ESTUDO DE MODELOS PARA AJUSTE E PREVISÃO DE UMA SÉRIE TEMPORAL

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1 Revsta Matz Onlne ESTUDO DE MODELOS PARA AJUSTE E PREVISÃO DE UMA SÉRIE TEMPORAL Valera Ap. Martns Ferrera Vvane Carla Fortulan Valéra Aparecda Martns. Mestre em Cêncas pela Unversdade de São Paulo- USP. Professora da Faculdade de Tecnologa de Sertãoznho. Professora de EAD no COC Rberão Preto-SP. 2 Vvane Carla. Mestre em Cêncas pela Unversdade de São Paulo-USP. Professora de Ensno Superor no IMMES-Matão. Professora da Faculdade de Tecnologa de Jabotcal-SP. RESUMO É comum, no nosso da a da, deparar-se com gráfcos apresentando, por exemplo, a evolução da taxa de desemprego nos últmos dos anos, índce de nflação nos últmos ses meses, a venda de determnado produto no últmo trmestre, etc. A análse de nformações como estas é de grande mportânca no auxílo a planejamentos e tomadas de decsões. Quando um conjunto de observações numércas são regstradas durante períodos regulares ao longo do tempo, esse conjunto de dados é denomnado de sére temporal. O presente estudo tem por objetvo estudar modelos aproprados para descrever uma sére temporal, dentfcando os componentes que podem ser encontrados na sére e fazer prevsão sobre valores futuros da sére. Para esse estudo, fo feto uso de pesqusas bblográfcas e exemplos para mostrar a efcáca das técncas. Palavras Chave: Gráfcos. Modelo. Sére Temporal INTRODUÇÃO: Modelos de Séres Temporas Séres temporas é um conjunto de observações sobre determnada varável tomada em períodos regulares, ou seja, ordenada no tempo. Como exemplos de séres temporas, tem-se: o preço dáro de fechamento de determnada ação na bolsa de valores; gráfcos de controles produtvos; valores mensas do IPC. As séres temporas não se restrngem somente a dados econômcos ou relaconados a negócos. Pode-se estudar, ou melhor, analsar as matrículas dos alunos de uma determnada escola ao longo dos últmos anos, o índce de evasão escolar de uma regão ao longo da últma década; a taxa de desemprego de determnada regão no REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em:

2 Revsta Matz Onlne últmo semestre, etc. O prncpal objetvo de estudar uma sere temporal é dentfcar fatores não aleatóros, crados por um sstema causal, que nfluencam a sére. A dentfcação destes fatores permte fazer prevsões sobre valores futuros da sére, auxlando a tomada de decsões. Os prncpas fatores componentes de séres temporas são: A componente tendencal Esta componente mostra o comportamento da varável retratada na sére em longo prazo. Exstem três objetvos báscos para dentfcação de tendênca em uma sére temporal: avalar o seu comportamento para se fazer prevsões, removê-la da sére para facltar a vsualzação das outras componentes ou observar o comportamento crescente ou decrescente dessa tendênca ao longo do prazo. A tendênca pode ser obtda de três modos: utlzando um modelo de regressão, através de médas móves ou de ajuste exponencal. A componente cíclca Sempre se repete por certo período, tendo sempre uma duração nos valores da varável superor a um ano. As varações cíclcas são estudadas em resultados de varações econômcas com períodos de crescmento e decrescmento ou fenômenos clmátcos com perodcdade superor a um ano. A componente sazonal Tem duração nferor a um ano, mas se repete todos os anos. Normalmente é verfcada nas estações do ano, ferados e festas como natal, páscoa, da das mães, etc. Os fatores sazonas são regstrados em típcas subdas e descdas que ocorrem durante o ano. A componente rregular As flutuações nesperadas em uma sére temporal, que são resultados nexplcáves como fenômenos naturas, decsões ntempestvas de governos, etc., são classfcadas como varações rregulares.. Modelos Clásscos De Séres Temporas REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 2

