UM ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA BI-OBJETIVO PARA O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NÃO CAPACITADO

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1 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 UM ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA BI-OBJETIVO PARA O PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES NÃO CAPACITADO Paula Marana dos Santos (UFV) paula-maranna@hotmal.com JOSE ELIAS CLAUDIO ARROYO (UFV) jarroyo@dp.ufv.br Mchele dos Santos Soares (UFV) myxelly@dp.ufv.br Neste trabalho é apresentado um algortmo de programação matemátca para determnar soluções Pareto-ótmas ou efcentes do problema b-objetvo de localzação de facldades não capactado. Os objetvos ou crtéros consderados são: mnmmzação de custos e maxmzação das demandas atenddas (cobertura). O método consste em mnmzar teratvamente dferentes funções ponderadas Zw = wz + wz, onde Z e -Z são os objetvos a serem otmzados e w e w são dferentes pesos defndos para cada objetvo. É utlzada uma técnca efcente para determnar os pesos w e w de tal manera que todas as soluções Pareto-ótmas sejam obtdas, quando o espaço de decsão factível for convexo. Caso o espaço de soluções váves não seja convexo, o algortmo mplementado determna todas as soluções Pareto-ótmas de suporte. Utlzando o algortmo foram resolvdos problemas com até 300 clentes e 50 locas canddatos gastando um tempo computaconal relatvamente baxo. Palavras-chaves: Localzação de facldades, otmzação multobjetvo, programação matemátca

2 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008. Introdução Mutos problemas econômcos de tomada de decsão consstem em localzar e/ou alocar um conjunto de facldades para servr ou atender de forma efcente a demanda de certos clentes. Como exemplos de facldades podem-se ctar fábrcas, armazéns, depóstos, bblotecas, corpo de bomberos, hosptas, estações-base de servços de telecomuncação sem fos (tas como servço de telefone móvel, nternet sem fo), etc. Problemas de localzação de facldades ocorrem em dferentes contextos e possuem numerosas aplcações. São problemas de grande mportânca econômca para planejamento estratégco de setores produtvos, ndústras, prefeturas, comérco, e outros (OWEN & DASKIN, 998). A otmzação destes modelos pode levar a grandes economas em seus nvestmentos. Um modelo dscreto amplamente estudado na lteratura é o problema de localzação de facldades não capactado (Uncapactated Faclty Locaton Problem), também conhecdo como localzação de plantas ou armazéns (KRARUP & PRUZAN, 983; BEASLEY, 988; CORNUÉJOLS et al., 990; GAO & ROBINSON, 994; REVELLE & LAPORTE, 996). Este problema consste na escolha de locas para nstalar um certo número de facldades (servdores) que atendam um conjunto de clentes (pontos de demanda) dstrbuídos em um espaço geográfco, e determnar a alocação dos clentes entre as facldades. Neste problema cada facldade pode atender um número nfnto de clentes (não capactado) e o objetvo é mnmzar os custos de atendmento aos clentes e os custos fxos gerados pela nstalação/abertura das facldades. Outro problema bastante abordado é a localzação com máxma cobertura (CHURCH & REVELLE, 974; GALVÃO & REVELLE, 996; GALVÃO et al., 000) que tem como objetvo localzar um número de facldades de modo que seja coberta ou atendda o máxmo número de clentes. Um clente é consderado coberto ou atenddo se ele está dentro da dstânca de servço (dstânca de recobrmento) de pelo menos uma facldade. Os problemas de localzação de facldades são consderados problemas NP-dfícl (PAPADIMITRIOU & YANNAKAKIS, 99; CORNUÉJOLS et. al, 990), ou seja, são altamente complexos e custosos do ponto de vsta computaconal. Neste trabalho consdera-se um problema b-objetvo, que consste na resolução smultânea de dos problemas de localzação de facldades: o problema de localzação de facldades não capactado e o problema da máxma cobertura. Ou seja, no problema abordado são otmzados dos objetvos (funções): mnmzação dos custos de nstalação/atendmento e maxmzação da cobertura de atendmento. Para resolver o problema b-objetvo é proposto um método que consste em resolver teratvamente um modelo de programação matemátca onde é otmzada uma função ponderada defnda pela combnação lnear dos objetvos otmzados. O método proposto não garante determnar todas as soluções Pareto-ótmas, mas sm todas as soluções correspondentes aos pontos de suporte da frontera Pareto-ótma. O artgo é organzado da segunte manera: Na Seção é apresentado o modelo matemátco do problema b-objetvo abordado e os concetos usados em otmzação multobjetvo. O Algortmo de Programação Matemátca desenvolvdo neste trabalho é detalhado na Seção 3.

