Apostila de Matemática Financeira

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1 Apostla de Matemátca Fnancera Prof. Dav Ran Gotardelo Dsponível no Xerox e no Quosque Unversdade Federal Rural do Ro de Janero (UFRRJ) A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 1

2 onteúdo Agradecmento especal à querda Prof. Slvnha, que me ensn os prmeros passos da Matemátca, por gentlmente ter ceddo o materal para confecção dessa apostla. APÍTULO 01 OPERAÇÕES OM MERADORIAS 1. álculos de lucro prejuízo sobre o preço de custo de venda endas com lucro endas com lucro sobre o preço de custo endas com lucro sobre o preço de venda endas com prejuízo endas com prejuízo sobre o preço de custo endas com prejuízo sobre o preço de vendas Abatmentos e aumentos sucessvos Abatmentos sucessvos Aumentos sucessvos Exercícos APÍTULO 02 JUROS 2.1. onceto Undade de medda Taxa de juros Dagrama de captal no tempo Juros Smples Juros compostos onvenção lnear e exponencal para períodos não nteros Exercícos APÍTULO 03 DESONTO 3.1. Desconto smples Desconto bancáro Relação entre os descontos : raconal e comercal Desconto composto Desconto composto raconal Exercícos A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 2

3 APÍTULO 04 TAXAS 4. Taxas Taxas Nomnas Taxa nomnal efetva Taxa real, aparente e de nflação Taxa Over (Taxa por um da) Exercícos APÍTULO 05 RENDAS ERTAS OU ANUIDADES Defnções mportantes lassfcação das anudades Amortzação composta Anudades antecpadas medatas Renda anudade dferda (com carênca) Exercícos APÍTULO 06 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANIAMENTOS 6.1. Defnções báscas Sstema de amortzações constantes - SA Sstema de amortzação francês SAF - PRIE Exercícos BIBLIOGRAFIA A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 3

4 Operações sobre mercadoras 1. álculos de lucro prejuízo sobre o preço de custo de venda QUESTÕES PARA DISUSSÃO INIIAL DO APÍTULO omo ldar com operações fnanceras sobre compra e venda de mercadoras Quando se trabalha com compra e venda de mercadoras, tem-se a possbldade de obtenção de lucro prejuízo, que pode ser sobre o custo sobre a venda. Para sso é necessáro saber prmero o que é preço de custo de uma mercadora. O preço de custo de uma mercadora compreende o preço de aqusção, acrescdo das despesas dretas sobre a compra e a venda e, anda, das despesas de admnstração, trbutáras (PIS, OFINS,IMS e tras) e de funconamento da empresa. Quando se fala em taxa de lucro de prejuízo, medatamente se pensa em taxa de lucro de prejuízo sobre o preço de custo; pos é este que representa o captal empregado pelo comercante na compra das mercadoras a serem venddas. Na prátca, entretanto, é mas cômodo ao comercante calcular a taxa de lucro de prejuízo sobre o preço de venda; pos esse preço, presente nas tabelas de uso comercal e também nas etquetas das mercadoras, é de mas fácl acesso do que o preço de custo. Além dsso, o conhecmento da taxa de lucro sobre o preço de venda possblta a determnação da taxa de lucro sobre o preço de custo, uma vez que exste uma relação entre as duas taxas. ONEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE APÍTULO Abatmentos Abatmentos e aumentos sucessvos 1.1. endas com lucro Ao se vender uma mercadora pode-se ocasonar um lucro, sobre o preço de custo sobre o preço de venda da mesma, lembrando-se que ao se comprar e ao se vender uma mercadora, vale a le da oferta e da demanda. A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 4

5 1.2. endas com lucro sobre o preço de custo Desenvolvendo a fórmula: = preço de venda = preço de custo L = lucro = taxa untára de lucro = + L onde L = logo, = + - = Exemplo: Uma loja de departamentos coloca à venda uma determnada mercadora com um lucro de 13% sobre o preço de custo da mesma. Determne o preço de venda sabendo-se que esta mercadora cust R$230,00. = 13% = 0,13 = 230 =? omo, então 0, ,13 x 230 = ,90 = , = = 259,90 Resposta. O preço de venda é de R$ 259, ,13 x 230 = ,90 = 259,90 anda, % x 113% x = 230(113) : 100 x = 259,90 A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 5

6 1.3. endas com lucro sobre o preço de venda Desenvolvendo a fórmula : = + L onde L = logo, = + - = Exemplo. O dono de uma loja de eletrodoméstcos compr uma mercadora por R$689,00 e quer vendê-la com um lucro de 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser o valor de venda dessa mercadora? = 25% = 0,25 = 689 =? 689 0,25 0,25 = ,25 - = (0,25-1) = ,75 = ( - 1) 0,75 = = 918,67 0,75 Resposta. O valor de venda dessa mercadora deverá ser de R$918, endas com prejuízo Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadora pode ser vendda com prejuízo sobre o preço de custo de venda endas com prejuízo sobre o preço de custo. Desenvolvendo a fórmula: = preço de venda = preço de custo P = prejuízo A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 6

7 = taxa untára de prejuízo = - P onde P = logo, = - - = - Exemplo. Um aparelho de jantar fo venddo com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo-se que esse aparelho cust R$300,00, qual fo o preço de venda? = 40%= 0,40 = 300 =? omo a fórmula de prejuízo sobre o preço de custo é, temos: 0, ,40 x 300 = = = = 180 Resposta. O preço de venda desse objeto fo de R$180, % - 40% = 60% então, se 100% % x x = 300 x 60 : 100 x = endas com prejuízo sobre o preço de vendas Desenvolvendo a fórmula: = - P onde P = então, = - = - Exemplo: A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 7

