equação Exata, cuja forma-padrão é expressa por M (x,y) dx + N (x,y) dy. O procedimento de resolução requer que trabalhemos com f x = M (x,y) e f y = N (x,y) seguindo todo o procedimento já estudado.

184 176 TÓPICO 1 UNIDADE 3 Nos problemas 1 e 2, resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas. 1 dy = (x + 1)2 dx 2 dy dt = t 2 y 2 Nos problemas 3 e 4, resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem dadas. 3 dy dx 3 x y = x 4 dy dx + y = e 3x Nos problemas 5 e 6, resolva as equações diferenciais exatas a seguir. 5 (1 x) dy y 2 dx = 0 6 (2x y 2 ) dx + 2xy dy = 0 Nas EDO a seguir, identifique o tipo de EDO e encontre a função desconhecida. 7 y + 3x 2 y = x 2 8 dy dx = 3x 2 + 4x + 2, y (0) = 1 2 (y 1) 9 (3x 2 2xy + 2) + (6y 2 x 2 + 3) y = 0 10 dy 3x + 2y = e dx

185 UNIDADE 3 TÓPICO 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM substituições 1 INTRODUÇÃO No Tópico 2, estudaremos mais tipos de equações diferenciais lineares de primeira ordem tais como: Equações de Bernoulli e Equações homogêneas. A resolução destas equações requer algum tipo de substituição. 2 Equações de Bernoulli Definição Uma equação de primeira ordem da forma y + p(x) y = q(x) y n, onde p(x) e q(x) são funções definidas e contínuas em algum intervalo I, e n é um número real tal que n 0 e n 1, é chamada de equação de Bernoulli. 2.1 Método de resolução da equação diferencial Escrever a equação na forma-padrão y + p(x) y = q(x) y n. Identificar as funções p(x), q(x) e o valor de n. Indicar a substituição que será feita e aplicar a fórmula u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x). Agora, a EDO é uma linear de primeira ordem, sendo u + p(x) u = q(x). Calcular o fator integrante e obter a solução.

186 178 NOTA! TÓPICO 2 UNIDADE 3 A equação de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que, embora seja de primeira ordem e não linear (quando n 1), se transforma em uma equação diferencial linear através da substituição u = y 1 n. Vamos mostrar como que se chega à fórmula u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x). Seja a equação de Bernoulli, dada por y + p(x) y = q(x) y n. Multipliquemos a equação por u = y n y y n + p(x) yy n = p(x) y n y n y y n + p(x) y 1 n = p(x) Perceba que a equação obtida acima está na forma-padrão de uma equação linear de primeira ordem. Então, vamos fazer uma substituição u = y 1 n. Daí: u = (1 n) y n y y = u (1 n) y n. Retornando à equação e fazendo as substituições, obtemos: u (1 n) + p(x) u = q(x) u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x). Exemplo 1 Encontre as curvas integrais para a equação x dy dx + y = x 2 y 2. Primeiro, precisamos escrever a EDO na forma-padrão de uma equação de Bernoulli. Seja xy + y = x 2 y 2. Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1, com x 0, x obtemos:

187 UNIDADE 3 TÓPICO x (xy + y) = 1 x x 2 y 2 1 x xy + 1 x y = 1 x x 2 y 2 y + 1 x y = xy 2 Agora, a EDO está na forma y + p(x) y = q(x) y n, e poderemos transformá-la numa equação diferencial linear, considerando u = y 1 e: p(x) = 1, q(x) = x e n = 2. x u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x) u + (1 2) 1 x u = (1 2) x u + ( 1) 1 x u = ( 1) x u 1 x u = x Agora, seguimos o procedimento já estudado para resolver este tipo de EDO. Vamos encontrar o fator integrante v(x) = e p(x)dx. H(x) = 1 x dx H(x) = In x v(x) = e In x v(x) = x 1 Multiplicando o fator integrante v(x) = x 1 em ambos os lados da igualdade, obtemos: x 1 u 1 x x 1 u = xx 1 x 1 u = dx x 1 u = x + c