3 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 Na Seção 4, os testes computaconas e a análse dos resultados são apresentados. As conclusões do trabalho encontram-se na Seção 5.. Formulação matemátca do problema de localzação de facldades b-objetvo A formulação matemátca do Problema B-objetvo de Localzação de Facldades Nãocapactado (PBLFN) é baseada na formulação apresentada por Revelle e Laporte (996). Sejam I = (,..., m) o conjunto dos locas potencas (depóstos) e J = (,..., n) o conjunto de centros consumdores (clentes). f denota o custo fxo de abertura do depósto, d j é a demanda de compra do clente j, c j o custo de atendmento ao clente j pelo depósto e h j a dstânca entre o depósto e o clente j. A máxma cobertura ou dstânca máxma de atendmento de um depósto é denotada por D max. A demanda de um clente é consderada atendda por um depósto aberto se o clente encontrar-se a uma dstânca menor ou gual a D max. O conjunto de depóstos que podem atender o clente j é defndo por Q j ={: h j D max }. As varáves de decsão do problema são y e x j. Se o depósto for aberto, y =, caso contráro y =0. x j = se o clente j é atendda pelo depósto, caso contráro x j = 0. O PBLFN é modelado da segunte manera: Mnmzar c x + f y, () Z = j j Mnmzar Z = d j xj () Sujeto a: Q j x = j J (3) j x, I, j J (4) j y x j {0,}, y {0,}, I, j J (5) I (6) (P BLFN ) A função objetvo () representa o custo total de operação dos depóstos abertos. O prmero termo desta função representa o custo de atendmento aos clentes pelos depóstos abertos, e o segundo termo representa a soma dos custos fxos ncorrdos pela abertura dos depóstos. A função objetvo () mede a máxma cobertura dos depóstos sendo defnda como a soma das demandas dos clentes atenddos pelos depóstos abertos dentro da máxma dstânca. Note que o problema da máxma cobertura fo transformado num problema de mnmzação. A restrção (3) (juntamente com (5)) garante que cada clente seja atenddo por um únco depósto, enquanto a restrção (4) força o clente a ser atenddo pelo depósto aberto. Fnalmente, (5) e (6) defnem que as varáves de decsão são bnáras. Uma solução s do problema pertence ao espaço de decsão factível, denotado por Ω, se ela satsfaz as restrções (3) a (6). O espaço objetvo factível do PBLFN é defndo por Z = {p R : p = (Z (s), Z (s)), s Ω }, ou seja, para cada solução s Ω exste um ponto p no espaço objetvo Z, tal que p = (Z (s), Z (s)). As soluções do problema b-objetvo são caracterzadas pelas seguntes defnções: Defnção : Soluções domnantes Uma solução s domna a solução s (ponto p = (Z (s ), Z (s ))) se as três condções seguntes forem satsfetas: 3

4 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 ) Z (s ) Z (s ), ) Z (s ) Z (s ) e ) Z (s ) < Z (s ) ou Z (s ) < Z (s ). Smlarmente, um ponto p = (Z (p ), Z (p )) domna o ponto p = (Z (p ), Z (p )) se são satsfetas as mesmas três condções. Defnção : Soluções Pareto-ótmas Uma solução é Pareto-ótma ou efcente se ela não é domnada por nenhuma solução do espaço de soluções factíves. O conjunto de soluções Pareto-ótmas aqu é denotado por E. No espaço objetvo, os pontos Pareto-ótmos determnam a frontera Pareto-ótma. Resolver o problema (P BLFN ) consste em determnar o conjunto E. Em programação lnear ntera multobjetvo é necessáro dstngur dos conjuntos de soluções Pareto-ótmas ou efcentes (ULUNGU & TEGHEM, 994): PS: conjunto de soluções Pareto-ótmas de suporte que são obtdas ao resolver o segunte modelo ponderado (para o caso b-objetvo): Mnmzar Z α = α Z + α Z (7) Sujeto a: x =, j J (8) j x, I, j J (9) j y x j {0,}, I, j J (0) y {0,}, I () α >0, α >0 () Se as funções Z e Z são convexas e o espaço de soluções do problema (P α ) é um poledro convexo então o conjunto de soluções do problema (P α ) é exatamente gual a E (STEUER, 986). NS: conjunto de soluções Pareto-ótmas de não-suporte defndo como NS = E PS. As soluções deste conjunto não podem ser obtdas ao resolver o modelo (P α ). (Pα) Z Ponto Pareto-ótmo de suporte Ponto Pareto-ótmo de não-suporte Fgura. Pontos Pareto-ótmos de suporte e não-suporte. A Fgura mostra um exemplo de conjunto de pontos Pareto-ótmos (no espaço objetvo) formado por pontos de suporte e não-suporte. Note que os Z pontos de suporte estão sobre uma curva convexa e os pontos de não-suporte estão localzados dentro de trângulos formados por dos pontos de suporte consecutvos. 3. Algortmo Iteratvo de Programação Matemátca para Determnar as Soluções Pareto-ótmas de Suporte A maora dos problemas de otmzação multobjetvo possu mutas soluções Pareto-ótmas. A obtenção dessas soluções é altamente complexa e custosa do ponto de vsta computaconal. 4

