Otimização de Processos de Produção de Petróleo via Injeção Contínua de Gás

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Otmzação de Processos de Produção de Petróleo va Injeção Contínua de Gás Exame de qualfcação submetdo a Unversdade Federal de Santa Catarna como parte dos requstos para a obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca Paulo Hroaqu Ruz Nakashma Floranópols, Mao de 2004

2 PAULO HIROAQUI RUIZ NAKASHIMA OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS DE PRODUÇÃO DE PETRÓLEO VIA INJEÇÃO CONTÍNUA DE GÁS FLORIANÓPOLIS 2004

3 Resumo do texto de qualfcação apresentado à UFSC como parte dos requstos necessáros para obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca. Otmzação de Processos de Produção de Petróleo va Injeção Contínua de Gás Paulo Hroaqu Ruz Nakashma Mao/2004 Orentador: Prof. Dr. Danel Pagano Co-Orentador: Prof. Dr. Eduardo Camponogara Área de Concentração: Controle, Automação e Informátca Industral Palavras-chave: Algortmos, Indústra de Petróleo, Métodos de Otmzação, Pesqusa Operaconal. Número de Págnas: v + 86 O sstema de elevação artfcal de petróleo por njeção contínua de gás, conhecdo como contnuous gas-lft ou smplesmente gas-lft é um dos mas utlzados no Brasl e no mundo, devdo ao seu baxo custo relatvo e efcênca satsfatóra em uma vasta gama de condções de operação. Neste sstema de produção, a alocação da taxa dsponível de njeção de gás para um grupo de poços é um problema de grande relevânca. A decsão da taxa de njeção de gás para cada poço normalmente não é ótma, pos é baseada em regras ad hoc. Sendo assm, ganhos substancas podem ser alcançados se estas decsões forem substtuídas por soluções ótmas. Neste trabalho, apresentamos dferentes abordagens para a solução do problema de maxmzar o lucro obtdo com a venda de hdrocarbonetos extraídos de um campo com poços operando va gas-lft. Os algortmos desenvolvdos fornecem a taxa de njeção de gás ótma para cada poço, dadas as restrções do problema, como por exemplo a taxa de njeção dsponível. As técncas já utlzadas e as que serão estudadas na sequênca do trabalho são: Programação Dnâmca, Programação Lnear Intera Msta alada à Teora de Desgualdades Váldas e algortmos Branch-and-Bound e Branch-and-Cut. Os algortmos desenvolvdos até o momento se mostram efcentes para a aplcação em questão. As soluções encontradas possuem alta qualdade (próxmas das soluções ótmas), e o custo computaconal para a obtenção das mesmas é baxo. Estes algortmos consttuem excelentes ferramentas de suporte à decsão, podendo ser embutdos em smuladores comercas de reservatóros de petróleo, substtundo as decsões sub-ótmas normalmente fornecdas pelos pacotes de otmzação contdos nestes smuladores.

4 Sumáro 1 Introdução O Método de Gas-Lft Revsão Bblográfca Objetvos Formulação do Problema Otmzação Modelagem de Problemas Algortmos Formulação do Problema Sumáro Programação Dnâmca Programação Dnâmca para o Problema da Mochla Solução de P ( ) Recorrêncas Algortmo DP para P ( ) Resultados Numércos Solução de P (F ) Recorrêncas

5 3.3.2 Algortmo DP para P (F ) Resultados Numércos Solução de P (G) Recorrêncas Algortmo DP para P (G) Resultados Numércos Resolvendo P W (F ) e P W (G) Sumáro Lnearzação por Partes e Programação Intera Msta Funções Lneares por Partes Defnções de Poledro e Dmensão Descrção de Poledros através de Facetas Caracterzação de Facetas Desgualdades Váldas para o Problema da Mochla Lnearzação por Partes Aplcada a P Desgualdades Váldas para P cpl Resultados Numércos Fatores de Lftng Resultados Prelmnares Sumáro Conclusões e Dreções Futuras Pesqusa Futura A Prova de Sufcênca da Conjectura

6 Lsta de Fguras 1.1 Elementos que compõe um conjunto de poços de petróleo que produzem va gas-lft Esquema de poço operado va njeção contínua de gás Típca curva de desempenho de elevação para um poço operado va njeção contínua de gás Esquema de um processo de formulação e valdação de um modelo matemátco Exemplo de um grafo nduzdo pelas restrções de precedênca Função f(y) e sua aproxmação lnear por partes, f(y) Lnearzação por partes da função do fluxo de saída do poço n v

7 Lsta de Tabelas 3.1 Valores de f k (λ) e de p k (λ) para uma nstânca do problema da mochla Qualdade méda da solução e tempo médo de execução do algortmo com relação ao nível de dscretzação M, para κ(n) = Comparação entre desempenho do por caso e caso médo Resultados da alocação de gás de njeção, Economc Slope [13] e DP Resultados da alocação de gás de njeção, Equal Slope, Ex-In [5] e DP Resultados da alocação de gás de njeção, Separable Programmng [28] e DP Qualdade de aproxmação e tempo de execução para P M (F ) Qualdade de aproxmação e tempo de execução para P M (G) Resultados dos expermentos com Xpress-MP Resultados dos expermentos com glpsol Cronograma para o período entre Junho/2004 a Mao/ v

8 Capítulo 1 Introdução A produção de hdrocarbonetos é realzada através de poços perfurados em formações geológcas rcas em óleo e gás. Os hdrocarbonetos podem flur para a superfíce desde que a pressão do reservatóro seja sufcente para superar a pressão hdrostátca da coluna de fludo do poço somada à perda de carga nas lnhas de fluxo e nas nstalações de superfíce. Quando a pressão do reservatóro não é sufcente para promover o fluxo de fludo até a superfíce, são necessáros métodos artfcas de elevação. A elevação artfcal por njeção contínua de gás (contnuous gas-lft ou smplesmente gas-lft) é uma das formas mas utlzadas de elevação artfcal para produção de petróleo [18], [23]. O sstema de gas-lft é efcente em uma vasta gama de condções de operação, possu custo relatvamente baxo, sua nstalação é smples e requer menos manutenção, se comparado a outros sstemas de elevação artfcal. No Brasl, 90% da produção de petróleo provém de poços submarnos, e estma-se que 60% destes poços operam va gas-lft. Contudo, a necessdade de melhora do desempenho da tecnologa atual é um fato [1]. O aumento, mesmo que de alguns percentuas, na efcênca dos processos de produção de petróleo pode resultar em ganhos substancas, em termos econômcos e ambentas. No sstema de produção de petróleo va gas-lft, o problema de alocação de gás a alta pressão é de bastante relevânca. As nstalações de compressão representam uma parcela sgnfcatva do custo de operação de um campo de petróleo [5], sendo assm é mportante que o gás seja utlzado da manera mas efcente possível [18]. Normalmente, esta alocação é realzada com base em soluções fornecdas por pacotes de otmzação contdos em smuladores de reservatóros comercas. Porém, apesar destes smuladores serem capazes de predzer o comportamento dos reservatóros com uma certa precsão, seus pacotes de otmzação fornecem resultados sub-ótmos, normalmente baseados em regras ad-hoc [28]. Inclur algortmos de otmzação rgorosos nos pacotes de otmzação contdos nos smuladores de reservatóros exstentes no mercado pode trazer grandes benefícos. A segur, descrevemos os prncípos báscos do método de elevação artfcal por njeção

