dr = ( t ) k. Portanto,

Transcrição

1 Aplicações das Equações Diferenciais de ordem (Evaporação de uma goa) Suponha que uma goa de chuva esférica evapore numa aa proporcional à sua área de superfície Se o raio original era de mm e depois de hora se rez a mm ache uma epressão para o raio da goa em qualquer empo Sejam r o raio da goa no insane e V o volume da goa no insane Enão de acordo com o enunciado dv k 4 π r = onde k é uma consane de proporcionalidade Noe que < Agora por ouro lado 4 V= π r k r e r é função de Pela regra da cadeia segue que Como ( ) = r = dv dr = 4π r k A e porque ( = ) dr = ( ) r = ( ) r = com em horas e r em milímeros r A+ k = k Porano (Lei de decaimeno radioaivo) Maeriais radioaivos desinegram-se numa aa proporcional à sua quanidade A meia-vida (de um maerial radioaivo) é o empo necessário para que a massa (do maerial) reza-se à meade de seu valor original Sabendo que a meia-vida do Ra 6 é de 6 anos Ache o período de empo necessário para que um corpo feio de Ra 6 reza-se a / 4 de seu amanho original

2 Seja ( ) a quanidade de rádio 6 no insane (em anos) De acordo com o enunciado d = k onde k é uma consane de proporcionalidade Noe que k < k é chamada consane de desinegração Segue que Agora Logo ( ) = ek com ( ) Dese modo obém-se que 6 = e k = 6 = k ( ) e / 6 = /6 4 e = ln= ln 6 ln( /4) ln e 4 = /6 67 anos (Lei de resfriamene de Newon) A emperaura de um objeo varia numa aa proporcional à diferença enre a emperaura do objeo e a emperaura do meio (ambiene) Algebricamene sendo u ( ) a emperaura de um objeo no insane e u a emperaura (consane) do meio (ambiene) em-se que ( u ) = k u

3 onde k é um faor de proporcionalidade Noe que k > se u < u e k < se u > u onde u é a emperaura inicial do objeo Dese modo obém-se o problema de valor inicial cuja solução é dada por k u k u = ( ) u = u ( ) u + ( u u ) ek u = 4 Suponha que a emperaura de uma ícara de café recém-passado seja de 9 o C Um minuo mais arde a emperaura já diminuiu para 85 o C numa sala a o C ue período de empo decorrerá aé que a emperaura do café ainja 65 o C? Considere ( ) u a emperaura do café no insane (em minuos) Pela lei de resfriameno de Newon (e de acordo como enunciado) Daí = u d λ ( ) + λu= λ u e λ = λ u ( ) = 9 eλ ( ) e λ = A+ e λ u Usando a condição inicial segue que A = 7 e por conseguine Além disso u ( ) = + 7 e λ

4 Logo u( ) Segue enão que u ( ) = = =e λ 7 65 = ( 45/7) ( 65/7) ln = 95 ln 5 minuos 5 (Concenração em uma solução química) Um anque com uma capacidade de 5 liros coném inicialmene liros de água com kg de sal em solução Enra água com kg de sal por liro numa aa de l / min e a misura escoa numa aa de l / min Deermine a quanidade de sal no anque em qualquer empo anerior ao insane em que a solução começa a ransbordar Seja ( ) a quanidade (em kg ) de sal no anque após minuos Enão d é aa de variação da quanidade de sal no anque (no insane ) Ora d (*) ( ) = aa de sal que chega ao a nque aa de sal que sai do a nque Por ouro lado a aa (da quanidade) de sal que chega ao anque (no insane )é dada por kg / l l/min = kg/min Além disso após minuos o volume de água no anque erá crescido de l /min min = l 4

5 Dese modo a aa (da quanidade) de sal que sai do anque (no insane ) é dada por + De (*) decorre que d kg/ l l/min = + kg/min = + Para resolver essa edo considere a mudança de variável Pela regra da cadeia = + d d = que é uma edo homogênea Sendo segue que d = v= = v dv d v + = = v dv= v Resolvendo essa edo (separável) resula que onde k é uma consane Daí ( v ) = k v = k 5

6 Como conclui-se que ( ) ( ) = k = + k = k ( + ) ( ) = ( ) = + ( ) ( + ) 6 (Trajeórias orogonais) As curvas de uma família de curvas que inercepam orogonalmene em cada pono uma dada (oura) família de curvas são denominadas rajeórias orogonais Geomericamene em-se 7 (Trajeórias orogonais a uma família de parábolas) Considere a família de curvas (**) y= k onde k é uma consane Segue que (a equação diferencial da família de curvas dada) y ' = ( ) k é o coeficiene angular (ou declividade) da rea angene à parábola (**) no y Para elimina-se a consane k dessa edo obendo pono ( ) 6

7 y y y' = = Daí devido à condição de orogonalidade y é a declividade da rea normal à parábola (**) no pono ( y) Nouras palavras y' = y é a declividade da rea angene à curva orogonal à parábola (**) no pono y Dese modo a equação de Bernoulli ( ) y y' += ' y = y é a edo para as rajeórias orogonais à família de curvas (**) Sua solução é dada por d d y + = y + = c onde c> é uma consane Porano as rajeórias orogonais de (**) são (uma família de) elipses Geomericamene 7