5 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 Em problemas reas basta determnar um subconjunto (amostra) das soluções Pareto-ótmas de tal manera que um decsor (responsável pela toma de decsões) opte pela solução mas adequada. O objetvo do algortmo desenvolvdo neste trabalho é determnar o conjunto de soluções Pareto-ótmas de suporte do problema de localzação de facldades b-objetvo. Na etapa ncal do algortmo, são determnados os pontos extremos da frontera Pareto-ótma. Estes pontos são denotados por p e p (Veja Fgura ). As soluções correspondentes no espaço de decsão são denotadas por s e s. Para determnar p e p prmeramente são resolvdos os modelos (P) e (P), apresentados a segur: Mnmzar Sujeto a: Z = j xj + c f y, (3) x = j J (4) j x, I, j J (5) j y d x j j Q j x j {0,}, y {0,}, Z, (6 ) I, j J (7) I (8) (P) Mnmzar Z = d j xj, (9) Sujeto a: Q j x =, j J (0) j x, I, j J () j y c x + f y j j x j {0,}, y {0,}, Z, () I, j J (3) I (4) (P) No modelo (P), Z representa a o valor ótmo de Z que é encontrado ao resolver o modelo (P BLFN ) consderando apenas a função Z. Ou seja, Z = mn d x, sujeto a: (3), (4), (5), (6). j j Q j Smlarmente, Z representa o valor ótmo de Z que é encontrado ao resolver o modelo (P BLFN ) consderando apenas a função Z : Z = mn j xj + c f y, sujeto a: (3), (4), (5), (6). 5

6 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 Se Z e Z representam, respectvamente, os valores ótmos obtdos ao resolver (P) e (P), então os pontos extremos obtdos na fase ncal do algortmo são: p = ( Z, Z ) e p = ( Z, Z ). O conjunto de pontos Pareto-ótmos de suporte PS é ncalzado com p e p, ou seja, PS = {p, p }. Cada vez que é atualzado PS, o conjunto S de soluções no espaço de decsão também é atualzado (S = {s, s }). Os pontos em PS são ordenados em ordem crescente de Z (ou decrescente de Z ). Z p p 3 p Z Fgura. Ponto determnado a partr dos pontos extremos p e p. Na segunda etapa do algortmo, teratvamente são determnados outros pontos Pareto-ótmos de suporte consderando pares de pontos [p, p ] (ntervalo) do conjunto PS e resolvendo o modelo (Pα) para dferentes pesos α = (α, α ), com α + α =. Smlar ao método da busca bnára, um ponto p 3 é determnado entre p e p, ou seja, Z (p ) < Z (p 3 ) < Z (p ) e Z (p ) < Z (p 3 ) < Z (p ) (veja Fgura ). Aqu, Z (p) denota o valor das coordenadas Z do ponto p, =,. O ponto p 3 é adconado ao conjunto PS (entre p e p ) obtendo assm, PS = {p, p 3, p }. Uma manera de determnar um ponto p 3 dentro do ntervalo [p, p ] é defnr os pesos α e α da segunte manera (T KINDT et al., 00): α = δ /( δ ) e α = /( δ ) onde δ = Z ( p ) Z ( p )) /( Z ( p ) Z ( )) + + ( p Usando estes pesos resolve-se o modelo (Pα). Se p 3 p e p 3 p, consdera-se o novo ntervalo [p, p 3 ], determna-se um novo α e resolve-se novamente o modelo (Pα), obtendo um novo ponto p 4 dentro de [p, p 3 ]. Novamente, se p 4 p e p 4 p 3, defne-se o novo ntervalo [p, p 4 ] e determna-se o ponto p 5. Se o ponto determnado concde com uns extremos do ntervalo, desconsdera-se o ponto extremo ncal (p ) e defne-se um novo ntervalo [p 4, p 3 ]. Note que, a déa do algortmo é determnar prmeramente todos os pontos de suporte dentro do ntervalo [p, p 3 ] e em seguda encontrar todos os pontos de suporte dentro do outro ntervalo [p 3, p ] (veja os ntervalos na Fgura ). Enquanto houver novos pontos de suporte dentro de um ntervalo, novos subntervalos serão defndos. Cada novo ponto de suporte determnado é medatamente utlzado para um novo subntervalo. Caso não seja possível determnar novos pontos dentro de um ntervalo [a, b], o ponto a será desconsderado. O ponto b e o ponto medato sucessor de b (em PS) são utlzados para defnr outro ntervalo. 6