9 1. Introdução 2 contínua de gás, e apresentamos a revsão bblográfca dos trabalhos relaconados ao problema de alocação de gás de njeção encontrados na lteratura. 1.1 O Método de Gas-Lft Quando a pressão do reservatóro é sufcentemente elevada para superar a perda de carga na coluna de produção e nas nstalações de superfíce, os fludos nele contdos são capazes de alcançar a superfíce naturalmente. Os poços que produzem desta forma são denomnados poços surgentes. Quando a pressão do reservatóro é relatvamente baxa, os fludos não alcançam a superfíce sem que sejam utlzados meos auxlares para elevá-los. O mesmo ocorre no fnal da vda produtva por surgênca ou quando a vazão do poço está muto abaxo da produção deal, havendo a necessdade de uma suplementação da energa natural do reservatóro através de elevação artfcal. Utlzando equpamentos específcos reduz-se a pressão hdrostátca no fundo do poço frente aos canhoneados (Fgura 1.2), resultando em um dferencal maor de pressão entre o reservatóro e o nteror do poço, com um consequente aumento de vazão. A elevação artfcal é amplamente utlzada em poços submarnos, especalmente em águas profundas. Os métodos de elevação artfcal mas comuns na ndústra de petróleo são: gas-lft contínuo e ntermtente; bombeo centrífugo submerso; bombeo mecânco com hastes; bombeo por cavdades progressvas. A seleção do melhor método de elevação artfcal para um determnado poço ou campo sempre vsa a maxmzação do uso da energa de produção naturalmente dsponível em um reservatóro. Esta seleção depende de város fatores, como número de poços, quantdade de area trazda pelos fludos produzdos, razão gás-líqudo, capacdade de vazão dsponível, profunddade do reservatóro, vscosdade dos fludos, dsponbldade de energa, nvestmento e custo operaconal. O gas-lft é consderado o método padrão de elevação artfcal devdo a seu amplo campo de aplcação, além de ser o método que mas se assemelha ao processo de fluxo natural. Seu únco requsto básco é que exsta uma quantdade de gás comprmdo dsponível que seja economcamente vável. É um método muto versátl em termos de vazão e profunddade,

10 1. Introdução 3 Gas a baxa pressao ~ Compressores Separador Gas para venda Oleo Agua para tratamento e descarga Gas a alta pressao ~ Poço 1 Poço 2 Oleo + Gas + Agua Choke de njeçao ~ Poço N Choke de produçao ~ Fgura 1.1: Elementos que compõe um conjunto de poços de petróleo que produzem va gas-lft. é propíco para poços que produzem fludos com alto teor de area e elevada razão gáslíqudo, exge nvestmentos relatvamente baxos para poços profundos, e seus custos de nstalação e manutenção são mas baxos que os dos demas métodos [27]. A Fgura 1.1 lustra esquematcamente um conjunto de poços equpados para produzr por gas-lft. O sstema é composto por: fonte de gás a alta pressão (compressores); controlador de njeção de gás na superfíce (choke); controlador de njeção de gás de subsuperfíce (válvulas de gas-lft, Fgura 1.2); equpamentos para separação e armazenamento dos fludos produzdos (separadores e tanques). A Fgura 1.2 mostra o esquema típco de um poço operado va njeção contínua de gás. O sstema de gas-lft funcona da segunte manera. Gás a alta pressão é njetado no espaço anular entre a parede do poço e o tubo de produção, de forma controlada e contínua. O gás entra no tubo de produção através de uma válvula de gas-lft em um ponto próxmo ao fundo do poço, e mstura-se ao fludo exstente na coluna dmnundo sua densdade méda devdo ao efeto de gasefcação. Assm, a componente gravtaconal da pressão no fundo do poço dmnu, até que esta dmnução cause um dferencal de pressão entre a formação e a face dos canhoneados (perforated zone) que seja sufcente para atngr a taxa de produção

11 1. Introdução 4 "Choke" de produçao ~ Separador Oleo + Gas + Agua Valvula de njeçao ~ de gas Gas comprmdo Superfce Gas de elevaçao ~ Tubo de produçao ~ Valvula de gas lft Reservatoro Canhoneados Fgura 1.2: Esquema de poço operado va njeção contínua de gás. desejada. O controle da njeção de gás no poço é feto na superfíce através de um regulador de fluxo (choke). A Fgura 1.3, denomnada curva de desempenho de gas-lft, ou smplesmente WPC (Well Performance Curve), lustra o comportamento da vazão de saída de acordo com a taxa de njeção de gás em um poço que produz va gas-lft. Até certos lmtes, aumentando-se a quantdade de gás na coluna de produção dmnu-se o gradente médo de pressão, com consequente dmnução da pressão de fluxo no fundo e aumento de vazão. Entretanto, a taxa de njeção de gás não pode ser aumentada ndefndamente, pos a altas taxas de njeção a perda de carga no tubo de produção devdo ao atrto se torna domnante, o que tende a reduzr as taxas de produção, além de poder causar danos como corrosão na tubulação. Tpcamente, poços que operam va njeção contínua de gás possuem um comportamento estável a taxas elevadas de njeção e comportamento nstável a baxas taxas. Apesar do fato de que estes poços são operados mas efcentemente em baxas taxas de njeção, as condções nstáves de operação fazem com que um poço não produza a máxma quantdade possível de óleo nestas taxas. Operar um poço va njeção contínua de gás sob condções nstáves traz váras desvantagens. Prmero, os pcos na produção podem ser muto altos, causando condções de operação bastante severas para as nstalações de produção. Segundo, o controle

