V SMAT Simpósio de Matemática Presidente Prudente - SP 10 a 13 de agosto de Minicurso Introdução a Problemas de Corte de Estoque

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1 V SMAT Smpóso de Matemátca Presdente Prudente - SP 10 a 13 de agosto de 2010 Mncurso Introdução a Problemas de Corte de Estoque Adrana Crstna Cherr Departamento de Matemátca - Faculdade de Cêncas Unversdade Estadual Paulsta - Campus de Bauru adrana@fc.unesp.br Andréa Carla Gonçalves Vanna Departamento de Computação - Faculdade de Cêncas Unversdade Estadual Paulsta - Campus de Bauru vanna@fc.unesp.br

2 Sumáro Prefáco Introdução Classfcação dos Problemas de Corte Problemas Báscos de Corte O Problema da Mochla Problemas de Váras Mochlas O Problema de Corte de Estoque Undmensonal: Modelos Matemátcos Defnção do Problema Apenas um Tpo de Barra em Estoque: Quantdade Ilmtada Modelo Básco Alterações no Modelo Básco Dversos Tpos de Barras em Estoque: Quantdade Ilmtada Dversos Tpos de Barras em Estoque: Quantdade Lmtada Concetos Báscos Problema de Otmzação Lnear Transformações de Problemas na Forma Padrão Resolução Gráfca Método Smplex Soluções Báscas Método Smplex Algortmo Prmal-Smplex O Problema de Corte de Estoque Undmensonal: Métodos O Método Smplex com Geração de Colunas: Um tpo de Barra O Método Smplex com Geração de Colunas: Dversos Tpos de Barras Heurístcas de Arredondamento Abordagens de Padrões Báscos Abordagens para o Problema Resdual Abordagens Compostas O Problema de Corte de Estoque Bdmensonal Geração de Padrões de Corte Bdmensonas Problemas Trdmensonas Bblografa

3 Prefáco O objeto de estudo neste texto são os Problemas de Corte de Estoque, os quas são essencas para o planejamento da produção em dversas ndústras, tas como ndústras de papel, de móves, de vdro, metalúrgca, plástca, têxtl, etc. Nestas ndústras, a redução dos custos de produção é frequentemente obtda pela segunte estratéga: as matéras prmas utlzadas são ncalmente produzdas em tamanhos grandes padronzados, possvelmente estocadas e, somente mas tarde, reduzdas a tamanhos menores para então serem usadas pela ndústra, ou para atender demandas externas de tamanhos varados, mutas vezes não padronzados. Este procedmento desacopla, temporaramente, as produções de matéras prmas e dos produtos fnas, evtando a necessdade de constantes preparações de máqunas, que seram necessáras caso as máqunas fossem preparadas para os tamanhos dos produtos requstados. Esta manera de produção ntroduz, entretanto, uma nova dfculdade, pos um estágo adconal de produção é necessáro - a operação de corte, que produz nevtáves perdas. Surge então a necessdade de se planejar os cortes para mnmzar os efetos negatvos gerados pelo desperdíco sobre os custos de produção. O reverso dos problemas de corte são os problemas de empacotamento, os quas são gualmente essencas para o planejamento de operações logístcas da ndústra, como a armazenagem, movmentação ou transporte de tens produzdos. Neste caso, os produtos deverão ser arranjados em grandes espaços de tamanhos padronzados prevamente projetados, como por exemplo, caxas de papelão ou madera, contêneres, paletes, etc. Entretanto, este procedmento ntroduz um novo estágo - a operação de empacotamento, que nem sempre consegue preencher todos os espaços dsponíves (nas caxas, contêneres, etc.), gerando espaços ocosos, os quas serão, consequentemente, armazenados e/ou transportados juntamente com os tens produzdos. Surge então a necessdade de planejar o empacotamento de modo a mnmzar os espaços ocosos. Note que o problema de corte pode ser pensado como um problema de empacotamento (e vce-versa), pos a parte do materal que será cortado para produção de um tem, pode ser dentfcada como o espaço ocupado por este. Por esta razão, tas problemas são referdos como Problemas de Corte e Empacotamento e são paralelamente estudados. Obvamente, os processos de corte e empacotamento podem ntroduzr restrções dferencadas, tas como cortes em gulhotna, de um lado, carregamento estável, de outro. A mportânca econômca alada à dfculdade de resolução de problemas de corte e empacotamento têm motvado grande empenho da comundade acadêmca na busca de métodos de solução efcentes, que pode ser notado pelo volume de trabalhos publcados nos últmos anos. Destacamos aqu os lvros específcos ao tema: Brown (1971), Martello e Toth (1990), Dyckhoff e Fnke (1992), como também lvros de otmzação que dedcam capítulos ao tema, como Lasdon (1970), Chvátal (1983) entre outros. Para um auxílo na pesqusa bblográfca na dentfcação dos problemas de corte e empacotamento e métodos de solução, destacamos os artgos de revsão, como Golden (1976), Hnxman (1980), Garey e Johnson (1981), Coffman et al. (1984), Dyckhoff et al. (1985), Dyckhoff (1990), Haessler e Sweeney (1991), Dowsland e Dowsland (1992), Sweeney e Pasternoster (1992), Morabto e Arenales (1992). As atvdades desta comundade acadêmca, tas como trabalhos publcados ou em preparação, congressos, etc., podem ser obtdas na rede Internet: ou No Brasl, város estudos vêm sendo realzados sobre os problemas de corte e empacotamento desde os anos 80, gerando dssertações, teses, artgos e aplcatvos computaconas. Desde de 1995, város pesqusadores, com o apoo do CNPq (processo n o /95-6) e FAPESP (processo n o 1995/9522-0, n o 01/ ), vêm trabalhando de forma coordenada na dvulgação do tema e na busca de novos problemas, bem como na modelagem matemátca, desenvolvmento e análse de métodos de solução. 3

4 Para a elaboração deste materal foram utlzadas notas e apostlas de mncursos sobre corte e empacotamento preparados e mnstrados anterormente pelos professores Dr. Marcos Arenales (ICMC-USP), Dr. Horaco Yanasse (LAC-INPE) e Dr. Renaldo Morabto (DEP-UFSCar). Também fo utlzado o lvro Pesqusa Operaconal, que tem como autores os professores Dr. Marcos Arenales, Dr. Vnícus Armentano (UNICAMP), Dr. Renaldo Morabto e Dr. Horaco Yanasse. 4

