Solução numérica de equações diferenciais ordinárias. Problema de valor inicial (PVI)

Transcrição

1 Solução numérca de equações derencas ordnáras Problema de valor ncal PVI 4 5

2 Inrodução 4 5

3 Uma equação derencal ordnára é denda como uma equação que envolve uma unção ncógna e algumas das suas dervadas avaladas numa varável ndependene : ' ''... n n Nas cêncas aplcadas a ulzação de equações derencas em como objecvo descrever o comporameno dnâmco de ssemas 4 5 íscos. Por exemplo o comporameno dnâmco de um crcuo pode ser descro por uma equação derencal.

4 Tpos de equações derencas 4 5

5 Equações derencas ordnáras EDO Esas são equações derencas que possuem apenas uma varável ndependene como por exemplo: d d é unção de e é a únca varável ndependene. d d d d x x e x são unções de ; é a únca varável ndependene. e x são unções de ; é a únca varável ndependene. Esa é de segunda ordem. 4 5

6 Equações derencas parcas EDP Uma equação derencal parcal é aquela cuja unção ncógna depende de duas ou mas varáves ndependenes. Exemplo u x u u é unção de x e ; x e são varáves ndependenes. EDP lnear de ª ordem e omogénea equação de Laplace. 4 5

7 Exemplo Resolva a equação derencal d d analcamene. d d d d d d ln c c ln c c uma consane. c e e e c. Tomando c e obemos: e.

8 A solução da equação derencal resula numa amíla de curvas que dependem da consane como pode ser vso na gura abaxo. Uma solução parcular pode ser obda a parr das condções ncas do problema. A especcação de uma condção ncal dene uma solução enre a amíla de curvas. e 4 5

9 No exemplo aneror especcando uma condção ncal: obemos a solução e. d d 4 5

10 Ceras equações derencas podem ser resolvdas analcamene como o o caso no exemplo aneror. No enano so nem sempre é possível. Nese caso a solução é obda aravés de um méodo numérco. 4 5

11 O eorema segune ornece uma condção sucene para a exsênca de uma únca solução de um problema de valor ncal. 4 5

12 Teorema Consdere o problema de condção ncal: Seja ' a α [ a b]. { R : a b < < } D e conínua em D. Se exsr L > al que < L para qualquer para [ a b]. D enão o problema em uma solução únca 4 5

13 Méodo de Pcard 4 5

14 O méodo de Pcard aproxma a solução valores ncas do problema de ' a α [ a b] por oura unção n recorrendo ao méodo eravo onde a x x dx... e α. 4 5

15 Se orem saseas as condções do eorema aneror enão quando ende para a solução do problema. n n Uma esmava do erro da aproxmação n pode ser obda por: n n 4 5

16 Exemplo Consdere o problema de valores ncas 3 '. Enconre uma aproxmação do problema ulzando o méodo de Pcard.. Indque uma esmava do erro absoluo da aproxmação Indque uma esmava do erro absoluo da aproxmação aneror em dx x dx x dx x x dx x x x dx x x dx x x x x dx x x.

17 O erro em pode ser esmado por

18 Consdere a EDO de prmera ordem com condção ncal : a b a a ]; [ ' * 4 5

19 Na solução numérca não se deermna a expressão leral da solução do problema de valor ncal PVI mas sm uma solução aproxmada num conjuno dscreo de ponos. Nos problemas das cêncas aplcadas esuda-se o comporameno dnâmco de deermnadas varáves porano necessa-se da evolução das varáves em unção da varável ndependene. A parr dos dados numércos é possível gerar um esboço do gráco da unção ncógna. 4 5

20 Os méodos numércos para resolver o PVI são méodos que deermnam aproxmações... n em... Consderemos b a... n. n sendo n o número de subnervalos de [ab]; cama-se o passo da mala. a < <... < n n... n [ a b] b para a solução exaca camados ponos da mala. equdsanes n 3 a 3 n b 4 5

21 Méodos de passo smples 4 5

22 Méodos baseados na sére de Talor 4 5

23 Suponamos que em dervadas conínuas ae à ordem no nervalo Para cada a sére de Talor de em orno de é :!! "! ' ξ L. com ξ Assm desprezando o úlmo ermo do membro dreo [ ]. a b... n 4 5! "! ' L e como sasaz a equação derencal * e podemos escrever.! '! L

24 ....! "! ' ; n L α O erro local é dado por: Desgnando emos o méodo de Talor de ordem j j : 4 5 O erro local é dado por: onde! e ξ. ξ

