Estudos de Problemas de Dimensionamento de Lotes Monoestágio com Restrição de Capacidade. Orientador: Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales

Transcrição

1 Estudos de Problemas de Dmensonamento de Lotes Monoestágo com Restrção de Capacdade Slvo Alexandre de Araujo Orentador: Prof. Dr. Marcos Nereu Arenales Dssertação apresentada ao Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação USP, como parte dos requstos para a obtenção do título de Mestre em Cêncas Área de Cêncas de Computação e Matemátca Computaconal USP São Carlos Março de 1999

2 Aos meus pas e à mnha avó

3 AGRADECIMENTOS Ao meu orentador Marcos Nereu Arenales pela orentação, dedcação, amzade, e prncpalmente, pela confança depostada no desenvolvmento deste trabalho e de outros que anda deverão ser desenvolvdos. À mnha famíla pos, sem ela, este passo de mnha vda nunca tera sdo conqustado. Alás, sem ela, não se se tera dado o prmero passo. À mnha namorada Selma pelo apoo, compreensão, amzade, amor e por estar sempre ao meu lado. Ao Castelo, Regna e Marstela por colaborarem na realzação deste trabalho. A todos os funconáros do ICMC que, dreta ou ndretamente, contrbuíram com este trabalho. A todos os meus amgos de São Carlos por estarem sempre presentes, seja nas horas de trabalho, seja nos momentos de descontração. Aos amgos de todos os tempos de Prudente, em especal ao pessoal do clube pelas grandes festas, aos UNESPanos pela amzade ntensa, ao pessoal da Toledo e à turma do futebolznho de começo, meo e fm de semana. À FAPESP pela credbldade e apoo fnancero.

4 RESUMO Este trabalho apresenta um estudo sobre problemas de dmensonamento de lotes monoestágos, que consstem em determnar as quantdades de tens a serem produzdos em dferentes períodos de tempo, de modo a mnmzar a soma dos custos de produção, preparação e estoque. A quantdade produzda em cada período deve ser capaz de atender as demandas dos tens, sem exceder a capacdade de máquna. Para retratar o consumo de recursos, são ncluídos tempos de preparação e produção. Incalmente, são apresentados alguns métodos báscos para resolução de modelos smplfcados e, em seguda, apresenta-se dos métodos para resolução de mportantes modelos da lteratura de problemas monoestágos. O prmero, fo desenvolvdo por Trgero et al. (1989) e consste num método heurístco baseado em relaxação Lagrangana, no método de otmzação do subgradente e em uma heurístca de factblzação. O segundo método, desenvolvdo por Daby et al. (1992a), é um método exato, baseado num procedmento de enumeração mplícta, onde os lmtantes nferores são gerados por relaxação Lagrangana tendo como opção a utlzação do método de otmzação do subgradente. O prmero método fo mplementado assm como uma versão modfcada. Fnalmente, são apresentados alguns expermentos computaconas comparando as duas versões. ABSTRACT Ths work presents a study of the sngle product lot szng problems. These problems conssts of determnng the quanttes to be produced n dfferent perods of tme, mnmzng the sum of costs of producton, setup and nventory. The quantty to be produced n each perod should be suffcent to attend the demands of tems, wthout exceedng the capacty of the machne. To model the aspects of consumpton of resources, setup and producton tmes are ncluded n the model. Intally, some basc methods for resoluton of smplfed models are presented, followed by two other methods for resoluton of mportant models n the lterature of sngle product problems. The frst one, developed by Trgero et al. (1989), conssts of a heurstc method based on Lagrangean relaxaton, subgradent optmzaton and a feasblty heurstc. The second one, developed by Daby et al. (1992a), s an branch and bound method, usng lower bounds generated by Lagrangean relaxaton, and the subgradent optmzaton method as an opton. The frst method was mplemented together wth a modfed verson. Fnally, t s presented some computatonal experments comparng both versons.

5 ÍNDICE INTRODUÇÃO... 1 CAPÍTULO 1: DEFINIÇÕES E MODELAGENS DOS PROBLEMAS INTRODUÇÃO PROBLEMA MONOESTÁGIO COM UM ÚNICO ITEM PROBLEMA MONOESTÁGIO COM MÚLTIPLOS ITENS MOTIVAÇÕES PARA O ESTUDO DE PROBLEMAS MONOESTÁGIOS CAPÍTULO 2: MÉTODOS BÁSICOS DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES INTRODUÇÃO HEURÍSTICAS O MÉTODO ÓTIMO DE WAGNER E WHITIN CAPÍTULO 3: UMA ABORDAGEM HEURÍSTICA PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES MONOESTÁGIO COM RESTRIÇÃO DE CAPACIDADE INTRODUÇÃO ALGORITMO GERAL OBTENÇÃO DO LIMITANTE INFERIOR (PASSO 1) HEURÍSTICA DE FACTIBILIZAÇÃO (PASSO 2) ATUALIZAÇÃO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (PASSO 3) UM NOVO ARRANJO FINAL PARA O MÉTODO DE TRIGEIRO ET AL. (1989) Descrção da Nova Proposta de Arranjo Fnal RESULTADOS COMPUTACIONAIS Geração de dados Resultados Computaconas para o Método de Trgero et al. (1989) com Custos Varáves no Tempo Comparação Entre as Duas Propostas de Arranjo Fnal CAPÍTULO 4:... UMA ABORDAGEM EXATA PARA O PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES MONOESTÁGIO COM RESTRIÇÃO DE CAPACIDADE INTRODUÇÃO ALGORITMO GERAL GERAÇÃO DO LIMITANTE SUPERIOR INICIAL OBTENÇÃO DOS LIMITANTES INFERIORES Relaxação Lagrangana das restrções de demanda (RLD) Relaxação Lagrangana das restrções de capacdade (RLC) Lmtação dos nós fnas A ESTRATÉGIA DE RE-LIMITAÇÃO (MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO DO SUBGRADIENTE) v

6 4.6 A ESTRATÉGIA DE RAMIFICAÇÃO Seleção de nós Seleção das varáves RESULTADOS COMPUTACIONAIS CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS BIBLIOGRAFIA APÊNDICE v