3 Revsta Matz Onlne Para se atngr os objetvos na análse de uma sére temporal deve ser utlzado modelos matemátcos que ncluam os fatores que compõe a sére temporal. fundamental é o Modelo Clássco Adtvo ou Multplcatvo. onde: A fórmula do modelo clássco adtvo é dada por: Y são os valores da sére; T são os valores da componente tendencal; C são os valores da componente cíclca; S são os valores da componente sazonal e, I são os valores da componente rregular. =,2,...,n Y T C S I () O modelo Se os dados forem regstrados anualmente, o modelo restrnge-se a: Y T C I (2) A componente sazonal não aparece no modelo, pos não é possível observar as flutuações que se repetem sstematcamente dentro dos anos. O modelo clássco multplcatvo de séres temporas estabelece que qualquer valor observado em uma sére temporal é o produto desses fatores componentes, desta forma, o modelo multplcatvo pode ser expresso como: onde: Y são os valores da sére; T são os valores da componente tendencal; C são os valores da componente cíclca; S são os valores da componente sazonal e, I são os valores da componente rregular. Y T C S I (3) =,2,...,n REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 3

4 Revsta Matz Onlne Como no caso do modelo adtvo, se os dados forem regstrados anualmente, o modelo fca na forma: Y T C I (4) Nas prevsões, tanto no modelo adtvo como no multplcatvo, não se nclur a componente rregular no modelo, pos ela é resultado de fatos aleatóros, teorcamente mprevsíves. É mportante observar que, mesmo que o modelo clássco seja aproprado para analsar uma sére temporal, nem sempre todos os fatores componentes ctados estarão apresentados na sére, ou seja, a sére pode apresentar todos os fatores, somente um deles ou qualquer combnação possível. Com a decomposção da sére dentfca-se quas componentes estão atuando e com sso obtêm-se equações para realzar prevsões para valores futuros da sére. O prmero passo em uma análse de séres temporas é fazer o gráfco da sére e observar suas tendêncas ao longo do tempo. Se houver uma movmentação crescente ou decrescente da sére em longo prazo, sto é, uma tendênca, pode-se utlzar o Método de Mínmos Quadrados para ajuste e prevsão da tendênca. Se não houver uma tendênca de longo prazo, pode ser aplcado o método de médas móves ou o método de ajuste exponencal para ajustar a sére e assm, ter uma mpressão geral de longo prazo. 2 AJUSTAMENTO E PREVISÃO DA TENDÊNCIA Em uma sére temporal, o fator componente mas frequentemente estudado é a tendênca. Com a dentfcação da tendênca em uma sére temporal é possível: fazer prevsões; removê-la da sére para facltar a vsualzação dos outros componentes e dentfcar o nível da sére. REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 4

5 Revsta Matz Onlne Como dto anterormente, a tendênca pode ser obtda de três maneras: através de um modelo de regressão (modelo lnear), através de médas móves ou através de ajuste exponencal. 2. Modelo Lnear O ajustamento da tendênca, através de um Modelo de Regressão Lnear, é obtdo pelo Método de Mínmos Quadrados. A reta de tendênca é dada por: onde: X Y valor da varável estudada na sére temporal,2,..., n Y 0 X (5) valor da varável tempo (ano, mês, trmestre, semestre, etc.) Os coefcentes angular e lnear da reta são obtdos, respectvamente, por: n xy ( x)( y) (6) 2 2 n( x ) ( x) 0 y x sendo _ y e _ x as médas artmétcas das varáves Y e X. (7) Um valor postvo do coefcente angular da reta ndca tendênca crescente, se for negatvo ndca tendênca decrescente. valores Para facltar os cálculos no ajuste da tendênca por mínmos quadrados, codfca-se os X,,2,..., n por números nteros postvos,2,3,.., de modo que a n ésma observação da sére tenha n como códgo. Uma vez obtda a equação Y X, os valores para X podem ser substtuídos 0 para prever valores para Y. REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 5

