a) a soma de dois números pares é par. b) a soma de dois números ímpares é par. c) a soma de um número par com um número ímpar é ímpar.

Transcrição

1 !#"%$ & '%( )( *+'%,-"/. 0# <; Elementar, não? A afirmação acima, ue é uma das mais simles e óbvias da Matemática, é também uma ferramenta de grande utilidade na resolução de muitos roblemas envolvendo números naturais. Vamos comentar neste artigo alguns deles, em graus diferentes de dificuldade, mas inicialmente recisamos recordar três imortantes roriedades a) a soma de dois números ares é ar. b) a soma de dois números ímares é ar. c) a soma de um número ar com um número ímar é ímar. Dizemos ue dois números inteiros têm mesma aridade, uando são ambos ares ou ambos ímares. Assim, odemos dizer ue a soma de dois números inteiros é ar se, e somente se, eles têm mesma aridade. Vamos aos roblemas. =+>?/@AB+CEDGF Em um uartel existem 100 soldados e, todas as noites, três deles são escolhidos ara trabalhar de sentinela. É ossível ue aós certo temo um dos soldados tenha trabalhado com cada um dos outros exatamente uma vez? >B+H%=+?IHKJDGL Não. Escolha um soldado. Em cada noite em ue trabalha, ele está em comanhia de dois outros. Como 99 é um número ímar, não odemos formar ares de soldados semre diferentes ara trabalhar com o escolhido. =+>?/@AB+CEDGM Um jogo consiste de 9 botões luminosos (de cor verde ou vermelha) disostos da seguinte forma Aertando um botão do bordo do retângulo, trocam de cor ele e seus vizinhos (do lado ou em diagonal). Aertando o botão do centro, trocam de cor todos os seus 8 vizinhos orém ele não. Exemlos Aertando 1, trocam de cor 1,, 4 e 5. Aertando, trocam de cor 1,,, 4, 5 e 6. Aertando 5, trocam de cor 1,,, 4, 6, 7, 8 e 9.

2 Inicialmente todos os botões estão verdes. É ossível, aertando sucessivamente alguns botões, torná-los todos vermelhos? >B+H%=+?IHKJDGL Não é ossível. Observe ue aertando um botão do vértice do retângulo, trocam de cor 4 botões. Aertando um botão do meio de um lado, trocam de cor 6 botões e aertando um botão do centro trocam de cor 8 botões. Assim, cada vez ue aertamos um botão trocam de cor um número ar de botões. Como existem 9 botões, não é ossível ue todos trouem de cor. =+>?/@AB+CEDGN Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a Antes de cada um deles, coloue sinais + ou de forma ue a soma de todos seja zero. Não é ossível fazer isto. Imaginando ue fosse ossível, deveríamos searar os números dados em dois gruos com a mesma soma. Então colocaríamos sinais negativos nos números de um dos gruos e sinais ositivos nos números do outro. Teríamos então uma soma igual a zero. Acontece ue a soma dos números naturais de 1 a 10 é igual a 55. Como este número é ímar, não odemos searar os números dados em dois gruos ue tenham a mesma soma. Como o leitor deve estar ercebendo, os argumentos utilizados ermitiram concluir ue as resostas dos três roblemas roostos foram iguais não é ossível fazer tal coisa. Na maioria das vezes, um argumento de aridade serve exatamente ara isto. Mostrar ue um determinado fato não ode ocorrer e isto não é desanimador, muito elo contrário. Serve ara nos convencer ue não adianta ficar gastando temo demais fazendo tentativas inúteis. As exeriências são valiosas no sentido de nos abrir os olhos ara a ossibilidade do roblema não ter solução e, a artir daí, buscar um argumento ue resolva definitivamente a uestão. É muito imortante também exlorar um roblema, ou seja, imaginar euenas modificações no enunciado e verificar o ue ocorre com sua resosta. Por exemlo, o roblema não tem solução orue a soma dos naturais de 1 até 10 é 55 (ímar). O ue ocorreria se a soma fosse ar? Este é um novo e atrativo roblema. Vamos enunciá-lo =+>?/@AB+CEDGN8D Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a Antes de cada um deles, coloue sinais + ou de forma ue a soma de todos seja zero. A soma dos números naturais de 1 a 11 é 66. Como odemos seará-los em dois gruos de soma? Começando elos maiores observe ue = 0. Logo, =. O roblema A tem como uma solução ossível = 0