7 Introdução A ndústra de manufatura tem sdo muto estmulada a tornar seus processos mas efcentes. Este estímulo advém da maor compettvdade mposta pelas transformações que têm afetado a ordem econômca mundal. Assm, as ndústras vêm sofrendo profundas mudanças no seu setor produtvo no que tange à modernzação de seus processos de produção, melhora da qualdade de seus produtos e raconalzação admnstratva. O gerencamento da produção dentro de uma empresa é responsável pela transformação de matéras-prmas em produtos acabados. O sstema responsável por este gerencamento denomna-se Planejamento e Controle da Produção (PCP), que coordena todas as atvdades, desde a aqusção de matéras-prmas, até a entrega dos produtos acabados. A estrutura herárquca de um sstema PCP pode ser dvdda em três níves de planejamento dstntos: estratégco, tátco e operaconal (Anthony, 1965). O planejamento estratégco está relaconado ao mas alto nível de tomada de decsões, onde são defndas as metas globas de uma empresa e as polítcas adequadas para atngí-las, determnando os objetvos da empresa a longo prazo. O planejamento tátco é responsável pela mplementação das estratégas defndas no nível superor (planejamento estratégco), de forma a utlzar efcentemente os recursos dsponíves. Nesta etapa devem ser tomadas as decsões a médo prazo. Por fm, tem-se o planejamento operaconal que trata de decsões do da-a-da da produção de uma empresa, ou seja, são tomadas decsões a curto prazo, tendo como objetvo executar os planos defndos anterormente. Este trabalho enfoca os problemas de tomada de decsão relaconados com o planejamento tátco/operaconal. O planejamento da produção nestes níves consste no processo de determnar um plano de quanto produzr e/ou comprar nos próxmos períodos de tempo, chamado de horzonte de planejamento. Também determna os níves de estoque e os recursos necessáros para mplementar tal plano (Thomas e McClan, 1993) Um sstema utlzado nesse planejamento é o MRP-Planejamento das Necessdades de Materas (Materal Requrements Plannng). Um sstema MRP é uma coleção de procedmentos lógcos que têm sdo amplamente utlzados para o gerencamento do planejamento da produção. Seu objetvo é converter o Plano Mestre de Produção-PMP num plano de fabrcação de produtos fnas e na produção e/ou compra de seus possíves tens componentes, ou seja, determnar o tamanho dos lotes de produção e/ou compra. 1

8 Um sstema MRP é baseado em prevsões de demanda de cada produto fnal ao longo de um horzonte de planejamento, nos níves ncas de estoque, na lsta de materas, que é defnda pela estrutura do produto e, no lead tme de cada tem. Lead tme é o tempo mínmo necessáro a partr da ordem de produção até que o tem esteja pronto. A partr desses dados, o MRP fornece um planejamento sncronzado da produção dos produtos fnas e de seus tens componentes, nformando a quantdade específca no período adequado a ser produzda e/ou comprada, de forma a poder atender a demanda prevsta em cada período. Entretanto, esta abordagem tradconal de MRP tem suas lmtações. Em sua forma básca, o MRP assume que não há restrção de capacdade, sto é, qualquer quantdade de produção é possível. Além dsso, o plano gerado pela aplcação do MRP, a prncípo não fornece um plano de produção no sentdo do custo ser o menor possível, ou seja, não são consderados os custos envolvdos na produção, no estoque e na preparação (setup) das máqunas. Estas lmtações, compõem a essênca do problema de dmensonamento de lotes. Este problema, mplícto num sstema MRP, tem como objetvo realzar o dmensonamento dos tamanhos dos lotes de produção de modo que os custos envolvdos sejam mnmzados, podendo consderar que os recursos para a produção sejam lmtados (Berretta, 1997). A ntenção deste trabalho é estudar métodos de resolução para problemas de dmensonamento de lotes baseado em sstemas computaconas. Estes métodos conseguem englobar múltplos e complexos aspectos que ntervêm no processo de produção, dfíces de serem analsados de forma raconal, mesmo por planejadores experentes. Tas ferramentas permtem que se escolha as melhores alternatvas com respeto às restrções nerentes ao processo. Sendo assm, observa-se que esta é uma área de pesqusa que tem merecdo grande atenção de pesqusadores devdo a sua relevânca na otmzação de processos produtvos. O trabalho está organzado da segunte forma: No capítulo 1, são dadas as defnções e modelagens de alguns tpos de problemas de dmensonamento de lotes monoestágos. Os problemas são defndos e modelados para um únco tem e múltplos tens e, anda, com e sem restrção de capacdade. No fnal deste capítulo, tem-se a seção (1.4) onde é dada uma motvação para se estudar problemas de dmensonamento de lotes monoestágos. No capítulo 2, são apresentadas algumas déas báscas de métodos heurístcos para resolver problemas de dmensonamento de lotes com um únco tem sem restrção de capacdade e, por fm, apresenta-se o método ótmo de Wagner e Whtn (1958). 2

9 No capítulo 3, tem-se a abordagem de Trgero et al. (1989), para resolução do problema com restrção de capacdade, múltplos tens e com tempo e custo de preparação de máquna. Trata-se de um método heurístco que utlza relaxação Lagrangana (apêndce), uma heurístca de factblzação, sto é, uma heurístca para a obtenção de uma solução factível a partr da solução relaxada e, o método de otmzação do subgradente (apêndce), utlzado para atualzar os valores duas. Após ter feto um estudo da abordagem de Trgero et al. (1989), o método proposto pelos autores fo mplementado, consderando custos varáves no tempo e, fo mplementada também, uma proposta de mudança neste método. Esta mudança consste em aplcar um procedmento de melhora da solução factível dferente do que fo proposto por Trgero et al. (1989). Os resultados obtdos da comparação entre as duas versões do método são apresentados no fnal do capítulo. No capítulo 4, estuda-se o artgo de Daby et al. (1992a) onde o modelo é um pouco mas complexo do que o anteror, pos, tem as mesmas consderações e anda permte hora extra. O método desenvolvdo é ótmo e, basea-se em um método de enumeração mplícta (apêndce), sendo que, os lmtantes nferores são gerados por relaxação Lagrangana (apêndce), tendo como opção a utlzação ou não do método de otmzação do subgradente (apêndce) para atualzar os valores duas. O lmtante superor ncal é gerado através de alguma heurístca. Por fm, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões e são fetas algumas propostas que podem ser desenvolvdas em trabalhos futuros. 3

10 CAPÍTULO 1: Defnções e Modelagens dos Problemas 1.1 Introdução O problema de dmensonamento de lotes consste em planejar a quantdade de tens a ser produzda em váras (ou únca) máqunas, em cada período ao longo de um horzonte de tempo fnto, de modo a atender uma certa demanda, podendo estar sujeto a algumas restrções, como por exemplo, restrções de lmtação de capacdade, tendo como objetvo otmzar uma função, que pode ser, mnmzar custos. O problema de dmensonamento de lotes pode ser dvddo em monoestágo e multestágo. Denomna-se sstema de produção multestágo quando os tens a serem produzdos são dependentes, sto é, a produção de determnado tem depende da produção de outro tem, que é chamado tem componente. Dz-se que um sstema de produção é monoestágo quando os tens a serem produzdos são ndependentes, ou seja, nenhum tem depende da produção de outro tem. A motvação para estudar a classe de problemas de dmensonamento de lotes monoestágos está no fato de que, além de sua potencaldade de aplcações, o problema monoestágo aparece como um subproblema em dversos casos, de modo que, mplementações efcentes dos bons algortmos dsponíves melhoram o desempenho de algortmos projetados para problemas mas geras (Bahl et al. 1987). Na seção 1.4 deste capítulo, faz-se alguns comentáros a respeto de métodos de resolução para problemas multestágos que envolvem a resolução de problemas monoestágos. O problema monoestágo pode ser subdvddo em váras categoras, por exemplo: pode ser consderado para um únco tem ou para város tens, com ou sem restrção de capacdade. Essas categoras serão detalhadas nas próxmas seções, sendo que, uma revsão bblográfca mas completa pode ser encontrada em Bahl et al. (1987) e Toledo (1998). Observa-se que, neste 4