12 1. Introdução 5 Instavel Estavel Taxa de produçao ~ de Oleo Regao ~ de utlzaçao ~ otma Taxa de njeçao ~ de gas Fgura 1.3: Típca curva de desempenho de elevação para um poço operado va njeção contínua de gás. e alocação da produção se torna muto dfícl. Em outras palavras, exste um lmte mínmo para a taxa de njeção de gás, para que a operação nstável do poço seja evtada, e também um lmte máxmo, além da qual o atrto entre o fludo e a tubulação se torna muto alto, podendo causar danos à tubulação. Outra varável mportante que deve ser controlada é o dferencal de pressão entre o reservatóro e o nteror do poço (drawdown). Este dferencal, que está dretamente relaconado com a taxa de njeção de gás, não deve ultrapassar certos lmtes, podendo causar danos à formação, dmnundo a vda útl e o fator de recuperação do reservatóro, além de poder causar outros efetos ndesejáves como o aumento da produção de area e elevação do contato água-óleo (confcação). Sendo assm, lmtes para a taxa de njeção de gás em cada poço também são determnados por seus respectvos lmtes de drawdown. A produção dos poços é normalmente otmzada com base em restrções técncas e objetvos econômcos e estratégcos, enquanto leva em conta regras de segurança e de produção, polítca de extração do reservatóro (máxmo escoamento por poço, quotas de produção), cudados na nterface entre a parede do poço e a formação (controle de area) e capacdade das nstalações. Neste trabalho, a função objetvo do problema de otmzação é defnda pelo benefíco econômco do uso do gás a alta pressão (maxmzar a razão quantdade de petróleo recuperado/quantdade de gás njetado), e as restrções do problema são mpostas pela taxa de njeção de gás dsponível, e pelos lmtes de njeção de gás mínmo (establdade da produção) e máxmo (segurança da tubulação e aprovetamento do potencal de elevação do gás), como será detalhado na Seção 2.2.

13 1. Introdução Revsão Bblográfca O problema de alocação ótma da taxa dsponível de njeção de gás vem sendo estudado desde a década de 70, quando um procedmento analítco ad hoc fo apresentado em [25], para determnar a dstrbução de gás mas lucratva entre os poços. O procedmento não obteve muto sucesso, devdo à falta de dados confáves sobre a produção dos poços e ao alto tempo computaconal exgdo para grandes nstâncas. Em [13], fo defnda uma expressão matemátca para encontrar a taxa ótma de njeção de gás, baseada na nclnação da curva que relacona taxa de njeção com o lucro obtdo para cada poço, conhecda como curva de desempenho de gas-lft. O trabalho apresenta um método de otmzação denomnado equal-slope, um procedmento passo-a-passo que possu a desvantagem de não poder ser aplcado em poços onde a resposta à njeção de gás não é medata, pos suas curvas de desempenho são não-côncavas. Uma extensão do método equal-slope fo apresentado em [23]. O método proposto basease na aplcação de técncas não-lneares de otmzação do tpo quas-newton para encontrar as taxas de njeção ótmas para um grupo de poços. A desvantagem deste método é a necessdade de uma estmatva ncal da taxa de njeção de gás para garantr a convergênca do algortmo. Além dsso, a exstênca de poços que não respondem nstantaneamente à njeção de gás não garante a convergênca. Métodos heurístcos foram utlzados para resolver o problema da alocação de gás em [17] e [5], sendo que o prmero basea-se em um algortmo genétco para determnar a taxa de njeção que maxmza a produção de óleo e o segundo combna uma exploração estocástca do domíno de soluções, alada a um cálculo heurístco de uma dreção descendente para a determnação da dstrbução de uma dada quantdade de gás para um conjunto de poços. Métodos heurístcos como os utlzados em [17] e [5] não são métodos de otmzação globas, ou seja, as soluções obtdas podem ser ótmos locas. Além dsso, o custo computaconal para a exploração do espaço de soluções pode ser muto alto. O problema de maxmzação da produção de óleo sob múltplas restrções nas nstalações (faclty constrants) é consderado em [9]. As curvas de desempenho dos poços são aproxmadas por funções lneares por partes (pecewse lnear functons), e o problema lnear resultante é resolvdo pelo método Smplex. Porém, o potencal da técnca de lnearzação por partes não fo totalmente explorado, pos para que o método Smplex pudesse ser utlzado, as varáves dscretas foram consderadas contínuas, e as soluções encontradas podem ser nfactíves, necesstando ser checadas a posteror. Em [29], o problema de alocação das taxas de njeção de gás é resolvdo levando em consderação a nteração entre os poços que compartlham lnhas de fluxo, utlzando um

14 1. Introdução 7 software geral de Programação Não-Lnear. Porém, quando o fluxo através das válvulas de saída dos poços é crítco (fluxo com velocdade maor que a do som) ou quando a perda de carga total entre a formação e as nstalações de pressão constante na superfíce é mas sgnfcatva se comparada à perda de carga nas seções comuns, este efeto é bastante atenuado, podendo ser desprezado [8]. 1.3 Objetvos O objetvo central deste trabalho é encontrar meos para aumentar a efcênca e o grau de automação de processos de produção de petróleo va njeção contínua de gás (gas-lft), através da concepção de modelos formas para otmzação da alocação de gás de elevação para poços de petróleo e do desenvolvmento de algortmos efcazes para a solução dos problemas assocados. Espera-se alcançar os seguntes objetvos: nvestgação formal dos dferentes aspectos e varáves da operação de um grupo de poços de petróleo que produzem va elevação artfcal por njeção contínua de gás, permtndo a concepção de modelos em Programação Matemátca, de natureza não-lnear e com varáves dscretas; projeto, mplementação e análse de algortmos de otmzação efcentes, combnando métodos exatos (tas como algortmos de Programação Dnâmca, Branch-and-Bound e Branch-and-Cut) e heurístcos, capazes de fornecer pontos de operação quase-ótmos, dando suporte concreto a (ou substtundo) decsões normalmente baseadas em regras ad-hoc; demonstração da vabldade e potencal dos algortmos desenvolvdos em um ambente smulado, ntegrando as técncas de otmzação utlzadas neste trabalho às atvdades de pesqusa realzadas na área de dentfcação de processos e controle automátco de poços de petróleo [24]. No restante deste documento, apresentamos algortmos de Programação Dnâmca que resolvem o problema de alocar de forma ótma uma taxa dsponível de njeção de gás de elevação entre um grupo de poços, de modo a maxmzar o lucro obtdo com a venda de hdrocarbonetos extraídos. Apresentamos também uma formulação lnear ntera msta para este mesmo problema, para a qual são obtdas famílas de desgualdades váldas que são utlzadas para auxlar a solução do problema através de algortmos de otmzação comercas e não-comercas. Os algortmos de Programação Dnâmca (doravante chamado algortmos DP) desenvolvdos neste trabalho possuem as seguntes característcas, que se tornarão explíctas ao longo deste trabalho:

