PAULO HIROAQUI RUIZ NAKASHIMA ALOCAÇÃO DE GÁS DE ELEVAÇÃO EM CAMPOS DE PETRÓLEO: MODELOS E ALGORITMOS

Transcrição

1 PAULO HIROAQUI RUIZ NAKASHIMA ALOCAÇÃO DE GÁS DE ELEVAÇÃO EM CAMPOS DE PETRÓLEO: MODELOS E ALGORITMOS FLORIANÓPOLIS 2007

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ALOCAÇÃO DE GÁS DE ELEVAÇÃO EM CAMPOS DE PETRÓLEO: MODELOS E ALGORITMOS Tese submetda à Unversdade Federal de Santa Catarna como parte dos requstos para a obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca. Paulo Hroaqu Ruz Nakashma Floranópols, Outubro de 2007.

3 Alocação de Gás de Elevação em Campos de Petróleo: Modelos e Algortmos Paulo Hroaqu Ruz Nakashma Esta Tese fo julgada adequada para a obtenção do título de Doutor em Engenhara Elétrca, Área de Concentração em Automação e Sstemas, e aprovada em sua forma fnal pelo Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca da Unversdade Federal de Santa Catarna. Eduardo Camponogara, Ph.D. Orentador Kata Campos de Almeda, Ph.D. Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca Banca Examnadora: Eduardo Camponogara, Ph.D. Presdente Marcus Vncus Soledade Pogg de Aragão, Ph.D. PUC-RJ Maro Cesar Mello Massa de Campos, Dr. CENPES Julo Elas Normey Rco, Dr. UFSC Ubrajara Franco Moreno, Dr. UFSC

4 Dedco este trabalho a meus pas, Hroaqu e Ivone, e a mnha ta Alce, pela educação e o apoo que me permtram chegar até aqu.

5 AGRADECIMENTOS Ao Professor Eduardo Camponogara, pela orentação, amzade, pacênca, apoo, e pela confança depostada em mm para a realzação deste trabalho. Ao jovem camarada Agustnho Plucêno, pela amzade e por sua grande experênca compartlhada com todos, orgnando valosas déas utlzadas aqu. Aos Professores Augusto, Danel e Julo, coordenadores do PRH-34 durante o período deste doutorado, pelo total apoo a esta pesqusa. A todos os meus amgos (sem ctar nomes pra não correr o rsco de esquecer alguém) que estveram comgo durante esta mnha ótma fase em Floranópols. A toda mnha famíla, que soube compreender mnha ausênca e me apoou nos momentos dfíces. A Agênca Naconal de Petróleo, que fnancou parte desta pesqusa. v

6 Resumo da Tese apresentada à UFSC como parte dos requstos necessáros para obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca. Alocação de Gás de Elevação em Campos de Petróleo Modelos e Algortmos Paulo Hroaqu Ruz Nakashma Outubro/2007 Orentador: Prof. Dr. Eduardo Camponogara Co-Orentador: Prof. Dr. Danel Pagano Área de Concentração: Automação e Sstemas Palavras-chave: Algortmos, Indústra de Petróleo, Métodos de Otmzação, Pesqusa Operaconal Número de Págnas: x O sstema de elevação artfcal de petróleo por njeção contínua de gás, conhecdo como contnuous gas-lft ou smplesmente gas-lft é um dos mas utlzados no Brasl e no mundo, devdo ao seu baxo custo relatvo e efcênca satsfatóra em uma vasta gama de condções de operação. Neste sstema de produção, a alocação da taxa dsponível de njeção de gás para um grupo de poços é um problema de grande relevânca. A decsão da taxa de njeção de gás para cada poço normalmente não é ótma, pos é baseada em regras ad hoc. Sendo assm, ganhos substancas podem ser alcançados se estas decsões forem substtuídas por soluções ótmas. Neste trabalho, apresentamos algumas abordagens para a solução do problema de maxmzar o lucro obtdo com a venda de hdrocarbonetos extraídos de um campo com poços operando va gas-lft. As soluções desenvolvdas utlzam Programação Dnâmca, Programação Lnear Intera Msta alada à Teora de Desgualdades Váldas e algortmos Branchand-Bound e Branch-and-Cut e fornecem a taxa de njeção de gás ótma para cada poço satsfazendo restrções como por exemplo a taxa de njeção dsponível e os lmtes de processamento de fludos produzdos. As abordagens desenvolvdas se mostram efcentes para a aplcação em questão. As soluções encontradas possuem alta qualdade (próxmas das soluções ótmas), e o custo computaconal para a obtenção das mesmas é baxo. As técncas de solução propostas aqu consttuem excelentes ferramentas de suporte à decsão, podendo substtur as decsões subótmas normalmente fornecdas por pacotes de otmzação comercas. v

7 Abstract of Thess presented to UFSC as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Doctor n Electrcal Engneerng. Lft-Gas Allocaton for Ol Felds Models and Algorthms Paulo Hroaqu Ruz Nakashma October/2007 Advsor: Prof. Dr. Eduardo Camponogara Co-Advsor: Prof. Dr. Danel Pagano Research Area: Systems and Automaton Keywords: Algorthms, Ol Industry, Optmzaton Methods, Operatonal Research Pages: x The artfcal lftng method known as contnuous gas-lft, or gas-lft for short, s one of the most used n Brazl and n the world, due to ts relatvely low cost and good effcency on a wde range of operatonal condtons. For ths producton system, the avalable lft-gas njecton rate allocaton for a cluster of wells s an mportant problem. The njecton rate for each well s normally bellow the optmal pont, because t s based on ad-hoc rules. Thus, substantal mprovements may be reached f these decsons were substtuted by the optmal soluton. In ths work, we show some approaches to solve the problem of maxmze the proft obtaned wth hydrocarbons extracted from an olfeld wth wells producng va gas-lft. The developed solutons use Dynamc Programmng, Mxed Integer Lnear Programmng alled to Vald Inequaltes Theory, Branch-and-Bound and Branch-and-Cut algorthms, provdng the optmal njecton rate for each well, satsfyng constrants such as the avalable lft-gas njecton rate and produced flud handlng capactes. The developed approaches are very effcent for ths partcular applcaton. The solutons shown here have hgh qualty (close to the optmal ones), and the computatonal cost to obtan them s low. The soluton technques proposed here are excellent tools to support decsons, and can substtute the sub-optmal solutons normally provded by commercal optmzaton software. v

8 Sumáro 1 Introdução O Método de Gas-Lft Revsão Bblográfca Objetvos Organzação do Documento Fundamentos Otmzação Programação Dnâmca Programação Dnâmca para o Problema da Mochla Lnearzação por Partes Modelo com pesos por ponto (Modelo I) Modelo com pesos sequencal (Modelo II) Modelo de Sheral (Modelo III) Defnções de Poledro e Dmensão Descrção de Poledros através de Facetas Caracterzação de Facetas Desgualdades Váldas para o Problema da Mochla Sumáro v