7 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 O algortmo fnalza quando for defndo um ntervalo [a, p ] e não exstr mas pontos de suporte dentro deste ntervalo. A segur apresenta-se o algortmo de programação matemátca para determnar pontos/soluções Pareto-ótmas de suporte do problema (P BLFN ). Algortmo teratvo de programação matemátca //Etapa : Determnar os pontos extremos, p e p, da frontera Pareto-ótma: Z := Mn d x, sujeto a: (3), (4), (5), (6); j Q j Z := Mn j xj + j c f y, sujeto a: (3), (4), (5), (6); ( Z, (x j, y ) ) := solução ótma obtda ao resolver (P); ( Z, (x j, y ) ) := solução ótma obtda ao resolver (P); p := ( Z, Z ); p := ( Z, Z ); Se p = p então//o problema possu um ponto (solução) deal. PS = {p } //Conjunto de pontos Pareto-ótmos no espaço objetvo S ={(x j, y ) }; //Conjunto de soluções Pareto-ótmas no espaço de decsão Imprmr os conjuntos PS e S; Fm do algortmo. Fm-Se Senão //Etapa : PS := {p, p }, S :={(x j, y ), (x j, y ) }; prmero := ; ultmo := ; //posções do prmero e últmo ponto de PS Enquanto prmero < ultmo faça //teração do algortmo p := PS[prmero]; p := PS[prmero+]; δ = ( Z ( p ) Z ( p )) /( Z ( p ) Z ( )) ; : p δ α : =, ; ( δ + ) ( δ + ) ( Z, Z (x j, y )) := solução ótma obtda ao resolver (Pα); p 3 := ( Z, Z ); Se Z (p ) < Z < Z (p ) e Z (p ) < Z < Z (p ) então PS := PS { p 3 }; // p 3 é nserdo entre p e p. S := S {(x j, y )}; ultmo := ultmo +; Fm-Se Senão prmero := prmero +; Fm-Senão Fm-Enquanto Imprmr os conjuntos PS e S; Fm-Senão 7

