Unidade VII - Teoria Cinética dos Gases

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1 Unidade VII - eoria Cinética dos Gases fig. VII.. Nesse rocesso, a ressão em um gás aumenta e o olume diminui. Isto é, a colisão de suas moléculas dee aumentar, sua energia cinética aumenta e diminui a liberdade de moimento das moléculas.. Situando a emática té agora tratamos as roriedades da matéria em termos de energia térmica sob o onto de ista macroscóico, estudando a ressão, o olume e a temeratura. Entretanto, um gás é comosto de átomos ou moléculas. ressão de um gás dee estar relacionada com as colisões das suas molécula com o reciiente que o contém. caacidade de um gás em ocuar um reciiente olume - dee estar ligada à liberdade de moimento das moléculas. Por outro lado, a temeratura e a energia térmica de um gás deem estar relacionadas à energia cinética destas moléculas. descrição macroscóica está intimamente relacionada com a descrição microscóica. Por eemlo, a ressão atmosférica é igual a 0 5 Pa em condições normais. Para roduzir esta ressão, cerca de 0 moléculas colidem com antearos na terra.. Problematizando a emática Nesta unidade, usaremos descrições macroscóicas e microscóicas ara comreender as roriedades térmicas da matéria. Daremos enfoque ao estudo dos gases ideais. Esses gases não são reais mas deido à comleidade das roriedades em um caso realístico otamos or começar com este caso mais simles. Gases assumem ael imortante no tratamento de rocessos termodinâmicos. qui seguiremos as seguintes hióteses: - o número de moléculas é grande. - o gás é diluído, isto é, tende ocuar os esaços. - as moléculas são tratadas como objetos ontuais. - as moléculas obedecem as leis de Newton. 65

2 - as moléculas se moem aleatoriamente. - as moléculas não interagem, eceto quando colidem. - suomos as colisões elásticas. Denominamos ariáeis de estado as ariáeis que indicam o estado do material, como olume, massa, temeratura e ressão. relação entre essas ariáeis ode ser eressa atraés de uma equação chamada: equação de estado.. Equação do Gás Ideal Um mol é definido como 6,0 0 de artículas, que odem ser elétrons, átomos, moléculas, etc. Nós dizemos que g de carbono é um mol de carbono. O carbono tem 6 rótons e 6 nêutrons. massa atômica do carbono é. Isto significa que g de carbono contém 6,0 0 átomos, chamado número de ogadro. Moléculas são agruamentos de átomos, a massa molecular é a soma das massas atômicas da molécula. Eerimentalmente é encontrado que a ressão, olume e temeratura absoluta (K) de um gás ideal obedecem aroimadamente a seguinte equação de estado, chamada lei dos gases ideais: V nr eq. VII. onde n é o numero de mols do gás e R = 8, J/K, a constante dos gases ideais. 4. O Conceito de Pressão e emeratura do Ponto de Vista Molecular Vamos deduzir uma eressão ara a ressão deido a um gás ideal. Considere N moléculas contidas em um reciiente (cubo) de lado L, com os limites alinhados aos eios,, z. Uma molécula moendo-se ao longo de com elocidade colidirá elasticamente com uma arede e em de olta com uma elocidade -. Seu momentum mudará de m ara - m, uma resultante de - m. Deois de bater na arede, a molécula olta numa direção oosta e bate na arede oosta e olta a bater na rimeira arede uma segunda ez. Ela iaja uma distância L na direção e isso gasta um temo L/, temo entre as colisões com a rimeira arede. força eercida sobre a molécula ela arede, ela secunda lei de Newton: F = mudança momentum m mudança temo L / m L Pela terceira lei de Newton, a força eercida sobre a arede ela molécula é F = -F. força total eercida sobre a arede é a soma das forças eercidas or cada molécula, m F (... N ). L. 66

3 Mas o alor médio de ara N moléculas é (... N ). Então, N Nm F L Se uma molécula tem comonentes da elocidade teorema de Pitágoras,, e os alores médios estão relacionados or z z Como o moimento é aleatório, = = z = força total sobre a arede é, N m F = ( ) L ressão sobre a arede é,,, então elo z = F F N, ( )( m ) eq. VII. V L Isto é utilizado ara definir a constante de oltzmann, k,8 0 onde R = N k. lei do gás ideal e a eq. VII. nos lea a J/K, ( m ) eq. VII. k Este resultado nos diz que a temeratura absoluta de um gás é roorcional à energia cinética molecular. = = z =, assim m = m = m z = ( m ) = k Esta última equação ilustra o chamado teorema da equiartição da energia que nos diz que cada grau de liberdade de um gás contribui com uma quantidade de energia k ara energia interna total. Um grau de liberdade é um moimento indeendente que ode contribuir ara energia total do sistema. Por eemlo, o grau de liberdade de uma molécula está associado com a rotação e ibração da molécula energia interna total de n mols de um gás monoatômico com graus de liberdade é E Nk ( m ) Nk nr eq. VII. 4 eq. VII. ode ser resolida ara encontrarmos a raiz quadrada da elocidade quadrada média molecular, 67