5 1. Introdução O problema de corte consste, genercamente, em cortar uma undade grande (objeto), que esteja dsponível, para a produção de um conjunto de undades pequenas (tens) que estão sendo requstadas. As formas e meddas do objeto e dos tens são bem especfcadas. Exemplos de problemas de corte são encontrados na ndústra de papel, barras metálcas, chapas de aço, vdros, madera, entre outros. De forma análoga, no problema de empacotamento, undades pequenas devem ser alocadas em uma undade grande (por exemplo, um contêner) de modo que o espaço vazo do objeto seja mnmzado. Cortar undades maores em undades menores ou empacotar undades menores dentro de undades maores são problemas dêntcos, consderando que um tem cortado em certa posção pode ser pensado como alocado àquela posção. (Obvamente, os processos de corte e empacotamento podem ter restrções própras). Por sto, problemas desta classe são referdos como problemas de corte e empacotamento. Dependendo dos tens solctados, podemos combná-los dentro de um objeto de númeras maneras, respetando-se um conjunto de restrções do processo de corte. A estas combnações denomnamos planos de corte. O plano de corte ótmo é aquele que produz, por exemplo, a menor perda. O número de planos de corte possíves é, na prátca, muto elevado, exgndo que técncas bem elaboradas sejam desenvolvdas para determnar o plano ótmo. Dentre essas técncas podemos ctar: enumeração mplícta, programação dnâmca, relaxação Lagrangeana, busca em grafos e heurístcas. Vale salentar que, dfclmente obtemos um plano de corte que utlze todo o objeto. Neste caso, temos um plano de corte com perda, como lustrado na Fgura 1.1. Fgura 1.1: Plano de corte undmensonal. Os problemas de cortes, conforme Garey e Johnson (1979), pertencem a uma classe de problemas denomnada NP-completos. Assm, podemos dzer que são problemas mprováves de serem resolvdos num tempo lmtado por uma função polnomal em termos de seus dados. É nteressante observar que exstem resultados teórcos afrmando que, se um problema desta classe pode ser resolvdo em um tempo polnomal, então todos os problemas da classe terão solução em tempo polnomal. Entretanto, como a obtenção desse resultado parece pouco provável, mutas pesqusas têm sdo realzadas na busca de métodos heurístcos que produzem soluções boas, sem garanta de otmaldade. Quando uma quantdade elevada de tens deve ser produzda, temos um problema em que a solução exge o corte de város objetos em estoque e a repetção de város planos de corte. Este problema é conhecdo na lteratura como problema de corte de estoque e, o objetvo pode ser, entre outros, o menor número de objetos cortados, ou o menor custo total dos objetos cortados, consderando dferentes custos para os objetos em estoque. 1.1 Classfcação dos Problemas de Corte Para classfcar os város tpos de problemas de corte e empacotamento exstentes na lteratura, Dyckhoff (1990) desenvolveu uma tpologa abrangente ntegrando esses problemas. A tpologa fo fundada com base na estrutura lógca dos város tpos de problemas de corte e empacotamento com o objetvo de unfcar o uso de dferentes notações na lteratura e concentrar mas adante pesqusas em tpos especas de problemas. Wäscher et. al (2007) apresentaram 5

6 modfcações na tpologa de Dyckhoff e ntroduzram uma nova categora que defne problemas dferentes dos apresentados anterormente. Utlzando apenas as dmensões dos problemas, dzemos que um problema é undmensonal quando apenas uma dmensão é relevante no processo de corte A Fgura 1.2 lustra esse tpo de problema. Fgura 1.2: (a) Barra; (b) Padrão de corte produzndo 4 tens e uma perda. Como casos típcos de problemas de cortes undmensonas, podemos ctar o corte de materas como papel, tecdo, plástco e aço para serem utlzados nos mas dversos setores. Um problema é dto bdmensonal quando duas dmensões (comprmento e largura) são relevantes na obtenção da solução (enquanto a espessura é constante). As dfculdades aumentam bastante para se gerar arranjos sem que ocorra sobreposção de tens nos planos de corte. A Fgura 1.3 exbe uma representação de problemas de corte em duas dmensões. Fgura 1.3: (a) Placa; (b) Padrão de corte produzndo 8 tens e uma perda. Entre os problemas bdmensonas podemos ctar alguns bastante estudados, como o corte de placas de madera na ndústra de móves, chapas de aço, placas de vdro, entre outros. Quando três dmensões (comprmento, largura e altura) são relevantes para a obtenção da solução temos o problema trdmensonal. Bascamente, trata-se de arranjar tens espacas, sem sobrepô-los, dentro de objetos maores. Podemos ctar como exemplos de problemas trdmensonas o problema de carregamento de contêneres, cortes em ndústras de colchões, entre outros. A Fgura 1.4 lustra este tpo de problema. Fgura 1.4: (a) Contêner; (b) Caxas empacotadas no contêner. Anda sob o aspecto geométrco, é possível encontrar problemas do tpo 1.5-dmensonal, que são essencalmente bdmensonas, porém uma das duas dmensões consderadas é varável. Este caso tem aplcação, por exemplo, no corte de peças de vestuáro. Outros são problemas do tpo 6

7 2.5-dmensonal, em que uma das três dmensões é varável. Uma aplcação é o problema de se efetuar o carregamento de undades dentro de caxas abertas, ou seja, as bases estão defndas, mas a altura deverá ser defnda. Além dos problemas já expostos, problemas mult-dmensonas também podem surgr. Uma ocorrênca desse tpo de problema pode aparecer assocada ao Problema de Alocação de Tarefas (Morabto, 1992). O objetvo prncpal deste texto consste em apresentar uma vsão geral de problemas de corte e aplcações. São apresentados os prncpas modelos e procedmentos de solução, com ênfase nos casos undmensonal e bdmensonal. Fnalmente alguns problemas prátcos em assocação aos problemas de corte são apresentados. 7

8 2. Problemas Báscos de Corte Nesta seção ntroduzmos o clássco problema da mochla e algumas varações. 2.1 O Problema da Mochla Suponha que um objeto (barra, bobna, etc.) deva ser cortado ao longo de seu comprmento em tens de comprmentos especfcados. Cada tem tem um valor assocado que chamamos de "valor de utldade". Itens cujos comprmentos não foram especfcados são consderados perdas e têm valores de utldade nulos. Surge então um problema de otmzação combnatóra que consste em: Maxmzar VALOR DE UTILIDADE TOTAL. Este problema de corte, embora smplfcado, surge como um mportante subproblema na resolução de problemas de corte mas geras, como veremos adante. A Fgura 2.1 lustra uma barra de comprmento 200 cm e uma solução produzndo 2 pedaços de comprmento 33 cm, 1 pedaço de 40 cm e 1 pedaço de 90 cm, resultando em uma perda de 4 cm. Aqu os comprmentos dos pedaços (33 cm, 40 cm e 90 cm) defnem 3 tpos de tens, os quas podem ser produzdos em quasquer quantdades. Fgura 2.1: (a) Barra a ser cortada; (b) Solução factível. Observe que o corte é feto em apenas uma dmensão do objeto. Problemas com esta característca são chamados Problemas de Corte Undmensonal. Problemas em que duas ou mas dmensões são relevantes para o processo de corte (ou empacotamento) serão abordados em outras seções. Modelo Matemátco: O problema enuncado acma pode ser modelado como um problema de otmzação lnear ntero, como veremos a segur. Dados do problema: m: número de tpos de tens; v: valor de utldade do tem tpo, = 1,, m; : comprmento do tem tpo, = 1,, m; L: comprmento da barra. Varáves de decsão: x: quantdade produzda de tens do tpo, = 1,, m. O problema pode ser formulado por: 8