15 1. Introdução 8 resolvem o problema de otmzação onde cada poço possu múltplas curvas de desempenho de gas-lft (curvas que representam a relação entre taxa de njeção de gás e a taxa de produção dos hdrocarbonetos), e quando exstem restrções de precedênca de atvação; poços que não respondem automatcamente à njeção de gás (curvas de desempenho não-côncavas) são tratados com naturaldade; uma famíla de problemas é resolvda, ou seja, problemas para váras taxas dsponíves de njeção de gás, entre 0 e q max (taxa máxma de njeção dsponível); a solução encontrada é muto próxma da solução ótma, e o tempo gasto para o cálculo da solução é pequeno (consderando aplcações para o setor de extração de petróleo); é uma ferramenta de suporte à decsão para o engenhero de produção de petróleo, de baxo custo e extremamente portável. Outra abordagem utlzada neste trabalho, é a lnearzação por partes das curvas de desempenho de gas-lft e utlzação de Programação Lnear Intera Msta (Mxed Integer Lnear Programmng, MILP) para a obtenção das taxas de njeção ótmas que maxmzam o lucro para um campo de poços de petróleo. As vantagens desta abordagem são ctadas a segur, sendo que algumas delas assemelham-se às vantagens menconadas para o algortmo DP: a transformação do problema não-lnear em um problema lnear ntero msto torna mas fácl a ntrodução e modfcação de restrções, além de tornar possível o uso de algortmos efcentes de Programação Intera para a busca de uma solução ótma global, ou possíves soluções de boa qualdade; são obtdas famílas de desgualdades váldas que se mostram bastante efcentes na aceleração do tempo de resposta de algortmos de Branch-and-Bound e Branch-and-Cut, tornando possível a utlzação de software de baxo custo para a solução do problema de otmzação, como algortmos de Programação Lnear e de Branch-and-Bound em plataformas de sof tware lvre poços com curvas de desempenho não-côncavas podem ser consderados; a solução encontrada é quase-ótma, e em tempo razoavelmente baxo; seu custo de mplementação é baxo e possu grande capacdade de portabldade e suporte à decsão.

16 1. Introdução 9 O restante do trabalho se dvde da segunte manera. O Capítulo 2 apresenta alguns concetos sobre a área da Otmzação, modelagem de problemas em Programação Matemátca e os tpos de algortmos que usualmente são utlzados nesta área; a formulação do problema P de otmzação da alocação de gás de elevação é apresentada. No Capítulo 3, apresentamos o paradgma da Programação Dnâmca, e os algortmos desenvolvdos para resolver P em três stuações: quando não há restrções de precedênca de atvação entre os poços, quando as restrções de precedênca nduzem um grafo do tpo floresta, e quando formam um grafo acíclco; são apresentados resultados numércos que comprovam a efcênca dos algortmos. O Capítulo 4 apresenta uma outra abordagem para a solução de P, a lnearzação por partes de suas funções não-lneares e a utlzação de Programação Lnear Intera Msta para a solução do problema resultante; são apresentadas famílas de desgualdades váldas que podem ser capazes de acelerar o processo de solução quando ntroduzdas na formulação, o que é comprovado através de alguns expermentos numércos. O Capítulo 5 contém as consderações fnas do trabalho e apresenta os problemas que serão estudados daqu em dante.

17 Capítulo 2 Formulação do Problema Neste capítulo, apresentamos alguns concetos báscos do domíno da otmzação e Programação Matemátca. Apresentamos também um modelo do problema de alocação de gás de elevação em lnguagem matemátca formal. O letor famlarzado com a formulação de problemas de otmzação pode proceder dretamente à Seção Otmzação A Otmzação é a área da Matemátca Aplcada que se concentra em calcular valores ótmos para varáves de decsão de acordo com algum crtéro de avalação, ao mesmo tempo que satsfazem restrções de um modelo matemátco. O conjunto de pontos do espaço de solução que satsfazem as restrções é denomnado de regão factível do problema, e qualquer ponto dentro da regão factível é denomnado solução factível. Defnï 1 2o 2.1 Seja Ω a regão factível de um problema de mnmzação P, com função objetvo f : Ω R. Um vetor x é um ótmo local de P se x Ω e se exste uma vznhança N = {x : x x < ɛ}, ɛ > 0, em torno de x tal que f(x) f(x ) para todo x N Ω. Um vetor x é um ótmo global de P se x Ω e se f(x) f(x ) para todo x Ω. A solução de um problema de otmzação normalmente possu duas fases: a prmera consste em transformar o problema em um modelo, e posterormente mplementar um algortmo capaz de encontrar uma solução adequada para este modelo. A segur, apresentamos os concetos báscos sobre modelagem e Programação Matemátca, e algumas classes de algortmos utlzados para a solução de problemas de otmzação.

18 2. Formulação do Problema 11 Hpoteses Metodos smplfcadoras de soluçao ~ Problema "real" Modelo matematco Soluçao ~ do modelo matematco Valdaçao ~ do modelo Soluçao ~ acetavel Fgura 2.1: Esquema de um processo de formulação e valdação de um modelo matemátco Modelagem de Problemas Um modelo é uma representação smplfcada da realdade que preserva, em determnadas stuações e enfoques, uma equvalênca adequada. A modelagem de um problema não é uma tarefa trval, dependendo de fatores subjetvos como ntução, experênca, cratvdade, e poder de síntese. A formulação de um modelo em lnguagem matemátca consste em traduzr o modelo para uma lnguagem formal, compreendendo varáves, equações, desgualdades e fórmulas. Os processos de formulação e valdação são teratvos, como mostra a Fgura 2.1, pos envolvem múltplas etapas de tentatva e erro, e nteratvos à medda que se faz necessára a ntervenção contínua do modelador, no processo de refnamento do modelo. A lnguagem utlzada para expressar os problemas de manera declaratva é conhecda como Programação Matemátca [30]. Os elementos de um modelo em Programação Matemátca são: Varáves de decsão : parâmetros cujos valores defnem uma solução para o problema, e.g., quantdades produzdas ou recursos utlzados. Função objetvo : uma função das varáves de decsão, que deve ser maxmzada ou mnmzada, e.g., mnmzar custos, reduzr número de homens/hora, maxmzar lucros.