9 3 Solução de P(/0) Utlzando Programação Dnâmca Formulação do Problema Solução de P(/0) Recorrêncas Algortmo PD para P(/0) Resultados Numércos Comparações com Resultados Publcados Generalzações do Problema Solução de P W (/0) Incertezas nas WPCs Desgualdades váldas para P(/0) Sumáro Solução Recursva de P(G) Formulação do Problema Solução de P(F) Recursões Algortmo PD para P(F) Resultados Numércos Solução de P(G) Recursões Algortmo Recursvo para P(G) Resultados Numércos Extensões Sumáro v

10 5 Solução de P(/0) Utlzando Programação Lnear Intera Msta Lnearzação por Partes Aplcada a P Desgualdades Váldas Lftng de Coberturas Mínmas Sobre os Fatores de Lftng Resultados Numércos Sumáro Solução de P 5 (/0) Utlzando Programação Lnear Intera Msta Formulação do Problema Desgualdades Váldas para P 5 (/0) Resultados Numércos Sumáro Conclusões Pesqusa Futura A Ajuste de Curvas 100 B Desgualdades Váldas para P(G) 102 x

11 Lsta de Fguras 1.1 Elementos que compõe um conjunto de poços de petróleo que produzem va gas-lft Esquema de poço operado va njeção contínua de gás [14] Típca curva de desempenho de elevação para um poço operado va njeção contínua de gás Curvas de desempenho de gas-lft para poços dos tpos A, B, C e D Lnearzação por partes para o modelo por pesos Lnearzação por partes para o modelo sequencal Lnearzação por partes para o modelo de Sheral Ilustração do algortmo PD para P(F). O grafo da esquerda defne as restrções de precedênca de atvação dos poços. Para uma ordem topológca T = 1,2,3,4,5,6, os conjuntos de sub-problemas resolvdos e as tabelas geradas pelo algortmo são mostrados na árvore da dreta, que ndca a ordem na qual os problemas são resolvdos. Por exemplo, 5 : P {5,6} J {5,6} sgnfca que o conjunto de sub-problemas P y {5,6} fo o qunto a ser resolvdo para obter J y {5,6}, para y {0,1} Ilustração dos algortmos recursvos que resolvem P(G). O grafo de restrções de precedênca G possu 5 nós como lustrado na raíz da árvore de sub-problemas. A ordem topológca de G usada para guar a solução é T = 3,1,2,4,5. Cada nó ndca um conjunto de sub-problemas resolvdo pelo algortmo: P(1, 2, 4) representa o conjunto de sub-problemas P(G[{1,2,4}]) Ilustração da lnearzação por partes da função do fluxo de saída de um poço n utlzando o modelo de Sheral (Seção 2.3.3) x

12 6.1 Ilustração da lnearzação por partes da função do fluxo de saída de um poço n utlzando o modelo de pesos por ponto (Seção 2.3.1) x

13 Lsta de Tabelas 2.1 Valores de f k (λ) e de p k (λ) para uma nstânca do problema da mochla Parâmetros de uma nstânca de P(/0) com 6 poços Tabela J m,n, com destaque para a solução ótma J M,1 = J 10, Tabela auxlar I m,n, com destaque para a alocação ótma de gás q = (7,4251;7,6954;7,4406;4,0000;4,0000;7,0 3.4 Qualdade méda da solução e tempo médo de execução do algortmo com relação ao nível de dscretzação M Resultados da alocação de gás de elevação, Economc Slope [18] e PD Resultados da alocação de gás de elevação, Equal Slope, Ex-In [6] e PD Resultados da alocação de gás de elevação, Separable Programmng [40] e PD Alocação de gás de elevação, cenáro sem taxas de partda: comparação entre SQP [1] e PD Alocação de gás de elevação, cenáro com taxas de partda: comparação entre SQP [1] e PD Resultados de alocação de gás de elevação: comparação entre GOAL [36] e PD Comparação entre desempenho do por caso e caso médo Soluções de P(F) para uma nstânca de 6 poços, com q max varável e M = Qualdade de aproxmação e tempo de execução para P M (F) Qualdade de aproxmação e tempo de execução para P M (G) Níves de njeção para uma nstânca de 6 poços, q max = 6, x

14 5.2 Lmtes nferores para os fatores de lftng, π n,k Fatores de lftng exatos, β n,k Lmtes superores para os fatores de lftng, β n,k Expermentos com ILOG CPLEX Expermentos com GNU MILP solver Poço Poço Poço Impacto das coberturas-y na velocdade de solução para nstâncas com 32 poços Impacto das coberturas-y na velocdade de solução para nstâncas com 64 poços x

15 Capítulo 1 Introdução A produção de hdrocarbonetos é realzada através da perfuração de poços em locas que apresentam formações geológcas rcas em óleo e gás, chamadas de reservatóros. Quando a pressão de um reservatóro é sufcentemente elevada para superar a pressão hdrostátca e a perda de carga na coluna de produção, somados à perda de carga nas nstalações de superfíce, os fludos nele contdos são capazes de alcançar a superfíce naturalmente. Os poços que produzem desta forma são denomnados poços surgentes. Quando a pressão de um reservatóro é relatvamente baxa, ou quando a vazão de um poço está muto abaxo da deal, há a necessdade de uma suplementação da energa natural do reservatóro através de elevação artfcal. Utlzando equpamentos específcos reduz-se a pressão hdrostátca no fundo do poço, resultando em um dferencal maor de pressão entre o reservatóro e o nteror do poço, com um consequente aumento de vazão. A elevação artfcal é amplamente utlzada em poços submarnos, especalmente em águas profundas. Os métodos de elevação artfcal mas comuns na ndústra de petróleo são: gas-lft contínuo e ntermtente; bombeo centrífugo submerso; bombeo mecânco com hastes; e bombeo por cavdades progressvas. A seleção do melhor método de elevação artfcal para um determnado poço ou campo sempre vsa a maxmzação do uso da energa de produção naturalmente dsponível em um reservatóro. Esta seleção depende de város fatores, como número de poços, quantdade de area trazda pelos fludos produzdos, razão gás-líqudo, capacdade de vazão dsponível, profunddade do reservatóro, vscosdade dos fludos, dsponbldade de energa, nvestmento e custo operaconal.