188 180 TÓPICO 2 UNIDADE 3 u = x 2 + cx Voltando para a variável y através da substituição u = y 1 feita no início: y 1 = x 2 + cx y = ( x 2 + cx) 1 Portanto, y(x) = 1 x 2 + cx, c R. Exemplo 2 Resolva a EDO y + 4y = 3e 2x y 4. A EDO já está na forma-padrão de uma equação de Bernoulli. Então, aplicamos a fórmula u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x), para transformar a equação numa equação diferencial linear. Considerando u = y 3 e: p(x) = 4, q(x) = 3e 2x e n = 4. u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x) u + (1 4) 4 u = (1 4) 3e 2x u + ( 3) 4u = ( 3) 3e 2x u 12u = 9e 2x Agora, seguimos o procedimento já estudado para resolver este tipo de EDO. Vamos encontrar o fator integrante v(x) = e p(x)dx. H(x) = ( 12) dx H(x) = 12x v(x) = e 12x Multiplicando o fator integrante v(x) = e 12x em ambos os membros da igualdade, obtemos: e 12x u 12 e 12x u = e 12x ( 9e 2x )

189 UNIDADE 3 TÓPICO e 12x u = ( 9e 10x ) dx Para resolver esta integral, vamos aplicar o método da substituição, considerando: w = 10x dw = 10 dx Então, e 12x u = 9 10 ew dw e 12x u = 9 10 ew + c e 12x u = 9 10 e 10x + c e 12x e 12x u = 9 10 e 10x e 12x + c e 12x u = 9 10 e 2x + c e 12x Voltando para a variável y através da substituição u = y 3 feita no início: u = 9 10 e 2x + c e 12x y 3 = 9 10 e 2x + c e 12x Portanto, y(x) = 9 10 e 2x + c e 12x ⅓, c R, é solução geral da EDO proposta. Exemplo 3 Encontre a solução geral para a equação xy + y = xy 2. Escrevendo a EDO na forma-padrão de uma equação de Bernoulli. Seja xy + y = xy 2, multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1 x : 1 x xy + 1 x y = 1 x xy 2

190 182 TÓPICO 2 UNIDADE 3 y + 1 x y = y 2 Assim, a EDO está na forma y + p(x) y = q(x) y n. Então, aplicamos a fórmula mostrada acima, para transformar a equação numa equação diferencial linear. Considerando u = y 1. p(x) = 1, q(x) = 1 e n = 2. x u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x) u + (1 2) 1 x u = (1 2) u + ( 1) 1 x u = ( 1) u 1 x u = 1 Agora, seguimos o procedimento já estudado para resolver este tipo de EDO. Vamos encontrar o fator integrante v(x) = e p(x)dx. H(x) = 1 x dx H(x) = In x v(x) = e In x v(x) = x 1 Multiplicando o fator integrante v(x) = x 1 na equação, obtemos: x 1 u 1 x x 1 u = x 1 x 1 u = 1 x dx x 1 u = In x + c

191 UNIDADE 3 TÓPICO u = x In x + cx. Voltando para a variável y através da substituição u = u = y 1. feita no início: y 1 = x In x + cx Portanto, y(x) = 1, c R é a solução geral da EDO. x In x + cx Exemplo 4 Encontre as curvas integrais para a equação y + 2 x y = y 3 x. 2 A EDO é uma equação de Bernoulli. Então, aplicamos a fórmula u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x), para transformar a equação numa equação diferencial linear. Considerando u = y 2. p(x) = 2 x, q(x) = 1 x 2 e n = 3. u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x) u + (1 3) 2 x u = (1 3) 1 x 2 u + ( 2) 2 x u = ( 2) 1 x 2 u 4 x u = 2x 2 Logo, obtemos uma EDO linear. Agora, seguimos o procedimento já estudado para resolver este tipo de EDO. Vamos encontrar o fator integrante v(x) = e p(x)dx. H(x) = 4 x dx H(x) = 4 In x v(x) = e 4 In x v(x) = e In x 4 v(x) = x 4 Multiplicando o fator integrante v(x) = x 4 na equação, obtemos x 4 u 4 x x 4 u = 2x 2 x 4