9 maxmzar = v1x1 + v2x2 + + vmxm (1.1) sujeto a: 1 x1 + 2 x2 + + m xm L, (1.2) x 0 e ntero, = 1,, m. (1.3) O problema (1.1)-(1.3) é chamado na lteratura de Problema da Mochla Intero ou smplesmente Problema da Mochla. Tal motvação decorre da stuação hpotétca, em que um muambero deseja carregar sua sacola (ou mochla) com tens, cujos valores de compra são, = 1,, m. O valor total da compra não pode ultrapassar L (por razões alfandegáras). O lucro sobre cada tem é conhecdo e dado por v, = 1,, m. O muambero deseja maxmzar seu lucro total. O modelo matemátco deste problema é descrto por (1.1)-(1.3). A restrção básca (1.2) pode ser chamada de restrção físca. Alguns problemas de corte (como também do muambero) podem apresentar condções adconas, como por exemplo, a quantdade de tens deve ser lmtada por, dgamos, b, = 1,, m. Neste caso, as restrções (1.3) devem ser alteradas e o modelo passa a ser descrto da segunte forma: maxmzar = v1x1 + v2x2 + + vmxm (2.1) sujeto a: 1 x1 + 2 x2 + + m xm L, (2.2) 0 x b e ntero, = 1,, m. (2.3) O problema (2.1)-(2.3) é chamado de Problema da Mochla Restrto. Podemos anda ter o caso em que apenas um únco exemplar de cada tem pode ser cortado. Neste caso as varáves de decsão são: x = 1,se o tem for cortado; 0, caso contraro. = 1,, m. e o problema é formulado por: maxmzar = v1x1 + v2x2 + + vmxm (3.1) sujeto a: 1 x1 + 2 x2 + + m xm L, (3.2) x = 0 ou x = 1, = 1,, m. (3.3) O problema (3.1)-(3.3) é o conhecdo Problema da Mochla 0-1 Este tpo de problema surge como um subproblema em váras aplcações além do ambente de corte e empacotamento, como por exemplo, no sequencamento da produção, em que uma máquna de capacdade L (por exemplo, tempo dsponível) pode ser carregada com m tarefas, as quas requerem undades da capacdade da máquna. Lmtações no número de facas Outras restrções podem anda surgr decorrentes do processo de corte. Por exemplo, suponha que a quantdade total de tens cortados seja lmtada por F (número de facas de corte). Portanto uma nova restrção deve ser ncluída. Consderando o problema (1.1)-(1.3), temos: 9

10 maxmzar = v1x1 + v2x2 + + vmxm (4.1) sujeto a: 1 x1 + 2 x2 + + m xm L, (4.2) x1 + x2 + + xm F, (4.3) x 0 e ntero, = 1,, m. (4.3) Este tpo de restrção adconal ocorre tpcamente no corte de bobnas de papel ou de aço, pos o processo de corte consste em desenrolar cada bobna-mestre (objeto a ser cortado) que deslza sobre facas ou tesouras, cujas posções foram prevamente fxadas, como lustrado na Fgura 2.2. Na prátca, o número das facas é algo em torno de 8 ou 9, sendo que duas facas são utlzadas nas beradas das bobnas para elmnar rregulardades (portanto, a largura L em (4.2) é largura da bobna, já elmnadas as bordas rregulares). Fgura 2.2: Corte de bobna com 5 facas. Outras condções podem anda ser necessáras. Suponha, por exemplo, que a mochla de um alpnsta seja dvda em compartmentos e somente tens de mesma característca (roupas, sapatos, almentos, etc.) podem estar no mesmo compartmento. Tas compartmentos têm capacdades flexíves, porém essas capacdades são lmtadas superor e nferormente e, além dsso, a nclusão de um compartmento produz uma perda da capacdade da mochla orgnal. Tal problema pode surgr no corte de bobnas de aço, em que a bobna-mestre deve ser cortada em sub-bobnas ntermedáras, as quas são lamnadas (sto é, têm suas espessuras reduzdas), para fnalmente serem recortadas na produção de tens de mesma espessura. Este problema é chamado de Problema da Mochla Compartmentada (Hoto, 2001; Hoto et al., 2003; Marques, 2004; Marques e Arenales, 2002). 2.2 Problemas de Váras Mochlas Consderemos agora um problema que envolve a resolução smultânea de váras mochlas. Suponha no problema de corte anteror que váras barras estejam dsponíves para serem cortadas na produção dos város tens. Dstngumos dos problemas: o prmero com as barras a serem cortadas sufcentes para a produção de todos tens e, o segundo, com as barras nsufcentes. No prmero problema todos os tens serão produzdos e temos de escolher quas barras devem ser cortadas ou, em outras palavras, temos um problema de seleção dos objetos a serem cortados, enquanto que no segundo problema, todos os objetos serão cortados e, como no problema da mochla, temos a seleção de tens a serem produzdos. Problema 1: Seleção de objetos (todos os tens serão produzdos) Neste problema os objetos (barras) a serem seleconados têm custos assocados e o objetvo será o de mnmzar o custo total dos objetos cortados. 10

11 Modelo Matemátco: Incalmente consderamos o problema em que apenas um exemplar de cada tem é produzdo (lembre-se que todos os tens serão produzdos). Na seção 3 consderamos o problema em que mutos exemplares de cada tem devem ser produzdos. Dados do problema: m: número total de tens; : comprmento do tem, = 1,, m; N: número de barras; Lj: comprmento da barra j, j = 1,..., N; cj: custo da barra j, j = 1,..., N. Varáves de decsão: 1,se a barra j for cortada; yj = 0, caso contráro. 1, se otem for cortado da barra j; xj = 0, caso contráro. Podemos então escrever o problema como: mnmzar CUSTO = c j y j sujeto a: m 1 N N j1 (5.1) xj Lj y j j 1,, N (5.2) xj 1 1,..., m (5.3) j1 xj = 0 ou xj = 1, yj = 0 ou yj = 1, = 1,..., m, j = 1,..., N. (5.4) Uma versão partcular deste problema bastante estudada na lteratura, chamada bn-packng, consste em empacotar em caxas (bns) de mesmo tamanho L, as quas têm o mesmo custo c, de modo que a função objetvo (5.1) corresponde a mnmzar o total de caxas. Problema 2: seleção de tens (todas barras serão cortadas) Análogo ao problema da mochla (Seção 2.1), consderamos um valor assocado a cada tem, que chamamos de valor de utldade, v, = 1,..., m. Observe agora que nem todos os tens serão produzdos. Desta forma, o objetvo será de maxmzar o valor de utldade total e o problema pode ser formulado por: 11