16 1. Introdução 2 A elevação artfcal por njeção contínua de gás, mas conhecda como contnuous gas-lft ou smplesmente gas-lft, é uma das formas mas utlzadas de elevação artfcal para produção de petróleo [24], [32], devdo ao seu amplo campo de aplcação, além de ser o método que mas se assemelha ao processo de fluxo natural. Seu únco requsto básco é que exsta uma quantdade de gás de elevação dsponível que seja economcamente vável. O sstema de gas-lft é efcente em uma vasta gama de condções de operação: é muto versátl em termos de vazão e profunddade, propíco para poços que produzem fludos com alto teor de area e elevada razão gás-líqudo, exge nvestmentos relatvamente baxos para poços profundos, e seus custos de nstalação e manutenção são mas baxos que os dos demas métodos de elevação artfcal [39]. A segur, descrevemos os prncípos báscos do método de elevação artfcal por njeção contínua de gás. 1.1 O Método de Gas-Lft A Fgura 1.1 lustra esquematcamente um conjunto de poços equpados para produzr por gas-lft. O sstema é composto por: fonte de gás a alta pressão (compressores); controlador de njeção de gás na superfíce (choke); controlador de njeção de gás de subsuperfíce (válvulas de gas-lft, Fgura 1.2); equpamentos para separação e armazenamento dos fludos produzdos (separadores e tanques). A Fgura 1.2 mostra o esquema típco de um poço operado va njeção contínua de gás. O sstema de gas-lft funcona da segunte manera. Gás a alta pressão é njetado no espaço anular entre o revestmento do poço e o tubo de produção, de forma controlada e contínua. O gás entra no tubo de produção através de uma válvula de gas-lft em um ponto próxmo ao fundo do poço, e mstura-se ao fludo exstente na coluna dmnundo sua densdade méda. Assm, a componente gravtaconal da pressão no fundo do poço dmnu, até que esta dmnução cause um dferencal de pressão entre a formação e a face dos canhoneados (perforated zone) que seja sufcente para atngr a taxa de produção desejada. O controle da njeção de gás no poço é feto na superfíce através de um regulador de fluxo (choke). A Fgura 1.3, denomnada curva de desempenho de gas-lft, ou WPC (Well Performance Curve), lustra o comportamento da vazão de saída de acordo com a taxa de njeção de gás em um poço que produz va gas-lft. Até certo lmte, aumentando-se a quantdade de gás na coluna de produção dmnu-se o gradente médo de pressão, com consequente dmnução da pressão de fluxo no fundo e aumento de vazão. Entretanto, a taxa de njeção de gás não pode ser aumentada ndefndamente, pos a altas taxas de njeção a perda de carga no tubo de produção devdo ao atrto se torna domnante,

17 1. Introdução 3 Gas a baxa pressao ~ Compressores Separador Gas para venda Oleo Agua para tratamento e descarga Gas a alta pressao ~ Poço 1 Poço 2 Oleo + Gas + Agua Choke de njeçao ~ Poço N Choke de produçao ~ Fgura 1.1: Elementos que compõe um conjunto de poços de petróleo que produzem va gas-lft. o que tende a reduzr as taxas de produção, além de poder causar danos como erosão na tubulação. Tpcamente, poços que operam va njeção contínua de gás possuem um comportamento estável a taxas elevadas de njeção e comportamento nstável a baxas taxas. As condções nstáves de operação a baxas taxas de njeção fazem com que um poço não produza a máxma quantdade possível de óleo. Operar um poço va njeção contínua de gás sob condções nstáves torna o controle e alocação da produção muto dfícl, e os pcos de surgênca (golfadas) representam condções de operação bastante severas para as nstalações de produção. Outra varável mportante que deve ser controlada é o dferencal de pressão entre o reservatóro e o fundo do poço (drawdown). Este dferencal, que está dretamente relaconado à taxa de njeção de gás, pode causar danos à formação através de efetos ndesejáves como o aumento da produção de area e elevação do contato água-óleo (confcação), dmnundo a vda útl e o fator de recuperação do reservatóro. Portanto, exste um lmte mínmo para a taxa de njeção de gás, para que a operação nstável do poço seja evtada, e também um lmte máxmo, além da qual podem ser causados danos à tubulação e ao reservatóro. Exstem 4 tpos báscos de WPC, como mostra a Fgura 1.4 [1]. Os poços do tpo A são os chamados surgentes, aqueles que produzem fludos mesmo sem njeção de gás. Os poços do tpo B são aqueles que respondem medatamente à njeção de gás, ou seja, se q p = 0 para q = 0 e q p > 0 para q > 0. Os poços do tpo C possuem taxa de partda (kck-off rate), ou seja, só começam a produzr a partr de uma determnada taxa de njeção de gás. Os poços do tpo D também possuem taxa de partda, porém começam a produzr a uma taxa maor que zero. A produção dos poços é normalmente otmzada com base em restrções técncas e objetvos econômcos e estratégcos, enquanto leva em conta regras de segurança e de produção, polítca de explotação do reservatóro (máxmo escoamento por poço, quotas de produção), cudados na nter-

18 1. Introdução 4 Gás de Elevação Óleo, Gás, e Água Produzdos Tubo de Produção Espaço Anular Válvula de Gas-Lft Reservatóro Fgura 1.2: Esquema de poço operado va njeção contínua de gás [14]. face entre a parede do poço e a formação (controle de area) e capacdade das nstalações. Neste trabalho, a função objetvo do problema de otmzação é defnda pelo benefíco econômco do uso do gás de elevação (maxmzar a quantdade de petróleo recuperado por quantdade de gás njetado), e as restrções do problema são mpostas pela taxa de njeção de gás dsponível, pelos lmtes de njeção de gás mínmo (establdade da produção) e máxmo (segurança da tubulação, preservação do reservatóro e aprovetamento do potencal de elevação do gás), e pelos lmtes mpostos pelas nstalações de superfíce, como capacdade de separação, armazenamento e tratamento dos fludos produzdos. Na seção segunte apresentamos a revsão bblográfca dos trabalhos relaconados ao problema de alocação de gás de elevação encontrados na lteratura, onde são apontadas algumas lacunas que este trabalho pretende preencher. 1.2 Revsão Bblográfca O problema de alocação ótma da taxa dsponível de njeção de gás de elevação vem sendo estudado desde a década de 70, quando um procedmento analítco ad hoc fo apresentado em [35], para determnar a dstrbução de gás mas lucratva entre os poços. Em [18], é apresentado um método de otmzação denomnado equal-slope que se utlza de uma expressão matemátca para encontrar a taxa ótma de njeção de gás, baseando-se na nclnação da curva que relacona taxa de njeção com o lucro obtdo para cada poço, conhecda como curva de desempenho de gas-lft. Em essênca, este método consste na solução das equações que caracterzam as condções de prmera ordem (Karush-