192 184 TÓPICO 2 UNIDADE 3 x 4 u = 2 x 6 dx x 4 u = 2 x c x 4 u = 2 5 x 5 + c x 4 x 4 u = 2 5 x 5 x 4 + c x 4 u = 2 5 x 1 + c x 4 Voltando para a variável y através da substituição u = y 2 feita no início y 2 = 2 5x + cx 4 Portanto,, c R são curvais integrais (soluções) da EDO. 3 Equações Diferenciais HOMOGÊNEAS Vamos estudar equações diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equações já estudadas em seções anteriores. 3.1 FUNÇÕES HOMOGÊNEAS Definição Uma função f = f (x,y) é dita homogênea de grau n se, substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λx,λy) = λ n f (x,y), para todo real λ 0. Por exemplo, as funções listadas a seguir são homogêneas de graus respectivamente três, um e zero: f (x,y) = xy 2 + x 2 y, f (x,y) =, f (x,y) = x + y x 3y.

193 UNIDADE 3 TÓPICO Exemplo 5 Verifique se a função f (x,y) = xy 2 + x 2 y é homogênea, e se for, indique o grau. Para mostrar que f é homogênea, devemos verificar a igualdade f (λx,λy) = λ n f (x,y), λ IR. f (λx,λy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy f (λx,λy) = λxλ 2 y 2 + λ 2 x 2 λy f (λx,λy) = λ 3 xy 2 + λ 3 x 2 y f (λx,λy) = λ 3 (xy 2 + x 2 y) f (λx,λy) = λ 3 f (x,y) Portanto, a função f é homogênea de grau 3. Exemplo 6 Verifique se a função f (x,y) = é homogênea e se for, indique o grau. Portanto, a função f é homogênea de grau 1.

194 186 TÓPICO 2 UNIDADE 3 Exemplo 7 Verifique se a função f (x,y) = xy 2 + e x + y é homogênea e, se for, indique o grau. f (λx,λy) = λx (λy) 2 λx + λy + e f (λx,λy) = λxλ 2 y 2 λx + λy + e f (λx,λy) = λ 3 xy 2 λ(x + y) + e f (λx,λy) λ n f (x,y) Portanto, a função f não é homogênea. Exemplo 8 Verifique se a função f (x,y) = x + y x 3y λx + λy f (λx,λy) = λx 3λy f (λx,λy) = λ(x + y) λ(x 3y) f (λx,λy) = x + y x 3y é homogênea e, se for, indique o grau. f (λx,λy) = f (x,y) Portanto, a função f é homogênea de grau zero. 3.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Definição Uma equação diferencial homogênea é uma equação da forma y = f (x,y) onde f = f (x,y) é uma função homogênea de grau zero, ou seja, f (λx,λy) = f (x,y), A λ 0

195 UNIDADE 3 TÓPICO Definição As equações diferenciais homogêneas podem ser transformadas, em equações do tipo M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, onde M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Isto quer dizer que a equação M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 será homogênea se M (λx,λy) = λ n M (x,y), λ IR e N (λx,λy) = λ n N (x,y), λ IR. Exemplo 9 Verifi que se a equação (x 2 y 2 ) dx 5xy dy = 0 é homogênea. Temos que verifi car se M (λx,λy) = λ n M (x,y) e N (λx,λy) = λ n N (x,y) têm mesmo grau. M (x,y) = x 2 y 2 N (x,y) = 5xy M (λx,λy) = (λx) 2 (λy) 2 N (λx,λy) = 5 (λx) (λy) M (λx,λy) = λ 2 x 2 λ 2 y 2 N (λx,λy) = 5 λ 2 xy M (λx,λy) = λ 2 (x 2 y 2 ) N (λx,λy) = λ 2 ( 5xy) M (λx,λy) = λ 2 M (x,y) N (λx,λy) = λ 2 N (x,y) Portanto, a equação (x 2 y 2 ) dx 5xy dy = 0 é homogênea. Pode-se resolver uma equação diferencial homogênea, transformando-a em uma equação de variáveis separáveis fazendo uma substituição adequada Método de resolução da equação diferencial Seja uma EDO homogênea de primeira ordem, vejamos como proceder para resolver esta equação diferencial homogênea. O primeiro passo é colocar a equação na forma dy dx = g contínua de uma única variável. y x, onde g é uma função Fazendo v = y, então y = vx e x