12 maxmzar UTILIDADE = sujeto a: m 1 N N m j1 1 v x j (6.1) xj Lj j 1,, N (6.2) j1 xj 1 1,, m (6.3) xj = 0 ou xj = 1, = 1,..., m, j = 1,..., N. (6.4) A repetção de tens pode ser consderada pela alteração convenente das restrções (6.3) e (6.4). Observe que se b (a quantdade máxma de repetções do tem de comprmento ) for muto grande para todo, então teremos N problemas de mochla ndependentes. Este é um caso mportante que ocorrerá como subproblema na resolução do problema de corte de estoque a ser consderado na próxma seção. 12

13 3. Problema de Corte de Estoque Undmensonal: Modelagem Matemátca 3.1. Defnção do Problema O enuncado deste problema é semelhante ao problema de váras mochlas (seleção de objetos), em que todos os tens serão produzdos. Entretanto, uma característca o dstngue: mutos tens devem ser produzdos, porém, relatvamente de poucos tpos. Em outras palavras, é grande a repetção de tens. Além dsso, objetos em estoque de mesmo tpo são dsponíves em grande quantdade, os quas podem ser de apenas um únco tpo ou de város tpos, podendo haver ou não lmtação de estoque. Dferentes objetvos podem também ser defndos. A solução para o problema a segur terá mutos objetos gualmente cortados. Incalmente consderamos os dados relatvos à demanda, comum a todos os casos. Dados de demanda: m: número de tpos de tens; : comprmento do tem tpo, = 1,..., m; d: demanda do tem tpo, = 1,..., m. Supomos neste problema que a quantdade total de tens será: m 1 d > m, enquanto que nos problemas anterores m denotava exatamente esta quantdade (problemas 0-1) ou da mesma ordem de grandeza, no caso de poucas repetções de tens. Por exemplo, uma demanda de: 1000 peças de comprmento 30 cm (d1=1000, 1 = 30) 1250 peças de comprmento 42 cm (d2=1250, 2 = 42) 2000 peças de comprmento 45 cm (d3=2000, 3 = 45), ndca que apenas m=3 tpos de peças são demandadas, num total de d1+d2+d3=4250 tens. Como já observamos, neste tpo de problema mutos objetos em estoque deverão ser gualmente cortados para a produção dos dferentes tpos de tens, o que sugere a defnção a segur. Defnção 3.1: Chamamos de padrão de corte a manera como um objeto em estoque é cortado para a produção de tens demandados. A um padrão de corte assocamos um vetor m-dmensonal que contablza os tens produzdos: a = (1, 2,, m ), em que = quantdade de tens do tpo no padrão de corte. Além dsso, dos padrões de corte que tenham o mesmo vetor assocado são chamados equvalentes. Observe que um vetor a = (1, 2,, m ) corresponde a um padrão de corte se e somente se satsfzer as restrções do problema da mochla (consderando apenas as restrções físcas). Supondo que o comprmento do objeto seja L, temos: m m L, (7.1) 1 0,, m 0 e nteros. (7.2) Exemplo 3.1. Consdere um objeto de comprmento L = 120 cm a ser cortado para a produção de 3 tpos de tens de comprmentos: = 30 cm, = 42 cm e = 45 cm. A Fgura 3.1 apresenta alguns possíves padrões de cortes. 13

14 Perdas ntrínsecas (largura da serra) Fgura 3.1. Padrões de corte e vetores assocados. Suponha que, ao se cortar um objeto, haja uma perda nevtável, devdo ao equpamento de corte. Por exemplo, a serra utlzada consome 3 mm (típco em corte de tubos metálcos). Neste caso, os padrões de corte 1 e 4 na Fgura 3.1 seram nfactíves, pos, no padrão 1 a perda no processo de corte sera de 0,9 cm e, no padrão 4 a perda sera de 0,6 cm. Observe que se no exemplo 3.1 o comprmento do objeto fosse L = 121, então o padrão 1 sera factível (Fgura 3.2). Fgura 3.2. Padrão de corte com perda ntrínseca. Quando há perda ntrínseca (largura da serra) durante o processo de corte, alteramos a construção dos padrões de corte factíves no sstema (7.1)-(7.2) adconando o valor de σ (largura da serra) no comprmento do tem, ou seja, o tem deve ser consderado de comprmento + σ. Observe, entretanto, que um corte a mas é computado no últmo tem (Fgura 3.2). Para contornar esta dfculdade, basta aumentar o comprmento do objeto: L+σ. De outra manera, consderando, = 1,..., m, os comprmentos dos tens e σ a largura da serra, e α o número de tens do tpo no padrão, então a) 11 mmé o comprmento total dos tens no padrão; b) 1 m é o número de tens; c) 1 m 1 é o total de cortes realzados e, d) σ ( 1 m 1) é a perda decorrente da largura da serra. Portanto, a desgualdade (7.1) deve ser modfcada para: + σ ( 1 ) L, 1 1 m m 1 m ou equvalentemente, ( ) ( ). 1 1 m m L 14

15 Defnção 3.2. Um padrão de corte que produza apenas um tpo de tem é chamado padrão de corte homogêneo. Em outras palavras, um padrão de corte é homogêneo se o vetor assocado tem apenas uma coordenada não-nula: a = (0,...,,...,0), 0. Note que sempre teremos m padrões homogêneos, cujos vetores assocados defnem uma matrz dagonal. No exemplo 3.1 os padrões 1, 2 e 3 são homogêneos, produzndo a matrz dagonal: B=[a1 a2 a3] = A modelagem matemátca do problema de corte de estoque pode ser feta em duas etapas: 1. defna todas as possíves maneras de cortar os objetos em estoque, sto é, defna todos os possíves padrões de corte; 2. decda quantas vezes cada padrão de corte será utlzado para atender a demanda. Note que na prmera etapa temos um problema essencalmente combnatóro, enquanto que na etapa segunte, o problema é contábl. Exemplo 3.2. Consdere os dados do Exemplo 3.1. Observe que a prmera etapa de geração de padrões de corte pode ser realzada ndependente da demanda dos tens. Temos agora de decdr o número de vezes que serão utlzados. Suponha que d1=1000, d2=1250 e d3=2000. Sejam x1, x2, x3,... o número de vezes que os padrões de corte 1, 2, 3,... serão utlzados, respectvamente. Assm: a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+...=d x x x x = A segunda etapa corresponde a resolver um sstema de equações lneares algébrcas com m equações e n varáves, em que n é o número de padrões de corte gerados na prmera etapa. Além dsso, devemos exgr que xj 0 e ntero, j=1,2,..., pos representam o número de objetos cortados de acordo com um padrão de corte. Qualquer solução desse sstema lnear cujas componentes sejam nteras e não-negatvas fornece uma solução factível para o problema de corte de estoque. Com a exgênca de ntegraldade sobre as varáves xj, atender as demandas torna-se um problema dfícl, senão mpossível de ser resolvdo computaconalmente. Entretanto, como veremos adante, as soluções não-nteras (portanto, nfactíves) resolvem, de certa forma, boa parte do problema, restando poucos tens para anda serem cortados, sendo nsgnfcante do ponto de vsta da perda total ou custos (este problema fnal de cortar os tens restantes é mportante do ponto de vsta operaconal). Geralmente, em problemas prátcos, m (o número de tpos de tens) é da ordem algumas dezenas, enquanto que n (o qual depende de m, L e, = 1,..., m) pode ser da ordem de város mlhões ou blhões. Este fato nvablza a aplcação pura do procedmento apresentado em problemas prátcos. Entretanto, veremos que a etapa 1 não precsa ser realzada ntegralmente (apenas parte dos padrões de corte serão utlzados) e será feta concomtantemente com a segunda etapa. 15