19 1. Introdução 5 Instavel Estavel Taxa de produçao ~ de Oleo Regao ~ de utlzaçao ~ otma Taxa de njeçao ~ de gas Fgura 1.3: Típca curva de desempenho de elevação para um poço operado va njeção contínua de gás. Kuhn-Tucker) para ótmo local de um problema de maxmzação côncavo. Apesar de estes métodos fornecerem a solução ótma quando exste gás sufcente para atender todos os poços, eles não podem ser aplcados quando há poços dos tpos C e D (poços com taxa de partda), pos suas curvas de desempenho são não-côncavas. Além dsso, estes métodos não são capazes de tratar outras restrções além da quantdade lmtada de gás de elevação. Abordagens mas flexíves e formas foram propostas em [32] e [1], baseadas em técncas nãolneares de otmzação quas-newton e programação quadrátca sequencal (ou SQP - Sequental Quadratc Programmng), respectvamente. Estas abordagens são capazes de ldar com lmtes nas taxas de njeção de gás e a restrção da quantdade dsponível de gás de elevação, mas não admtem a exstênca de poços dos tpos C e D. Métodos heurístcos foram utlzados para resolver o problema da alocação de gás em [23] e [6], sendo que o prmero basea-se em um algortmo genétco e o segundo combna uma exploração estocástca do domíno de soluções, alada a um cálculo heurístco de uma dreção de descenso. Métodos heurístcos não são métodos de otmzação global, ou seja, as soluções obtdas podem ser ótmos locas. Além dsso, o custo computaconal para a exploração do espaço de soluções pode ser bastante alto. O problema de maxmzação da produção de óleo sob múltplas restrções nas nstalações (faclty constrants) é consderado em [15] e [40]. Em [15], as curvas de desempenho dos poços são aproxmadas por funções lneares por partes (pecewse lnear functons), e o problema lnear resultante é resolvdo pelo método Smplex. Porém, para que o método Smplex pudesse ser utlzado, as varáves nteras foram consderadas contínuas, e as soluções encontradas podem ser nfactíves (não nteras), necesstando ser tratadas a posteror. Em [40], varáves bnáras são adconadas à formulação para

20 1. Introdução 6 A B Taxa de produção, qp C D Taxa de njeção de gás, q Fgura 1.4: Curvas de desempenho de gas-lft para poços dos tpos A, B, C e D. cada W PC não côncava e uma busca branch-and-bound é realzada até que a solução ótma seja encontrada. A desvantagem desta abordagem é que algortmos de branch-and-bound puros podem ter tempo de execução e consumo de memóra muto altos para nstâncas complexas, especalmente em problemas NP-dfíces 1. Em suma, os modelos exstentes não contemplam aspectos mportantes do problema, como a exstênca de taxas de partda, múltplas restrções nas facldades de processamento e restrções de precedênca de atvação. Além dsso, nenhum dos trabalhos apresenta algortmos efcazes no sentdo de tempo computaconal e qualdade da solução (aproxmar ou encontrar o ótmo global). A segur, são apresentados os objetvos deste trabalho. 1.3 Objetvos No sstema de produção de petróleo va gas-lft, o problema de alocação de gás de elevação é de bastante relevânca. As nstalações de compressão de gás representam uma parcela sgnfcatva do custo de operação de um campo de petróleo [6], sendo assm é mportante que o gás seja utlzado da manera mas efcente possível [24]. Normalmente, esta alocação é realzada com base em regras 1 Um problema pertence à classe P (problema polnomal) se pode ser resolvdo em tempo polnomal no seu tamanho (e.g., problemas de ordenação, camnhos mínmos em grafos, fluxo máxmo em redes, Programação Lnear). Um problema pertence à classe NP (problema polnomal não-determnístco) se uma suposta solução para este problema pode ser verfcada em tempo polnomal no seu tamanho. Dzemos que um problema é NP-dfícl se ele é pelo menos tão dfícl quanto qualquer problema em NP. Um problema é NP-completo se qualquer problema em NP pode ser reduzdo a este problema em tempo polnomal (e.g., camnho Hamltonano, clque máxma em grafos) [38],[42].

21 1. Introdução 7 ad-hoc [40]. Substtur estas regras por algortmos de otmzação rgorosos pode trazer grandes benefícos. No Brasl, 90% da produção de petróleo provém de poços submarnos, e estma-se que 60% destes poços operam va gas-lft. Vsto que a necessdade de melhora do desempenho da tecnologa atual é um fato [2], o aumento, mesmo que pequeno, na efcênca dos processos de produção de petróleo pode resultar em substancas ganhos econômcos e ambentas. Os objetvos deste trabalho são a concepção de modelos formas e o projeto, mplementação e análse de algortmos efcentes para resolver o problema de alocação de gás de elevação para um conjunto de poços de petróleo que produzem va gas-lft, de modo a maxmzar o lucro obtdo com a venda de hdrocarbonetos extraídos. Neste documento apresentamos algortmos de Programação Dnâmca que resolvem este problema, e também formulações de Programação Lnear Intera Msta (ou MILP - Mxed Integer Lnear Programmng) para o problema de alocação de gás de elevação sujeto a outras restrções além da taxa de njeção dsponível. Para estas formulações são obtdas famílas de desgualdades váldas que são utlzadas para auxlar a solução através de algortmos de otmzação comercas e não-comercas. Os algortmos de Programação Dnâmca (doravante chamados algortmos PD) desenvolvdos neste trabalho possuem as seguntes característcas, que se tornarão explíctas ao longo do documento: resolvem o problema de otmzação mesmo quando cada poço possu múltplas curvas de desempenho de gas-lft (WPCs), e também sob restrções de precedênca de atvação/desatvação de poços; poços que que possuem taxa de partda, ou seja, poços dos tpos C e D (Fgura 1.4), que possuem curvas de desempenho não-côncavas, são tratados com naturaldade; uma famíla de problemas é resolvda, ou seja, problemas para váras taxas dsponíves de njeção de gás, entre 0 e q max (taxa máxma de njeção dsponível); a solução encontrada é muto próxma da solução ótma, e o tempo gasto para o cálculo da solução é pequeno (consderando aplcações para o setor de extração de petróleo); e é uma ferramenta de suporte à decsão para o engenhero de produção de petróleo, de baxo custo e extremamente portável. A outra abordagem utlzada neste trabalho é a lnearzação por partes das W PCs e utlzação de MILP para a obtenção das taxas de njeção ótmas. As vantagens desta abordagem são ctadas a segur, sendo que algumas delas assemelham-se às vantagens menconadas para o algortmo PD: a transformação do problema não-lnear em um problema lnear ntero msto torna mas fácl a ntrodução e modfcação de restrções, além de tornar possível o uso de algortmos efcentes de Programação Intera para a busca de uma solução ótma global, ou possíves soluções de boa qualdade;