25 Se em dervadas conínuas aé à ordem no nervalo ecado [ab] que coném os ponos sobre os quas esamos a azer a dscrezação enão exse M max [ a b] e ξ M ξ [ a b]. Assm emos um lme superor para o erro global: M max e [ a b]! C 4 5

26 Um méodo numérco é do de ordem consane C> al que: m> se exse uma e < C m para n onde C depende das dervadas da unção que dene a equação derencal. 4 5

27 Para aplcar o méodo da sére de Talor de ordem : ' '' L!! emos de calcular ' '' '''

28 Temos. ' Consderemos o méodo da sére de Talor de ª ordem: '... onde ' ' ou em noação smplcada Noa: ec. ' 4 5

29 Observe que '' A expressão da ercera dervada já nos mosra a dculdade dos cálculos de um méodo de Talor de ercera ordem. Observe anda que odos esses cálculos são eeuados para cada... n. 4 5

30 Os méodos que usam o desenvolvmeno em sére de Talor de eorcamene ornecem a solução de qualquer equação derencal. No enano do pono de vsa compuaconal os méodos da sére de Talor de ordem mas elevada são consderados naceáves pos a menos de uma classe resra de unções por exemplo o cálculo das dervadas oas envolvdas é exremamene complcado. 4 5

31 O méodo da sére de Talor de ordem cama-se méodo de Euler: onde ' e " ξ 4 5

32 Exemplo Consdere o PVI: Ulze o méodo de Euler para aproxmar.4 ou gual a 5-4. ' com erro menor O prmero passo é enconrar de modo que: e " ξ 5 4. Nese caso conecemos a solução analíca do PVI: e Enão M max [.4 ] " e.4.48 " ξ M 4 5

33 donde e.48 I [.4] ; enão Porano.3. Consderando ponos gualmene espaçados emos.4/n onde n é o número de subnervalos de I. Assm.4 n.3 Porano omando n.. n.4.3 n.9 n. 4 5

34 Assm e..4. Agora.. e Dado que e.4.48 com quaro casas decmas emos que o erro comedo é <

35 Méodos de Runge-Kua 4 5

36 A déa básca deses méodos é aprovear as qualdades dos méodos de Talor ordem elevada e ao mesmo empo elmnar a sua maor dculdade que é o cálculo das dervadas de que conorme vmos ornam os méodos de Talor compuaconalmene naceáves. 4 5

37 Os méodos de Runge-Kua de ordem n caracerzam-se pelas propredades: - São de passo smples auo-ncanes não dependem de ouros méodos; - Não exgem o cálculo de dervadas parcas de ; - Necessam apenas do cálculo de em deermnados ponos os quas dependem da ordem dos méodos; - Desenvolvendo a sére de Talor de em orno de e agrupando os ermos em relação às poêncas de a expressão do méodo de Runge- Kua concde com a do méodo de Talor de mesma ordem. 4 5

38 Uma ormulação genérca para os méodos de Runge-Kua: M Φ com Φ a a... a m onde os a são consanes e m p p m q m qm qm... q 4 As consanesa q j p são obdas de modo que se obena a mesma precsão que o méodo de Talor de ordem m. m m m 5

39 Méodo de Runge-Kua de ª ordem O méodo de Euler é um méodo de Runge-Kua de ordem m:

40 Méodos de Runge-Kua de ª ordem a a ou seja a a p q Vamos deermnar as consanes. 4 5

41 O desenvolvmeno em sére de Talor da unção p q em orno do pono é dado por: q p a a 4 5 q p q p ermos de. ] [ q p a a ermos de 3 Desa orma o méodo de Runge-Kua pode ser reescro na orma:

42 ] [ q p a a ermos de 3. A expressão: pode ser escra na orma q a p a a a 4 5 q a p a a a ] [ q a p a a a ermos de 3. ermos de 3.

43 Como o méodo de sére de Talor de ª ordem é dado por: e o méodo de Runge-Kua de ª ordem é dado por:... ] [ ermos de ] [ b a b a a a Enão a concordânca dos dos méodos aé é obda se: ermos de 3. b a b a a a

44 Dando um valor a a por exemplo / obemos a segune órmula : onde 4 5

45 Méods de Runge-Kua de ordens superores 4 5

46 De orma análoga podemos consrur méodos de Runge-Kua de 3ª ordem 4ª ordem ec. A segur apresenamos as órmulas para os méodos de Runge- Kua de 3ª e 4ª ordem: 4 5

47 Runge-Kua de 3ª ordem onde

48 Runge-Kua de 4ª ordem onde

49 Observação Os méodos de Runge-Kua apesar de serem auoncáves e não dependerem das dervadas de apresenam a desvanagem de não conecermos para eles uma esmava smples para o erro o que podera ajudar na escola do passo. 4 5