16 3.2. Apenas um Tpo de Barra em Estoque: Quantdade Ilmtada Neste caso o estoque é composto de barras de comprmento L, em quantdade sufcente para atender toda a demanda. O custo de cada barra é c. Objetva-se atender a demanda ao custo mínmo Modelo Básco Conforme já ntroduzdo anterormente, procedemos a modelagem matemátca em duas etapas: Defna todos os possíves padrões de corte, sto é, determne todas as possíves soluções de (7.1)-(7.2): m m L, 1 0, 2 0,, m 0, nteros. Suponha n as possíves soluções: a1 =, a2 = m ,, an = m2 1n 2n. mn Seja xj = número de vezes que o objeto é cortado usando o padrão j. Resolva o segunte problema de otmzação lnear: mnmzar f(x) = c(x1+x2+...+xn) (8.1) sujeto a: a1x1+ a2x anxn = d (8.2) x1 0, x20,..., xn 0. (8.3) A condção de ntegraldade sobre as varáves xj, como já observado anterormente, será abandonada. Observe que mnmzar a função objetvo custo, neste caso, corresponde a mnmzar o número de objetos (barras) cortados: mnmzar f(x) = x1+x2+...+xn, (9) sto é, sem perda de generaldades, podemos adotar cj = 1, j = 1,, n Alterações no Modelo Básco 1. Uma característca do problema de corte de estoque, comum em aplcações prátcas, consste em que as demandas dos tens podem ser atenddas com uma certa tolerânca, sto é, uma demanda de um tem, ncalmente especfcada em d, pode ser qualquer valor no ntervalo: [d(1- ), d(1+ )] (10) 16

17 em que é um percentual prevamente fornecdo (por exemplo, na ndústra de papel, esta tolerânca vara de 5% a 15%). Assm, no exemplo 3.2, com 1 =0.05, a demanda do tem 1 é qualquer valor entre 950 e Defnndo os vetores de demanda mínma e máxma por d e d, cujas componentes são d(1- ) e d(1+ ), = 1,..., m, respectvamente, o problema de corte de estoque pode ser reformulado por: mnmzar f(x) = c T x (11.1) sujeto a: d Ax d, x 0. (11.2) Por convenênca da aplcação do método prmal-smplex (Seção 4), o problema (11.1)- (11.2) acma com restrções canalzadas é escrto equvalentemente na forma de equações pela ntrodução de varáves de folga canalzadas: mnmzar f(x) = c T x (12.1) sujeto a: Ax+y = d, x 0, 0 y d - d (12.2) 2. A função objetvo custo (proporconal ao número de objetos cortados), defnda até então, pode ser substtuída pela função objetvo perda total. Para sto, basta defnr: cj = L - ), (13) ( 1 j 1 2 j 2 mj m como a perda no padrão de corte j, cujo vetor assocado é aj = (,,, ), j=1,..., n. 1j 2 j mj 3. Embora a ntrodução das tolerâncas seja convenente para a obtenção de uma solução factível (xj ntero), os modelos acma buscam satsfazer as demandas em seus lmtes nferores (tanto para a função custo como para a função perda), algo ndesejável do ponto de vsta da produção. Outras funções objetvo podem ser escrtas, procurando evtar tal nconvenente. Por exemplo, a função perda relatva: perda relatva = (perda total)/(número de objetos cortados) L ( 1 j 1 2 j 2 mj m) j x j j (14) a ser mnmzada, busca ao mesmo tempo, um numerador pequeno (perda total pequena) e um denomnador grande (maor produção). O método smplex pode ser faclmente estenddo a este tpo de não-lneardade (veja Lasdon, 1970). Observe que temos um problema mult-objetvos: mnmzar PERDA TOTAL, maxmzar PRODUÇÃO, e a perda relatva é apenas um encamnhamento para tratar objetvos confltantes. 4. Em alguns casos prátcos, podemos defnr uma função objetvo maxmzar o lucro que também busca um compromsso entre baxas perdas (prejuízo) e alta produção. Suponha que conhecemos os 17

18 preços de venda dos tens demandados dados por v, =1,..., m (mutas vezes os tens obtdos pelo processo de corte não são venddos dretamente, pos consttuem partes de um produto a ser montado, de modo que não têm preços dretamente assocados). Além dsso, as perdas produzdas pelos cortes podem ser venddas como sucata, dgamos, por s (por smplcdade usamos a undade de comprmento cm, porém na prátca é convertdo em peso). Neste caso podemos defnr uma função lucro por: m lucro = venda de tens + venda de sucata- custo n = v ( x ) s ( L ) x c( x ) = j j 1 j1 j1 1 n m j1 1 n m j j ( sl ( v s ) j c) x j. (15) Neste caso, os coefcentes da função objetvo nos modelos (8.1)-(8.3) ou (11.1)- (11.2) será: cj= sl m 1 n j1 j ( v s ) c (16) Observe que esta função está bem smplfcada, não envolvendo todos os custos (operaconas, por exemplo), porém, atende aos propóstos ncas, novamente ncorporando os objetvos confltantes. 5. Em mutas aplcações (cortes de bobnas em ndústras papelera, metalúrgca, entre outras) a undade de demanda usada é a tonelada. Portanto, o lado esquerdo das equações no modelo (8.1)- (8.3) precsa ser convertdo. Suponha que todos os objetos tenham o mesmo peso, dgamos T toneladas (caso contráro, são tratados como objetos dferentes e será abordado na Seção 3.3). Em outras palavras, estamos consderando bobnas de mesmo comprmento L (em undade cm) e mesmo dâmetro. O peso específco lnear é T/L (em undade ton/cm). Assm, um tem de comprmento cm cortado do objeto pesa (T/L) (em undade ton) e como num padrão j o número de tens do tpo é j, segue que a tonelagem do tem tpo produzda pelo padrão j é j (T/L) (em undade ton), e as equações em (8.2) são alteradas para: n j1 j ( T / L) x d =1,,m (17) j j Observe que podemos utlzar em (17) a varável yj = T xj (toneladas cortadas usando o padrão j). Assm, uma solução com yj=3,5 tem sgnfcado, pos ndca que 3,5 toneladas de materal (em bobnas de comprmento L) deverão ser cortadas segundo o padrão j. Supondo que as bobnas sejam produzdas pela ndústra (caso da ndústra de papel), esta solução pode ser traduzda na produção de 3 bobnas de 1 tonelada cada e 1 bobna de 0,5 tonelada. Em caso de bobnas adqurdas de terceros em pesos padrões, a solução fraconára anda faz sentdo, se as bobnas puderem ser parcalmente desenroladas e cortadas (este é o caso das ndústras metalúrgcas que compram e cortam bobnas de aço). Isto sgnfca que a solução do modelo básco (sem a condção de ntegraldade das varáves) é a solução ótma do problema orgnal, sem a necessdade de arredondamentos. Embora possa haver algumas dfculdades operaconas para cortar parcalmente uma bobna, tal procedmento altera sgnfcatvamente a redução de perdas. 18

