Análise Discriminante: classificação com 2 populações

Transcrição

1 Análse Dscrmnane: classcação com oulações Eemlo : Proreáros de coradores de rama oram avalados seundo duas varáves: Renda U$ ; Tamanho da roredade m.

2 Eemlo : unção dscrmnane unvarada ~ ama4 4 3 e ~ ama / e 8 8 Assumndo rors e cusos as que: 3/ 4 / 4 e Loo 8 : R. 3 4 / om um ouco de álebra R : 68 e. De onde se obém o valor d : d Ou seja R e R são dendas como: R d e R d.

3 Probabldades de má classcação e cuso médo eserado: ## cálculo das robabldades P P e EM ################################################## d < c. <- 4 c. <- 5 <-.75 <-.5. <- -ammad4. <- chsqd6 robs <- c.. namesrobs <- c".""." EM <- c.*.* + c.*.* roundrobs roundem5 [].57399

4 Prorama em R ara os rácos: ## ráco das densdades e robabldades de má ## classcação ################################################ <- seq36by=.8 <- damma4 <- dchsq6 loc36 c.5ye="n" lab="" ylab="" man=" " ce.man= lnescol="red3" lwd= lnescol="blue3" lwd= lnescddc-.5.3ly= leend.6eressonr[] by="n" ce=.5 leend8.6eressonr[] by="n" ce=.5 leend.8.eresson[] by="n" ce=. leend4.95eresson[] by="n" ce=. ## ráco da unção dscrmnane com o ono ## que mnmza a razão / elo EM ################################################ d < de <- 6*amma8*d^-4*e-d/ rncddeds= dammad4/dchsqd6 y <- seq6by=. d <- 6*amma8*y^-4*e-y/ loc6 c3ye="n" lab="" ylab="" man="função Dscrmnane - créro EM" ce.man= lnesydcol="darkreen" lwd= lnescdcdedely= col="red" lnescddc-dely= col="red"

5 Ouro créro: robabldade oal de má classcação TPM = Pclasscar ncorreamene um em como sendo de ou classcar ncorreamene um em como sendo de TPM TPM P R P d d R R e R são dendos elos valores de que mnzam o valor da TPM. Maemacamene equvale ao caso aneror quando os cusos são uas No eemlo elo créro TPM emos: : R. 3 4 / om um ouco de álebra R : 88 e. De onde se obém o valor : om sso as robabldades de má classcação são dadas or: P.985 P.95 E o valor da TPM é: TPM TPM.375

6 ## cálculo as robabldades P P e TPM ################################################# < <- -amma4. <- chsq6 robs <- c.. namesrobs <- c".""." TPM <-.* +.* roundrobs roundtpm5 [].375

7 ## ráco da unção dscrmnane com o ono ## que mnmza a razão / elo TPM ################################################ < d <- 8*amma8*^-4*e-/ rncdds= damma4/dchsq6 y <- seq6by=. d <- 8*amma8*y^-4*e-y/ loc8 cye="n" lab="" ylab="" man="função Dscrmnane - créro TPM" ce.man= lnesydcol="darkreen" lwd= lnesccddly= col="red" lnescc-dly= col="red"

8 lasscação de duas oulação normas X X X X ~ N com ~ N e ~ N º. aso: rera de classcação lnear e / / =. Pelo créro EM R é denda ela reão em que: e Alcando o loarmo na eressão acma emos que a rera que mnmza a EM ara duas oulações normas com marzes de covarâncas uas é dada or: lo Assm alocar um ono ara a oulação se lo caso conráro alocar ara a oulação.

9 e e são desconhecdos ode-se usar suas resecvas esmavas amosras: e. onsdere amosras de n observações de e n observações de enão: n X n e X In J X n n n X n e X In J X n n em que: X e X são as marzes de dados das oulações e resecvamene. omo a marz de covarâncas comum ode ser esmada ela marz de covarânca amosral combnada ooled. Noa: não é vesado ara. n n. n n Desa orma alocar ara a oulação se lo caso conráro alocar ara a oulação.