11 trabalho serão consderados tempos de preparação de máquna em todas as formulações que ncluem restrção de capacdade. A consderação ou não de tempos de preparação na modelagem do problema tem gerado algumas controvérsas. Alguns autores sugerem que tempos de preparação já estão ncluídos mplctamente nos custos de preparação (Maes e Van Wassenhove, 1991), não sendo necessáro ncorporá-los ao modelo. Outros autores, afrmam que a substtução dos tempos de preparação por seus custos pode levar a uma representação falsa do consumo de recursos (Bllngton et al., 1983 e Kuk et al., 1994). Bllngton et al. (1994) destacam que o tempo de preparação pode ser gnorado em algumas ndústras de processo, mas em város sstemas com restrção de capacdade, um dos fatores mas crítcos do problema de dmensonamento de lotes é o tempo de preparação e não seu custo. Trgero et al. (1989) fazem um exemplo mostrando que certos problemas não devem ser formulados sem a nclusão de tempos de preparação. A nclusão de tempos de preparação, aumenta bastante o grau de complexdade do problema. Floran et al. (1980) mostraram que, para problemas com recursos de produção lmtados e custos de preparação, encontrar a solução ótma para o problema com um únco tem é um problema NP-Hard. Btran e Yanasse (1982) mostraram que város casos de problemas com um únco tem, podem ser resolvdos em tempo polnomal, tornando-se NP-Hard quando um segundo tem é ntroduzdo. Quando se consdera tempo de preparação, o problema de encontrar uma solução factível é NP-Completo (Maes et al., 1991). Para tempos de preparação nulos, as restrções são lneares e, portanto, o problema de factbldade é da classe P. Esta é uma das razões pela qual exstem poucas pesqusas que ncluem tempos de preparação. 1.2 Problema Monoestágo com Um Únco Item O problema de dmensonamento de lotes monoestágo com um únco tem consste na determnação da produção dos lotes de apenas um tem para város períodos de tempo, de modo a mnmzar as somas dos custos de preparação, produção e estoque sobre um horzonte de planejamento. Deve-se também atender uma demanda preestabelecda e, pode-se consderar a formulação com ou sem restrção de capacdade. 5

12 Problema de Dmensonamento de Lotes Monoestágo para Um Únco Item sem Restrção de Capacdade Consdere os seguntes dados: c t Custo untáro de produção no período t. S t Custo de preparação para a produção no período t. H t Custo untáro de estocagem no período t. d t Demanda do período t. M Número grande. As varáves de decsão são: X t Undades produzdas no período t. I t Undades estocadas no período t. Y t Varável bnára, ndcando a produção ou não no período t. Índce: t = 1,..., T Períodos de tempo. Formulação do Problema: mn t (H t I t + c t X t + S t Y t ) (1.1) Sujeto a: I t-1 + X t I t = d t t (1.2) X t - MY t 0 t (1.3) 1, se X t > 0 Yt = 0, caso contráro t (1.4) X t e I t 0 t (1.5) Na formulação anteror, a função objetvo (1.1) mnmza a soma dos custos de produção, estoque e preparação. As restrções (1.2) são de balanceamento de estoque, ou seja, a quantdade 6

13 produzda num período mas a quantdade dsponível em estoque no níco, menos o que sobrar em estoque no fm do período deve ser gual a demanda do período. As restrções (1.3) e (1.4) asseguram que o tempo e o custo de preparação são consderados apenas quando exste produção e, por fm, (1.5) são restrções de não negatvdade. O estoque ncal e fnal são nulos. Este problema pode ser resolvdo otmamente através do algortmo de programação dnâmca desenvolvdo por Wagner e Whtn (1958), o qual será descrto no próxmo capítulo deste trabalho. Cabe salentar aqu que, apesar de sua smplcdade, este problema é de grande mportânca pos, mutos problemas mas complexos podem ser relaxados tendo como resultado város problemas mas smples, guas a este. O problema (1.1)-(1.5) pode ser formulado de manera semelhante nclundo restrção de lmtação de capacdade de produção por período. Observe na formulação a segur que serão ncluídas as restrções de capacdade (1.8), que levam em consderação o tempo despenddo para a produção e para a preparação de máquna. Problema de Dmensonamento de Lotes Monoestágo para Um Únco Item com Restrção de Capacdade Consdere os seguntes dados: c t Custo untáro de produção no período t. S t Custo de preparação para a produção no período t. H t Custo untáro de estocagem no período t. b t Tempo necessáro para produzr uma undade no período t. s t Tempo de preparação para a produção no período t. CAP t Lmte de capacdade (em undades de tempo) no período t. d t Demanda do período t. M Número grande. As varáves de decsão são: X t Undades produzdas no período t. I t Undades estocadas no período t. Y t Varável bnára, ndcando a produção ou não no período t. 7

14 Índce: t = 1,..., T Períodos de tempo. Formulação do Problema: Mn t ( H t I t + c t X t + S t Y t ) (1.6) Sujeto a: I t-1 + X t I t = d t t (1.7) b t X t + s t Y t CAPt t (1.8) X t - MY t 0 t (1.9) 1, se X t > 0 Yt = 0, caso contráro t (1.10) X t e I t 0 t (1.11) 1.3 Problema Monoestágo com Múltplos Itens O estudo do problema de dmensonamento de lotes monoestágo com múltplos tens e com restrção de capacdade consste no prncpal nteresse deste trabalho. Foram desenvolvdos métodos ótmos, quase ótmos e heurístcos para a resolução deste problema, sendo que, dos deles foram estudados neste trabalho e são descrtos nos capítulos 3 e 4. Estes dos métodos são baseados nas formulações (1.12)-(1.17) e (1.18)-(1.25) dadas a segur. Problema de Dmensonamento de Lotes Monoestágo/Mult-Itens com Restrção de Capacdade (Trgero et al., 1989) Os seguntes dados são utlzados no problema: c t Custo untáro de produção do tem no período t. S t Custo de preparação para a produção do tem no período t. H t Custo untáro de estocagem do tem no período t. 8