19 6. Outra partculardade da ndústra de papel é que mutas vezes parte da demanda é composta por retângulos w, os quas são obtdos cortando-se ncalmente a bobna grande em sub-bobnas de comprmento que, em seguda, é desenrolada e cortada no tamanho w, conforme a Fgura 3.3: Fgura 3.3. Produção de retângulos na ndústra de papel. Observe que o mesmo retângulo podera ser obtdo consderando-se w Em alguns casos, o sentdo da fbra do papel dentro do retângulo é mportante, de modo que este retângulo pode ser nacetável, e os modelos anterores são adequados. Suponha que o sentdo da fbra seja rrelevante, de modo que podemos cortar a bobna grande tanto em sub-bobnas de comprmento, como de comprmento w. Isto sgnfca que os padrões de corte (soluções do problema (7.1)-(7.2)) podem combnar 2m tamanhos:,, 1 m,w1,,wm ou de outra forma, defnmos = w, m = 1,, m. Note, entretanto, que j e m+, j dzem respeto à mesma demanda. Consdere a alteração do modelo básco em que a demanda é fornecda em toneladas (veja (17)). O comprmento da bobna grande que será utlzado para a produção do retângulo w (ou w ) será dado por: j + m+, jw. Deste modo, a restrção (17) torna-se: n j1 (( x d, =1,,m. (18) j m, jw ) T / L) j Obvamente, podemos ter apenas parte dos retângulos com o sentdo de fbra rrelevante, o que pode ser faclmente consderado no modelo Dversos Tpos de Barra em Estoque: Quantdade Ilmtada Estudamos agora o caso em que o estoque é composto de város tpos de barras com quantdades de cada tpo sufcentes para atender toda a demanda. Uma aplcação deste tpo de problema ocorre em ndústras onde os objetos (bobnas) são produzdos por máqunas dferentes e a capacdade de produção é sufcentemente grande, ou anda os objetos de város tamanhos são adqurdos no mercado, em que a oferta é grande (por exemplo, barras de aço para a construção cvl). Além dos dados de demanda consderados ncalmente, temos agora os dados de estoque: N: número de tpos de barras em estoque; Lj: comprmento das barras do tpo j, j = 1,..., N; cj: custo da barra do tpo j, j = 1,..., N. 19

20 Modelagem Matemátca O modelo matemátco neste caso é análogo ao caso anteror. Entretanto, os padrões de cortes devem ser defndos para cada barra em estoque, sto é, devem satsfazer: j j j mmlj (19.1) j j j, 0,, 0 e nteros, j 1,,. (19.2) m N Suponha que o sstema (19.1)-(19.2) tenha nj soluções, dadas por: a1j = j j j m , a2j = j 12 j 22,, anj = j m2 j 1 j 2 j n n mn j j j, j = 1,,N. As varáves de decsão são: xj: número de vezes que o objeto de tpo j é cortado usando o padrão, = 1,,nj, j = 1,,N. O problema pode então ser formulado por: 1 mnmzar f(x11,x21, ) = sujeto a: n 1 1 n 2 a1x1 + 1 n 1 n 2 c1x1 + 1 n N a2x n N c2x cnxn (20.1) anxn = d (20.2) xj 0, =1,,nj, j=1,,n. (20.3) Note que o modelo básco (8.1)-(8.3), com um únco tpo de objeto em estoque, é apenas um caso partcular de (20.1)-(20.3) com N=1. Além dsso, as alterações possíves no modelo básco podem também ser aqu aplcadas. Observamos uma vez mas que as colunas da matrz de restrções são os vetores assocados aos padrões de corte para cada objeto Dversos Tpos de Barra em Estoque: Quantdade Lmtada Consderamos agora, como na Seção 3.3, város tpos de objetos em estoque, porém em quantdades dsponíves lmtadas. Este problema ocorre em ndústras em que os objetos são adqurdos com antecedênca e estocados (mutas vezes sto é necessáro devdo à demora e ncerteza no prazo de entrega, por exemplo, bobnas de aço na ndústra metalúrgca), ou anda podem ser produzdos, porém a capacdade de produção é lmtada. Adconamos o segunte dado sobre o estoque: ej: dsponbldade em estoque do objeto j, j=1,,n. 20

21 Modelagem Matemátca O modelo matemátco tem as mesmas restrções que o anteror, acrescentando-se as restrções de estoque. 1 mnmzar f(x11,x21, ) = sujeto a: n 1 1 n 1 1 n 2 a1x1 + x1 n n 1 n 2 c1x1 + 1 n N a2x2 + + x2 1 n N c2x cnxn (21.1) anxn = d (21.2) e1 e2 (21.3) n N 1 xn en xj 0, = 1,, nj, j = 1,, N. (21.4) Como já observado anterormente, os modelos matemátcos formulados nesta seção apresentam um número enorme de varáves (uma varável para cada padrão), podendo, em problemas prátcos, ser da ordem de centenas de mlhares. Felzmente, tas modelos apresentam uma estrutura partcular que permte trabalhar com estas varáves mplctamente, como veremos no Capítulo 5. 21

