APLICAÇÃO DE MODELAGEM NO CRESCIMENTO POPULACIONAL BRASILEIRO

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1 ALICAÇÃO DE MODELAGEM NO CRESCIMENTO OULACIONAL BRASILEIRO Adriano Luís Simonao (Faculdades Inegradas FAFIBE) Kenia Crisina Gallo (G- Faculdade de Ciências e Tecnologia de Birigüi/S) Resumo: Ese rabalho raa da implemenação de modelagem quano ao crescimeno da população do Brasil. alavras-chave: modelagem populacional; Modelo Malhusiano; crescimeno populacional; IBGE. 1. Inrodução: rimórdios da modelagem O homem sempre desejou enender o seu planea e o mundo em geral. A primeira necessidade da humanidade foi conquisar o domínio de seu meio ambiene. A segurança conra predadores e fenômenos naurais, a busca da alimenação e a organização social dos núcleos humanos desperaram os primeiros quesionamenos dos homens, privilegiando a ação sobre o concreo. Na medida em que as necessidades do espírio humano foram se ornando mais complexas, cresceram as carências por aperfeiçoar o processo de compreensão do mundo. Na impossibilidade de lidar direamene com complexidade do mundo, o homem em se mosrado cada vez mais hábil na criação de meáforas para a represenação e solução de sua relação com esse mundo. Esse processo de busca de uma visão bem esruurada da realidade (esclarecimeno) é fundamenalmene um fenômeno de modelagem que é ão anigo quano à própria Maemáica, surgindo de aplicações na roina diária dos povos anigos. Desde a aniguidade, a Maemáica vem servindo como insrumeno para inerprear o mundo. Como uma forma de inerprear ais fenômenos, os homens fazem uso da Maemáica, consroem modelos, e rabalham a Maemáica como uma das ferramenas na busca de soluções. A busca dessas soluções para descrever ais fenômenos ou siuações vai ao enconro da Modelagem Maemáica, cujo objeivo é equacionar uma siuação real e auxiliar na omada de decisão aravés da uilização de ferramenas maemáicas. 2. Modelagem opulacional A aplicação de modelagem no esudo das populações, qual aparenemene segue regras desordenadas, cujo foco é o esudo das populações humanas, onde verificamos as axas de naalidade, moralidade, imigração, emigração de um pais ou região, permiindo aos governanes deerminarem os recursos necessários para o aendimeno das necessidades básicas da população. A parir desses dados esaísicos e de uma modelagem adequada, é possível prever axas de crescimeno fuuras das populações em análise e assim, caso necessário, auar no dimensionameno de recursos para essas populações ou no conrole efeivo da mesma, caso o crescimeno seja indesejável.

2 Ese arigo em como objeivo mosrar a aplicação da modelagem no crescimeno populacional brasileiro, para iso iremos considerar o Modelo de Malhus, adivindo de Thomas Malhus ( ). ara isso, usaremos como ferramenal maemáico as equações diferenciais, em paricular as de variáveis separáveis. 3. Thomas Malhus Thomas Rober Malhus nasceu enre 14 e 17 de fevereiro de 1776, em The rookery, no Condado de Surrey, na Inglaerra. Em 1788 formou em Maemáica e em 1797 ordenou-se sacerdoe da Igreja Anglicana. Em 185 passa a lecionar economia políica e hisória em Haileybury e vive como um modeso vigário rural. Malhus, figura cenral em esudos na hisória da população, em 1978, publicou anonimamene seu Essay on opulanion (Ensaio sobre a população), no qual afirma que a população cresce em progressão geomérica, enquano a produção de alimenos aumena em progressão ariméica. A solução para eviar epidemias, guerras e ouras caásrofes provocadas pelo excesso de população, consisiriam, segundo ele, na resrição dos programas assisenciais públicos de caráer cariaivo e na absinência sexual dos membros das camadas menos favorecidas da sociedade. Suas idéias eram de que o nível de condições de sobrevivência esava decaindo devido a basicamene rês elemenos: - Elevada produção de Jovens (Crescimeno vegeaivo alo) Inabilidade roduiva de Recursos (recursos escassos) Irresponsabilidade das Classes mais baixas. Foi eleio membro da Royal Sociey em 1819, nos anos seguines recebeu grande número de homenagem e honras acadêmicas. Malhus morreu em Sain Caherine, em 23 de dezembro de Suas principais obras são: rinciples of oliical Economy, 182; The Measure of Value Saed and Illusraed, 1823, Tooke -- On High and Low rices, 1823; Quaerly Rev "oliical Economy, 1824; Quarerly Rev A Summary View of he rinciple of opulaion, 183 e Definiions in oliical economy, Modelo Malhusiano Uma maneira comum de modelar uma população, conudo, é por meio de uma função derivável que aumena a uma axa proporcional ao amanho da população. Um modelo desse ipo de crescimeno populacional é o modelo Malhusiano, advindo de Thomas Malhus ( ) Seu modelo é baseado em dois posulados: 1. O alimeno é necessário à subsisência do homem ; 2. A paixão enre os sexos é necessária e devera permanecer aproximadamene em seu esado permanene. Supondo, enão, que ais posulados esejam garanidos, Malhus afirma que a capacidade de reprodução do homem é superior a capacidade da erra produzir meios para a sua subsisência e, a inibição do crescimeno populacional é devida à disponibilidade de alimenos. O modelo de Malhus propõe um crescimeno de vida oimizado, sem guerra, fome, epidemia ou qualquer caásrofe, onde odos os indivíduos são idênicos, com o mesmo comporameno. A idéia de Malhus é a de que a axa na qual uma população cresce é proporcional ao seu amanho, e isso na linguagem das equações diferencias quer dizer:

