CAPÍTULO 1 REPRESENTAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS. Sistema monovariável SISO = Single Input Single Output. s 1 s s n

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1 1 CAPÍTULO 1 REPREENTAÇÃO E CLAIFICAÇÃO DE ITEMA 1.1. Represenação de ssemas semas com uma enrada e uma saída (IO) e sema monovarável IO = ngle Inpu ngle Oupu s e = enrada s = saída = ssema sema com váras enradas e saídas (MIMO) e... e n s 1 s... s n e = enrada s = saída = ssema MIMO = Mulple Inpu Mulple Oupu 1.. Classfcação de ssemas semas lneares e não-lneares Dado o ssema e s a) Prncípo da Homogenedade e para s 1 Enão para k ks 1 Dz-se que o ssema aende o Prncípo da Homogenedade.

2 b) Prncípo da Avdade e para s 1 e e s enão k 1 k e k 1 s 1 k s Dz-se que o ssema aende o Prncípo da Lneardade. Defnção 1: Um ssema é o lnear se ele aende o prncípo da lneardade. Caso conráro é o não-lnear. E xemplo 1: Verfcar se o ssema = e é lnear. Para uma enrada 1 = E para e = e Para a enrada k 1 k e = (k 1 k e ) Mas como k1s 1 k s = k 1 k e ) = (k 1 k e ) Tem-se que k 1 k e k 1 s 1 k s O ssema aende o Prncípo da Lneardade, porano o ssema = e é lnear!

3 3 Exercíco 1: eja o ssema =aeb, onde e é a enrada e a e b são consanes. Verfque se o ssema é lnear e, em caso conráro, verfque qual dos prncípos ele não aende. Exercíco : eja o ssema y=sen(x), onde x é a enrada e y é a saída. Verfque se o mesmo é lnear. Exercíco 3: eja o ssema y= dx x, onde x é a enrada e y é a saída. Verfque se o mesmo é lnear. Pode ser faclmene verfcado que o ssema do exercíco 1, ou seja, y=axb, não aende nenhum dos prncípos esudados. endo assm, podemos afrmar que ese ssema é não lnear (a pror). Noe, enreano, que ese ssema descreve a equação de uma rea, conforme lusrado abaxo. b y y=axb onde x é a enrada e y é a saída -b a b Observe que para uma enrada nula x= a saída não é nula y. Iso sgnfca que o ssema não esá em repouso, ou em ouras palavras, possu condções ncas não nulas. Com base na análse fea aé aqu, podemos conclur que embora a relação enrada-saída seja descra por uma rea, esa relação não é lnear. Observe agora que, se deslocarmos o exo y de uma quandade b, eremos a segune relação: b y y = y b y = y b = ax b b b x Logo y = ax

4 4 Com ese deslocameno do exo y obém-se um ssema cuja relação enradasaída é lnear y = ax (verfque). Ese deslocameno consse, na práca, na consderação de que o ssema esá ncalmene em repouso ou relaxado. Logo, para uma enrada x= emos uma saída y =. e o ssema analsado for um crcuo RC, por exemplo, consdera-se que o capacor esá compleamene descarregado anes do crcuo ser almenado. A segur é apresenada uma defnção formal de lneardade. Lneardade: Um ssema relaxado é o ser lnear, se e somene se H (α 1 µ 1 α µ ) = α 1 Hµ 1 α Hµ () para quasquer enradas µ 1 e µ e para quasquer números reas α 1 e α. De ouro modo, o ssema é o ser não lnear. Obs.: H é um operador ou função que especfca a relação enre a enrada µ do ssema e sua saída y. Na leraura de engenhara, a condção acma () é comumene escra como: H(µ 1 µ ) = Hµ 1 Hµ e H(α µ 1 ) = αhµ 1 () () Para quasquer µ 1 e µ e qualquer real α. É fácl verfcar que a condção () e o conjuno de condções () e () são equvalenes. A relação () é chamada de Propredade da Avdade e a relação () é denomnada de Propredade da Homogenedade. e um ssema relaxado em esas duas propredades, ele é o ser lnear. Noe que se um ssema qualquer não sasfaz uma das condções anerores () ou (), podemos afrmar que ese ssema é não lnear. Nese nsane, surge uma quesão mporane: Podemos conclur a respeo da lneardade de um ssema se esarmos apenas uma das condções e verfcarmos que a mesma é sasfea? Ou,