196 188 TÓPICO 2 UNIDADE 3 dy dx = x dv dx + v e g y x fica g (v). Então a equação pode ser escrita como x dv dx + v = g (v), que pode ser reescrita na forma dv g (v) v = dx x. Note que essa equação é separável. Então, podemos resolvê-la como uma equação diferencial separável e escrever a solução em função de x e de y, substituindo v por y x. Vejamos outra situação; seja uma equação homogênea dada na forma M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0. Então, M (x,y) dx = +N (x,y) dy dv dx = M (x,y) N (x,y). Como a equação é homogênea, M e N têm o mesmo grau de homogeneidade n. Então, se dividirmos M e N por λ n, transformaremos M (x,y) N (x,y) Daí segue o mesmo procedimento acima. numa função do tipo dy dx = g y x. Exemplo 10 Mostre que a equação diferencial y = 3x 2 + y 2 xy é homogênea e encontre sua solução geral. A equação é homogênea: pois, supondo λ 0, f (λx,λy) = 3(λx) 2 + (λy) 2 (λx) (λy) f (λx,λy) = λ2 (3x 2 + y 2 ) λ 2 (xy) f (λx,λy) = 3x 2 + y 2 xy f (λx,λy) = f (x,y).

197 UNIDADE 3 TÓPICO Definindo v = y, e substituindo na equação diferencial, temos x. Como y = vx, então dy dx = x dv dx + v. Logo nossa equação diferencial fica x dv dx + v = 3 + v 2. v x dv dx = 3 + v 2 v x dv dx = 3 v v v dv = 3 x dx Essa é uma equação separável que podemos resolver facilmente: v dv = 3 x dx v 2 2 = 3 In x + c, c R v 2 = 6 In x + 2c, c R Substituindo v por y x e k = 2c, temos y 2 = 6 In x + k, k R 2 x Logo, a solução geral tem a forma y 2 = 6x 2 In x + xk 2, k R Exemplo 11 Mostre que a equação y = 2y 4 + x 4 é homogênea, e resolva a equação diferencial. xy 3 Vamos mostrar que a EDO é homogênea de grau zero, supondo λ IR. f (λx,λy) = 2(λy) 4 + (λx) 4 (λx) (λy) 3

198 190 TÓPICO 2 UNIDADE 3 f (λx,λy) = 2λ4 y 4 + λ 4 x 4 λ 4 xy 3 f (λx,λy) = λ4 (2y 4 + x 4 ) λ 4 xy 3 f (λx,λy) = f (x,y). Definindo v = y, e substituindo na equação diferencial, temos x dy dx = 2y 4 + x 4 xy 3 dy dx = 2v v 3 Como y = vx, então dy dx = x dv dx + v. Logo, nossa equação diferencial fica x dv dx + v = 2v v 3. x dv dx = 2v v 3 v x dv dx = v v 3 v 3 v dv = dx x Essa é uma equação separável que podemos resolver facilmente: v 3 v dv = dx x 1 4 In (v 4 + 1) = In x + c, c R In (v 4 + 1) = 4 In x + 4c e In (v 4 + 1) 4 In x + 4c = e v = e In x 4 + 4c

199 UNIDADE 3 TÓPICO v = x 4 e 4c, c R Fazendo k = e 4c, temos v = kx 4 Isso nos dá v 4 = kx 4 1, k R Substituindo v por y x, temos y 4 x 4 = kx 4 1. Logo, y 4 = kx 8 x 4, k R é a solução geral da EDO. Exemplo 12 Encontre a solução geral da equação homogênea y = y 2 x 2 2xy. Sejam y = vx e dy dx = x dv + v. A edo não linear homogênea assume a forma dx dy dx = y 2 2 x 2xy dy dx = v 2 1 2v. Então, nossa equação diferencial fica x dv dx + v = v 2 1 2v. x dv dx = v 2 1 v 2v x dv dx = v 2 1 2v 2v v dv = dx x