22 1. Introdução 8 são obtdas famílas de desgualdades váldas que se mostram bastante efcentes na aceleração do tempo de resposta de algortmos de Branch-and-Bound e Branch-and-Cut, tornando possível a utlzação de software de baxo custo para a solução do problema de otmzação, como algortmos de Programação Lnear e de Branch-and-Bound em plataformas de software lvre; poços com taxa de partda podem ser consderados; a solução encontrada é quase-ótma e em tempo razoavelmente baxo; seu custo de mplementação é baxo e possu grande capacdade de portabldade e suporte à decsão; e os modelos podem ser faclmente estenddos para ncorporar outras restrções além das já consderadas. 1.4 Organzação do Documento O Capítulo 2 apresenta o paradgma da Programação Dnâmca, concetos de funções lneares por partes e de teora poledral. O letor famlarzado com estes tópcos pode drgr a letura ao próxmo capítulo. Os capítulos seguntes estão organzados segundo a cronologa da evolução da pesqusa. No Capítulo 3 é formulada a nstânca mas básca do problema, denomnada P(/0), onde as restrções são a taxa máxma dsponível para njeção de gás a ser alocada entre os poços e os lmtes nferor e superor de taxa de njeção para cada poço. Uma solução baseada em Programação Dnâmca é apresentada, bem como resultados numércos que comprovam a efcênca dos algortmos e algumas comparações de desempenho das soluções desenvolvdas neste trabalho com as soluções encontradas na lteratura. O Capítulo 4 contém um algortmo de Programação Dnâmca e uma solução recursva, respectvamente para as formulações chamadas de P(F) e P(G), onde além das restrções defndas em P(/0) exstem também restrções de precedênca de operação entre poços, representando cenáros de campos de petróleo onde exsta alguma herarqua de poços produtores. Novamente, resultados numércos mostram que os algortmos são bastante efcentes e produzem soluções de boa qualdade. Neste momento da pesqusa fo percebdo que o algortmo de Programação Dnâmca desenvolvdo não era faclmente adaptável quando novas restrções eram ncluídas na formulação básca, e desde então passamos a buscar uma solução para P(/0) utlzando Programação Lnear Intera Msta (ou MILP - Mxed Integer Lnear Programmng), mostrada no Capítulo 5. O problema orgnal é transformado em um problema lnear por partes e desgualdades váldas são produzdas e ncluídas na formulação, de modo a torná-la mas apertada e acelerar o processo de solução. A efcênca deste método é comprovada através de expermentos numércos.

23 1. Introdução 9 Vsto que na abordagem MILP a nclusão de restrções é tratada com naturaldade, passamos a estudar a solução de um problema mas completo, cuja formulação fo denomnada P 5 (/0), onde são acrescentadas restrções mpostas por lmtes nas nstalações de superfíce. No Capítulo 6 são apresentados os resultados obtdos. Mas uma vez, são apresentadas famílas de desgualdades váldas que são capazes de acelerar o processo de solução quando ntroduzdas na formulação, o que é mostrado através de expermentos numércos. O Capítulo 7 se refere às consderações fnas do trabalho, e algumas dreções para pesqusas futuras são apresentadas.

24 Capítulo 2 Fundamentos Neste capítulo, apresentamos alguns concetos báscos do domíno da otmzação, bem como o paradgma da Programação Dnâmca, concetos de funções lneares por partes e de teora poledral. O letor famlarzado com estes tópcos pode proceder dretamente ao Capítulo Otmzação A Otmzação é a área da Matemátca Aplcada que se concentra em calcular valores ótmos para varáves de decsão de acordo com algum crtéro de avalação, ao mesmo tempo que satsfazem restrções de um modelo matemátco. A solução de um problema de otmzação normalmente possu duas fases: a prmera consste em transformar o problema em um modelo, e posterormente mplementar um algortmo capaz de encontrar uma solução adequada para este modelo. A lnguagem utlzada para expressar os problemas de manera declaratva é conhecda como Programação Matemátca [41]. Os elementos de um modelo em Programação Matemátca são: Varáves de decsão : elementos cujos valores defnem uma solução para o problema, e.g., quantdades produzdas ou recursos utlzados. Função objetvo : uma função das varáves de decsão, que deve ser maxmzada ou mnmzada, e.g., mnmzar custos, reduzr número de homens/hora, maxmzar lucros. Restrções : um conjunto de funções que defne o espaço factível de soluções, e.g., lmtes para recursos, restrções operaconas de um processo de produção, lmtações físcas e técncas.

25 2. Fundamentos 11 Um problema geral de otmzação pode ser escrto em Programação Matemátca como: Mnmze f(x) Sujeto a: g(x) 0 h(x) = 0 x R n onde f : R n R é a função objetvo, g : R n R p e h : R n R q são restrções que lmtam o espaço de soluções factíves, e x é o vetor das varáves de decsão. Formulado o problema, o próxmo passo é encontrar um algortmo efcente para o cálculo da solução ótma. Alguns tpos de problema de otmzação, como por exemplo os problemas de Programação Lnear, possuem algortmos bastante efcentes para sua solução (método Smplex e método de ponto nteror). Porém, exstem problemas para os quas não exstem algortmos capazes de encontrar uma solução ótma com a mesma efcênca, como é o caso de alguns problemas de Programação Intera pertencentes à classe NP-dfícl. A segur apresentamos o paradgma da Programação Dnâmca, bastante utlzado para a cração de algortmos que resolvem problemas desta classe. 2.2 Programação Dnâmca Uma das técncas mas poderosas para a solução de problemas de otmzação é quebrá-los em partes menores e mas fáces de resolver, e posterormente compor a solução do problema orgnal a partr da solução destes subproblemas. Sempre que é possível quebrar um problema em nstâncas menores do mesmo problema, o uso de um algortmo recursvo se torna aparente. A Programação Dnâmca (PD) é um dos paradgmas de projeto de algortmos que se basea em quebrar problemas em problemas menores. Tpcamente remove-se um elemento do problema, resolve-se o problema menor, e então utlza-se a solução deste problema menor para adconar o elemento novamente de manera aproprada. Algortmos gulosos, que tomam a melhor decsão local a cada passo, ocasonalmente encontram ótmos globas para certos problemas. Algortmos de busca exaustva, que enumeram todas as possbldades e seleconam a melhor, por defnção encontram sempre o ótmo global, porém normalmente a um custo muto alto. A Programação Dnâmca combna as duas técncas, sstematcamente consderando todas as possíves decsões e seleconando aquela que prova ser a melhor. Armazenando as consequêncas de todas as possíves decsões até o momento, a quantdade de trabalho total é mnmzada. A maor lmtação da Programação Dnâmca é o número de soluções parcas que devem ser armazenadas. A ordem dos elementos do problema também é mportante. Alterar esta ordem sgnfca mudar o problema. Porém, uma vez que esta ordem seja fxada, algortmos PD são bastante efcentes.

