12 Integral Indefinida

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1 Inegral Indefinida Em muios problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objeivo é enconrar a própria função. Por eemplo, se a aa de crescimeno de uma deerminada população é conhecida, pode-se desejar saber qual o amanho da população em algum insane fuuro; conhecendo a velocidade de um corpo em movimeno, pode-se querer calcular a sua posição em um momeno qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se esimar os preços, e assim por diane. O processo de ober uma função a parir de sua derivada é chamado de aniderivação ou inegração indefinida. Primiiva ou Aniderivada: Uma função F para a qual F () f() para qualquer no domínio de f é chamada de primiiva ou aniderivada de f. Eemplos: ) F ( ) é uma primiiva de f ( ) + 5, pois F () + 5. ) F ( ) ln( ) + cos( ) 7, > 0, é uma primiiva de f ( ) sen ( ), pois F ( ) sen ( ). Observação: A primiiva não é única. De fao, a função f ( ) + 5, por eemplo, poderia er F ( ) , F ( ) + 5 ou F ( ) + 5, onde C é uma consane qualquer, como primiiva. O mesmo se aplica para a função do eemplo ). Porano, emos a seguine propriedade para primiivas: Propriedade: Se F é uma primiiva de uma função conínua f, enão qualquer oura primiiva de f em a forma G() F(), onde C é uma consane. Inegral Indefinida: Se f é uma função conínua, enão a sua inegral indefinida é dada por f ( ) d F( ), 0

2 onde F é uma primiiva de f, C é uma consane, chamada consane de inegração, o símbolo é chamado sinal de inegração, f() é o inegrando e d é a diferencial de, nese coneo, um símbolo indicando que a primiiva deve ser calculada em relação à variável. Dica: Para verificar se uma primiiva foi calculada correamene, deermine a derivada da solução F(). Se essa derivada for igual a f(), enão a primiiva esá correa; se for diferene, eise algum erro nos cálculos. A ligação que eise enre derivadas e primiivas permie usar regras já conhecidas de derivação para ober regras correspondenes para a inegração. Assim emos o que chamamos de inegrais imediaas, as quais são apresenadas na abela abaio: k d k, k cons an e sen ( ) d cos( ) n+ n d, n sec ( ) d ) n + d ln, 0 cos sec ( ) d co ) e d e sec( ) ) d sec( ) cos( ) d sen( ) cos sec( ) co ) d cos sec( ) Regras algébricas para Inegração Indefinida: ) k f ( ) d k f ( ) d, k uma consane qualquer. ) [ ( ) ) ] d f ( ) d ± f ± ) d Observação: Não eise regra para a inegral do produo e do quociene de duas funções.

3 Eemplos: Calcule as inegrais indefinidas abaio: ) ( ) d ) d + d + 7ln 5 / e e e ) + d + / d + 5 4) d cos sec ( ) d co ) + sen ( ) C d sen( ) sec( ) 5) ( cos( ) sec( ) ) ) 6) Esima-se que daqui a meses a população de cera cidade eseja aumenando à aa de 4+5 / habianes por mês. Se a população aual é habianes, qual será a população daqui a 8 meses? Solução: Seja p() a população da cidade no empo (medido em meses). A aa de variação de uma função é dada pela sua derivada. Assim, emos p () / e, porano, p ( ) (4 + 5 / ) d /. Como p(0) 0.000, subsiuindo na equação, enconramos C Logo, a função que represena a população num insane qualquer é dada por p ( ) / e, conseqüenemene, daqui a 8 meses a população será de p(8) habianes. 7) Um corpo esá se movendo de al forma que sua velocidade após minuos é v() m/min. Que disância o corpo percorre no erceiro minuo? Solução: Seja s() a posição do corpo no empo. Como a velocidade é dada pela derivada da função posição, segue que s () v(), ou seja, disância que o corpo percorre no erceiro minuo é dada por s ( ) v( ) d ou s() + +. A