19 2. Formulação do Problema 12 Restrções : um conjunto de funções que defne o espaço factível de soluções, e.g., lmtes para recursos, restrções operaconas de um processo de produção, lmtações físcas e técncas. Um problema geral de otmzação pode ser escrto em Programação Matemátca como: Mnmze f(x) Sujeto a: g(x) 0 h(x) = 0 x R n onde f : R n R é a função objetvo, g : R n R p e h : R n R q são restrções que lmtam o espaço de soluções factíves, e x é o vetor das varáves de decsão. Duas exceções a esta formulação geral são problemas sem função objetvo (quando deseja-se apenas encontrar um conjunto de decsões que sejam váves), e problemas com múltplos objetvos. Exemplo: Um atleta deseja encontrar uma deta otmzada, ou seja, um programa almentar com tpos e quantdades de almentos que atendam às suas necessdades mínmas de nutrentes. Os almentos devem ser escolhdos de forma a mnmzar o custo total da deta. Os dados do problema são: N tpos de almentos, como arroz, fejão, alface; M tpos de nutrentes, como proteínas, lpídos; c n é o preço untáro do almento n; a m,n é a quantdade do nutrente m contda em cada undade de almento n; e b m é a quantdade mínma do nutrente m a ser ngerda pelo atleta. Varáves: x n é a quantdade de almento n a ser comprada e ngerda, n = 1,..., N. Restrções: A soma das quantdades de nutrentes contdas em cada almento deve ser maor ou gual à necessdade do atleta para cada nutrente. a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,N x N b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,N x N b a M,1 x 1 + a M,2 x a M,N x N b M Função objetvo: O custo da deta f = c 1 x 1 +c 2 x c N x N, que deve ser mnmzado.

20 2. Formulação do Problema 13 Dependendo na natureza da função objetvo, das restrções e das varáves, classfca-se os problemas de otmzação em subdomínos. Alguns exemplos: Programação Lnear : quando a função objetvo e as restrções do problema em questão são lneares. Em geral, o problema de Programação Lnear assume a forma: Mnmze Sujeto a: c T x Ax b x R n + O problema da deta mostrado acma é um exemplo de um problema de otmzação em Programação Lnear. Programação Lnear Intera : semelhante ao caso anteror, porém as varáves de decsão assumem valores dscretos. Sua formulação geral é: Mnmze Sujeto a: c T x Ax b x Z n + Um exemplo de problema de Programação Lnear Intera é o problema de localzação de nstalações (faclty locaton). O problema é defndo por um certo número de possíves locas para as nstalações, um número de clentes, suas respectvas demandas por determnados produtos (que devem ser atenddas por apenas uma nstalação específca), as capacdades de atendmento das nstalações, os custos de transporte/atendmento aos clentes para cada nstalação, e o custo de nstalação. A solução do problema consste na defnção dos locas de nstalação, de modo a suprr as demandas, mnmzando os custos. Programação Lnear Intera Msta : quando somente algumas das varáves assumem valores nteros. Em geral: Mnmze Sujeto a: c T x + h T y Ax + Gy b x R n + y Z m + Se o problema de localzação de nstalações for lgeramente alterado e as demandas dos clentes puderem ser fraconadas e atenddas por mas de uma nstalação, o problema se torna um problema de otmzação em Programação Lnear Intera Msta. Programação Quadrátca : quando a função objetvo é uma função quadrátca das varáves

21 2. Formulação do Problema 14 de decsão. A forma geral de um problema de Programação Quadrátca é: 1 Mnmze 2 xt Qx + c T x Sujeto a: Ax b Cx = d onde Q é uma matrz smétrca. Quando a matrz Q é postva defnda ou sem-defnda (Q > 0 e Q 0 respectvamente), encontrar o ótmo global é relatvamente fácl. Porém, quando Q é ndefnda (ou negatva sem-defnda ou defnda), o problema se torna bastante dfícl. Um exemplo de aplcação de Programação Quadrátca é o controle predtvo, onde mnmza-se um custo quadrátco usualmente composto pela dferença entre a referênca e o valor predto da saída, e uma componente assocada à ampltude do snal de controle. Otmzação Não-Lnear Irrestrta : classe de problemas que possuem função Objetvo Não-Lnear e não possuem restrções sobre as varáves de decsão. Em geral: Mnmze Sujeto a: f(x) x R n onde f : R n R é contínua e dferencável. Uma aplcação de Otmzação Não-Lnear Irrestrta é o trenamento de redes neuras, onde por exemplo procura-se um conjunto de pesos que mnmza a dferença entre a saída da rede e um determnado valor de saída desejado. Otmzação Não-Lnear com Restrções : semelhante ao caso anteror, porém as varáves de decsão podem assumr valores dentro de certos lmtes. Sua forma geral: Mnmze f(x) Sujeto a: g(x) 0 h(x) = 0 x R n onde f : R n R, g : R n R p e h : R n R q são funções contínuas e dferencáves. Os modelos de Otmzação Não-Lnear Restrtos são os mas geras no domíno da otmzação contínua Algortmos Formulado o problema, o próxmo passo é encontrar um algortmo efcente para o cálculo da solução ótma. Alguns tpos de problema de otmzação, como por exemplo os problemas de Programação Lnear, possuem algortmos bastante efcentes para sua solução (método