26 2. Fundamentos 12 A segur mostramos um pequeno exemplo, com o objetvo de tornar mas claro o prncípo de funconamento deste tpo de algortmo. A Programação Dnâmca é uma ferramenta que tem sdo aplcada com sucesso a um tpo de problema de otmzação chamado de problema da mochla (knapsack problem) [22]. Dversos problemas de mportânca estratégca têm uma mochla como subproblema, como por exemplo o procedmento de geração de colunas em problemas de corte e empacotamento. Outras vantagens do algortmo PD serão explctadas mas adante Programação Dnâmca para o Problema da Mochla Imagne um alpnsta que deve organzar sua mochla com város tens de seu nteresse ao escalar uma montanha, sendo que cada tem possu um peso e um valor, e a mochla possu uma capacdade lmtada. O desejo do alpnsta é maxmzar a utldade (ou valor) dos tens colocados em sua mochla, sem ultrapassar a capacdade de peso suportada por ela. Este problema é conhecdo como o problema da mochla (knapsack problem, KP), e pode ser formulado da segunte manera: KP : z = Maxmzar Sujeto a: n j=1 c j x j n a j x j b j=1 x j {0,1}, j = 1,...,n (2.1) onde x j assume valor 1 se o tem j va para a mochla, e 0 caso contráro, c j é o valor do tem j, e os coefcentes {a j } n j=1 e b são nteros postvos representando respectvamente o peso do tem j e a capacdade da mochla, com a j b, j = 1,...,n. Seja KP k (λ) o subproblema correspondente ao problema orgnal KP restrto aos k prmeros tens ( j = 1,...,k), para uma mochla de capacdade λ: KP k (λ) : f k (λ) = Maxmzar Sujeto a : k j=1 c j x j k a j x j λ j=1 x j {0,1}, j = 1,...,k. (2.2) Resolver o problema orgnal KP sgnfca obter a solução ótma para KP n (b), ou seja, o valor z = f n (b). O problema KP k (λ) possu 2 casos base, de solução trval: KP k (0) para k = 1,...,n, pos se a capacdade é zero nenhum tem va para a mochla e, portanto, f k (0) = 0 para k = 1,...,n;

27 2. Fundamentos 13 KP 0 (λ) para λ = 0,...,b, pos se temos 0 tens a consderar, nenhum tem va para a mochla, e portanto f 0 (λ) = 0 para λ = 0,...,b. Consderemos agora a solução do conjunto de subproblemas que consderam apenas o prmero tem, varando a capacdade da mochla (λ) de 0 até b. Claramente, cada um destes subproblemas possu apenas 2 possbldades de soluções ótmas, x 1 = 0 ou x 1 = 1, ou seja, o tem 1 fca fora da mochla ou dentro dela. Consderando cada caso, temos: Se x 1 = 0, então concluímos que a solução ótma satsfaz f 1(λ) = f 0 (λ), ou seja, o tem 1 não agrega valor à função objetvo e não ocupa espaço na mochla, portanto a solução do problema é a solução correspondente ao problema que consdera 0 tens e espaço λ, que já está resolvdo; Se x 1 = 1, então concluímos que a solução ótma satsfaz f 1(λ) = c 1 + f 0 (λ a 1 ), ou seja, colocamos o tem 1 na mochla ocupando espaço a 1 e agregando valor c 1 à função objetvo, e somamos o valor ótmo do problema com 0 tens e capacdade λ a 1, que já fo resolvdo. Isto nos leva a uma recursão que permte calcular f k (λ) em termos dos subproblemas já resolvdos, ou seja, os valores de f s (u) com s < k e u λ. Generalzando o caso acma: 1) Se x k = 0, então concluímos que a solução ótma satsfaz f k(λ) = f k 1 (λ); 2) Se x k = 1, então concluímos que a solução ótma satsfaz f k(λ) = c k + f k 1 (λ a k ), para a k λ. Combnando os casos (1) e (2), obtemos a segunte recorrênca: f k (λ) = max{ f k 1 (λ), c k + f k 1 (λ a k )}. (2.3) Defnndo-se os valores ncas como f 0 (λ) = 0 para λ 0 e f k (0) = 0 para k = 1,...,n, podese utlzar a recorrênca (2.3) para calcular sucessvamente os valores de f 1, f 2,..., f n para todos os valores nteros de λ = 1,...,b. A questão que resta é como encontrar a solução ótma (ou seja, quas tens vão para a mochla) assocada ao valor ótmo f n (b). Podemos manter um ndcador p k (λ) que assume valor 0 se f k (λ) = f k 1 (λ), e valor 1 caso contráro. Portanto para defnr qual tem va para a mochla, basta observar os valores de p k (λ) da segunte manera: se p n (b) = 0, então como f n (b) = f n 1 (b), defnmos x n = 0 e contnuamos o processo com o valor f n 1 (b); se p n (b) = 1, então f n (b) = c n + f n 1 (b a n ), defnmos x n = 1 e repetmos este procedmento para f n 1 (b a n );

28 2. Fundamentos 14 Tabela 2.1: Valores de f k (λ) e de p k (λ) para uma nstânca do problema da mochla f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 p 1 p 2 p 3 p 4 λ = após n terações, obteremos a solução ótma. Calculando o número de operações necessáras para obtermos z = f n (b), verfcamos que o cálculo de f k (λ) para λ = 0,1,...,b e k = 1,...,n necessta de um número constante de operações. O algortmo possu tempo de execução Θ(nb), sendo portanto pseudo-polnomal. Reproduzmos agora um exemplo numérco extraído de [42], com o objetvo de tornar mas claros os concetos apresentados nesta seção. Consdere a nstânca de KP: z = Maxmzar 10x 1 + 7x x x 4 Sujeto a: 2x 1 + x 2 + 6x 3 + 5x 4 7 x 1, x 2, x 3, x 4 {0,1} Os valores de f k (λ) e p k (λ) são mostrados na Tabela 2.1. Os valores de f 0 (λ) e de f k (0) são obtdos de medato, enquanto que as outras colunas são preenchdas de cma para baxo utlzando a recursão f k (λ) = max{ f k 1 (λ), c k + f k 1 (λ a k )}. Por exemplo, f 2 (7) = max{ f 1 (7),7+ f 1 (7 1)} = max{10,7+10} = 17, e como o valor de f 2 (7) é dado pelo segundo termo da maxmzação, fazemos p 2 (7) = 1. O valor ótmo é z = f 4 (7) = 34. Para obter a solução ótma x, basta percorrer a tabela P, ncando em p 4 (7). Como p 4 (7) = 1, x 4 = 1. p 3(7 5) = p 3 (2) = p 2 (2) = 0 e portanto x 3 = x 2 = 0. p 1(2) = 1, e portanto x 1 = 1. Sendo assm, a solução ótma é x = (1,0,0,1). 2.3 Lnearzação por Partes Seja uma função contínua f(y) e p = (a, f(a )) para = 0,...,k um conjunto de pontos conhecdos desta função, com a < a +1, = 0,...,k 1. Podemos aproxmar f(y) por um conjunto de

