O QUEBRA-CABEÇA DE LANGFORD

Transcrição

1 O QUEBRA-CABEÇA DE LANGFORD Mateus Mendes Magela Unversdade Federal do Espírto Santo Resumo: O Quebra-Cabeça de Langford é um passatempo muto atraente e sufcentemente engenhoso para conqustar a atenção de alunos, de todos os dferentes níves de escolardade. Smplfcando a dea de Langford, seu problema consste em dspor em uma sequênca cada par de números n, com n N, separados por n outros números. Este trabalho consste em apresentar uma sequênca ddátca para explorar os desafos desse problema. A manera mas smples de trabalhar o quebra-cabeça é usar cartas de baralho em vez de blocos. O Quebra-Cabeça de Langford mostra-se um excelente recurso para promover a matemátca recreatva além permtr explorar alguns assuntos tas como artmétca modular, métodos de contagem, construção de algortmos aplcados à resolução de problemas, somatóro e lógca matemátca. Palavras-chave: Langford; sequênca; quebra-cabeça. 1. Introdução A potencal oportundade oferecda pelo problema Langford, para promover o pensamento matemátco cratvo de manera lúdca, transformou o Quebra-Cabeça de Langford em um valoso nstrumento de aprendzagem desde que o vra pela prmera vez, anda estudante de graduação, descrto no lvro Almanaque das Curosdades Matemátcas de Ian Stewart. O problema de Langford tem nsprado não somente a matemátca recreatva, ao mesmo tempo, tem motvado a pesqusa por algortmos mas efcentes, e métodos de contagem gualmente hábes. Mutos estudos computaconas e teórcos á foram realzados para estabelecer o número de arranos dstntos possíves para determnadas quantdades de pares envolvdos no Quebra-Cabeça de Langford. O aspecto de contagem do problema de Langford levou a Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 1

2 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 0 a 3 de ulho de 013 um desafo computaconal, a fm de encontrar o número de soluções para valores grandes de n, e John E. Mller dedcou uma págna na nternet para o problema em que ele documenta esses resultados. Os ogos são nstrumentos de grande relevânca no desenvolvmento cogntvo e essa oportundade de aprendzagem pode ser potencalzada quando esse processo está acompanhado de uma análse sobre as regras, uma formalzação dos dados além de uma reflexão sobre as tomadas de decsões. Portanto, a utlzação do problema de Langford no processo de ensno e de aprendzagem da matemátca pode proporconar resultados satsfatóros, á que permte a aproxmação do aluno com a matemátca elmnando barreras exstentes.. Antecedentes hstórcos O matemátco escocês C. Dudley Langford observava seu flho brncar com ses cubos colordos, dos de cada cor. Langford percebeu que o menno os arrumou de modo que os dos cubos amarelos, por exemplo, fcaram separados por um cubo, os dos cubos azus fcaram separados por dos cubos e que os dos cubos vermelhos fcaram separados por três cubos. A partr dsso, Langford pensou no emparelhamento e concluu que esse é o únco arrano possível, a não ser por sua reflexão da dreta para esquerda. Fgura 1 - Os cubos de Langford 3. Elaboração do materal Para exposção do Quebra-Cabeça de Langford, utlzaremos cubos de madera (de dmensões 3 cm x 3 cm x 3 cm) numerados de 1 a 8 sendo cada algarsmo representado exatamente duas vezes. Para realzar esta atvdade em sala de aula, uma dea mas smples é utlzar cartas de baralho. Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna

3 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 0 a 3 de ulho de 013 Fgura - Materal para exposção. Fcha técnca Jogadores: um. Materal: 16 cubos numerados de 1 a 8. (cada algarsmo ocorre exatamente duas vezes). Dfculdade: méda (porém a dfculdade pode ser aumentada ou dmnuída alterando a quantdade de pares). Obetvo: arranar os cubos em sequênca de modo que os cubos com número um apareçam separados por um cubo, os cubos com número dos apareçam separados por dos outros números e assm aplcando até os cubos com número oto. 5. Uma breve prova A sequênca de Langford de ordem n admte solução apenas quando n o mod ou n 3mod, ou sea, o emparelhamento proposto por Langford apenas é possível se a quantdade de pares envolvdos for um múltplo de quatro ou uma undade a menos que um múltplo de quatro. Demonstração: Sea S s,..., s k,..., s ) s k { 1,..., n} e n N com k ( 1 k elementos uma sequênca de Langford posto que o par ( a, a ) representa os índces dsuntos de S em que ocorre com { 1,..., n} sendo n N. Observe que quando s s n, sendo, {1,...,k}, consderando sem perda de generaldade, então, a a k 1 a a ( k 1). Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 3

4 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 0 a 3 de ulho de 013 a a 1 n n n(1 n), com a, a S (1) a a 1 n) ( n () Segue das equações (1) e () que: a (1 n) n n(1 n) a n(1 n) n (1 n) n n n n n n 3n n (3) Como a é um índce da sequênca 3n n deve ser sempre um valor ntero e os úncos valores de n que satsfazem essa restrção ocorrem quando n o mod ou n 3mod. 6. Agradecmentos Tenho prazer de regstrar meus agradecmentos a duas pessoas: Mara de Fátma Fafá Pnto por agradáves conversas e pela confança depostada em meu trabalho; mnha rmã Mara Mendes Magela, que com pacênca nvulgar, colaborou para corrgr o texto, apontando város deslzes que procure corrgr. 7. Referêncas bblográfcas Honours T, Davd C. (005). Algorthms for Constructng Generalzed Skolem type Sequences. Departamento de Cênca da Computação Larsen. J. W. (009) Countng the number of Skolem sequences usng ncluson excluson. Copenhagen: Unversdade de Copenhagen. Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna

5 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 0 a 3 de ulho de 013 Mller. J. E. Langford s problem. consultado 15/0/013. Stewart I. (008). Alamanaque das curosdades matemátcas. Ro de Janero: Zahar. Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 5