200 192 TÓPICO 2 Essa é uma equação separável que podemos resolver facilmente 2v v dv = dx x UNIDADE 3 In v = In x + c, c R In v In x = c e In v In x = e c e In v e In x = e c v x = e c Substituindo v por y x e k = ec, temos Portanto, y 2 + x = k, k R é solução da EDO. x

201 UNIDADE 3 TÓPICO RESUMO DO TÓPICO 2 ordem: Neste tópico, vimos outros dois tipos de equações diferenciais lineares de primeira As equações de Bernoulli e as equações exatas. A diferença das equações estudadas no tópico anterior é que, nestas precisamos fazer alguma substituição para resolvê-las. A equação linear de Bernoulli tem a forma-padrão y + p(x) y = q(x) y n. A substituição que temos que fazer é dada por u = y 1 n e utilizamos a fórmula u + (1 n) p(x) u = (1 n) q(x). Com isso, a equação é reduzida a uma equação linear. A outra equação estudada foi a equação homogênea com forma-padrão M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, onde M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Para obter a solução, devemos escrever a EDO na forma dy dx = g y x e fazer a substituição v = y x.

202 194 TÓPICO 2 UNIDADE 3 Nos problemas 1 e 2, resolva as equações diferenciais lineares de Bernoulli. 1 x dy dx + y = 1 y 2 2 y = y (xy 3 1) 3 Resolva a equação diferencial homogênea (x y) dx + x dy = 0. Nas EDO a seguir, identifique o tipo de EDO e encontre a função desconhecida. 4 xy 2 dy dx = y 3 x 3, y (1) = 2 5 x 2 dy dx + y 2 = xy 6 (x 2 + y 2 ) dx + xy dy = 0

203 UNIDADE 3 TÓPICO 3 Equações Diferenciais lineares de SEGUNDA Ordem 1 INTRODUÇÃO Finalizamos a unidade com o Tópico 3, as equações diferenciais lineares de segunda ordem. Aqui, estudaremos apenas as equações lineares homogêneas com coeficientes constantes. Estas equações são de resolução mais simples devido a um procedimento de substituição por uma equação de segundo grau, chamada de equação característica ou auxiliar. 2 Equações Diferenciais lineares de SEGUNDA Ordem Definição Uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma a 1 (x) d 2 y dx + a dy (x) 2 2 dx + a (x)y = 3 o (x), onde os coeficientes a 1 (x), a 2 (x), a 3 (x), são contínuos e o (x) também é uma função contínua em algum intervalo I. Definição Uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma a 1 (x) d 2 y dx + a dy (x) 2 2 dx + a (x)y = 0 3 é chamada de homogênea, onde os coeficientes a 1 (x), a 2 (x), a 3 (x) são contínuos em algum intervalo I.

204 196 TÓPICO 3 UNIDADE 3 NOTA! Para as equações lineares homogêneas, é válido o princípio da superposição que diz que, se y 1 (x) e y 2 (x) são soluções da equação diferencial, então y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) também o é, para todas as constantes c 1 e c 2. A expressão colocada anteriormente é chamada combinação linear de y 1 (x) e y 2 (x). Isso é o que diz o teorema da superposição, onde a soma ou superposição de duas ou mais soluções de uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução. Teorema (Princípio da superposição Equações Homogêneas) Se y 1 (x) e y 2 (x) são soluções da equação diferencial homogênea em algum intervalo I, então a combinação linear y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo I. Definição Para as equações diferenciais lineares homogêneas, fixadas as soluções y 1 (x) e y 2 (x), definimos o wronskiano dessas soluções pelo determinante UNI Józef Maria Wronski ( ) foi um matemático polonês. O wronskiano é definido como um determinante cuja primeira linha é ocupada pelas funções e as linhas seguintes são formadas pelas suas derivadas até a ordem n 1. E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independência linear para as soluções das EDOs.