22 2. Formulação do Problema 15 Smplex e método de ponto nteror). Porém, para outros problemas não exstem algortmos efcentes capazes de encontrar uma solução ótma, como é o caso de alguns problemas de Programação Intera pertencentes à classe NP-dfícl 1. A segur, ctamos alguns tpos de algortmos utlzados para resolver problemas de otmzação. Algortmos Exatos : são algortmos capazes de encontrar a solução ótma global para um problema de otmzação, como por exemplo o método Smplex para problemas de Programação Lnear, algortmos de Programação Dnâmca (Capítulo 3), e algortmos de Branch-and-Bound (Capítulo 4). Algortmos Heurístcos : nem sempre é possível encontrar a melhor solução de um problema de otmzação em tempo razoável por meo de algortmos exatos. Nestes casos, uma solução relatvamente boa pode ser sufcente para a aplcação em questão. Os métodos heurístcos são algortmos que não garantem encontrar a solução ótma de um problema, mas são capazes de retornar uma solução de qualdade em um tempo adequado para as necessdades da aplcação. Meta-heurístcas : uma boa parte das heurístcas são desenvolvdas para resolver especfcamente uma classe de problemas. Há, no entanto, algumas regras que se podem aplcar a uma vasta gama de heurístcas. Essas regras são sstematzadas em métodos denomnados meta-heurístcas. Uma meta-heurístca consste na aplcação de uma determnada flosofa, unformemente, para a resolução de uma gama de problemas, ou seja, paradgmas de desenvolvmento de algortmos heurístcos. Dversas propostas de meta-heurítcas surgram nos últmos anos mpulsonadas pelos problemas pertencentes à classe NP-dfícl. Dentre as meta-heurístcas mas conhecdas podemos destacar: Algortmos Genétcos: famíla de modelos computaconas nsprados na evolução natural dos seres vvos; Smulated Annealng: baseada orgnalmente em concetos de Mecânca Estatístca consderando a analoga entre o processo físco de recozmento de sóldos (comportamento de um sstema de város graus de lberdade em equlíbro térmco a uma temperatura fnta) e a resolução de problemas de otmzação combnatóra (encontrar um mínmo de uma dada função dependendo de város parâmetros); 1 Um problema pertence à classe P (problema polnomal) se pode ser resolvdo em tempo polnomal no seu tamanho (e.g., problemas de ordenação, camnhos mínmos em grafos, fluxo máxmo em redes, Programação Lnear). Um problema pertence à classe NP (problema polnomal não-determnístco) se uma suposta solução para este problema pode ser verfcada em tempo polnomal no seu tamanho. Dzemos que um problema é NPdfícl se ele é pelo menos tão dfícl quanto qualquer problema em NP. Um problema é NP-completo se qualquer problema em NP pode ser reduzdo a este problema em tempo polnomal (e.g., camnho Hamltonano, clque máxma em grafos) [26],[31].

23 2. Formulação do Problema 16 Busca Tabu: utlza mecansmos de memóra e dversfcação das soluções como recursos para encontrar a solução ótma; Algortmos Gulosos (Greedy Algorthms): é a técnca de utlzar a otmaldade local para a solução de um problema. Observando o problema como um todo, a cada ponto onde uma decsão é tomada temos um estado do problema. A técnca gulosa consste em observar-se o contexto local deste estado para escolhermos o próxmo estado. Em outras palavras, a decsão tomada em cada ponto é aquela que é melhor no momento, sem que sejam analsadas suas consequêncas futuras. Algortmos de Aproxmação : nos Métodos Heurístcos não há garanta alguma a respeto da solução encontrada, ou seja, não há como saber se a solução obtda está perto ou longe da melhor solução possível. Contudo, há ocasões em que essa noção de proxmdade faz-se necessára. Podemos estar nteressados por exemplo em uma solução que não precsa ser a melhor, mas deve ser no máxmo 10% por que a melhor solução possível. Nesses casos, são utlzados os Algortmos de Aproxmação. 2.2 Formulação do Problema O problema geral de alocação ótma da taxa dsponível de njeção de gás para um grupo de poços, vsando maxmzar o lucro obtdo com a venda dos hdrocarbonetos extraídos pode ser escrto da segunte manera: P (G) : J = Maxmzar f = N ( po γo n + p g γg n p w γw) n q n o (q n) N p q n Sujeto a: n=1 qo n = qo n (q n) N q n q max n=1 n = 1,..., N l n y n q n u n y n n = 1,..., N y y j y n {0, 1} (, j) E(G) n = 1,..., N n=1 (2.1) onde: N é o número de poços que produzem va gas-lft; q n é a taxa de njeção de gás alocada para o poço n; y n assume valor 1 se o poço n está atvo, e 0 caso contráro; qo n é a taxa de produção de fludos do poço n, em função de q n;

24 2. Formulação do Problema 17 q max é a taxa de njeção de gás dsponível, sendo que a soma das taxas de njeção de gás dos N poços não deve ultrapassar esta taxa; l n e u n são as taxas de njeção mínma (para que a operação nstável do poço seja evtada) e máxma (além da qual o atrto entre o fludo e a tubulação se torna muto alto, podendo causar danos à tubulação) para o poço n, respectvamente; p o e p g representam o lucro (preço de venda menos custos de processamento) obtdo por volume de óleo e gás venddo, respectvamente; p w é o custo de tratamento da água (o descarte da água só pode ser feto dentro de determnadas especfcações, regulamentadas por órgãos de controle do meo ambente, lmtando a quantdade de poluentes como o teor de óleo e sulfato de hdrogêno nos efluentes aquosos [27]); p representa os custos de compressão, tratamento e njeção do gás; γo n, γg n e γw n são respectvamente as frações de óleo, gás e água que compõe o fluxo de saída do poço n, sendo γo n + γg n + γw n = 1. Se consderarmos que a pressão e a temperatura no separador forem constantes, podemos consderar estas frações também constantes para um determnado poço. G = (V, E) é um grafo acíclco dreconado cujos vértces representam os poços (V = {1,..., N}) e cujas arestas representam restrções de precedênca sobre a operação dos poços, ou seja, (, j) E sgnfca que o poço j deve estar atvo se estver atvo. Hpï 1 2 ese 2.1 Cada função qn o (q n ) é uma função côncava tal que qn o (q n ) 0 para qn [l n, u n ]. Hpï 1 2 ese 2.2 p oγ n o + p g γ n g > p w γ n w para todo poço n, o que mplca em γ n = p o γ n o + p g γ n g p w γ n w > 0. A Hpótese 2.1 é válda pos normalmente o comportamento do fluxo de saída de um poço em função de sua taxa de njeção de gás possu o aspecto mostrado na Fgura 1.3, ou seja, a função q o (q ) é crescente até uma determnada taxa de saturação, quando os efetos frcconas passam a dtar o comportamento do fluxo, e q o (q ) passa a ser decrescente. A hpótese 2.2 reflete o aspecto da vabldade econômca da explotação de um poço de petróleo, ou seja, caso o custo de tratamento da água extraída supere os dvdendos provenentes da venda dos hdrocarbonetos, o poço é economcamente nvável, portanto a hpótese é válda. Corolï 1 2 o 2.1 f é uma função côncava de q = [q 1,..., qn ] na regão factível de P (G).