15 b Tempo necessáro para produzr uma undade do tem. s Tempo de preparação para a produção do tem. CAP t Lmte de capacdade (em undades de tempo) no período t. d t Demanda do tem no período t. M Número grande. As varáves de decsão são: X t Undades do tem produzdas no período t. I t Undades do tem estocadas no período t. Y t Varável bnára, ndcando a produção ou não do tem no período t. Índces: t = 1,..., T = 1,..., N Períodos de tempo. Itens. Formulação do Problema: H tit + ctx t + mn S Y (1.12) t t t t t Sujeto a: I =,t 1 + Xt It dt, t (1.13) bxt + syt CAPt t (1.14) X t MY 0, t (1.15) t 1, se X t > 0 Y =, t (1.16) t 0, caso contráro Xt e It 0, t (1.17) Na formulação anteror, a função objetvo (1.12) mnmza a soma dos custos de produção, estoque e preparação. As restrções (1.13) são de balanceamento de estoque, ou seja, a quantdade produzda num período mas a quantdade dsponível em estoque no níco menos o 9

16 que sobrar em estoque no fm do período deve ser gual a demanda do período. As restrções (1.14) são devdo a lmtação de capacdade onde se leva em consderação o tempo despenddo para a produção dos tens e preparação das máqunas. As restrções (1.15) e (1.16) asseguram que o tempo e o custo de preparação são consderados apenas quando exste produção e, por fm, (1.17) são restrções de não negatvdade. O estoque ncal é zero (I 0 =0). A formulação do problema com múltplos tens sem restrção de capacdade é semelhante à formulação (1.12)-(1.17), basta desconsderar as restrções (1.14). Problema de Dmensonamento de Lotes Monoestágo/Mult-Itens com Restrção de Capacdade Consderando Hora Extra (Daby et al., 1992a) Os seguntes dados serão utlzados no problema: c rt c vt Custo untáro de produção no período t em hora regular. Custo untáro de produção no período t em hora extra (overtme). S Custo de preparação (setup) do tem. H t Custo untáro de estocagem do tem do período t até t+1. b Tempo necessáro para produzr uma undade do tem. s Tempo de preparação para a produção do tem. w t Máxmo de horas regulares no período t. z t Máxmo de horas extras no período t. d t Demanda do tem no período t. m t Quantdade máxma produzda do tem no período t (m t = d j onde T é o número de períodos). T j= t As varáves de decsão são: X t Undades do tem produzdas no período t. R t Total de horas regulares utlzadas no período t. V t Total de horas extras utlzadas no período t. I t Undades do tem estocadas no período t até t+1. Y t Varável bnára, ndcando a produção ou não do tem no período t. 10

17 Índces: t = 1,..., T = 1,..., N Períodos de tempo. Itens. Formulação do Problema: c rtr t + c vtvt + mn H I + S Y (1.18) t t t t t t t sujeto a: I t-1 I t + X t d t, t (1.19) X t m t Y t 0, t (1.20) (b X t + s Y t ) R t V t 0 t (1.21) R t w t t (1.22) V t z t t (1.23) 1, se X t > 0 Yt = 0, caso contráro, t (1.24) I t, X t, R t, V t 0, t (1.25) Na formulação acma, a função objetvo (1.18) mnmza a soma dos custos de produção, estoque e preparação. As restrções (1.19) são de balanceamento de estoque. As restrções (1.21) garantem uma quantdade aproprada de horas regulares e horas extras por período para um dado plano de produção. As restrções (1.22) e (1.23) são devdo a lmtação de capacdade. As restrções (1.20) e (1.24) asseguram que o tempo e o custo de preparação são consderados apenas quando exste produção e, por fm (1.25) são restrções de não negatvdade. 1.4 Motvações Para o Estudo de Problemas Monoestágos Como já fo dto anterormente, além de ter um grande número de aplcações, os problemas monoestágos aparecem como subproblemas de problemas mas geras. Por exemplo, 11

18 mutos métodos de resolução desenvolvdos para problemas multestágos, envolvem a resolução de uma seqüenca de problemas monoestágos. Apresenta-se nesta seção, apenas um exemplo de um método de resolução para problemas multestágos que mplca na resolução de problemas monoestágos, outros exemplos são ctados na revsão bblográfca contda em Berretta (1997). Incalmente, será apresentada uma formulação do problema multestágo em termos de estoque convenconal, a segur tem-se uma reformulação em termos de estoque de escalão. O problema reformulado pode ser então relaxado, utlzando-se a técnca de relaxação Lagrangana, o que torna o problema multestágo decomponível em város problemas monoestágos, possbltando a aplcação de métodos de resolução desenvolvdos para problemas monoestágos. Estoque convenconal Uma formulação em estoque convenconal para o problema multestágo é a segunte: Problema de Dmensonamento de Lotes Multestágo/Mult-Itens com Restrção de Capacdade Bllngton et al. (1983): Os seguntes dados são utlzados no problema: c t Custo untáro de produção do tem no período t. S t Custo de preparação para a produção do tem no período t. H t Custo untáro de estocagem do tem no período t. b Tempo necessáro para produzr uma undade do tem. s Tempo de preparação para a produção do tem. CAP t Lmte de capacdade (em undades de tempo) no período t. d t Demanda do tem no período t. r j Undades do tem necessáras para compor 1 undade do tem j. M Número grande. As varáves de decsão são: X t Undades do tem produzdas no período t. I t Undades do tem estocadas no período t. Y t Varável bnára, ndcando a produção ou não do tem no período t. 12

19 Índces: t = 1,..., T = 1,..., N Períodos de tempo. Itens. Conjuntos: S() conjunto dos tens sucessores medatos do tem. P() conjunto dos tens predecessores medatos do tem. Formulação do Problema: H tit + ctx t + mn S Y (1.26) t t t t t Sujeto a: I + +,t 1 Xt = d t + rjx jt It, t (1.27) j S() bx t + syt CAPt t (1.28) X t MY 0, t (1.29) t 1, se X t > 0 Y =, t (1.30) t 0, caso contráro Xt e It 0, t (1.31) Observe que a formulação acma é semelhante à formulação (1.12)-(1.17) com exceção das restrções de balanceamento de estoque (1.13) que agora são dadas pelas restrções (1.27), o que faz com que o modelo torne-se não decomponível por tem, quando relaxadas as restrções de capacdade, mpedndo a utlzação dreta de técncas de resolução empregadas a problemas monoestágos. Deve-se observar que, a produção e o estoque de um tem devem ser sufcentes para suprr a demanda ndependente, mas, eventualmente, uma quantdade para compor o lote dos tens sucessores. Para um melhor entendmento, consdere o segunte grafo orentado acíclco (fgura 1.1). Observe que, se um tem é predecessor de j, mplca > j. O tem 1 é sempre consderado como 13