205 UNIDADE 3 TÓPICO Suponha que y 1 (x) e y 2 (x), sejam duas soluções. Então, a combinação linear dessas duas soluções é uma solução geral dada por y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x). Derivando y (x), temos y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x). Substituindo-se x = x nas equações obtemos o sistema de equações 0 y (x 0 ) = c 1 y 1 (x 0 ) + c 2 y 2 (x 0 ) y (x 0 ) = c 1 y (x ) + c y (x ) que pode ser escrito na forma A X = B em que, Logo, o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e é denotado por W (y 1, y 2 ) (t) = det Exemplo 1 As funções y 1 (x) = e 5x e y 2 (x) = e 5x são ambas soluções da equação diferencial linear homogênea y 25y = 0 no intervalo ], [. Verifique que o wronskiano é diferente de zero e escreva a solução da EDO. Sejam y 1 (x) = e 5x e y 2 (x) = e 5x. Precisamos derivar as funções para calcular o wronskiano. y 1 (x) = 5e 5x e y 2 (x) = 5e 5x, então W(x) = 5e 5x e 5x 5e 5x e 5x = 10 0 W(x) = Conforme o teorema acima, a solução dessa EDO tem a forma y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x). Então, y (x) = c 1 e 5x + c 2 e 5x.

206 198 TÓPICO 3 UNIDADE 3 Teorema Sejam y 1 (x) e y 2 (x) soluções da equação diferencial homogênea em algum intervalo I. Então, o conjunto de soluções será linearmente independente em I se e somente se W (x) 0, A x I. NOTA! Em resumo, do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir: para que y 1 (x) e y 2 (x) formem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial homogênea, basta que o wronskiano W (x) 0, x I. A Exemplo 2 Mostre que y 1 (t) = t ½ e y 2 (t) = t 1 formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial linear homogênea 2t 2 y + 3ty y = 0 no intervalo ]0, [. Precisamos verifi car primeiro se y 1 (t) e y 2 (t) são soluções da EDO. Se y 1 (t) = t ½, então y 1 (t) = 1 2 t ½ e y 1 (t) = 1 4 t 3 2. Se y 2 (t) = t 1, então y 2 (t) = t 2 e y 2 (t) = 2t 3. Substituindo y 1 (t) e suas derivadas na EDO, temos 2t t t 1 2 t ½ t ½ = t ½ t ½ t ½ = 0. Portanto, y 1 (t) é solução da EDO. Agora, substituindo y 2 (t) e suas derivadas na EDO, temos 2t 2 (2t 3 ) + 3t ( t 2 ) t 1 = 0 4t 1 3t 1 t 1 = 0. Portanto, y 2 (t) é solução da EDO.

207 UNIDADE 3 TÓPICO Para que as funções y 1 (t) e y 2 (t) formem um conjunto de soluções da EDO, pelos teoremas anteriores, basta verificarmos que o wronskiano é diferente de zero para algum t > 0. Assim, W (x) = t t 3 2 = 3 2 t Logo, y 1 (t) = t ½ e y 2 (t) = t 1 formam um conjunto fundamental de soluções da equação 2t 2 y + 3ty y = 0. Assim, y (t) = c 1 t ½ + c 2 t 1. 3 Equações Diferenciais lineares de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes Vamos considerar apenas equações diferenciais da forma a d 2 y dx 2 + b dy dx + cy = 0 onde a, b e c são números reais e a 0. Para esta equação diferencial linear homogênea existem valores constantes de λ tais que y = e λx é uma solução. Substituindo-se y = e λx, dy dx = λeλx e d 2 y dx 2 = λ2 e λx na EDO obtemos aλ 2 e λx + bλe λx + e λx = 0 e λx (aλ 2 + bλ + c) = 0 Como e λx 0, então y = e λx é solução de a d 2 y dx + b dy + cy = 0 se, e somente se, λ é 2 dx solução da equação aλ 2 + bλ + c = 0. Definição A equação aλ 2 + bλ + c = 0 é chamada de equação característica ou equação auxiliar da equação diferencial linear homogênea.