10 eremos: Na eressão acma azendo y ˆ â em que a ˆ aˆ aˆ lo y ˆ mˆ lo sendo y ˆ y m o ono médo enre duas médas y e y. e enão lo e y mˆ. ˆ Nese caso a EM se resume em crar oulações unvaradas ara os valores de y e comarar y com o ono médo enre y e y. Porano uma nova observação será alocada ara ou deendendo do valor de ŷ : e yˆ mˆ alocar ara. Que é equvalene a: R a mˆ e yˆ mˆ alocar ara. Que é equvalene a: R a mˆ A rera acma é conhecda como rera de classcação lnear.

11 Eemlo 3: Deecção de oradores de hemola A decênca no aor VIII de coaulação. X = lo avdade AHF X = lo aníeno o-ahf AHF é o aor an-hemoílco.

12 º. aso: rera quadráca de classcação e / / =. A rera que mnmza a EM ara duas oulações normas com marzes de covarâncas derenes é dada or: lo k em que: lo k e e são desconhecdos ode-se usar suas resecvas esmavas amosras: e. Assm um ono deve ser alocado ara a oulação se: lo ˆ k em que: lo ˆ k Observações: A classcação com unção quadráca ode ser nadequada quando rabalhamos com mas de > dmensões esecalmene se os dados não orem normas. A classcação com unção quadráca é muo sensível à desvos da normaldade orano:

13 hecar semre a normaldade; Transormar os dados e esar a ualdade das marzes de covarâncas ara oder alcar a rera lnear. Observe que quando quadráca se resume na rera lnear. a eressão ara a rera A eressão da rera quadráca ode anda ser reescra searandose as meddas das duas oulações: lo lo lo. hamando de Q a arcela da unção quadráca de classcação reerene à oulação e Q a arcela reerene à odemos reescrever a unção acma como: Q Q lo

14 Noa: endo e ; k lo ˆ e a ˆ ˆ ˆ a a ara em cada oulação a unção dscrmnane quadráca em a orma: k a a e Q ˆ ˆ ˆ =.

15 Análse Dscrmnane: classcação com > oulações ejam as oulações.. a é a densdade à oulação ; b é a robabldade à ror de ; enão ara c m é o cuso de alocar um em de à oulação e m. P m Pclassca r como d m om P P m. m R m d : m m. O cuso médo eserado de se classcar como ou 3 ou... ou é: EM P P3 3 P EM P Da mesma orma ode-se ober EM... médo eserado é obdo de: EM e o cuso EM EM EM EM EM EM

16 Que ode anda ser escro como EM P k k k Resulado: as reões R R... R que denem a rera de classcação que mnmza o EM são dendas ela alocação do ono à oulação m =... al que m k k. Prova: lvro do Anderson []. Noas: e ocorrer emae enre duas oulações escolher qualquer uma delas. e os cusos são odos uas a eressão se resume a:. k Desa orma emos a unção de classcação dada or: alocar um ono à j se j j j ou equvalenemene se lo j lo j j.

17 Noa: a rera denda acma é equvalene à mamzar a robabldade a oseror de endo sdo observado o mesmo er vndo de j rera de Bayes j j j P. lasscação de oulação normas e / / =.... alocar à se lo lo lo lo or mámo ou seja se ma lo k k k.

18 Para oulações normas dene-se o escore de dscrmnação lo lo Q d =.... Assm ela rera que mnmza a TPM robabldade oal de má classcação alocar um ono à oulação m ara a qual Q m d é mámo. Na ráca como é desconhecda ulzam-se as esmavas amosras e e lo lo ˆ Q d =.... Noa: se as marzes de varâncas e covarâncas orem uas emos Q d lo =.... esmado or Q d lo ˆ =.... n n n n n n Alocar à oulação m ara a qual ˆ Q m d é mámo.