29 2. Fundamentos 15 segmentos lneares, passando pelos pontos p, conforme lustra a Fgura 2.1. Qualquer função contínua de uma varável pode ser aproxmada por uma função lnear por partes, sendo a qualdade da aproxmação dependente do tamanho dos segmentos lneares. Seja f(y) a aproxmação lnear de f(y). A segur, apresentamos três modelos que podem ser utlzados para representar f(y) [13] Modelo com pesos por ponto (Modelo I) Nesta prmera abordagem, lustrada pela Fgura 2.1 são utlzadas varáves reas (ou pesos) λ. Qualquer a 0 y a k pode ser escrto como: y = k =0 λ a, k =0 λ = 1, λ = (λ 0,...,λ k ) R k+1 +. Os λ não são úncos, mas se a y a +1 e λ +λ +1 = 1 para algum {0,...,k 1}, então obtemos f(y) = λ f(a )+λ +1 f(a +1 ). Em outras palavras, f(y) = k =0 λ f(a ), k =0 λ = 1, λ R k+1 +. Se pelo menos dos dos λ s são postvos, e se λ j e λ k são postvos, então k = j 1 ou k = j + 1. Esta condção pode ser modelada utlzando-se varáves bnáras x para = 1,...,k (com x = 1 se a 1 y a e x = 0 caso contráro), e as restrções λ 0 x 1 λ x + x +1 = 1,...,k 1 λ k x k k =1 x = 1 x B k. Note que se x j = 1, então λ = 0 para / { j 1, j}. Funções lneares por partes que são convexas (côncavas) podem ser mnmzadas (maxmzadas) utlzando Programação Lnear, pos as nclnações dos segmentos são crescentes (decrescentes). Porém, se a função não é côncava nem convexa, varáves bnáras são necessáras para seleconar o segmento correto para um dado valor de y [31].

30 2. Fundamentos 16 f/ f λ 3 f(y) f(y) λ 1 λ 4 λ 0 λ 2 x 1 x 2 x 3 x 4 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 y Fgura 2.1: Lnearzação por partes para o modelo por pesos Modelo com pesos sequencal (Modelo II) Neste modelo, escrevemos y como: onde 0 λ a a 1, = 1,...,k. y = a 0 + λ λ k Desejamos representar um dado y que pertence a uma regão r da função. Então λ assume os valores: a a 1 se < r λ = y a se = r 0 se > r Varáves nteras x são utlzadas para seleconar as regões anterores a y. Assm, se consderarmos que y pertence a uma regão r: { 1 se < r x = 0 se r Portanto, a formulação deste modelo pode ser escrta como: y =a 0 + k λ =1 f(y) = f(a 0 )+ k =1 (2.4a) f(a ) f(a 1 ) a a 1 λ (2.4b)

31 2. Fundamentos 17 f/ f λ 4 f(y) λ 3 f(y) λ 1 λ 2 x 1 x 2 x 4 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 y Fgura 2.2: Lnearzação por partes para o modelo sequencal com as seguntes restrções: λ 1 a 1 a 0 (2.5a) λ (a a 1 )x 1 = 2,...,k (2.5b) λ (a a 1 )x = 1,...,k 1 (2.5c) λ k 0 (2.5d) λ R = 1,...,k (2.5e) x B = 1,...,k 1 (2.5f) Note que em (2.5c) está mplícta a condção λ 0, pos λ (a a 1 )x 0, onde x {0,1} e a > a 1. Observe também que em (2.5f) não é necessáro defnr x k, pos se x pertencer à últma regão (k), x = 1, {1,...,k 1}. Em [33] uma comparação entre os Modelos I e II é apresentada. Uma transformação do Modelo I para o espaço de varáves de decsão do Modelo II é realzada, e prova-se que o Modelo II está estrtamente contdo nesta transformação. Além dsso, este trabalho mostra que nos vértces do poledro correspondente à relaxação lnear do Modelo II as varáves x são sempre nteras. Ou seja, um problema de otmzação cuja função objetvo seja lnearzada utlzando o Modelo II pode ser resolvdo por meo de programação lnear. Neste aspecto, o Modelo II é consderado muto melhor que o Modelo I. Entretanto, sob o aspecto ddátco, o Modelo I é mas ntutvo que o II, devdo ao sgnfcado de suas varáves de decsão e smplcdade das restrções. Em [33], uma formulação que transforma o Modelo II no espaço de varáves de decsão de I é proposta, mas suas restrções contnuam pouco ntutvas. Então surge em [37] uma formulação smples com varáves de decsão semelhantes às do Modelo I e com as característcas poledras do Modelo II, mostrada a segur.

32 2. Fundamentos 18 f/ f λ R 1 λ L 2 λ R 3 λ L 4 λ R 4 f(y) f(y) 2 1 λ L 1 λ R 2 λ L 3 x 1 x 2 x 3 x 4 a 0 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2 a 3 = 3 a 4 = 4 y Fgura 2.3: Lnearzação por partes para o modelo de Sheral Modelo de Sheral (Modelo III) Na formulação proposta em [37], são utlzadas duas varáves de peso para cada regão da lnearzação: λ L é o peso do ponto à esquerda da regão e λ R é o peso do ponto à dreta. Também são empregadas varáves x nteras que seleconam a regão. Esta formulação é mas geral que as anterores, pos permte também lnearzar funções descontínuas 1. com restrções y = f(y) = k =1 k =1 [a 1 λ L + a λ R ] (2.6a) [ f(a 1 )λ L + f(a )λ R ] (2.6b) λ L + λr = x = 1,...,k (2.7a) k =1 x = 1 (2.7b) λ L,λ R 0 = 1,...,k (2.7c) λ L,λ R R = 1,...,k (2.7d) x B = 1,...,k (2.7e) Na Fgura 2.3 vemos uma lustração deste modelo. Para exemplfcar, tomemos y = 2, 7, que mplca = 3. De (2.7b) e (2.7e), x 3 = 1 e x 1 = x 2 = x 4 = 0. De (2.6a), (2.7a), (2.7c) e (2.7d), λ L = λ R = 0 para = 1,2,4, λ L 3 = 0,3 e λr 3 = 0,7. 1 Em [37] é mostrado que quando f(y) é contínua, este modelo é equvalente ao modelo anteror.