5 5 de oura forma: A verfcação de uma das condções é sufcene para afrmar que o ssema é lnear? Em geral, a propredade da Homogenedade não mplca na propredade da Avdade, ou seja, um ssema pode sasfazer a propredade da Homogenedade e não sasfazer a da Avdade. A propredade da Avdade, no enano, mplca na propredade da Homogenedade, ou seja, a condção H(µ 1 µ ) = Hµ 1 Hµ para quasquer µ 1 e µ mplca em H(α µ 1 ) = αhµ 1 para qualquer número raconal α. endo assm, se a propredade da Avdade for verfcada, podemos conclur de medao, que o ssema é lnear. Obs.: Esas conclusões são váldas apenas quando consderamos o ssema ncalmene em repouso, ou seja, relaxado. Afrmamos, anerormene, que a lneardade de um ssema é uma propredade do mesmo e que ndepende da enrada aplcada. Para ornar so mas claro vamos usar um ssema lnear basane smples y()= x(). É fácl provar que ese ssema é lnear usando as propredades esudadas anerormene. Consdere agora uma enrada x 1 ()= sen() e oura x ()=. as curvas de resposa para cada uma das enradas são mosras abaxo. y 1 Y Observe agora a curva enrada X saída dese mesmo ssema. y() y()= x() x()

6 6 É mporane lembrar que a curva raçada acma é válda para qualquer enrada x(), pos y()= x() sempre. endo assm, a relação enre a enrada e a saída do ssema é lnear, ndependenemene da enrada aplcada. Mas o que podemos afrmar sobre o ssema se analsarmos as curvas de resposa y 1 () e y ()? Podemos analsar a lneardade do ssema aravés desas curvas? Num prmero momeno o leor pode enender que o fao da resposa dese ssema não descrever uma rea é movo para afrmar que ese não é lnear. No enano, se fzermos uma pequena reflexão podemos enender que esa mpressão é compleamene absurda: se a enrada de um ssema for uma senóde, por que devera sua saída crescer ndefndamene de forma lnear?. endo assm, para analsar a lneardade de um ssema não é possível fazêlo a parr de uma curva de resposa dese ssema no empo. Exercíco: ejam os dos ssemas abaxo y 1 =(x 1 ) e y =(x ) : a) Classfque-os quano à lneardade, provando maemacamene. b) Consdere uma enrada x()= [rampa]. Obenha as curvas de resposas dos dos ssemas e comene sobre o que podemos afrmar sobre eses ssemas com base nesas curvas. c) Consdere agora uma enrada x()=µ() [degrau]. Obenha as curvas de resposas dos dos ssemas e compare com as curvas obdas no em aneror. Qual a conclusão que podemos esabelecer aravés desa análse? d) Obenha a curva que relacona, de forma esáca, a enrada e a saída dos ssemas 1 e, ou seja, y 1 X x 1 e y X x. O que podemos afrmar a respeo deses ssemas aravés desa análse?

7 7 sema s 1 K 1 s 1 k 1 PLOT k 1 k 1 sema s Prncípo da Homogenedade sema s 1 PLOT s 1 s e sema s e sema s e Prncípo da Avdade k 1 (k 1 k e ) sema s PLOT e k sema s 1 k 1 k 1 s 1 e sema s k k s k 1 s 1 k s Prncípo da Lneardade