8 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 Fm-Algortmo No algortmo apresentado acma, a ordenação do conjunto PS é da segunte manera: PS ={p, p,..., p prmero-, p prmero, p prmero+,..., p ultmo } Cada vez que é encontrado um novo ponto no ntervalo [p prmero, p prmero+ ], o últmo ponto é empurrado para dreta (ultmo := ultmo +). Quando o ponto encontrado concde com um dos extremos do ntervalo, o prmero troca de posção (prmero := prmero +). Os pontos p, p,..., p prmero- são os pontos já analsados e são desconsderados. O algortmo fnalza quando prmero = ultmo, ou seja, quando não exstr mas ntervalos para serem defndos. Na Fgura 3 mostra-se a evolução do algortmo teratvo para uma nstânca do problema com m = 50 depóstos e n = 300 clentes. Note que, na etapa ncal são obtdos os dos pontos extremos da frontera Pareto-ótma. Na prmera teração do algortmo é obtdo o ponto meo da frontera. Neste exemplo, os pontos da prmera metade da frontera são obtdos até a teração 70. A outra metade é obtda até a teração 439, completando assm toda a frontera com os pontos Pareto-ótmos de suporte. 0 Etapa Inícal 0 Iteração Cobertura (Z) Cobertura (Z ) Custo (Z ) Custo (Z) Iteração Iterações 439 (fm do algortmo) Cobertura (Z) Cobertura (Z) Custo (Z ) Custo (Z ) Fgura 3. Pontos Pareto-ótmos de suporte obtdos para o problema com n = 50 e m = Testes Computaconas do Algortmo O algortmo teratvo de programação matemátca, apresentado na seção 3, fo codfcado em Mosel e resolvdo utlzando o Software de Programação Matemátca Xpress da Dash Optmzaton ( Os testes computaconas foram realzados em um computador com processador Intel Core Quad,4 Ghz com GB de memóra. Foram geradas dferentes nstâncas do problema de localzação de facldades consderando dferentes valores para o número de depóstos (m) e o número de clentes (n). Os valores consderados para m foram: 5, 0, 5, 30, 40 e 50; e os para n foram: 00, 50, 00, 50 e 300. Para cada m n gerou-se 5 problemas. Em total foram gerados 50 problemas. 8

9 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 Para o problema de localzação de facldades abordado neste trabalho, os depóstos estão unformemente dstrbuídos em um quadrado de undades de dstânca, ou seja, as dstâncas de depóstos para clentes são geradas aleatoramente entre 0 e Os custos de atendmento aos clentes são gerados com dstrbução unforme na faxa de 00 a.000 undades; os custos fxos de nstalação dos depóstos no ntervalo.000 a 0.000; e as dstancas de cobertura máxma no ntervalo 0 e Análse dos Resultados Com o ntuto de explorar as característcas do problema de localzação de facldades abordado neste artgo, realzou-se uma análse de correlação estatístca para avalar o comportamento das soluções encontradas pelo algortmo. Incalmente, analsou-se a correlação entre o número de clentes (n) e o número de soluções obtdas e entre o número de clentes e as quantdades mínma e máxma de facldades abertas. Verfcou-se que, os coefcentes de correlação foram próxmos a, o que sgnfca uma varação postva entre esses valores. Ou seja, a medda que o número de clentes aumenta, o número de soluções, as quantdades mínma e máxma de facldades abertas também aumentam. De manera smlar, fo analsada a correlação entre o número de depóstos (m) e o número de soluções encontradas e entre o número de depóstos e as quantdades mínma e máxma de facldades abertas. Os coefcentes de correlação também foram próxmos a, sgnfcando que o aumento no valor de m acarreta um aumento no número de soluções obtdas e nas quantdades mínma e máxma de facldades abertas. Na Tabela, para cada tamanho de problema apresenta-se as médas do número de soluções encontradas, número mínmo e máxmo de facldades abertas, número de terações (número de vezes que o modelo Pα é resolvdo) e o tempo de CPU gasto pelo algortmo. Na Tabela pode ser observado que o número de soluções e as quantdades mínma e máxma de facldades abertas varam de acordo com o número de clentes e depóstos. Na Fgura 4 lustra-se a relação entre o número de clentes e o número de soluções geradas. O tempo computaconal gasto pelo algortmo e o número de terações executadas também depende dos valores de n e m. A execução do algortmo fo relatvamente rápda, gastando em méda de 8 segundos para um problema com m n = 5 00 e 476 segundos para um problema com m n = Vale destacar que, para determnar o conjunto PS em um problema com m n = 50 50, o modelo de programação lnear ntera (Pα) é resolvdo, em méda, 64 vezes Núnero de soluções Número de clentes (n ) Fgura 4. Relação méda entre o número de clentes e o número de soluções. 9