25 2. Formulação do Problema 18 Prova Como q n o é uma função côncava (Hpótese 2.1) e γ n é uma constante postva para cada n (Hpótese 2.2), f n = γ n qo n p q n é uma função côncava de q. é uma função côncava e portanto f = f f n Para completar a descrção do problema de otmzação em Programação Matemátca, é necessáro defnr a relação entre qo n e q n. O problema de maxmzação não pode ser resolvdo se os dados que caracterzam a produção dos poços va gas-lft, ou seja, as funções qo n = qo n (q n ) não estverem dsponíves [9], [13], [14], [20]. Estes dados recebem o nome de curvas de desempenho (Well Performance Curves, ou W P Cs), e tpcamente possuem a forma mostrada na Fgura 1.3. As W P Cs são obtdas através de testes de produção: aplca-se um determnado número de taxas de njeção de gás em um determnado poço n, e o seu fluxo de saída é dreconado a um separador de testes, obtendo assm um conjunto de pontos (q n,qn o ), bem como as porcentagens de óleo, gás e água produzdas pelo poço, γo n, γg n e γw. n Este trabalho possu duas abordagens para tratar a questão da representação da função q n qn o : aplcar um método de ajuste de curvas ao conjunto de pontos ctado acma, obtendo uma expressão analítca q o n (q n) que representa de forma aproxmada a função qn o (q n), e utlzar Programação Dnâmca para a solução do problema (Capítulo 3). Neste trabalho, aproxmamos as funções qo n (q n ) através de uma função exponencal da forma q o n (q n) = A n(2 e B nq n ) Cn e D nq n, defnda pelas constantes An, B n, C n e D n. Garantndo que as constantes A n e C n sejam postvas, garantmos também que a função q o n (q n ) é uma função côncava, pos sob estas condções sua dervada segunda assume valores negatvos para qualquer valor de q n. aproxmar a função defnda pelo conjunto de pontos (q n, qn o ) através de uma função lnear por partes e utlzar Programação Intera Msta para encontrar a solução ótma deste problema aproxmado (Capítulo 4). Quando o nível de confança das medções obtdas nos testes de produção é conhecdo, podemos assocar probabldades aos coefcentes da função de aproxmação, e a otmzação de P (G) sera realzada sobre os valores esperados destes coefcentes. Este problema pode

26 2. Formulação do Problema 19 ser formulado como: P E (G) : J E = Max S. a : N (p o γo n + p g γg n p w γw)q n o n N p q n n=1 n=1 qo n = Ãn(2 e B n q n ) Cn e D n q n N q max q n n=1 n = 1,..., N l n y n q n u n y n n = 1,..., N y y j y n {0, 1} (, j) E(G) n = 1,..., N (2.2) onde Ãn = E[A n ], Bn = E[B n ], Cn = E[C n ] e D n = E[D n ] são os valores esperados dos coefcentes da função qo n (q n ) que representa o comportamento esperado do poço n. Na ausênca de dados sobre a confabldade dos testes, a otmzação pode ser realzada levando em conta todas as κ(n) curvas obtdas com os testes de produção dsponíves para o poço n, e fornecer as taxas de njeção de gás que maxmzam o lucro no por caso (baseado nas curvas de menor produtvdade), resultando no segunte problema: P W (G) : J W = Max S. a : N n=1 mn{(p o γ n o + p g γ n g p w γ n w)q n,k o p q n : k = 1,..., κ(n)} qo n,k Q n n = 1,..., N, k = 1,..., κ(n) N q n q max n=1 l n y n q n u n y n n = 1,..., N y y j (, j) E(G) y n {0, 1} n = 1,..., N (2.3) onde Q n = {qo n,k (q n) : k = 1,..., κ(n)} é um conjunto de funções qn o obtdas em κ(n) testes para o poço n. Proposï 1 2 o 2.1 P E(G) é NP-dfícl. Prova O problema da mochla (knapsack problem, KP) é um problema NP-dfícl e pode ser reduzdo a P E (G). Seja I KP uma nstânca de KP consstndo de N tens, onde c n é o valor do n-ésmo tem e w n é o seu peso, e b é a capacdade da mochla. Gerando uma nstânca I E de P E (G) com G = (V, ), q max = b, l n = u n = w n para todo n V, A n = c n e B n = C n = D n = 0 para cada n, γo n = 1, γg n = γw n = 0, p o = 1 e p g = p w = p = 0, uma solução ótma z = {y n, q n, qn o } para I E é também uma solução ótma para I KP, ou seja, o n-ésmo tem va para a mochla se e somente se y n = 1.

27 2. Formulação do Problema 20 Corolï 1 2 o 2.2 P W (G) é NP-dfícl. É fácl ver que um algortmo que resolve P W (G) resolve também P E (G). Fornecendo κ(n) = 1 curvas de desempenho para todos os n poços ao algortmo que resolve P W (G), ou seja, uma W P C por poço, onde cada W P C representa o comportamento esperado do poço correspondente, o algortmo produzrá uma solução para P E (G). Os problemas apresentados até aqu (P (G), P E (G) ou P W (G)) podem ser faclmente adaptados para capturar algumas varações: A não-concavdade ntroduzda por um poço n que não responde medatamente à njeção de gás (qo n (q n) = 0 para algum qn 0) é automatcamente elmnada devdo à exstênca do lmte nferor de njeção l n ; Neste trabalho assummos que qo n (0) = 0 para n = 1,..., N. No caso de exstr um poço surgente n, ou seja, um poço para o qual qo n (0) 0, basta adconar à função objetvo sua contrbução JS n = (p oγo n + p g γg n p w γw)q n o n (0), e substtur a função qo n (q n) por ˆq o n (q n) = qn o (q n) qn o (0); a solução ótma q n para n = 1,..., N não se altera com a adção da constante JS n no valor de J, J E ou J W e com a utlzação de ˆq o n (q n ), e portanto os algortmos desenvolvdos aqu são capazes de levar estes poços em consderação; Além dsso, caso o problema de nteresse seja a maxmzação da taxa de produção de óleo ao nvés do lucro obtdo, basta fazer p o = 1, e p g = p w = p = Sumáro Neste capítulo, foram apresentados concetos báscos da área de Otmzação, como a modelagem de problemas em Programação Matemátca, os elementos de um problema de otmzação, as prncpas classes de problemas, e as classes de algortmos mas comumente utlzados para a solução destes problemas. Fo apresentada também uma formulação para o problema de alocação ótma de gás de njeção para um grupo de poços de petróleo quando exstem restrções de precedênca (2.1), quando são conhecdos os comportamentos esperados de cada poço (2.2), e quando exstem múltplas curvas de desempenho para cada poço (2.3), todos problemas NP-dfíces.