22 4. Concetos Báscos 4.1 Problema de Otmzação Lnear Um problema de otmzação lnear na forma padrão é dado por: mnmzar f(x1, x2,..., xn) = c1x1 + c2x cnxn (22.1) sujeto a: a x a x a x b n n 1 a x a x a x b n n 2 a x a x a x b m1 1 m2 2 mm m m (22.2) x1 0, x2 0,... xn 0 (22.3) A função lnear f em (22.1), a ser mnmzada, é chamada função objetvo, o sstema de equações lneares em (22.2) defne as restrções do problema juntamente com as condções de não negatvdade das varáves em (22.3). Qualquer problema de otmzação lnear pode ser escrto na forma padrão. Em notação matrcal o problema (22.1)-(22.3) é escrto por: mnmzar f(x) = c T x sujeto a: Ax = d x 0 em que cada coluna da matrz A R mxn é um vetor assocado a um padrão de corte e c T = (c, c,,c) R n. Defnção 4.1: (solução factível e regão factível) Uma solução (x1, x2,..., xn) é factível se satsfaz todas as restrções (22.2) e a condção de não negatvdade (22.3). O conjunto de todas as soluções factíves é chamado regão factível. Exemplo 4.1: mnmzar f(x1, x2, x3) = 2x1 - x2 + 4x3 sujeto a: x 2x x x22x3 4 x1 0, x2 0, x3 0 Em termos do modelo (22.1)-(22.3), temos que m = 2 (restrções), n = 3 (varáves). As varáves deste problema (x1, x2, x3) correspondem a um vetor de três coordenadas e, portanto, o espaço de possíves soluções está contdo no R 3. A solução partcular x1 =1, x2 = 0, x3 = 2 é uma solução factível, pos satsfaz todas as restrções do problema. Para esta solução, a função objetvo tem valor f(1, 0, 2) = 10. Outra solução factível x1 =0,25 0, x2 = 0,5, x3 = 1,75 tem valor da função objetvo f(0,25; 0,5; 0,75) = 7. Isso sgnfca que esta solução é melhor que a anteror, já que o objetvo do problema é determnar o menor valor possível para f(x1, x2, x3). 22

23 Defnção 4.2: (Solução ótma) Uma solução factível que fornece o menor valor à função objetvo f é chamada solução ótma e é denotada por x * * * 1, x2,..., x n. Uma solução factível (x1, x2,..., xn) é ótma se: f x * * * 1, x2,..., x n f (x1, x2,..., xn) No exemplo 4.1, a solução factível x1 =0,25 0, x2 = 0,5, x3 = 1,75 é melhor que a solução factível x1 =1 0, x2 = 0, x3 = 2. Entretanto, a solução x1 = 0, x2 = 2/3, x3 = 5/3 também é uma solução factível para o problema e f(0; 2/3; 5/3) = 6. Isso mostra que esta solução que as anterores. Mas anda resta uma questão: há outra solução melhor que está? Esta solução realmente é ótma? A resposta para estas questões será vsta mas adante. 4.2 Transformações de Problemas na Forma Padrão Nesta seção, veremos como problemas de otmzação lnear que não estão na forma padrão podem ser reescrtos nesta forma. Problemas de maxmzação Encontrar uma solução ótma que maxmze a função objetvo corresponde a encontrar uma solução factível x * x * * * 1, x2,..., xn tal que f ( x * ) f (x) para toda solução x factível. Multplcando essa desgualdade por -1, temos para toda solução x factível a forma * equvalente: -f ( x ) -f (x). Portanto, caso o problema seja de maxmzar f (x), podemos consderar, em seu lugar, o problema equvalente a mnmzar -f (x). Restrções de desgualdades No problema (22.1)-(22.3) as restrções são formadas por equações lneares. Entretanto, as restrções (22.2) também podem ser dadas por nequações. Neste caso, convertemos o problema na forma padrão com o auxílo de novas varáves, chamadas varáves de folga. Suponha que a restrção seja dada por: a x a x a x b n n Para termos uma gualdade, adconamos no lado esquerdo da nequação uma nova varável não-negatva: a1x1 + a2x anxn + xk = b xk 0 A varável xk representa a folga exstente na equação orgnal. Analogamente, se a restrção for da forma: a x a x a x b n n basta subtrar uma varável xk 0 no lado esquerdo da nequação para transformá-la em gualdade (varável de excesso). Neste caso, a desgualdade é escrta como: a1x1 + a2x anxn - xk = b xk 0 23

24 Varáves lvres No caso de exstr uma varável x rrestrta de snal no problema, podemos substtur essa varável por outras duas e obter um problema equvalente na forma padrão. Observe que qualquer número pode ser sempre escrto como uma dferença de dos outros não-negatvos, sto é, podemos escrever uma varável lvre x como: x x x, com x 0, x 0. Substtundo essa redefnção da varável lvre, o problema resultante tem todas as varáves não-negatvas. 4.3 Resolução Gráfca A vsualzação de soluções de um problema matemátco, quando possível e mesmo que lmtada a um desenho no R 2, pode ser bastante útl para melhorar nossa ntução sobre o problema em estudo. como vmos, resolver um problema de otmzação lnear consste em encontrar uma solução ótma para o problema. Por convenênca, consderamos o problema de otmzação lnear com duas varáves e na forma de desgualdade. Exemplo 4.2: Desenhando uma regão factível maxmzar f(x1, x2) = x1 + 2x2 sujeto a: x1 x2 4 x1 2 Regão factível S x2 3 x1 0, x2 0 Como vmos anterormente, as soluções factíves sempre devem satsfazer todas as restrções do problema. Consderando o Exemplo 4.2, representamos ncalmente os pontos no plano (x1, x2) que satsfazem as condções de não-negatvdade, sto é, prmero quadrante do plano. Para representar os pontos no plano (x1, x2) que também satsfazem a restrção x1 + x2 4, dentfcamos os pontos que satsfazem a gualdade x1 + x2 = 4. Esta equação é uma reta no plano, sendo seus coefcentes, o vetor (1, 1) T, perpendcular à reta. Em seguda, dentfcamos os pontos que satsfazem x1 + x2 < 4. Para dentfcar este conjunto, observe que este vetor (1, 1) T aponta no sentdo em que x1 + x2 cresce. Portanto, os pontos no plano a partr da reta opostos àqueles para o qual o vetor (1, 1) T aponta são tas que x1 + x2 < 4. A reunão dos pontos tas que x1 + x2 = 4 e x1 + x2 < 4 juntamente com as restrções de não-negatvdade é o que queremos consderar. A Fgura 4.1 lustra esta representação. 24

25 Fgura 4.1: Regão defnda por x1 + x2 4, x1 0, x2 0. De modo semelhante, desenhamos as regões dos pontos que satsfazem x1 2 e x2 3. A ntersecção de todas as regões defne a regão factível representada na Fgura 4.2. Determnando a solução ótma x* Fgura 4.2: Regão factível S. A função objetvo f(x1, x2) = x1 + 2x2, defnda no conjunto S, pode assumr nfntos valores. ' ' T T Por exemplo, na solução factível x' ( x1 x2) (0,0) a função objetvo vale f = f(x ) = 0 e todos os pontos do plano (x1, x2) que atrbuem este mesmo valor à função objetvo estão na reta x1 + 2x2 = 0. Esse conjunto de pontos é chamado de curva de nível e esta representado na Fgura 4.3 pela reta tracejada f = 0. Ao defnr a regão factível, o vetor dos coefcentes (1, 2) T (vetor gradente) é perpendcular à reta x1 + 2x2 = 0 (uma curva de nível) e aponta no sentdo em que a função cresce. Com sso, podemos vsualzar na Fgura 4.3 que qualquer ponto de S atrbu valor maor que zero à função f. Como queremos maxmzar f, podemos conclur, grafcamente, que a solução factível x' (0,0) T não é uma solução ótma. Fgura 4.3: Determnando a solução ótma x* (Problema de maxmzação). 25