208 200 TÓPICO 3 UNIDADE Método de resolução da equação diferencial A natureza das soluções da equação diferencial linear homogênea a d 2 y dx 2 + b dy dx + cy = 0 depende da natureza das raízes da equação característica correspondente. Para escrever as soluções das equações diferenciais, teremos três casos a considerar. Vamos empregar o teorema apresentado a seguir. Teorema : Dada a equação ay + by + cy = 0, formamos a equação característica aλ 2 + bλ + c = 0. i) Se a equação característica tem duas raízes reais distintas λ 1 e λ 2, então a solução geral tem a forma y = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x. ii) Se a equação característica tem apenas uma raiz real λ, então a solução geral tem a forma y = c 1 e λ 1 x + c 2 xe λx ou y = (C 1 + C 2 x) e λx. iii) Se a equação característica tem duas raízes complexas λ 1 = α + βi e λ 2 = α βi, então a solução geral tem a forma y = c 1 e αx cos βx + c 2 e αx sen βx ou y = e αx (c 1 cos βx + c 2 sen βx). NOTA! As raízes λ 1 e λ 2 da equação característica são chamados de autovalores.

209 UNIDADE 3 TÓPICO Exemplo 3 Encontre a solução geral da equação y + 4y + 4y = 0. Conforme vimos acima, devemos escrever a equação característica λ 2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raízes. Aplicando a fórmula, temos λ = 4 2 λ = 2 Assim, a solução geral da EDO é dada por y = c 1 e 2x + c 2 xe 2x. Exemplo 4 Encontre a solução geral da equação y + 2y 15y = 0. Depois encontre a solução particular que satisfaz as condições iniciais y (0) = 0 e y (0) = 1. Resolvendo a equação característica λ 2 + 2λ 15 = 0, temos λ = 2 ± 8 2 λ 1 = λ 2 = = 5 = 3 A solução geral é y = c 1 e 5x + c 2 e 3x.

210 202 TÓPICO 3 UNIDADE 3 Substituindo as condições iniciais y (0) = 0 e y (0) = 1 na solução geral, obtemos y = c 1 e 5x + c 2 e 3x e y (0) = 0, então c 1 e c 2 e 3 0 = 0 c 1 + c 2 = 0 Agora, y = 5c 1 e 5x + 3c 2 e 3x e y (0) = 1, então 5c 1 e c 2 e 3 0 = 1 5c 1 + 3c 2 = 1 resolvendo o sistema c 1 + c 2 = 0 5c 1 + 3c 2 = 1, encontramos c 1 = 1 8 e c 2 = 1 8. Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais é dada por y = 1 8 e 5x 1 8 e3x. Exemplo 5 Encontre a solução geral da equação y + 2y + 5y = 0. Conforme vimos acima, devemos escrever a equação característica λ 2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raízes. Aplicando a fórmula, temos λ = 2 ± 4i 2 λ = 1 ± 2i λ 1 = 1 2i

211 UNIDADE 3 TÓPICO λ 2 = 1 + 2i Assim, pelo teorema a solução geral da EDO é dada por y = e x (c 1 cos 2x + c 2 sen 2x). Exemplo 6 Encontre a solução geral da equação y + 2y + y = 0. Resolvemos a equação característica λ 2 + 2λ + 1 = 0. Aplicando a fórmula, temos λ = 2 2 λ = 1 Assim, a solução geral da EDO é dada por y = c 1 e x + C 2 e x. No gráfico a seguir (Figura a seguir) estão algumas soluções da equação diferencial y + 2y + y = 0. FIGURA 55 ALGUMAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL FONTE: O autor

212 204 TÓPICO 3 UNIDADE 3 Exemplo 7 Encontre a solução geral da equação y + 12y = 0. Resolvemos a equação característica λ = 0, temos λ 2 = 12 λ = ± 12 λ = ± 12i λ = ± 2 2 3i λ = ± 2 3i λ 1 = 2 3i λ 2 = 2 3i Daí, temos que α = 0 e β = 2 3 y = c 1 e 0 x cos (2 3 x) + c 2 e 0 x sen (2 3 x) Portanto, a solução geral da EDO é dada por y = c 1 cos (2 3 x) + c 2 sen (2 3 x). LEITURA COMPLEMENTAR Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos Modelos Matemáticos: É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelo matemático, é constituído levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populações de animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimento radioativo de uma substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta. A construção de um modelo matemático de um sistema começa com