3 d = k (eq.2) dt onde k é a diferença enre a axa de naalidade e a axa de moralidade. Logo T represena o empo decorrido desde o início do experimeno, e represena o amanho da população no empo T, iso é, é variável dependene e T é a independene. Se k>, a população apresena-se crescene, se k< a população decai de acordo com o empo, porém se k=, ou seja, se a axa de naalidade for exaamene igual a axa de moralidade a população permanecerá consane no empo. Ese modelo é suficienemene simples e válido, se o crescimeno de nossa população esá sujeio apenas às axas de naalidade e de moralidade, se não ocorre migração, e se podemos considerar a diferença enre as axas de naalidade e de moralidade consane, eremos que o valor de k é uma consane e assim podemos modelar a população de acordo com o empo pela fórmula: kt ( T ) =. e (eq.3) ara chegarmos a esa solução específica, usamos uma condição inicial, como um valor conhecido do início do experimeno. Enão, quando T= a população é. Assim, nossa condição inicial é ( ) =. Colocando isso juno com a equação diferencial original, obemos um problema de valor inicial para o modelo de Malhus. A equação diferencial é resolvida por uma separação de variáveis: d = kdt A condição inicial é subsiuída nese resulado na inegração da equação diferencial: ( T ) T d = k dt Obendo-se assim ln ( T ) kt = kt o que implica em ( T ) =. e (eq.4) Temos uma consane k que só pode ser solucionada se puder ober algum dado da população por algum empo poserior, conforme vimos, consideramos que k represena uma diferença enre as axas de naalidade e moralidade da população em esudo, sendo k considerada um valor consane com o empo na resolução dese problema. Devemos noar que a função ( T ) que obemos é uma aproximação conínua da população, a qual aumena por números ineiros. O modelo Malhusiano, devido à curva exponencial de ( T ), pode ser denominado como modelo de crescimeno exponencial ou de forma J, onde a lera J represena jusamene o formao da curva exponencial. Conforme vimos o crescimeno de forma J é expresso basicamene por: kt ( T ) =. e Onde k represena uma consane de crescimeno da população, a qual assumiu inicialmene ser dependene apenas de axas consanes de naalidade e moralidade. 5. Cálculo da axa de crescimeno populacional

4 Vamos admiir que as axas de ferilidade n e de moralidade m sejam consanes. Essas hipóeses são realísicas em uma população grande que varia em condições ideais, iso é, quando odos os faores inibidores do crescimeno esão ausenes (a população em recursos ilimiados e não inerage com compeidores ou predadores). Temos que k = n m (coeficiene de naalidade menos o de moralidade) é a axa de crescimeno específico da população ( ),aqui considerada consane. Assim, ( +1) ( ) = n m = k. (eq.5) () A eq.5 represena a variação relaiva da população que é consane, ou seja, que a variação da população é proporcional à própria população em cada período de empo. +1 = k. (eq.6) O modelo de Malhus é dado por: ( ) ( ) ( ) Considerando dada população inicial ( ) =, a solução de (eq.5) é obida por recorrência da expressão: + 1 = ( 1+ k) () = Assim dados dois sensos e anos é obida de (eq.7), fazendo:, ou seja, ( k 1) + = (eq.7), a axa de crescimeno demográfico em ( k + 1) = k = 1 (eq.8) Lembrando que a (eq.3) pode ser escria na forma exponencial, observe: ln( 1+ k ) = e. (eq.9) 6. Aplicação do Modelo Malhusiano aos dados do IBGE Censos demográficos do Brasil de 194 a 2 eríodos opulação Taxas de Crescimeno (% a.a) , , , , , , , ,64 Tabela.1

5 Com base nos dados da abela 1, dados dois censos, 194 é = , e dez anos depois, 1 = , a axa de crescimeno populacional média (relaiva), enre 194 e 195 é dada por: α = = 1, =, ,3% ao ano. por: Se considerarmos as populações enre os censos de 194 e 1991, α é dada α = , = o que permie afirmar que a população brasileira cresceu a uma axa media de, aproximadamene, 2,5% ao ano neses 51 anos. A abela abaixo fornece os censos demográficos do IBGE e as axas de crescimeno calculadas de período em período, segundo (eq.8) do modelo Malhusiano. eríodos opulação Taxas de Crescimeno (% a.a) , , , , , , , ,97 Tabela 2 A abela abaixo fornece a esimaiva do IBGE para a população projeada com a axa de crescimeno calculadas de período em período segundo Modelo Malhusiano eríodos opulação Taxas de Crescimeno (% a.a) , , , , ,7 Tabela 3 Segundo dados do IBGE a população projeada no ano de 262 erá sua axa de crescimeno zerada.

6 odemos concluir que a preocupação de Malhus não era em vão, pois a população esá crescendo e pode fuuramene ser uma preocupação mundial. 7. Referências Bibliográficas hp://allan.cefeba.br/populacao/modelagem.hml hp://economiabr.ne/biografia/malhus.hml hp://biomania.com.br/biografias/homasmalhus.php Bassanezi, Ridney Carlos. Modelagem Maemáica uma nova esraégia. S: Conexo, 21. hp://