Programação Dinâmica. Fernando Nogueira Programação Dinâmica 1

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1 Programação Dnâmca Fernando Noguera Programação Dnâmca

2 A Programação Dnâmca procura resolver o problema de otmzação através da análse de uma seqüênca de problemas mas smples do que o problema orgnal. A resolução do problema orgnal de N varáves é caracterzado pela determnação de uma varável e pela resolução de um problema que possua uma varável a menos (N-). Este por sua vez é resolvdo pela determnação de uma varável e pela resolução de um problema de N- varáves e assm por dante. O problema a ser resolvdo é do tpo: -exstem N atvdades ou estágos numerados de a N. -X é a quantdade de recursos colocados nas atvdades ou estágos ( X ) -g (X ) é a unção que representa o ganho ou o retorno devdo a colocação de X recursos na atvdade, Q = x + x x N é a quantdade total de recursos dsponíves. -O objetvo é determnar a dstrbução de recursos X que maxmza o ganho total. R(X, X,...,X N ) = g (X ) + g (X ) +...g N (X N ). consderando que as atvdades são ndependentes e os ganhos g sejam adtvos. Fernando Noguera Programação Dnâmca

3 Formulação mzar R depende de Q e N. Esta dependênca é explcada da segunte manera: N = X ( Q) { R( X,X,..., X )} N (Q) representa o ganho máxmo devdo à dstrbução de Q quantdades de recursos nas N atvdades. Condção Incal a)g () = para cada atvdade (ganho nulo para zeros recursos dstrbuídos). b) N () = para N =,,... (se o total Q de recursos é nulo, o ganho máxmo também é nulo). c) (Q) = g (Q) se exstr N = atvdade, então R(X ) = g (X ). Relação de Recorrênca entre N (Q) e N- (Q) N Ao atrbur a quantdade X N ( X N Q) de recursos à atvdade N, restarão Q-X N recursos a serem dstrbuídos nas N- atvdades restantes e o ganho máxmo provenente dessas N- atvdades pode ser expresso por N- (Q-X N ). Sendo assm, o ganho total das N atvdades pode ser expresso por: g N ( X ) ( Q X ) N + N N Fernando Noguera Programação Dnâmca

4 e se escolhermos X, N que maxmze esse ganho, teremos o valor N (Q) do ganho máxmo devdo à aplcação de Q recursos em N atvdades. Temos então a relação undamental da Programação Dnâmca, dada por: N ( Q) = Q { g N ( X N ) + N ( Q X N )} para N =,,... X N para N = Q = g Q ( ) ( ) Exemplo : Problema de Investmento de Captal Q = $6, undades de captal dsponível N = atvdades derentes para nvestmento e as unções de ganho g (X ) dadas pelo quadro abaxo: Qual a dstrbução ótma do recurso Q = $6, nas atvdades? Fernando Noguera Programação Dnâmca 4

5 Obtenção da unção (Q) da atvdade Condção ncal = g = ( ) ( ) () = g() ( ) = g( ) () = g () = 5 = 4 = 8 ( 4) = g( 4) = 9 () 5 = g() 5 = 95 ( 6) = g ( 6) = Obtenção da unção (Q) da atvdade N (Q) para N= Para Q =, () = pela condção ncal (b) Para Q =, e como os valores possíves de X são e, temos: () = { g ( X ) + ( )} X X ( ) + ( ) () + ( ) g = + 5 = 5 () = = 5 para X = ou X = g = 5 + = 5 escolhemos, como solução ótma X = (podera ter sdo X = ). Para Q =, ( ) = { g ( X ) + ( )} X X Fernando Noguera Programação Dnâmca 5

6 e como os valores possíves de X são, e temos: ( ) + ( ) () + () ( ) + ( ) g = + 4 = 4 ( ) = g = = = 4 para X = ou X g 4 4 = + = = escolhemos, como solução ótma X = (podera ter sdo X = ). Para Q =, () = { g ( X ) + ( )} X X e como os valores possíves de X são,, e temos: ( ) + ( ) () + ( ) ( ) + ( ) () + () g = + 8 = 8 g = = 55 () = = 8 para X = g = = 55 g = 6 + = 6 Prossegundo, pode-se encontrar: Para Q = 4, (4) = 95, para X = Para Q = 5, (5) =, para X = Para Q = 6, (6) = 4, para X = Fernando Noguera Programação Dnâmca 6