6 Revsta Matz Onlne 2.2 Ajuste De Tendênca Por Médas Móves E Ajuste Exponencal Quando o gráfco de uma sére temporal é construído e não consegumos observar uma tendênca crescente ou decrescente em longo prazo, devdo à quantdade de varação dos dados, o método de Médas Móves ou de Ajuste Exponencal pode ser usado para obter o nível da sére. Os dos métodos são descrtos a segur Médas Móves O método de Médas Móves consste no cálculo sucessvo de médas artmétcas, calculadas ao longo do tempo, onde cada méda é calculada para L períodos da sére e o resultado é colocado exatamente no centro dos períodos. Progressvamente, va sendo acrescentado um período segunte e desprezando o prmero da méda medatamente anteror, assm, novas médas rão sendo calculadas, e estas vão se movendo até o fm da sére. Segundo Levne (998), para qualquer sére composta de n anos, uma méda móvel de extensão L pode ser calculada no ano da segunte manera: onde: L um número ímpar de anos L 2 L, 2 MM L (8) L L / 2 Y t / 2 t L L 2,..., n 2 Neste método, nenhuma méda móvel pode ser obtda para os prmeros períodos ou para os últmos L 2 períodos da sére. L 2 De acordo com Levne (998) quanto maor o número de períodos agrupados pela méda móvel mas alsada fca a lnha de tendênca. No entanto, quanto maor o número de períodos, menor o número de valores de médas móves que podem ser calculados e colocados no gráfco. Portanto, não é recomendável seleconar médas móves com períodos de duração REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 6

7 Revsta Matz Onlne maor do que 7 anos, porque estaram faltando mutos pontos de dados calculados no níco e no fnal da sére, prejudcando a análse geral da sére ntera Ajuste Exponencal O ajuste exponencal é outro método para se obter a tendênca de uma sére temporal. Este método fornece uma méda móvel exponencalmente ponderada ao longo da sére temporal. Cada prevsão ou valor ajustado depende de todos os valores prevamente observados. Os pesos desgnados para os valores observados decrescem ao longo do tempo, de manera que, o valor observado mas recentemente recebe o maor peso, o valor anteror recebe o segundo maor peso e assm por dante, com o valor observado ncalmente recebendo o menor peso. Com este procedmento percebemos uma vantagem em relação ao método de médas móves: todos os valores prevamente observados ao período sob análse são utlzados no cálculo do ajuste. O ajuste exponencal em uma sére temporal para um período de tempo qualquer, requer o uso da fórmula: onde: E E Y W E E W Y (9) valor da sére exponencalmente ajustada no período valor observado da sére temporal no período valor da sére exponencalmente ajustada no período W pesoou coefcent e de ajuste (0 W ) A escolha do peso ou coefcente de ajuste é subjetva, porém pode-se estabelecer a segunte regra para a escolha: se o nteresse for somente no ajuste da sére, ou seja, obter a tendênca, dever ser utlzado um valor baxo para W (próxmo de 0). se o objetvo for a realzação da prevsão é recomendável utlzar um valor alto para W (próxmo de ). REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 7

8 Revsta Matz Onlne A realzação da prevsão no ajuste exponencal é feta tomando o valor ajustado no período de tempo atual (período ) como estmatva do valor observado da sére temporal no período, ou seja, Y E (0) A obtenção de prevsões de curto prazo (um período no futuro), através do ajuste exponencal, é outra vantagem evdente sobre o método de médas móves. 3 APLICAÇÕES Para a aplcação dos métodos desenvolvdos escolheu-se duas séres para ajuste. Estas séres foram retradas do lvro Estatístca: Teora e Aplcações usando Mcrosoft Excel em Português dos autores LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L.; STEPHAN, D. Os ajustes das séres foram obtdos utlzando o Mcrosoft Excel. 3. Ajuste e Prevsão da Tendênca por Mínmos Quadrados Os dados abaxo representam as vendas anuas líqudas (em blhões de dólares) da Upjohn Co., no período de 970 a 992. Tabela : Vendas líqudas da Upjohn Co. ( ) Ano Vendas Ano Vendas Ano Vendas Ano Vendas 970 0,4 976,0 982, ,7 97 0,4 977, 983, , ,5 978,3 984, , ,7 979, ,0 99 3, ,8 980, , , ,9 98, ,5 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 980, 989, 993. REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 8