20 tem fnal (pode-se ter dferentes tens fnas). A estrutura representada aqu é uma estrutura geral, ou seja, não há restrção quanto ao número de predecessores e sucessores de um tem, exceto os tens fnas que não possuem sucessores. 1 r 31 =3 r 21 =2 3 r 32 =1 2 r 43 =1 r 42 =2 4 Fgura 1.1: Exemplo de estrutura geral de produtos. Como, S() conjunto dos tens sucessores medatos do tem. P() conjunto dos tens predecessores medatos do tem. pelo exemplo da estrutura geral acma (Fgura 1.1) temos: S(1) = S(2) = { 1 } S(3) = { 1, 2 } S(4) = { 2, 3 } P(1) = { 2, 3 } P(2) = { 3, 4 } P(3) = { 4 } P(4) = Consdere que: r 2,1 = 2; r 3,1 = 3; r 3,2 = 1; r 4,2 = 2; r 4,3 = 1. Suponha que, num determnado período, fo decddo produzr 10 undades do tem 1, que não haja estoque de qualquer tem e que os tens 2, 3 e 4 não tenham demanda ndependente. Então a produção do tem 2 deve ser de pelo menos 20 undades (r 21 X 1 =2 x 10), do tem 3 de 50 undades (r 31 X 1 + r 32 X 2 =3 x x 20) e do tem 4 de pelo menos 90 undades (r 42 X 2 + r 43 X 3 = 2 x x 50). Portanto, a equação de balanço entre as varáves de estoque e produção deve determnar que X t e I,t-1 devem suprr d t mas r X. j jt j S() Uma reformulação do problema (1.26)-(1.31) pode ser obtda adotando-se o conceto de estoque de escalão ntroduzdo por Clark e Scarf (1960) e mplementado por Afentaks et al. (1984). 14

21 Estoque de escalão Estoque de escalão de um tem é a quantdade total do tem presente no sstema, nclundo a quantdade do tem em estoque mas a quantdade do tem contda no estoque de seus sucessores. Como exemplo, consdere a estrutura da fgura 1.1. A quantdade do tem 1 exstente no sstema é apenas o seu estoque, já que este não possu sucessor. Logo, seu estoque de escalão é seu própro estoque convenconal, E 1t = I 1t. O tem 2, além de ter seu própro estoque, está presente no tem 1 (S(2)={1}), portanto seu estoque de escalão é E 2t = I 2t + r 21 I 1t. No caso do tem 3 tem-se: E 3t = I 3t + o própro estoque r 32 I 2t + quantdade do tem 3 no estoque do tem 2 r 31 I 1t + r 32 r 21 I 1t quantdade do tem 3 no estoque do tem 1 ou anda, E 3t = I 3t + r 31 E 1t + r 32 E 2t. Da mesma manera para o tem 4, E 4t = I 4t + r 43 I 3t + r 42 I 2t + r 43 r 32 I 2t + r 43 r 32 r 21 I 1t + r 43 r 31 I 1t + r 42 r 21 I 1t ou anda, E 4t = I 4t + r 42 E 2t + r 43 E 3t. Portanto, o estoque de escalão do tem no período t é defndo como: E = I + r E (1.32) t t j j S() jt Será defndo agora o custo de estoque de escalão em termos de custo de estoque convenconal. Custo de estoque de escalão O custo de estoque de escalão deve ser defndo de modo que seja mantda a equvalênca: 15

22 N T e E = N t t = 1 t= 1 = 1 t= 1 T h t I t Desenvolvendo a fórmula anteror chega-se à segunte defnção para o custo de estoque de escalão: e = H r H (1.33) t t j j P() jt Observe que, a defnção de custo de estoque de escalão fo dada a partr da defnção de custo de estoque convenconal, de modo que se tenha um abatmento dos custos de estoque convenconal de tens predecessores, pos, de acordo com a defnção de estoque de escalão, os custos dos tens predecessores já teram sdo calculados. Reformulação do problema em termos de estoque de escalão O modelo (1.26)-(1.31) pode ser reformulado em termos de estoque de escalão. Incalmente, serão examnadas as restrções de balanço (1.27) entre as varáves de estoque e produção. Como lustração, consdere a equação do tem 2, para a estrutura da fgura 1.1. Utlzando estoque convenconal, a equação de balanço é dada por: I 2,t-1 + X 2t - I 2t = d 2t + r 21 X 1t sendo X 1t determnado a partr de I 1,t-1 + X 1t - I 1t = d 1t. Substtundo esta últma equação na anteror tem-se I 2,t-1 + r 21 I 1,t-1 + X 2t - I 2t - r 21 I 1t = d 2t + r 21 d 1t, sto é, E 2,t-1 + X 2t - E 2t = d 2t + r 21 d 1t. Observe que a equação de balanço utlzando estoque de escalão não depende do tamanho dos lotes dos tens sucessores, mas sm, de suas demandas. Defnndo demanda de escalão como a contablzação das demandas ndependentes e dependentes (a demanda dos tens sucessores), D t = d t + r D j j S() jt a equação de balanço de estoque utlzando estoque de escalão pode ser generalzada como: E,t-1 + X t - E t = D t. 16

23 Falta mpor que o estoque de um tem seja maor que zero ( I t 0). Pela defnção de E t dada em (1.32) tem-se, E r E, t j j S() jt ou seja, o estoque de escalão do tem no período t deve ser sufcente para suprr o estoque de escalão de seus tens sucessores. Obtém-se então, a segunte formulação em estoque de escalão: ete t + ctx t + mn S Y (1.34) t t t t t Sujeto a: E =,t 1 + X t E t Dt, t (1.35) je jt E t 0 j S() r, t (1.36) bx t + syt CAPt t (1.37) X t MY 0, t (1.38) t 1, se X t > 0 Y =, t (1.39) t 0, caso contráro Xt e Et 0, t (1.40) Utlzando o conceto de estoque de escalão, retra-se a dependênca entre os tens que aparece nas restrções (1.27) do modelo (1.26)-(1.31). A dependênca encontra-se agora nas restrções (1.36) do modelo (1.34)-(1.40). Entretanto, observe que, o modelo (1.34)-(1.40) sem as restrções (1.36) torna-se exatamente o modelo monoestágo (1.12)-(1.17) apresentado por Trgero et al. (1989). Assm, aplcando-se a técnca de relaxação Lagrangana às restrções (1.36), pode-se utlzar os métodos de resolução para problemas monoestágos. Dante dsso, chega-se ao objetvo desta seção, que era exemplfcar a utldade do problema monoestágo para resolução de problemas mas geras, justfcando assm a preocupação com o estudo e o desenvolvmento de algortmos efcentes para este tpo de problema. 17