213 UNIDADE 3 TÓPICO (i) a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a princípio optar por incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta capa, estamos especificando o nível de resolução do modelo. A seguir, (ii) elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer empíricas aplicáveis ao sistema. Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com um modelo de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos de Física, a força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas se você for um cientista cujo trabalho é predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar em conta a resistência do ar e outros fatores, como curvatura da Terra. Como as hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais das variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou sistema de equações diferenciais. Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvê-los. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porém, se as predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. As etapas do processo de modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguinte diagrama:

214 206 FIGURA 56 DIAGRAMA HIPÓTESES TÓPICO 3 Expresse as hipóteses em termos de equações diferenciais UNIDADE 3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Se necessário, altere as hipóteses ou aumente a resolução do modelo Resolva as EDs COMPARE AS PREDIÇÕES DO MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS FONTE: O autor Exponha as predições do modelo (por exemplo, graficamente) OBTENHA AS SOLUÇÕES Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explicita. Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente envolve a variável tempo t. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e futuro. DINÂMICA POPULACIONAL: Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemática foi feita pelo economista inglês Thomas Malthus, em Basicamente, a ideia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população no instante t, então essa hipótese pode ser expressa por dp dt P ou dp dt = k P onde k é uma constante de proporcionalidade. Esse modelo simples, embora não leve em conta muitos fatores que podem influenciar a população humana tanto em seu crescimento quanto em seu declínio (imigração e emigração, por exemplo), não obstante resulta ser

215 UNIDADE 3 TÓPICO razoavelmente preciso na previsão da população dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e As populações que crescem à taxa descrição por (1) são raras; entretanto, (1) é ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populações em um curto intervalo de tempo (crescimento de bactérias em placas de Petri, por exemplo). FONTE: Zill (2003, p )

216 208 TÓPICO 3 UNIDADE 3 RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico, vimos: Um tipo de equação diferencial a equação na forma-padrão a d 2 y dx + b dy + cy = 0. A sua 2 dx resolução se resume em encontrar as raízes de uma equação do segundo grau aλ 2 + bλ + c = 0. Após encontrar as raízes da equação aplica-se o teorema a seguir. Teorema Dada a equação ay + by + cy = 0, formamos a equação característica aλ 2 + bλ + c = 0. Se a equação característica tem duas raízes reais distintas λ 1 e λ 2, então a solução geral tem a forma y = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x. Se a equação característica tem apenas uma raiz real λ, então a solução geral tem a forma y = c 1 e λ 1 x + c 2 xe λx ou y = (C 1 + C 2 x) e λx. Se a equação característica tem duas raízes complexas λ 1 = α + βi e λ 2 = α βi, então a solução geral tem a forma y = c 1 e αx cos βx + c 2 e αx sen βx ou y = e αx (c 1 cos βx + c 2 sen βx).

217 UNIDADE 3 TÓPICO Encontre a solução geral das seguintes EDOs. 1 y 3y + 2y = 0 2 8y + 4y + y = 0 3 4y + y = 0 4 y y 6y = 0 5 y + 9y = y 5y 2y = 0 7 y 4y + 5y = 0 8 y 2y + y = 0

218 210 TÓPICO 3 UNIDADE 3 Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da Unidade 3, você deverá fazer a Avaliação.

219 211 REFERÊNCIAS ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. v. 2. Poro Alegre: Bookman, BOYCE, Willian E.; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: LTC, FINNEY, R.; WEIR, M.; GIORDANO, F. Cálculo de George B. Thomas Jr. v. 2. São Paulo: Addison Wesley, FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. CÁLCULO B: funções de várias variáveis, integrais duplas e triplas. 2 ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. v ed. São Paulo: Harbra, SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. v. 2. São Paulo: Pearson Makron Books, ROGAWKI, Jon. Cálculo. v. 2. Porto Alegre: Bookman, STEWART, James. Cálculo. v. 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, ZILL, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.