9 Revsta Matz Onlne Neste exemplo, a varável Y representa as vendas anuas líqudas da companha e a varável X representa o tempo, com n = 23 períodos. Para facltar a nterpretação dos resultados os valores desta varável foram codfcados. O gráfco 0 apresenta o comportamento da sére ao longo do 23 anos. Gráfco : Vendas líqudas ($ blhões de dólares) da Upjohn Co. Pelo gráfco observa-se que exste uma relação lnear crescente entre o tempo e as vendas líqudas anuas, ou seja, ao longo dos 23 anos houve um aumento das vendas líqudas anuas da companha. Prmeramente será utlzado o método de mínmos quadrados para ajustar o modelo lnear. A equação de mínmos quadrados, para esta sére, é dada por: O valor 0 Y 0,263 0, 388 () X = 0,263 é o valor de tendênca ajustado, refletndo as vendas líqudas (em blhões de dólares) da companha Upjohn Co. no ano de 970. A nclnação = 0,388 ndca que as vendas líqudas vêm crescendo a uma taxa de 0,388 blhões de dólares por ano. Se houver nteresse em projetar a tendênca das vendas líqudas da companha para o ano de 993 basta substtur, na equação (), o valor X = 24. Com sto, o valor da prevsão é: Y 0,263 0,388(24) 3,5475 blhões de dólares REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 9

10 Revsta Matz Onlne Gráfco 2: Equação de tendênca lnear para os dados de vendas líqudas ($ blhões) da Upjohn Co. e valor prevsto para o ano de Ajuste e Prevsão Da Tendênca Por Médas Móves E Ajuste Exponencal Para aplcação destes dos métodos utlzou-se o conjunto de dados a segur que representa os lucros anuas (em blhões de dólares), por lote de ações, da TRW Inc., durante o período de 970 a 992. Tabela 2: Lucro por conta na TRW Inc. ( ) Ano Lucro Ano Lucro Ano Lucro Ano Lucro 970 2, , , ,23 97, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 Fonte: Moody s Handbook of Common Stocks, 980, 989, 993. REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 0

11 Lucro por cota Revsta Matz Onlne 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2,5 0, Ano Gráfco 3: Lucros anuas, por lote de ações, da TRW Inc. Analsando o gráfco 3 não é possível observar uma tendênca crescente ou decrescente ao longo dos anos devdo à quantdade de varações. Portanto, não é aproprado ajustar uma equação lnear aos dados. Para obter o nível da sére, ou seja, em que patamar estão os lucros anuas da TRW Inc., fo utlzado o método de Médas Móves e o método de Ajuste Exponencal Médas Móves Para ajustar esta sére por médas móves fo utlzado períodos de 3 e 7 anos, respectvamente. A Tabela 3 apresenta o valor das médas móves para os períodos consderados. Tabela 3: Médas móves (MM) de 3 e 7 anos, dos lucros anuas da TRW Inc. Ano Lucro MM3 MM7 Ano Lucro MM3 MM , ,77 4, ,58 97,85 2, ,42 5,35 5, ,22 2, ,86 5,8 5, ,95 2, , ,5 6, , ,76 2,93 3, ,60 6,08 5, ,08 3, , ,49 5, , ,02 3, , ,53 5, , ,66 5, , ,3 3, , REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em:

12 Lucro por cota Revsta Matz Onlne 985 3,79 5,9 5, ,39 3, ,25 5, , ,30 2, ,0 5, , , ,23 4, ,82857 Observa-se na Tabela 3 que ao calcular as médas móves de 3 anos não obteve-se resultados nem para o prmero nem para o últmo valor observado da sére temporal. Também, quando calculou-se médas móves de 7 anos, não foram encontrados resultados para os três prmeros valores observados e para os três últmos valores observados. Isto ocorre porque a prmera méda móvel de 7 anos é obtda através dos lucros da empresa durante os anos de 970 e 976, e está centralzada no ano de 973 e a últma méda móvel é obtda pelos lucros da empresa durante os anos de 986 e 992, e está centralzada em , ,5 6 5,5 5 4,5 3,5 4 2,5 3 2,5 0, Ano Lucro por cota MM3 MM7 Gráfco 4: Médas móves de 3 e 7 anos, para os lucros anuas, por lote de ações, da TRW Inc. Analsando o gráfco 4 pode-se observar que a lnha de tendênca fca mas alsada com a méda móvel de 7 períodos, representando melhor, a longo prazo, o comportamento da sére. Consderando 7 períodos verfca-se que o lucro por cota oscla em torno de 4 blhões de dólares. A tendênca obtda pelo ajuste de médas móves de 3 períodos se aproxma mas do comportamento dos dados orgnas. REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 2