24 CAPÍTULO 2: Métodos Báscos de Dmensonamento de Lotes 2.1 Introdução Neste capítulo serão descrtos alguns métodos báscos de solução para problemas de dmensonamento de lotes com um únco tem sem restrção de capacdade. Incalmente, apresenta-se alguns métodos heurístcos, começando pelo método Lote-por-Lote, segudo pelas heurístcas de Slver-Meal, do Custo Untáro Mínmo e a de Balanço por Partes. No fnal, apresenta-se o método ótmo proposto por Wagner e Whtn (1958), o qual será bastante utlzado em outros procedmentos de solução descrtos nos próxmos capítulos. Será feta anda uma comparação entre os métodos, mostrando a superordade do método ótmo de Wagner e Whtn (1958). Os estudos destes métodos foram baseados em Wagner e Whtn (1958), Johnson e Montgomery (1974), Hller e Leberman (1988) e Nahmas (1989). 2.2 Heurístcas Consdere um horzonte de planejamento de T períodos, onde as demandas para cada período são conhecdas (d 1, d 2,..., d T ). Um únco lote pode ser produzdo em cada período e X t representa o tamanho do lote produzdo no período t. Consdere os seguntes custos: custo de preparação no período t (S t ), custo untáro de produção no período t (c t ) e o custo untáro de estocagem do período t para o período t+1 (H t ). O custo untáro de produção (c t ) será consderado constante e, por sso, poderá ser omtdo sem prejuízo do resultado fnal. Suponha que I 0 = I T =0, onde I t é a quantdade estocada no período t. 18

25 Lote-por-Lote: Esta heurístca consste no método mas básco possível, onde a quantdade produzda vsa atender somente o período em que o tem será utlzado. Sendo assm, o estoque será sempre nulo e serão fetas preparações de máquna em todos os períodos com demanda postva. Heurístca de Slver-Meal Consdere C(t) como sendo o custo total de produção até o período t, dvddo por t. Assm, se no período 1 for produzdo uma quantdade vsando atender somente a demanda deste período, não exstrá então o custo de estocagem (H 1 ), mas somente um custo de preparação (S 1 ). Logo: C(1) = S 1 No entanto, se no período 1 a produção vsa atender as demandas dos períodos 1 e 2, exstrá um custo de estocagem sobre a quantdade d 2, relatva à demanda do período 2. Ou seja: C(2) = (S 1 + H 1 d 2 )/2 De manera análoga: C(3) = (S 1 + H 1 d 2 + (H 1 + H 2 )d 3 )/3 Em geral: S C(t)= + H d + (H + H )d (H t + H H t 1 )d t onde t T Quando C(t) > C(t-1) o processo é nterrompdo e produz-se uma quantdade vsando atender as demandas dos períodos 1, 2,..., t-1, ou seja, X 1 = d 1 + d d t-1. Posterormente, o processo contnua novamente a partr do período t. Heurístca do Custo Untáro Mínmo É dêntca à heurístca de Slver-Meal mas, ao nvés de dvdr pelo período t, dvde-se pela demanda total até o período t (d 1 + d d t ). Ou seja: 19

26 S C(t)= C(1) = S 1 /d 1 C(2) = (S 1 + H 1 d 2 )/(d 1 + d 2 ) H1d 2 + (H1 + H 2 )d (H1 + H H t 1 d 1 + d d t )d t onde t T Heurístca de Balanço por Partes Nesta heurístca, nca-se no prmero período de planejamento e evolu-se em dreção ao período fnal. Para cada período, calcula-se o custo de estocagem e soma-se aos custos de estocagem dos períodos anterores. Quando esta soma for maor que o custo de preparação (que deve ser fxo), o processo é nterrompdo e é feta uma comparação entre os períodos para verfcar em qual deles a soma dos custos de estocagem está mas próxma do custo fxo de preparação. Os peddos deverão atender a projeção de demanda até este período. Em seguda, nca-se novamente no período segunte e o processo se repete. 2.3 O método ótmo de Wagner e Whtn Este método basea-se na segunte propredade de otmaldade para o problema em questão: I t-1 X t = 0 para t=1,..., T (Johnson e Montgomery, 1974). Isto sgnfca que a demanda de um período t deve ser satsfeta completamente com a produção do período t (X t ), ou com o estoque do período t-1 (I t-1 ). Assm, a quantdade produzda num determnado período deve ser exatamente gual a soma de um conjunto de futuras demandas, ou seja: X 1 = d 1 ou X 1 = d 1 + d 2... ou X 1 = d 1 + d d T X 2 = 0 ou X 2 = d 2 ou X 2 = d 2 + d 3... ou X 2 = d 2 + d d T X 3 = 0 ou X 3 = d 3 ou X 3 = d 3 + d 4... ou X 3 = d 3 + d d T X T = 0 ou X T = d T Para um melhor entendmento do método, tem-se um exemplo onde se supõe que os custos consderados são: o custo de preparação (S t ) cobrado no níco do período, um custo de 20

27 manutenção de estoque (H t ) que será cobrado no fnal de cada período e, um custo untáro de produção (c t ), o qual será consderado constante, ndependentemente da quantdade e do período em que se está produzndo, por sso, poderá ser omtdo obtendo-se o mesmo resultado. Exemplo 2.1: Certa frma que fabrca um determnado produto deseja fazer um planejamento da produção para um horzonte de quatro semanas. Sabe-se que a demanda para estas quatro semanas será de 104, 174, 46 e 112 undades. Suponha que a frma faça no máxmo uma preparação de máquna a cada semana e que não haja restrção de capacdade de produção. Assocando os quatro períodos a uma rede com cnco nós, o arco arc (t,j) para t<j está assocado ao custo total (C t,j ) para produzr uma quantdade que atenda as demandas do período t até o período j-1, ou seja, C 1,5 = custo total para produzr no período 1 uma quantdade que satsfaça as demandas da semana 1 até a semana 4. C 15 C 14 C 13 1 C 12 2 C 23 3 C 34 4 C 45 5 C 24 C 35 C 25 O método de Wagner e Whtn consste numa técnca de programação dnâmca, onde a solução ótma é obtda utlzando-se do segunte sstema de equações: f t = mn(c + f ) j> t t, j j para t = 1,..., T (2.1) Condção fnal: f T+1 = 0 Observe que, f t é o custo mínmo para o período de planejamento t. Para resolver o exemplo 2.1 através desta fórmula, prmeramente deve-se calcular os custos C t,j, os quas serão usados na fórmula. Observe que estes custos são dados por: 21