8 8 d) Prncípo da uperposção O prncípo da uperposção esabelece que a resposa s() de um ssema lnear, devdo a váras enradas (), e (),..., e n () agndo smulaneamene, é gual à soma das resposas de cada enrada auando soznha. Iso é, se s () é a resposa devda à enrada e (), enão s() = s ( ) n = 1 Exemplo : Dado o ssema lnear descro por: s()= () e () onde ()= e e ()= são enradas e s() é a saída. Calculando as resposas para cada enrada em-se Quando ()= e e ()= enão s 1 ()= E quando ()= e e ()= enão s ()= A saída oal, resulane da aplcação das duas enradas smulaneamene, é enão gual a s() = s 1 () s () = Noa: O prncípo da uperposção aparenemene segue-se dreamene da defnção de Lneardade e ele perme a consrução de soluções complcadas para equações dferencas lneares a parr de soluções relavamene smples. Uma caracerísca muo mporane que dfere os ssemas lneares dos nãolneares é que o prncípo da uperposção só é aplcável aos ssemas lneares. endo assm, anes de aplcar al prncípo é necessáro verfcar se o ssema é lnear. Exercíco:

9 semas Varanes e Invaranes no Tempo Um ssema é o ser nvarane no empo se seus parâmeros não se modfcam com o empo. Assm, se em um dado nsane a aplcação de uma enrada e() a um ssema, leva a uma resposa s(), se a mesma enrada for aplcada num ouro nsane 1 a resposa desse ssema é dênca, esando apenas deslocada no empo. Exemplo 3: Consdere o ssema abaxo: e() s() e: e() s() 1 1 enão o ssema é INVARIANTE NO TEMPO! Mas se: e() s() 1 1 enão o ssema é VARIANTE NO TEMPO! Um exemplo de ssema varane no empo é uma nave espacal, pos sua massa vara devdo ao consumo de combusível, e a forma gravaconal vara conforme a nave se dsanca da erra.

10 semas Causas e Não-Causas Um ssema é o ser Causal se sua saída só depende dos valores presene e passado da enrada, so é, se s() é a saída, enão s() depende apenas da enrada e(δ) para valores de δ. Um ssema causal é, porano, aquele no qual não se pode anecpar qual será a sua fuura enrada. Em conseqüênca, os ssemas causas são ambém chamados de ssemas fscamene realzáves. Um ssema é o ser não-causal se sua saída aual depende de enradas fuuras. Os ssemas não-causas são ambém chamados de anecpavos ou anda de ssemas não-realzáves. ITEMA LINEARE INVARIANTE NO TEMPO LIT Os ssemas LIT são represenados (analcamene) por equações dferencas lneares a coefcenes consanes, da forma: n = a d y = m = b d x onde os coefcenes a e b são consanes e ndependenes do empo. Exemplos: d y dy 1) y = x LIT d y dy ) y = x LVT d y dy 3) x y = x NLIT d y dy 4) x y = x NLVT Lembree: Uma equação dferencal é lnear se os seus coefcenes são consanes ou apenas funções da varável ndependene.

11 11 REVIÃO OBRE EQUAÇÕE DIFERENCIAI Uma equação dferencal ordnára é uma gualdade envolvendo uma ou mas varáves dependenes, uma varável ndependene e uma ou mas dervadas das varáves dependenes com relação à varável ndependene. Uma equação dferencal da forma n n 1 d y d y dy an a 1... a1 a y x( ) n n = n 1 n d y( ) ou, mas compacamene, a = x( ) = onde, a (=,1,...,n) são consanes, é uma equação dferencal ordnára, y() e x() são varáves dependenes e é a varável ndependene. Uma equação dferencal lnear é uma equação dferencal conssndo na soma de ermos lneares, sendo que um ermo lnear é aquele cujas varáves dependenes e suas dervadas são do prmero grau. Obs.: É mporane salenar que os ermos grau de uma dervada e ordem são erroneamene confunddos e que se deve omar aenção a esa dsnção, conforme colocado abaxo. d y é um ermo de prmero grau na varável dependene y. No enano, ese ermo consse numa dervada de segunda ordem. Observe agora o ermo dy. Claramene dferene do ermo analsado anerormene, ese é um ermo de segundo grau, embora conssa de uma dervada de prmera ordem. endo assm, se uma equação dferencal coném ermos que são poêncas mas alas, produos, ou funções ranscendenas das varáves dependenes, ela é não lnear.

12 1 dy dy Tas ermos ncluem, x, senx, x,... Qualquer equação dferencal ordnára 3 n m d y a ) = = = d x ( b ( ) na qual os coefcenes a () e b () dependam apenas da varável ndependene, é uma equação dferencal lnear.