13 Lucro por cota Revsta Matz Onlne Ajuste Exponencal Para o ajuste exponencal da sére utlzou-se o coefcente de ajuste w = 0,25 e 0,75. Tabela 4: Ajuste exponencal (AE) para w = 0,25 e 0,75, dos lucros anuas da TRW Ano Lucro AE(W=0,25) AE(W=0,75) Ano Lucro AE(W=0,25) AE(W=0,75) 970 2,39 2,39 2, ,77 5, , ,85 2,255, ,42 5, , ,22 2, , ,86 5, , ,95 2, , ,5 5, , ,76 2, , ,60 5, , ,08 2, , ,49 5, , ,02 2, , ,53 5, , ,66 3, , ,3 4, , ,79 3, , ,39 4, , ,25 4, , ,30 3, , ,0 4, , ,09 3, , ,23 5, , ,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2,5 0, Ano Lucro por cota AE(W=0,25) AE(W=0,75) Gráfco 5: Ajuste Exponencal para w = 0,25 e 0,75, para os lucros anuas, por lote de ações, da TRW Inc. REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 3

14 Revsta Matz Onlne Analsando os gráfcos 4 e 5, é possível verfcar semelhanças entre a sére de 3 anos de médas móves e a sére ajustada exponencalmente com peso w = 0,75. Também é verfcado que a sére de médas móves de 7 anos corresponde á sére exponencalmente ajustada com peso w = 0,25. Portanto, a escolha do coefcente de ajuste depende do objetvo do estudo. Se o nteresse for somente no ajustamento da sére, elmnando as varações cíclcas e rregulares, deve-se escolher um valor baxo para w. Agora, se o objetvo for prever, e necessáro escolher um valor alto para w. No prmero caso, as tendêncas em longo prazo da sére fcam mas aparentes e no últmo, dreconamentos futuros de curto prazo podem ser prevstos de manera mas adequada. O cálculo da prevsão no ajuste exponencal é feto tomando o valor ajustado no período de tempo atual (período ) como estmatva do valor observado da sére temporal no período, ou seja, Y E Portanto, a prevsão do lucro da TRW Inc. para o ano de 993, consderando w = 0,75, é de 2,98 blhões de dólares. A possbldade de se prever o valor futuro no período + é uma vantagem em relação ao método de médas móves. CONCLUSÃO Este estudo mostrou a grande mportânca de se analsar uma sére temporal em duas séres econômcas, com o objetvo prncpal de fazer prevsões sobre valores futuros. Observou-se que a componente tendênca, frequentemente encontrada e estudada numa sére temporal, pode ser ajustada pelos métodos de mínmos quadrados, médas móves e ajuste exponencal. Quando se verfca, através da análse gráfca, uma componente crescente ou decrescente, é vantajoso utlzar o método de mínmos quadrados para ajuste da equação lnear. Com sto pode-se fazer prevsão para valores futuros da sére. Por outro lado, quando a sére apresenta mutas varações, é aconselhável utlzar o método das médas móves ou ajuste exponencal para alsar a sére. A vantagem do ajuste REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 4

15 Revsta Matz Onlne exponencal é a possbldade de se utlzar o valor ajustado no tempo atual como estmatva do valor observado da sére no tempo +. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L.; STEPHAN, D. Estatístca: Teora e Aplcações usando Mcrosoft Excel em Português. São Paulo: LTC, 998. MORETTIN, P. A.; TOLOI, C. M. Análse de Séres Temporas. Edtora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, SPIEGEL, M. R. Estatístca. Pearson Educaton do Brasl, São Paulo, 994. REVISTA MATIZ ONLINE Matão (SP): Insttuto Matonense Muncpal de Ensno Superor. Programa de dvulgação centífca do Immes, 202. Dsponível em: 5