26 Quando analsamos a solução factível x'' (2,0) T, a função objetvo f = 2. Como o vetor gradente não se altera, essa reta é paralela à f = 0. Contnuando o procedmento de dentfcar pontos que atrbuem valores maores à função objetvo, chegamos a um extremo * * T T x* ( x1 x2) (1,3), para o qual f(x*) = 7. A curva de nível x1 + 2x2 = 7 nos permte observar que todos os pontos de S atrbuem valores menores que 7 à função objetvo. Portanto, a solução x* que satsfaz todas as restrções smultaneamente e maxmza f(x) exste e é únca: x1 1 x* x 2 3 No Exemplo 4.2 desejamos maxmzar f(x), desta forma, procuramos pontos factíves que estvessem do lado apontado pelo vetor gradente, partndo da curva de nível f(x)=f '. Entretanto, se o objetvo fosse mnmzar f(x), aplcamos o mesmo procedmento, porém, buscando pontos no sentdo contráro ao do vetor gradente. A solução ótma da Fgura 4.3 é uma solução factível muto especal, chamada vértce ou ponto extremo. Na regão factível lustrada, é possível notar que os vértces são determnados pela ntersecção de pelo menos duas retas que defnem a frontera da regão factível (observe que x = 0 é uma equação de reta). Assm, temos que os vértces são soluções de sstemas de equações lneares. Observe que se o vetor gradente da função objetvo for modfcado, outro vértce pode ser uma solução ótma. Propredade 4.1: Se um problema de otmzação lnear tem uma solução ótma, então exste um vértce ótmo. No Exemplo 4.2, a regão factível do problema é lmtada e apresenta uma únca solução ótma. Entretanto, váras outras possbldades podem ocorrer: não exstênca de solução ótma, solução ótma degenerada, nfntas soluções ótmas, entre outras. A resolução gráfca de problema de otmzação lnear com dmensões maores que dos é gualmente possível. Nesta seção, observamos que uma solução ótma, se houver, pode ser pesqusada entre os vértces. Assm, se formos capazes de sar de um vértce para outro melhor, podemos repetr sso um número fnto de vezes até encontrar um vértce ótmo. É assm que trabalha o método smplex, um dos mas utlzados métodos para a resolução de problemas de otmzação lnear. Uma breve revsão deste método é apresentada na próxma seção. 26

27 5. Método Smplex O Método Prmal-Smplex ou smplesmente Método Smplex, pode ser aplcado na resolução dos problemas de otmzação lnear descrtos na Seção 3. Entretanto, tas problemas apresentam uma característca que nvablza a utlzação de métodos numércos dretamente: o número de varáves é extremamente grande. Porém, os coefcentes das varáves, na matrz dos coefcentes, A, podem ser calculados, uma vez que representam padrões de cortes e, por consegunte, os coefcentes da função objetvo. Apresentamos neste capítulo uma breve revsão Método Smplex, como utlzá-lo em problemas cujas colunas podem ser construídas e, fnalmente, estudamos sua utlzação em problemas de corte de estoque. 5.1 Soluções Báscas Consdere o segunte problema prmal de otmzação lnear: mnmzar f(x) = c T x (23.1) sujeto a: Ax = b, (23.2) x 0. (23.3) em que A R mn e posto(a)= m. A solução geral do sstema em (23.2) pode ser obtda consderando uma partção nas colunas de A: A = (B, N) em que: Bmm é a matrz básca não-sngular formada por m colunas da matrz A. A matrz B é dada por B a, a,..., a ; B1 B2 B m Nm(n-m) é a matrz não-básca, formada pelas n - m colunas restantes da matrz A (colunas de A que não estão em B). A matrz N é dada por N an, a,..., 1 N a 2 N nm. Essa partção nas colunas da matrz A é chamada partção básca e ntroduz uma nova partção no vetor x: x = (xb, xn) T, em que xb é chamado vetor de varáves báscas e xn vetor de varáves não-báscas (ou varáves lvres). Assm, Ax = b BxB + NxN = b xb = B -1 b - B -1 NxN (24) A expressão (24) é chamada solução geral do sstema, pos com ela podemos determnar qualquer solução do sstema, bastando atrbur valores quasquer às varáves não-báscas xn, de modo que as varáves báscas em xb fquem uncamente determnadas e a solução resultante satsfaça o sstema Ax = b. 27

28 Defnção 5.1. A solução partcular ˆx obtda por: x ˆB = B -1 b, x ˆN = 0, é chamada solução básca. Se x ˆB = B -1 b 0, então a solução básca é prmal-factível e dzemos que a partção básca é prmal-factível. Propredade 5.1: Consdere uma regão factível S = {x R n tal que Ax = b, x 0}. Um ponto x S é um vértce de S se e somente se x for uma solução básca factível. Como consequênca desta propredade, temos que se um problema de otmzação lnear tem solução ótma, então exste um vértce ótmo. Nesta seção, vmos como determnar uma solução básca para um problema de otmzação lnear. Na próxma seção apresentamos o Método Smplex. 5.2 O Método Smplex O método smplex encontra um vértce ótmo pesqusando apenas um subconjunto dos K vértces de S. Consderando a partção básca factível, a função objetvo também pode ser expressa consderando a partção básca: T T T xb T T f ( x) c x [ cb cn ] cb xb cn xn x (25) N T em que c B são os coefcente das varáves báscas na função objetvo e varáves não-báscas na função objetvo. Substtundo (24) em (25), temos: T c N são os coefcentes das f(x) = = c xb + T B T B T cn xn c (B -1 b - B -1 NxN) + T cn xn (26) O prmero termo de (26) corresponde ao valor da função objetvo em ˆx : f( ˆx ) = T c B (B -1 b) + T c N (0) = T c B (B -1 b) Defnção 5.2. Chamamos de vetor das varáves duas ou, vetor multplcador smplex o vetor R m, dado por: T = c B T B -1. Se a segunte condção é verfcada: cj - T aj 0, j = 1,, n, então é uma solução básca dual-factível. Neste caso dzemos que a partção é dual-factível. (Observe que, pela defnção de, T aj = cj para aj B). Teorema 5.1. Se uma partção básca for prmal e dual factíves, então as soluções báscas assocadas (defnções 5.1 e 5.2) resolvem os problemas prmal e dual, respectvamente, e dzemos que a partção básca é ótma. 28