4 s() s() C 0. Porano, o corpo percorre 0 meros no erceiro minuo. 8) Um esudo ambienal realizado em cera cidade revela que daqui a anos o índice de monóido de carbono no ar esará aumenando á razão de 0, + 0, pares por milhão por ano. Se o índice aual de monóido de carbono no ar é de,4 pares por milhão, qual será o índice daqui a anos? Solução: Seja i() o índice de monóido de carbono no ar no empo. Enão, i () 0, + 0,, ou i() 0, / + 0,. Como i(0),4, segue que C,4, ou seja, o índice de monóido de carbono no ar em um empo qualquer é dado por i() 0, / + 0, +,4. Em paricular, quando, em-se um índice de i() 4,5 pares por milhão. 9) Um boânico descobre que cero ipo de árvore cresce de al forma que sua alura h(), após anos, esá variando a uma aa de 0,06 / + 0, / meros/ano. Se a árvore inha 60 cm de alura quando foi planada, que alura erá após 7 anos? Solução: Temos h () 0,06 / + 0, / e, porano, a alura da árvore após anos será dada por 5 / / 0,06 0, h ( ) (0,06 / + 0, / ) d +. 5 Como h(0) 0,6, segue que C 0,6 e, subsiuindo na epressão de h, emos 5 / / 0,06 0, h ( ) + + 0,6. Assim, após 7 anos a árvore medirá h(7) 8, , ,6 7,4 meros. Mudança de variável: Se f é uma função que se apresena na forma f ( ) u( )) u'( ), ou seja, se na epressão de f aparecer uma função e sua derivada, enão a sua inegral em relação a pode ser calculada do seguine modo: f ( ) d u( )) u'( ) d u) du, onde du u'( ) d. Ese méodo de inegração é chamado de mudança de variável, no qual mudamos a variável para u, calculamos a inegral em relação a u e depois reornamos a resposa para.

5 Eemplos: ) Calcule as inegrais abaio: a) + d Seja u( ) + du d. Subsiuindo no inegrando, emos: du C, já que + > 0 para odo. + u d ln u ln( + ) + b) ( ln ) d Seja u( ) ln du d. Subsiuindo no inegrando, emos: ( ln ) u ln C. d u du + e d c) cos ( e ) Seja u( ) e du e d. Subsiuindo no inegrando, emos: e d du sec u du g ( u) e ) cos ( e ) cos u. d) 4 cos( 5 ) d du Seja u ( ) du 5 d d. Subsiuindo no inegrando, emos: cosu du 5 cos( ) d cosu du senu sen( )

6 EXERCÍCIOS ) Enconre a inegral das funções abaio e verifique se os cálculos esão correos, derivando o resulado: a) f ( ) + b) f / 4 / 4 ( ) 5 7 c) e) u + u f ( u) d) u ) + + f ( y) y y + y f) u 6 h( u) e + + u ln g) f ( ) sec ( ) h) v ( ) cos( ) sen( ) i) f ( ) ) j) k) ( ) ( + ) 5 f l) f ( ) e y f ( y) y ( + 5) m) ep( ) f ( ) n) ln(5) f ( ) o) f ( ) sen( ) p) f ( ) + 8 ) Seja f() o número oal de iens que uma pessoa consegue memorizar, minuos após ser apresenado a uma longa lisa de iens. Os psicólogos chamam a função y f() de curva de aprendizado e a função y () f () de aa de aprendizado. O insane de máima eficiência é aquele para o qual a aa de aprendizado é máima. Suponha que a aa de aprendizado seja dada pela epressão f ( ) 0,(0 + 0,6 ), 0 5. a) Qual é a aa de aprendizado no insane de máima eficiência? b) Qual é a função f()? c) Qual é o maior número de iens que uma pessoa consegue memorizar? ) Um corpo esá se movendo de al forma que sua velocidade após minuos é v() m/min. Que disância o corpo percorre no segundo minuo? 5

7 4) Depois que os freios são aplicados, um carro perde velocidade à aa consane de 6 meros por segundo por segundo. Se o carro esá a 65 km/h (8 m/s) quando o moorisa pisa no freio, que disância o carro percorre aé parar? 5) De acordo com uma das leis de Poiseuille para o fluo de sangue em uma aréria, se v(r) é a velocidade do sangue a r cm do eio cenral da aréria, a aa de variação da velocidade com r é dada por v (r) - ar, onde a é uma consane posiiva. Escreva uma epressão para v(r) supondo que v(r) 0, onde R é o raio da aréria. 6) O valor de revenda de uma cera máquina diminui a uma aa que varia com o empo. Quando a máquina em anos de idade, a aa com que o valor esá mudando é -960 e -/5 reais por dia. Se a máquina foi comprada nova por R$ 5.000,00, quano valerá 0 anos depois? 7) Em um cero subúrbio de Los Angeles, a concenração de ozônio no ar, L(), é de 0,5 pares por milhão (ppm) às 7h. De acordo com o serviço de meeorologia, a concenração de ozônio horas 0,4 0,0 mais arde esará variando à razão de L'( ) ppm/h a) Epresse a concenração de ozônio em função de. Em que insane a concenração de ozônio é máima? Qual é a máima concenração? b) Faça o gráfico de L() e, baseado nele, responda as pergunas do iem a). Deermine em que insane a concenração de ozônio é a mesma que às h. 8) Uma empresa monou uma linha de produção para fabricar um novo modelo de elefone celular. Os aparelhos são produzidos à razão de dp d unidades/mês. Deermine quanos elefones são produzidos durane o erceiro mês. 6