33 2. Fundamentos 19 Para calcular f(y) utlzamos (2.6b): f(y) = f(a 2 )λ L 3 + f(a 3)λ R 3 = 2 0,3+6 0,7 = 4,8. Do exemplo apresentado, (2.7a) e (2.7b) são escrtas matrcalmente como Âz = ˆb, z = [ z T = λ L 1 λ R 1 x 1 λ L 2 λ R 2 x 2 λ L 3 λ R 3 x 3 λ L 4 λ R 4 x 4 ] 1 Desejamos mostrar que  é totalmente unmodular. Podemos desconsderar as colunas correspondentes às varáves λ, pos estas possuem apenas uma lnha dferente de zero [31]. A matrz resultante (colunas de x) corresponde a uma matrz de ncdênca [42], que é totalmente unmodular. Assm, a matrz  também é totalmente unmodular. As restrções (2.7c) a (2.7e), na forma x 0 e x 1 para todo = 1,...,k, mplcam em dentdades que são concatenadas à matrz Â, e não afetam sua unmodulardade. Note também que as restrções de gualdade podem ser transformadas em desgualdades (π T z = π 0 = π T z π 0 e π T z π 0 ). Assm, a matrz de restrções para esta formulação é totalmente unmodular. A conseqüênca é que o poledro desta formulação é mínmo, ou seja, ele corresponde ao fecho convexo das soluções, e em todos os seus vértces as varáves x são nteras. Assm, problemas de otmzação formulados de acordo com o Modelo III podem ser resolvdos utlzando programação lnear. 2.4 Defnções de Poledro e Dmensão Apresentamos aqu alguns resultados sobre Teora Poledral [20], [31], com o objetvo de famlarzar o letor com este assunto. Defnção 2.1 Um conjunto de pontos x 1,x 2,...,x k R n é lnearmente ndependente se a únca solução para k =1 λ x = 0 é λ = 0 para = 1,2,...,k. Defnção 2.2 Um conjunto de pontos x 1,x 2,...,x k R n é afm ndependente se a únca solução para k =1 λ x = 0 e k =1 λ = 0 é λ = 0 para = 1,2,...,k. Defnção 2.3 Seja S = {x 1,x 2,...,x k } um conjunto de pontos em R n. O fecho convexo de S é o conjunto de pontos conv(s) = { k =1 λ x : k =1 λ = 1, x S, λ R e λ 0, para = 1,2,...,k}.

34 2. Fundamentos 20 Defnção 2.4 Um poledro P R n é um conjunto de pontos que satsfaz um número fnto de desgualdades lneares, ou seja, P = {x R n : Ax b}, onde (A,b) é uma matrz m (n+1). Proposção 2.1 O fecho convexo dos elementos nteros de P = {x R n : Ax b} é também um poledro, ou seja, conv(p Z n ) = {x R n : Ãx b} para alguma matrz à e algum vetor b. Defnção 2.5 Um poledro P R n é lmtado se exste ω R 1 + tal que P {x Rn : ω x j ω para j = 1,...,n}. Um poledro lmtado é denomnado poltopo. Defnção 2.6 Um poledro P tem dmensão n, denotado por dm(p) = n, se o número máxmo de pontos afm ndependentes em P é n+1. Defnção 2.7 Um poledro P R n possu dmensão chea se dm(p) = n. Se P não possu dmensão chea, então pelo menos uma de suas desgualdades a x b é satsfeta na gualdade por todos os pontos de P, onde a corresponde à lnha da matrz A. Sejam M = {1,2,...,m}, M = = { M : a x = b para todo x P}, e M = { M : a x < b para algum x P} = M\M =. Sejam (A =,b = ), (A,b ) as lnhas correspondentes de (A,b), formando os conjuntos de gualdades e desgualdades da representação (A,b) de P, ou seja, P = {x R n : A = x = b =,A x b }. Note que se M, então (a,b ) não pode ser escrto como combnação lnear das lnhas de (A =,b = ). 2.5 Descrção de Poledros através de Facetas Dado um poledro P = {x R n : Ax b}, analsamos nesta seção quas das desgualdades a x b são necessáras para descrever P e quas podem ser descartadas. Defnção 2.8 A desgualdade π T x π 0 ou (π,π 0 ) é denomnada uma desgualdade válda para P se for satsfeta por todos os pontos de P. Defnção 2.9 Se (π,π 0 ) é uma desgualdade válda para P e F π = {x P : π T x = π 0 }, F π é denomnada uma face de P, e dzemos que (π,π 0 ) representa ou nduz F π. Uma face F π é dta própra se F π /0 e F π P. A face F π representada por (π,π 0 ) é não-vaza se e somente se max{π T x : x P} = π 0. Quando F π é não-vaza, dzemos que (π,π 0 ) suporta P. Defnção 2.10 Uma face F de P é uma faceta de P se dm(f) = dm(p) 1. Teorema 2.1 Seja P um poledro descrto por {x R n : Ax b e Cx = d}, onde Ax b não possu nenhuma gualdade mplícta e C possu posto completo. Esta descrção do poledro é nãoredundante, ou seja, a remoção de uma desgualdade ou gualdade resulta em um poledro dferente de P, se e somente se toda desgualdade Ax b defne uma faceta para P.

35 2. Fundamentos 21 Defnção 2.11 Dzemos que uma desgualdade γ T x γ 0 domna outra desgualdade π T x π 0, ou seja, γ T x γ 0 é mas forte que π T x π 0, se exstr α > 0 tal que γ απ e γ 0 απ 0. Algumas vezes é possível obter desgualdades mas fortes, ou até mesmo facetas, a partr de faces de um poledro P. Um processo bastante utlzado para este fm é o l f tng. Consdere a desgualdade válda π T x π 0 para P R n, e F π a face defnda por esta desgualdade. Consdere outra desgualdade válda para P, γ T x γ 0, que defne a face F γ. A desgualdade γ T x γ 0 é um l ftng da desgualdade π T x π 0 se: 1. F π F γ ; 2. dm(f π ) < dm(f γ ) dm(p) Caracterzação de Facetas Descrevemos agora duas técncas utlzadas para provar que desgualdades váldas defnem facetas para um dado poledro: construção dreta e verfcação da maxmaldade. Suponha que o poledro P = {x R n : Ax b} R n possu dmensão chea, e que a desgualdade π T x π 0 pertence ao conjunto de desgualdades que defnem P (portanto uma desgualdade válda). Construção dreta Para provar que a desgualdade válda π T x π 0 defne uma faceta para P utlzando a técnca da construção dreta, é necessáro encontrar um conjunto de vetores S P afm ndependentes com cardnaldade gual a dm(p), tal que cada elemento de S satsfaz a desgualdade π T x π 0 na gualdade. Assm, a face F defnda por π T x = π 0 tera dmensão gual a dm(p) 1 e portanto (π,π 0 ) defnra uma faceta para P. Caso o poledro não possua dmensão chea, prmero deve-se verfcar que π T x π 0 não é uma gualdade mplícta. Isto pode ser feto encontrando-se um vetor ˆx P tal que π T ˆx < π 0. Verfcação da maxmaldade Esta técnca consste em provar que a face F π de P R n nduzda por (π,π 0 ) não está contda em nenhuma outra face de P, ou seja, provar que F π é máxma. Seja γ T x γ 0 uma desgualdade válda para P, tal que F π F γ. Se γ T x γ 0 pode ser expressa como um múltplo escalar não negatvo de π T x π 0, então (π,π 0 ) defne uma faceta para P. Caso P não possua dmensão chea, deve-se provar que (π,π 0 ) não é uma gualdade mplícta, e também garantr que (γ,γ 0 ) e (π,π 0 ) dferem não apenas de um múltplo escalar postvo, mas também de uma combnação lnear das equações mplíctas para P.