4 k / m R / M eq. VII. 5 Onde R N k e M N m = massa molar em gramas e m = massa de uma molécula. Note que essa raiz quadrada da elocidade quadrada média é uma elocidade média, e que algumas moléculas se moem com mais ou menos elocidade. Nessa discussão suomos as moléculas como artículas ontuais. Se formos mais realistas odemos suor as moléculas como esferas de diâmetro d e assim ossíel calcular ao lire caminho médio entre as colisões das moléculas. Isto é, a distância média ercorrida entre duas colisões sucessias. Usando uma abordagem estatística nos lea a R eq. VII. 6 d N / V d N 5. Distribuição de Mawell-oltzmann s moléculas em um gás se roagam em uma amla faia de elocidades. Usando-se métodos da mecânica estatística odemos chegar ao número de artículas dn em um gás com elocidade entre e + d, dn = Nf()d, onde m m / k f ( ) 4 ( ) e eq. VII. 7 k f() é a função de distribuição de Mawell-oltzmann, N é o número de artículas do gás de massa m. fig. VII. mostra a função de distribuição ara três temeraturas. Note que a unidade de f() é s/m. elocidade mais roáel é aquela que corresonde ao ico da distribuição, onde df/d = 0. O resultado é fig. VII.. Função de distribuição ara temeraturas, > >. média, m k R eq. VII. 8 m M Onde M = N m é a massa molar. traés da distribuição odemos calcular também a elocidade f ( ) d 0 8k m 8R M eq. VII. 9 68

5 elocidade quadrada média é dada or, 0 k f ( ) d m R M eq. VII.0 6. Calor Esecífico de um Gás O calor esecífico molar de um gás é a quantidade de calor necessária ara aumentar a temeratura de um mol or o C. Considere mol de um gás ideal monoatômico a olume constante. energia interna do gás é dada, ara n =, E = / R. eremos o calor esecífico, C, a olume constante, n E, n = ; E / R /. Então, a C C olume constante ara este gás monoatômico, C R eq. VII. Caso o gás não seja monoatômico e tem f graus de liberdade, cada grau de liberdade contribui com ½ R ara a energia interna e assim C = fr/. O gás se eande quando calor é adicionado a um reciiente que o contém e o olume não é mantido constante. Imagine um gás contido em um cilindro, dentro tem um istão com um eso em cima, como mostra a fig. VII.. O istão mantém uma ressão constante sobre o gás. Como o gás eande, ele ua o istão ara cima e realiza um trabalho sobre ele. Se a área da base do istão é leantada uma distância d, o trabalho realizado elo gás é dw = Fd = Pd = FdV, onde o olume cresce dv = d e P = F/. Usando conseração de energia, dq = de + dw = de + dv Daí odemos escreer dq/d = de/d + dw/d = de/d + dv/d. O calor esecífico molar é então, C dq/d. Da lei dos gases ideais de/d = R/. Logo, ara um gás monoatômico, fig. VII.. Cilindro com um istão interno e um eso em cima do istão. C 5 R R R eq. VII. Para um caso geral, isto é, ara um gás ideal qualquer, R C C eq. VII. 5 7 Para um gás diatômico teremos C R e C R. 69

6 7. Processos diabáticos Um rocesso adiabático em um gás é aquele em que nenhum calor é trocado ara fora ou ara dentro do reciiente que contém este gás. Este rocesso ode ser obtido mudando o olume raidamente ou or manter o reciiente bem fechado de forma que somente uma quantidade muito equena de calor ode ser trocada. Se o olume do gás cresce or dv, o trabalho realizado elo gás sobre um istão imaginário é dw = dv. O calor absorido é zero e assim a mudança de energia do gás é de = -dw = -dv, onde de ode ser eressa dv d em termos de mudança de temeratura. Daí encontramos, V onde R C C e da equação anterior encontramos uma equação que C C relaciona com V V const. eq. VII.4 e V const.( adiabática) eq. VII.5 Podemos estudar os gráficos de ersus V ara o caso adiabático sem fluo de calor, isto é, Q = 0 e V const. Para o caso isotérmico V = nr = const. Eercícios Resolidos Eemlo VII. Um comressor de ar usado ara fazer inturas em automóeis tem um tanque de caacidade 0.40 m que contem ar a uma temeratura de 7 0 C a 6 atm. Quantos mols de ar têm no tanque? 5 V 6,0 0 0,4 n 97, 5moles R 8, 00 Eemlo VII. Um equeno aso de de olume V contém um gás ideal a 00 K e 5 atm. Esse aso é conectado a um aso de olume 6V que contém o mesmo gás a uma ressão de atm e 600 K. temeratura de cada aso é mantida constante.qual será a ressão final em cada aso, aós a mistura? V V n e n R R 70