3 Fica ao encargo do leitor mostrar ue semre ue a soma dos naturais de 1 até n é ar então odemos seará-los em dois gruos de igual soma. Você ode utilizar o caminho ue utilizamos acima, ou buscar uma outra forma. =+TKUVTEWKT8XYZU+[\T8] W YE] ^_`UV] atku+w8ykbw c8de Y8aT8W Você ode roor aos seus amigos os roblemas ou A com uma lista grande de números naturais consecutivos. O roblema terá ou não solução caso a soma desses números seja ar ou ímar, resectivamente. Entretanto, é ossível encontrar o resultado desta soma raidamente, sem recisar somar todas as arcelas. A soma de todos os naturais de 1 até n é ( 1 + n) n igual a. Por exemlo, a soma de todos os naturais de 1 até 10 é (1 + 10) = = 55. Procure demonstrar este fato e, se não conseguir, ergunte ao seu rofessor ou escreva ara a EUREKA! =+>?/@AB+CEDGf Mostre ue se a, b e c são inteiros ímares, a euação ax + bx + c = 0 não tem raiz racional. Comentários 1) Um número é raiz de uma euação dada se uando for substituído no lugar do x a igualdade ficar correta. Por exemlo, x = é raiz (ou solução) da euação x = 0 orue 4 = 0. Ainda, x = é solução da euação x x + x 10 = 0 orue = 0. Freüentemente não sabemos como resolver uma euação mas, em geral, odemos verificar se um certo valor de x é ou não uma de suas raízes. ) Um número é racional uando uder ser escrito como uma fração de numerador e denominador inteiros. Por exemlo, 7 e 1 4 são exemlos de números racionais. ) Quando desejamos demonstrar ue certo fato é imossível utilizamos freüentemente o método da redução ao absurdo. Este método consiste em imaginar o contrário, ou seja, ue tal fato seja ossível. A artir daí rocuramos chegar a uma contradição, a um absurdo. Conseguindo isso, teremos mostrado ue nossa hiótese (a do contrário) é falsa e conseüentemente, ue a afirmação inicial é verdadeira. Vamos ver tudo isso na solução do roblema. Não se reocue se você ainda não sabe resolver uma euação do segundo grau. Isto não será necessário. Tudo o ue recisamos é verificar se um número racional ode ser uma raiz. gsh%ikjmlnho%hrmsthmu%ikvwrx y Imaginemos ue o número racional seja raiz da euação ax + bx + c = 0 onde a, b e c são inteiros ímares. Logo, fazendo a substituição, devemos ter,

4 a + b + c = 0 a + b + c = 0 a + b + c = 0 Vamos acrescentar agora uma hiótese imortante ara facilitar nosso trabalho. Vamos suor ue a nossa fração seja irredutível, ou seja, ue ela já foi simlificada ao máximo. Por exemlo, no lugar de 6 4 estaremos considerando o ue é a mesma coisa. Consideramos então, ara a solução do roblema, ue e não são ambos ares. Observe agora a euação a + b + c = 0 nos seguintes casos a) e são ímares neste caso, a é ímar, b é ímar e c é ímar. Como a soma de três números ímares é ímar, o resultado não ode ser zero. b) é ar e é ímar neste caso, a é ar, b é ar e c é ímar. Como a soma de dois números ares e um ímar é ímar, o resultado não ode ser zero. c) é ímar e é ar vale o mesmo argumento do caso b). Demonstramos então ue nenhuma fração de numerador e denominador inteiros ode ser raiz da euação ax + bx + c = 0 onde a, b e c são inteiros ímares. =+>?/@AB+CEDGz Um tabuleiro 6 6 está coberto com dominós 1. Mostre ue existe uma reta ue seara as eças do tabuleiro sem cortar nenhum dominó. Cada dominó é formado or dois uadrados e ortanto, se o tabuleiro está inteiramente coberto, 18 dominós foram utilizados. Imagine agora uma reta (horizontal, or exemlo) ue seare o tabuleiro em duas artes. Se ela não corta nenhum dominó, está resolvido o roblema. Suonha então ue ela corte ao meio um dominó. Neste caso, acima desta reta teremos n dominós inteiros mais meio dominó, ou seja, teremos acima desta reta n + 1 uadrados, ue é um número ímar. Mas isto é imossível orue se o tabuleiro tem 6 unidades de largura, ualuer reta o dividirá em artes ue contém números ares de uadrados acima e abaixo dela. Assim, se uma reta corta um dominó, deverá cortar um outro dominó. Para a divisão do tabuleiro, existem 10 retas ossíveis e, se cada uma delas cortar dois dominós, deveríamos ter 0 dominós no tabuleiro. Como eles são aenas 18 então existe uma reta (elo menos) ue não corta nenhum dominó. { s h%u%ikvwrx} %xs x %v}~%j% }x

5 Os números naturais de 1 até 1998 são escritos em um imenso uadro negro. Em seguida, um aluno aaga dois uaisuer colocando no lugar sua diferença (não negativa). Deois de muitas oerações, um único número ficará escrito no uadro. É ossível ue esse número seja zero? =+>?/@AB+CEDG Em uma ilha lana existem 11 cidades numeradas de 1 a 11. Estradas retas ligam 1 a, a, a 4,..., 10 a 11 e 11 a 1. É ossível ue uma reta corte todas as estradas?