7 Obtenção da unção (Q) da atvdade De manera análoga, obtemos (Q): Para Q =, Quadro dos Valores de N (Q) ( ) = { g ( X ) + ( )} X X ( ) + ( ) () + () ( ) + ( ) g = + 4 = 4 ( ) = g = = 4 = 4 para X g 4 4 = + = = Fernando Noguera Programação Dnâmca 7

8 Ganho Máxmo do Investmento Na coluna (Q) obtém-se como ganho máxmo correspondente ao nvestmento nas atvdades, o valor $46,, para Q = 6. A dstrbução é: a) para a atvdade : X = $, (Q) = 46 e subtrando o ganho g () = 6 (do quadro de ganhos) restam anda 46-6 = undades que correspondem ao ganho da aplcação de Q = 5 undades nas outras atvdades. b) para a atvdade, o ganho de undades corresponde a aplcação de X = undades na atvdade e c) para a atvdade, restam, portanto, Q-X -X = undades a serem aplcadas. Portanto, X =. Solução Ótma X = com g () = 8, X = com g () = 4, X = com g () = 6 e R = g + g + g = $46, Fernando Noguera Programação Dnâmca 8

9 Problema da Mochla (Knapsack problem) Objetvo: maxmzar a somatóra dos valores dos tens que serão colocados na mochla, respetando a sua capacdade. Exstem n tens. Cada tem possu um valor c e um peso w assocado. A capacdade da mochla é L. As varáves de controle são x tal que: x n = = w x n c {,} x L Códgo MPL para o exemplo da gura MAX 4X + X + X + X4 + X5 SUBJECT TO X + X + 4X + X4 + X5 <= 5; BINARY X X X X4 X5 Fernando Noguera Programação Dnâmca 9

10 Fernando Noguera Programação Dnâmca Outra versão deste problema é quando as varáves de controle não são bnáras, mas sm nteras (neste caso a solução rá determnar quantas undades de cada produto serão colocados na mochla): = = n n b x L w x x c Outra versão deste problema é quando as varáves de controle são reas, lmtadas por valores máxmos b (neste caso a solução rá determnar a quantdade (grandeza contínua) de cada produto que será colocado na mochla): Ζ = = e x L w x x c n n

11 Exemplo Um navo pode carregar 4 toneladas. Exstem tens. A segunte tabela ornece o peso untáro w em toneladas e o retorno untáro c em $ para cada tem. Como o navo deve ser carregado para maxmzar o retorno total? Item w Uma vez que os pesos w e o peso máxmo que o navo pode carregar W são nteros, as varáves x devem ser somente nteras também. c 47 4 Fernando Noguera Programação Dnâmca

12 Porque w =, o número máxmo de tens que o navo pode carregar é 4/ = 4, que sgnca que os valores de m são,,,,4. Uma alternatva m é vável somente se w m x ( x ) = max{ 4m },max{ m } = = 4 m 4m 4 Solução ótma x m = m = m = m = m =4 (x ) m Fernando Noguera Programação Dnâmca

13 4 ( x ) = max{ 47m + ( x m )},max{ m } = = m 47m + (x -m ) Solução ótma x m = m = (x ) m += +4=4 4 +8=8 8 +4=4 47+= = =6 6 Fernando Noguera Programação Dnâmca

14 4 ( x ) = max{ m + ( x m )},max{ m } = = m m + (x -m ) Solução ótma x m = m = m = (x ) m += +4=4 4 +8=8 += +47=47 +4= =6 +8=59 6+=6 6 Fernando Noguera Programação Dnâmca 4

15 Solução ótma m = x = x -m x = 4 x = => m = x = x m x = x = => m = m =, m =, m = Z = $6, Fernando Noguera Programação Dnâmca 5