7 No final V ' e n e R note que 6V V, logo, = 5, atm. V ' n e assim R n ' ' n n n, Eemlo VII. 6 0 moléculas de um gás ideal são armazenados em um tanque de 0,5 atm a 7 0 C. Determine a ressão em ascal e a temeratura em Kelin, o olume do tanque e a ressão quando a temeratura aumenta ara 5 0 C. nr N R V 5, 0 m, então, N nr 0,69atm. V Eemlo VII. 4 O melhor ácuo que se atinge no laboratório é cerca de 50 8 Pa a uma temeratura de 9 K. Quantas moléculas ossui or centímetro cúbico desse ácuo? nr N R N N V 40m, 0 / cm. N V R Eemlo VII. 5 O gás hélio com massa molar 4 g a 0 K tem raiz quadrada da elocidade quadrada média molecular é 50 m/s. Qual a raiz quadrada da elocidade quadrada média molecular do oigênio com massa molar g a essa temeratura? R / mo relação entre as elocidades do oigênio e hélio é: 0, 5 R / m ssim, raiz quadrada da elocidade quadrada média molecular do oigênio é igual a 0,5 da do hélio, isto é, 0,5 50 m/s = 47,5 m/s. He Eemlo VII. 6 Gás argônio tem um diâmetro de aroimadamente, 0 0 m e é usado em um reciiente de laboratório, mantido a uma temeratura de 00 K. Qual a ressão que deemos emregar ara eacuar o gás de forma que o lire caminho médio seja de cm. R 5, 0 atm d N / V d N Eemlo VII. 7 Uma sala está bem isolada e ossui 0 m de ar. O ar da sala está a uma temeratura de 0 C. Quanto de calor deemos adicionar ao ar de forma que a temeratura aumente de 0 C. 7

8 Q nc, onde: V 5 n, C R R 5, logo Q,06 0 J Eemlo VII. 8 Dois mols de ar, C = 5R/, a uma temeratura de 00 K, estão contidos em um istão esado dentro de um cilindro de olume 6 L. Se o 5, kj de calor é adicionado ao ar, qual será o olume resultante de ar? Q nc, onde C C R Q 7nR( ) 89K V nr e V nr, teremos V V 7, 8L Eemlo VII. 9 Durante a comressão de uma máquina de combustão interna, a ressão muda adiabaticamente de ara 8 atm. Suondo que o gás é ideal e tem, 4, or qual fator a temeratura muda? Qual o fator de mudança do olume? / V V V, 0 V Usando que V nr, encontramos uma relação entre as temeraturas.,. Eercícios Proostos Eercício VII. Um motorista começa uma iagem em uma manhã fria quando a temeratura é de 4 0 C. Em um osto, ele checa a ressão no neu de si + 5 si ( atm), onde 5 si é a ressão atmosférica. Deois de rodar o dia todo, a temeratura do neu subiu ara 50 0 C. Suondo que o olume é constante, qual a ressão que o ar do neu tem aumentado? Resosta: 54,8 si Eercício VII. temeratura e ressão adrão de um um gás é definida como 0 0 C ou 7 K e atm ou,0 0 5 Pa. Qual o olume que um mol de gás ideal ocua? Resosta:,4 L. Eercício VII. Quantas moléculas tem em cm de hélio a uma temertura de 00 K? Resosta:,40 9 7

9 Eercício VII. 4 Qual a raiz quadrada da elocidade quadrada média molecular de uma molécula de nitrogênio no ar a uma temeratura de 00 K? massa atômica do nitrogênio é 4. Resosta: 57 m/s Eercício VII. 5 Estime o lire caminho médio de uma molécula de ar a 7 K e uma ressão de atm, suondo que ela é uma esfera de diâmetro 40 0 m. Estime também o temo médio entre as colisões ara uma molécula de nitrogênio sob essas condições. (use a elocidade do eercício VII.4) Resosta: 5, 0 8 t = 0 0 s m Eercício VII. 6 4 mols de argônio estão contidos em um cilindro a uma temeratura de 00 K. Quanto de calor dee ser adicionado ara aumentar a temeratura a 600 K a olume constante? E a ressão constante? Resosta:,5 0 4 J e,5 0 4 J. Eercício VII. 7 O gás hélio a uma temeratura de 400 K e atm é comrimido adiabaticamente de 0 ara 4 L. Qual a temeratura final e ressão? Resosta: 70 K e 4,6 atm 7