28 Capítulo 3 Programação Dnâmca Uma das técncas mas poderosas para a solução de problemas de otmzação é quebrá-los em partes menores e mas fáces de resolver, e posterormente compor a solução do problema orgnal a partr da solução destes subproblemas. Sempre que é possível quebrar um problema em nstâncas menores do mesmo problema, o uso de um algortmo recursvo se torna aparente. A Programação Dnâmca (DP) é um dos paradgmas de projeto de algortmos que se basea em quebrar problemas em problemas menores. Tpcamente remove-se um elemento do problema, resolve-se o problema menor, e então utlza-se a solução deste problema menor para adconar o elemento novamente de manera aproprada. Algortmos gulosos, que tomam a melhor decsão local a cada passo, ocasonalmente encontram ótmos globas para certos problemas. Algortmos de busca exaustva, que enumeram todas as possbldades e selecona a melhor, por defnção encontram sempre o ótmo global, porém normalmente a um custo muto alto. A Programação Dnâmca combna as duas técncas, sstematcamente consderando todas as possíves decsões e seleconando aquela que prova ser a melhor. Armazenando as consequêncas de todas as possíves decsões até o momento, a quantdade de trabalho total é mnmzada. A maor lmtação da Programação Dnâmca é o número de soluções parcas que devem ser armazenadas. A ordem dos elementos do problema também é mportante. Alterar esta ordem sgnfca mudar completamente o problema. Porém, uma vez que esta ordem seja fxada, algortmos DP são bastante efcentes. A segur mostramos um pequeno exemplo, com o objetvo de tornar mas claro o prncípo de funconamento deste tpo de algortmo. A Programação Dnâmca é uma ferramenta que tem sdo aplcada com sucesso a um tpo de problema de otmzação chamado de problema da mochla (knapsack problem) [16]. Dversos problemas de mportânca estratégca tem uma mochla como subproblema, como por exemplo o procedmento de geração de colunas em problemas de corte e empacotamento. Como mostrado pela Proposção 2.1, podemos reduzr uma nstânca do problema da mochla a uma nstânca de P E ou P W, o que sgnfca

29 3. Programação Dnâmca 22 que estes problemas podem ser resolvdos por um algortmo DP smlar a um algortmo que resolve o problema da mochla. Outras vantagens do algortmo DP serão explctadas mas adante. 3.1 Programação Dnâmca para o Problema da Mochla Imagne um alpnsta que deve organzar sua mochla com város tens de seu nteresse ao escalar uma montanha, sendo que cada tem possu um peso e um valor, e a mochla possu uma capacdade lmtada. O desejo do alpnsta é maxmzar a utldade (ou valor) dos tens colocados em sua mochla, sem ultrapassar a capacdade de peso suportada por ela. Este problema é conhecdo como o problema da mochla (knapsack problem, KP ), e pode ser formulado da segunte manera: KP : z = Maxmzar Sujeto a: n c j x j j=1 n a j x j b j=1 x j {0, 1}, j = 1,..., n (3.1) onde x j assume valor 1 se o tem j va para a mochla, e 0 caso contráro, c j é o valor do tem j, e os coefcentes {a j } n j=1 e b são nteros postvos representando respectvamente o peso do tem j e a capacdade da mochla, com a j b, j = 1,..., n. Seja KP k (λ) o subproblema correspondente ao problema orgnal KP restrto aos k prmeros tens (j = 1,..., k), para uma mochla de capacdade λ: KP k (λ) : f k (λ) = Maxmzar Sujeto a : k c j x j j=1 k a j x j λ j=1 x j {0, 1}, j = 1,..., k. (3.2) Resolver o problema orgnal KP sgnfca obter a soução ótma para KP n (b), ou seja, o valor z = f n (b). O problema KP k (λ) possu 2 casos base, de solução trval: KP k (0) para k = 1,..., n, pos se a capacdade é zero nenhum tem va para a mochla, e portanto f k (0) = 0 para k = 1,..., n; KP 0 (λ) para λ = 0,..., b, pos se temos 0 tens a consderar, nenhum tem va para a mochla, e portanto f 0 (λ) = 0 para λ = 0,..., b.

30 3. Programação Dnâmca 23 Consderemos agora a solução do conjunto de subproblemas que consderam apenas o prmero tem, varando a capacdade da mochla (λ) de 0 até b. Claramente, cada um destes subproblemas possu apenas 2 possbldades de soluções ótmas, x 1 = 0 ou x 1 = 1, ou seja, o tem 1 fca fora da mochla ou dentro dela. Consderando cada caso, temos: Se x 1 = 0, então concluímos que a solução ótma satsfaz f 1(λ) = f 0 (λ), ou seja, o tem 1 não agrega valor à função objetvo e não ocupa espaço na mochla, portanto a solução do problema é a solução correspondente ao problema que consdera 0 tens e espaço λ, que já está resolvdo; Se x 1 = 1, então concluímos que a solução ótma satsfaz f 1(λ) = c 1 + f 0 (λ a 1 ), ou seja, colocamos o tem 1 na mochla ocupando espaço a 1 e agregando valor c 1 à função objetvo, e somamos o valor ótmo do problema com 0 tens e capacdade λ a 1, que já fo resolvdo. Isto nos leva a uma recursão que permte calcular f k (λ) em termos dos subproblemas já resolvdos, ou seja, os valores de f s (u) com s < k e u λ. Generalzando o caso acma: 1) Se x k = 0, então concluímos que a solução ótma satsfaz f k(λ) = f k 1 (λ); 2) Se x k = 1, então concluímos que a solução ótma satsfaz f k(λ) = c k + f k 1 (λ a k ), para a k λ. Combnando os casos (1) e (2), obtemos a segunte recorrênca: f k (λ) = max{f k 1 (λ), c k + f k 1 (λ a k )}. (3.3) Defnndo-se os valores ncas como f 0 (λ) = 0 para λ 0 e f k (0) = 0 para k = 1,..., n, pode-se utlzar a recorrênca (3.3) para calcular sucessvamente os valores de f 1, f 2,..., f n para todos os valores nteros de λ = 1,..., b. A questão que resta é como encontrar a solução ótma (ou seja, quas tens vão para a mochla) assocada ao valor ótmo f n (b). Podemos manter um ndcador p k (λ) que assume valor 0 se f k (λ) = f k 1 (λ), e valor 1 caso contráro. Portanto para defnr qual tem va para a mochla, basta observar os valores de p k (λ) da segunte manera: se p n (b) = 0, então como f n (b) = f n 1 (b), defnmos x n = 0 e contnuamos o processo com o valor f n 1 (b); se p n (b) = 1, então f n (b) = c n + f n 1 (b a n ), defnmos x n = 1 e repetmos este procedmento para f n 1 (b a n );