8 Uma mercadora cujo custo é de R$96.000,00 fo vendda com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. alcule o preço de venda dessa mercadora. = 20% = 0,20 = =? ,2-0,2 = ,2 - = (0,2 + 1) = (-1) (1,2) = = ,2 Resposta. O preço de venda da mercadora é de R$80.000, Abatmentos e aumentos sucessvos Na compra e venda de mercadoras tra-se uma fatura das mesmas. Essa fatura é a relação que acompanha a remessa de mercadoras expeddas, com a desgnação de quantdades, marcas, pesos, valores untáros e totas de cada mercadora, percentuas de descontos, mpostos, etc. Mutas vezes são realzados descontos acréscmos sucessvos nessas faturas, decorrentes de ofertas, pagamentos à vsta, etc.(para descontos) e de multas, mpostos, etc.(para acréscmos) Abatmentos sucessvos Uma empresa dstrbudora pode oferecer abatmentos sucessvos sobre o valor da fatura. Para calcularmos o valor líqudo da fatura podemos calcular os líqudos parcas correspondentes aos abatmentos sucessvos, respetando a ordem das taxas, até obtermos o líqudo fnal, aplcarmos a fórmula desenvolvda abaxo. Desenvolvmento da fórmula do "alor Líqudo". Determnemos que: a = abatmento A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 8

9 P = valor ncal da fatura = taxa de abatmento L = valor líqudo da fatura Se a 1 = P x 1 logo, L 1 = P - a 1 consequentemente, a 2 = L 1 x 2 e L 2 = L 1 - a 2 Substtundo, temos: L 2 = L 1 - L 1 x 2 L 2 = L 1 (1-2 ) Generalzando, temos: L k =L k - 1 (1 - k ) Se atrburmos a k os valores 1,2,3,4,...,k, temos: L 1 = L 0 (1-1 ) L 2 = L 1 (1-2 ) L 3 = L 2 (1-3 ) L 4 = L 3 (1-4 ) L k = L k - 1 (1 - k ) Multplcando as gualdades membro a membro, temos: L k = L 0 (1-1 ) ( 1-2 ) ( 1-3 ) (1-4 )... (1 - k ) Fazendo L 0 = P e L k = L, temos: L = P (! - 1 ) ( 1-2 )... (1 - k ) Onde: 1, 2,..., k são as taxas sucessvas L = valor líqudo da fatura, seja, depos dos descontos P = valor ncal da fatura Exemplo. A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 9

10 Uma fatura de R$8.000,00 sofre dos abatmentos sucessvos de 10% e 8%. Qual o valor líqudo a pagar? 1 = 10% = 0,1 2 = 8% = 0,08 P = L =? a 1 = P x 1 = x 0,1 = 800 logo, L 1 = = a 2 = L 1 x 2 = x 0,08 = 576 logo, L 2 = = Se fzermos pela fórmula, temos: L = (1-0,1) (1-0,08) L = (0,9) (0,92) L = Resposta. O valor líqudo a pagar é de R$6.624, Aumentos sucessvos Para aumentos sucessvos temos que: No lugar do valor líqudo (L) teremos o montante valor futuro (F) e como são aumentos, remos adconar as taxas ao nvés de subtraí-las como no desconto. Logo, nossa fórmula de aumentos sucessvos será: F = P (1 + 1 ) (1 + 2 )... ( 1 + k ) Exemplo. Sobre um artgo de R$2.500,00 ncde um mposto federal de 7% e um estadual de 3,5%. Determne o preço fnal desse artgo. 1 = 7% = 0,07 2 = 3,5% = 0,035 F = (1 + 0,07) ( 1+ 0,035) F = (1,07) (1,035) F = 2.768,62 A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 10

11 3. Exercícos Operações sobre mercadoras 1 Uma televsão fo revendda por R$859,00, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto hava custado? 2 Quanto por cento sobre o custo se perdeu, ao se vender por R$238,00 um objeto que cust R$280,00? 3 endendo um móvel por R$ ,00 tve um prejuízo de 17% sobre o preço de venda. Por quanto compre? 4 alcule o preço de venda de um objeto que compre por R$540,00 tendo perddo 20% do preço de venda? 5 end uma loja por R$32.000,00. Se tvesse venddo por mas R$1.999,00, meu lucro sera de 40% sobre o preço da nova venda. Qual fo o meu lucro? 6 erta mercadora fo vendda por R$3.232,00 com um prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quanto devera ser vendda, para dar lucro de 12% sobre o preço de custo? Abatmentos e aumentos sucessvos 1 alcule o líqudo de uma duplcata no valor de R$8.600,00 que sofreu a redução de 15% sobre este valor e, em seguda, tro abatmento de 8% sobre o líqudo da prmera redução. 2 Uma pessoa compr um automóvel de R$15.800,00 ( preço de tabela ) com desconto de 2,5%. No da segunte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acma do preço de tabela. Qual fo a taxa percentual de lucro total dessa pessoa? 3 Qual será o valor líqudo de uma fatura de R$36.000,00 que recebe descontos sucessvos de 2%, 5% e 4%? A p o s t l a d e M a t e m á t c a F n a n c e r a - U F R R J Págna 11