28 C t,j = S t + H t d t+1 + (H t + H t+1 )d t+2 + (H t + H t+1 + H t+2 )d t (H t + H t H j-2 )d j-1 para t = 1, 2,..., T e j = t+1, t+2,..., (T+1). Para este exemplo tem-se: t=1, 2, 3, 4 e j=2, 3, 4, 5. Consderando S t = $150,00 ( t) por preparação e H t = $2,00 ( t) por undade estocada a cada período, tem-se: C 1,2 = 150 C 1,3 = x 174 = 498 C 1,4 = x [174 + (46 x 2)] = 682 C 1,5 = x [174 + (46 x 2) + (112 x 3)] = 1354 C 2,3 = 150 C 2,4 = x 46 = 242 C 2,5 = x [46 + (112 x 2)] = 690 C 3,4 = 150 C 3,5 = x 112 = 374 C 4,5 = 150 Determnado os custos, o próxmo passo é obter o custo mínmo de planejamento para cada período através da aplcação da fórmula (2.1): f 5 = 0 f 4 = mn(c + f ) j> 4 4, j j = mn(c 4,5 + f 5 ) = 150 ( neste caso só há uma opção) - o mínmo ocorre em j = 5 f 3 = mn(c + f ) = j> 3 3, j - o mínmo ocorre em j = 4 j C3,4 + f 4 mn = C3,5 + f mn = mn =

29 f 2 = mn(c + f ) = j> 2 2, j - o mínmo ocorre em j = 4 j C 2,3 + f 3 mn C 2,4 + f 4 = C 2,5 + f mn = mn 392 = f 1 = mn(c + f ) = j> 1 1, j - o mínmo ocorre em j = 2 j C1,2 + f 2 C1,3 + f 3 mn = C1,4 + f 4 C1,5 + f mn = mn = Dante dsso, para encontrar uma polítca de produção ótma basta verfcar os cálculos, ou seja, na semana 1 o valor ótmo de j é j = 2, sto sgnfca que a quantdade produzda na semana 1 deve ser gual a demanda da semana 1 (X 1 = d 1 = 104). Na semana 2 o valor ótmo de j é j = 4, logo a quantdade produzda na semana 2 deve ser gual a demanda da semana 2 mas a demanda de semana 3 (X 2 = d 2 + d 3 = = 220). O próxmo período é a semana 4, na qual o valor ótmo de j é j = 5 o que mplca em X 4 = d 4 = 112. Assm, a polítca ótma para este exemplo pode ser denotada por X = (104, 220, 0, 112). A tabela 2.1 mostra os resultados do custo total para os város métodos descrtos anterormente, fcando evdente a superordade do método ótmo de Wagner e Whtn. O cálculo desses resultados foram fetos com base no segunte exemplo: Exemplo 2.2: Deseja-se produzr um determnado produto P, o qual demora quatro semanas para ser produzdo (lead tme = 4). Pretende-se fazer um plano de produção para o produto P, da semana 8 até a 17. A prevsão de demanda para estas semanas é conhecda e é dada pela segunte tabela: Semana Demanda Lq O custo de preparação da produção (S t ) deste produto é gual a $132,00 para qualquer semana t, além dsso, o custo untáro de estocagem (H t ) é de $0,60 por semana ( t). 23

30 A tabela de comparação dos resultados é apresentada a segur: Custo total ($) Lote-por-Lote 1.320,00 Heurístca de Slver-Meal 650,40 Heurístca do custo untáro mínmo 718,80 Heurístca de balanço por partes 693,60 Solução ótma (Wagner e Whtn) 610,20 Tabela 2.1: Comparação dos métodos. Cabe anda observar que, atualmente exstem algumas mplementações mas efcentes do método de Wagner e Whtn (1958), por exemplo, Evans (1985). Em Wolsey (1995), pode ser encontrada uma revsão bblográfca, mostrando o avanço dos métodos de resolução para problemas com um únco tem sem restrção de capacdade. 24

31 CAPÍTULO 3: Uma Abordagem Heurístca para o Problema de Dmensonamento de Lotes Monoestágo com Restrção de Capacdade 3.1 Introdução Neste capítulo será apresentado uma revsão do artgo de Trgero et al. (1989), onde o problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade é modelado e, um método de solução é proposto. Tem-se anda, uma proposta de mudança no método desenvolvdo por Trgero et al. (1989), bem como os resultados computaconas obtdos após a mplementação das duas versões do método: a versão orgnal e a versão modfcada. O método desenvolvdo por Trgero et al. (1989) é um método heurístco que consste em relaxar as restrções de capacdade (1.14) utlzando a técnca de relaxação Lagrangana (ver apêndce), obtendo-se város subproblemas, um para cada tem, sem restrção de capacdade. Estes subproblemas são resolvdos por programação dnâmca utlzando o algortmo de Wagner e Whtn ( Wagner e Whtn, 1958), descrto no capítulo anteror. O valor da solução do problema relaxado, consttu um lmtante nferor para o problema orgnal. Em geral, a solução do problema relaxado é nfactível para o problema orgnal, pos vola as restrções de capacdade. Aplca-se então, uma heurístca que transfere a produção entre períodos, na tentatva de obter uma solução factível. Por fm, a atualzação dos multplcadores de Lagrange é feta utlzando-se o método de otmzação do subgradente (ver apêndce). Custos e tempos de preparação são consderados no modelo e, além dsso, os custos e a demanda não são constantes no tempo. No entanto, mesmo modelando para custos varáves, Trgero et al. (1989) consderaram todos os custos constantes no tempo em suas mplementações. 25

32 O modelo não consdera seqüencamento de trabalho, sendo ndferente a ordem em que os tens estão sendo produzdos dentro de um período. Assm, se o últmo tem a ser produzdo no período t for o tem e, o prmero tem a ser produzdo no período t+1 também for o tem, o modelo consdera que fo necessáro um tempo de preparação: Y,t+1 =1. Os autores observam que, em alguns problemas prátcos onde o número de tens é muto grande, o fato de não se consderar o seqüencamento não nfluenca muto no resultado, pos a porcentagem de tempo de preparação, que é ncorretamente calculada, é pequena em relação ao tempo de preparação total. A formulação está contda no capítulo 1 e é dada pelas equações (1.12)-(1.17). Para facltar a letura, o modelo é reproduzdo aqu: Modelo (1.12)-(1.17): H tit + ctx t + mn S Y (1.12) t t t t t Sujeto a: I + X I = d, t (1.13),t 1 t t t bx t + syt CAPt t (1.14) X t MY 0, t (1.15) t 1, se X t > 0 Y =, t (1.16) t 0, caso contráro Xt e It 0, t (1.17) 3.2 Algortmo Geral Nesta seção, um algortmo geral é apresentado segudo de alguns comentáros e, nas próxmas seções serão dscutdos alguns dos passos propostos no algortmo. 26