10 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 m n n de soluções Paretoótmas n mínmo facldades abertas n máxmo facldades abertas n terações Tempo (s) ,0 3,8 3,8 65,0 8, ,8 4,6,4 74,8 57, ,6 5,4 3,6, 66, ,8 5,6 5,0 0,6 63, ,4 6, 4,6 0,8 7, ,8 4,6 6, 9,6 38, , 5,6 8,0 33,4 87, ,6 5,8 8,6 40, 34, ,4 5,6 7,6,8 66, ,0 6,8 9,4 8,4 63, ,0 4,4 6,8 79,0 33, ,4 5,8 0,8 05,8 76, ,8 6,0 3,0 6,6 37, ,4 7,0 0, 9,8 59, , 7,6 3,4 3,4 50, ,6 4,4 0,6 80, 59, ,6 5,4 3,4 6, 78, ,0 6,6 3,6 6,0 356, , 7,4 3,8 8,4 79, ,0 7,6 7, 357,0 8, ,0 5,0 4, 99,4 6, ,0 6,0 9,4 5,0 39, ,6 7,0 9,0 86,0 746, , 8, 8,4 69,4 839, ,4 9,0 3,4 99,8 77, ,6 5,4 7, 08, 99, ,4 6,6 3,0 43,8 367, ,0 7, 5,6 5,0 65, ,6 8,0 9, 64, 476, ,8 8, 8,8 37,6 739,8 Tabela. Méda dos resultados obtdos para cada conjunto de problemas m n. 5. Conclusões 0

11 Ro de Janero, RJ, Brasl, 3 a 6 de outubro de 008 Neste artgo desenvolveu-se um algortmo teratvo de Programação Matemátca para determnar soluções Pareto-ótmas ou efcentes do problema b-objetvo de localzação de facldades não-capactado. O algortmo consste em mnmzar teratvamente uma função ponderada defnda pela combnação lnear dos objetvos. Foram resolvdos problemas com até 300 clentes e 50 depóstos. Os tempos computaconas gastos pelo algortmo foram acetáves. Para resolver os problemas menores e maores foram gastos em méda 3 segundos e 744 segundos, respectvamente. A análse dos resultados explctou o fato de que quando há um aumento nas quantdades de depóstos e clentes, o número de soluções, o número máxmo e mínmo de facldades abertas, o número de terações do algortmo e o tempo computaconal também aumentam. Os resultados obtdos neste trabalho serão dsponblzados a fm de serem utlzados na avalação de desempenho de métodos aproxmados ou heurístcos. Agradecmentos À empresa Dash Optmzaton pela lcença cedda da versão completa do Xpress-MP e ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq) pelo fnancamento parcal do trabalho (processos: 3039/006-9, /007-4). Referêncas BEASLEY, J. E. An algorthm for solvng large capactated warehouse locaton problems, European Journal of Operatonal Research, volume 33 (3), pp 34-35, 988. CHURCH, R. & REVELLE, C. The Maxmal Coverng Locaton Problem. Papers of the Regonal Scence Assocaton, v. 3, p. 0 8, 974. CORNUÉJOLS, G., NEMHAUSER, G. H. & WOLSEY, L. The uncapactated faclty locaton problem. In: Mrchandan P, Francs R, edtors. Dscrete locaton theory. NewYork:Wley;. p. 9 7, 990. GALVÃO, R. D. & REVELLE, C. S. A Lagrangean Heurstc for the Maxmal Coverng Locaton Problem. European Journal of Operatonal Research, 88: 4-3, 996. GALVÃO, R. D., ESPEJO, L. G. A. & BOFFEY, B. A Comparson of Lagrangean and Surrogate Relaxatons for the Maxmal Coverng Locaton Problem. European Journal of Operatonal Research, 4: , 000. GAO, L. L. & ROBINSON, E.P. Uncapactated faclty locaton: general soluton procedures and computatonal experence. European Journal of Operatonal Research; 76:40 7, 994. KRARUP, J. & PRUZAN P. M. The smple plant locaton problem: survey and synthess. European Journal of Operatonal Research;:36 8, 983. OWEN, S.H. & M.S. DASKIN. Strategc Faclty Locaton: A Revew. European Journal of Operatonal Research,, , 998. PAPADIMITRIOU, C. & YANNAKAKIS, M. Optmzaton, approxmaton and complexty classes. Journal of Computer and System Scences;43:45 440, 99. REVELLE, C. & G. LAPORTE. The Plant Locaton Problem: New Models and Research Prospects. Operatons Research, 44, , 996. STEUER, R. E. Multple crtera optmzaton theory, computaton and applcaton. Wley, 986. T KINDT, V., BILLAUT, J. C. & PROUST, C. An nteractve algorthm to solve bcrtera schedulng problems on unrelated parallelmachnes, European Journal of Operatonal Research, 35, 4 49, 00. ULUNGU, E. & TEGHEM, J. Mult-objectve combnatoral optmzaton: A survey, Journal of Mult-Crtera Decson Analyss 3 (), 83-04, 994.