33 Passo 0: Atrbua valores ncas aos multplcadores de Lagrange. Faça k=0 ; Passo 1: (Passo Prmal). Aplque a Relaxação Lagrangana às restrções de capacdade (1.14), obtendo subproblemas ndependentes por tem. Para cada tem, resolva o subproblema por programação dnâmca (Wagner e Whtn, 1958) e obtenha uma solução; Passo 2: (Heurístca Lagrangana). Se a solução obtda for nfactível: Então: Tente determnar uma solução factível próxma a solução encontrada no passo 1; Passo 3: (Passo Dual). Atualze os multplcadores de Lagrange pelo método de otmzação do subgradente. Faça k k+1. Vá para o passo 1. Repta os passos 1 a 3, até que sejam fetas 150 terações. Observe que a cada teração, o passo 1 produz um lmtante nferor para o valor ótmo da função objetvo. A utlzação do método do subgradente no passo 3 garante que o algortmo produzrá, no lmte, o melhor (maor) lmtante nferor. No entanto, em se tratando de programação ntera, tem-se que o valor do melhor lmtante nferor pode ser menor que o valor ótmo da função objetvo do problema orgnal, devdo ao chamado gap de dualdade, que consste na dferença entre o valor ótmo da função objetvo do problema dual Lagrangano (melhor lmtante nferor) e o valor ótmo da função objetvo do problema orgnal. A avalação da qualdade da solução obtda é feta através do gap, ou seja, da dferença entre o valor da função objetvo para melhor solução factível encontrada e o valor do lmtante nferor. Quando esta dferença é pequena, pode-se dzer que o valor da função objetvo obtdo pela solução factível está próxmo do valor ótmo. No entanto, quando o gap é alto, não se pode afrmar se o valor obtdo pela solução factível está longe do valor ótmo, ou se exste um grande gap de dualdade. 3.3 Obtenção do Lmtante Inferor (Passo 1) Para se obter um lmtante nferor para o problema, aplca-se a técnca de relaxação Lagrangana descrta na fundamentação teórca contda no apêndce. Ao aplcar a relaxação 27

34 Lagrangana às restrções de capacdade (1.14), o problema (1.12)-(1.17) passa a ser escrto da segunte forma: Problema Lagrangano: k k H tit + (ct + λ tb )X t + (St + λ ts )Yt k mn λ CAP (3.1) t t t t t t Sujeto a: I + X I = d, t (3.2),t 1 t t t X t MY 0, t (3.3) t 1, se X t > 0 Yt =, t (3.4) 0, caso contráro Xt e It 0, t (3.5) Observe que as úncas restrções que lgavam os tens eram as restrções de capacdade (1.14). Assm, o problema relaxado (3.1)-(3.5) pode ser decomposto tem a tem, obtendo-se város subproblemas, um para cada tem, sem restrções de capacdade. Isto torna possível a utlzação da técnca de programação dnâmca de Wagner e Whtn (1958), a qual é aplcada em cada um dos subproblemas separadamente. As soluções para estes subproblemas são agrupadas e, em geral, a solução resultante deste agrupamento não é factível para o problema (1.12)-(1.17), devdo ao fato de não estarem sendo consderadas as restrções de capacdade. O valor da função objetvo para a solução do problema relaxado (3.1)-(3.5) produzrá um lmtante nferor para o problema orgnal (1.12)-(1.17). 3.4 Heurístca de Factblzação (Passo 2) Como menconado anterormente, em geral, a solução encontrada pelo algortmo de programação dnâmca é nfactível. A déa da heurístca de factblzação é fazer pequenas mudanças na solução obtda pelo passo 1, tentando ajustar os lotes de acordo com a capacdade 28

35 dsponível em cada período, ou seja, a heurístca tenta elmnar a volação da restrção de capacdade. O procedmento tem no máxmo quatro passos, descrtos a segur. Se a volação não for elmnada, o procedmento é abandonado, as varáves duas são atualzadas e, um novo problema Lagrangano é resolvdo produzndo outra solução. Os passos são os seguntes: 1 o Passo regressvo: Este passo é ncado no fm do horzonte de planejamento e evolu em dreção aos períodos anterores. Se houver volação de capacdade em um período, cada tem com produção postva é avalado, com o objetvo de verfcar qual é o mas adequado para ser transferdo. O tem mas adequado é aquele que tem o menor custo por undade de volação elmnada. Para transferr um tem de um determnado período t tem-se: Se o tamanho do lote do tem no período t não for maor do que a volação do período t, duas opções são consderadas: - Mover todo o lote para o período medatamente anteror (t-1). - Mover todo o lote para outro período anteror (t-j, com j>1), onde t-j é o prmero período anteror no qual o tem já esteja sendo produzdo. Assm, evta-se os custos assocados a uma preparação. No entanto, se o tamanho do lote é maor do que a volação, três dferentes combnações de quantdade e períodos são consderados para a transferênca: - Mover somente a quantdade necessára para elmnar a volação para o período t-1. - Mover somente a quantdade necessára para elmnar a volação para o período t-j. - Mover todo o lote para o período t-j. Cabe observar que, transferr mas do que o necessáro para elmnar a volação para um período anteror será consderado somente se não houver volação da capacdade deste período anteror. O tem de menor custo é transferdo de acordo com um dos procedmentos descrtos acma. Se persstr a volação no período t, um outro tem é escolhdo e o processo é repetdo até que a volação do período seja elmnada. O mesmo processo é aplcado ao período anteror (t-1) e assm por dante, até o período 2. Observe que, ao fnal do passo regressvo tem-se uma solução factível, exceto possvelmente para o prmero período. 29

36 1 o Passo progressvo: Este passo é ncado no começo do horzonte de planejamento e evolu em dreção aos períodos posterores. O período alvo é sempre o medatamente posteror e a quantdade transferda é o estoque I t. Os tens que podem ser transferdos são: - Os tens que foram agrupados pelo algortmo de Wagner e Whtn (1958). - Aqueles que foram transferdos pelo prmero passo regressvo. As transferêncas termnam quando as volações acumuladas forem elmnadas para todos os períodos, ou seja, as necessdades acumuladas até o período t forem menores ou guas à capacdade acumulada até o mesmo período (para todo t): t τ= 1 ( b X τ t + s Y ) CAP para todo t (3.6) τ τ= 1 τ Observe que a desgualdade acma não mplca na elmnação da volação de todos os períodos de 1,..., t. Pos, para um dado período t onde 1 < t t, pode ocorrer que: b X, + sy, CAP, t > onde 1 < t t (3.7) t t Observe anda que nenhuma tentatva é feta para evtar volação no período alvo. No entanto, não são permtdos atrasos na produção. 2 o Passo regressvo: Idêntco ao prmero, exceto pelo seu estado ncal que é determnado pelo resultado dos dos prmeros passos. 2 o Passo progressvo: Mas rgoroso do que o prmero. No prmero a produção é envada para períodos posterores até que as volações acumuladas sejam elmnadas. Neste segundo passo progressvo contnua-se trabalhando no período até que toda a volação seja elmnada. A dferença entre volação acumulada e volação, pode ser vsta pelas equações (3.6) e (3.7). 30