Software. Guia do professor. Como comprar sua moto. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia. Ministério da Educação

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1 números e funções Gua do professor Software Como comprar sua moto Objetvos da undade 1. Aplcar o conceto de juros compostos; 2. Introduzr o conceto de empréstmo sob juros; 3. Mostrar aplcações de progressão geométrca em matemátca fnancera. requstos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ou Frefox 3.0+), Adobe Flash Player 9.0+ e máquna Java restrções de acessbldade Este software não possu recurso natvo de alto contraste nem possblta navegação plena por teclado. lcença Esta obra está lcencada sob uma lcença Creatve Commons Secretara de Educação a Dstânca Mnstéro da Cênca e Tecnologa Mnstéro da Educação

2 Como comprar sua moto Gua do professor Snopse Neste software, o estudante smulará a compra de uma moto. Para sso, prmeramente será precso guardar dnhero na poupança e, depos, esse valor será dado como entrada na compra da moto. O restante do preço será fnancado. Para facltar os cálculos dessa aqusção, serão necessáros alguns concetos de Progressão Geométrca. Conteúdos Matemátca fnancera; Juros; Progressão geométrca. Objetvos 1. Aplcar o conceto de juros compostos; 2. Introduzr o conceto de empréstmo sob juros; 3. Mostrar aplcações de progressão geométrca em matemátca fnancera. Duração Uma aula dupla. Recomendação de uso Sugermos que a atvdade seja feta em duplas e que o professor mostre alguma propaganda de venda fnancada de carro ou moto para motvar o níco da atvdade. Materal relaconado Vídeo: Hugunho e Zeznho, E agora José?, O sonho dourado, Juros dvddos dívda crescente.

3 Introdução longo de algum período. Na outra atvdade, o jovem va abater sstematcamente uma dívda assumda para com sua avó, pagando-lhe os dvdendos que ela tera recebdo caso tvesse dexado o dnhero rendendo no banco ao nvés de tê-lo emprestado ao neto. Alguém precsa de dnhero hoje e promete pagá-lo daqu a algum tempo. Outra pessoa tem dnhero hoje e pode emprestá-lo, contanto que receba alguma remuneração, chamada de juro. O prncpal objetvo da matemátca fnancera é mostrar o custo ou o ganho envolvdo nesse tpo de transação. Em crcunstâncas assm, ambos os lados do acordo devem avalar as vantagens e desvantagens de se emprestar ou se tomar emprestado. Um dos objetvos do software é ntroduzr o conceto de juro ncdente ao longo de uma sére de pagamentos. Esse é um conceto mas elaborado do que o acúmulo de um montante por ncdênca de juros compostos. tela 1 Mapa do software. Comentáros ncas Antes de começar a dscutr as atvdades propostas no software, vejamos alguns concetos báscos que serão útes à dante. O software Taxa de Juro é a razão entre o Juro e o Captal Incal. Defnção Estrutura do software O software é composto de duas atvdades. Na prmera, o nteressado deposta regularmente um determnado valor em uma nsttução fnan cera, que, por sua vez, paga-lhe os dvdendos sobre o montante acumulado ao Por exemplo: certo alguém (devedor) pede a outra pessoa (ao credor) R$ 500 sob a promessa de que va pagar-lhe R$ 600 ao fm de três meses. Este é um acordo. O juro de R$ 100 fo aceto pelo devedor, que terá de repor os R$ 500 e mas R$ 100; e pelo credor, que va fcar sem os R$ 500 durante o prazo estabelecdo. Nesse exemplo, a taxa de juro fo de 100/500 = 20%. Mas a vda não é smples. Por que seram os empréstmos? Os chamados juros compostos são a ncdênca da taxa de juros sobre algum montante Como comprar sua moto Gua do professor 2 / 8

4 devdo, mesmo que este montante já acumule juros de períodos anterores. Numa transação fnancera, tudo sto deve ser acordado prevamente, sto é, antes de frmarem o empréstmo, o devedor e o credor devem estabelecer e acetar as regras por meo das quas o prmero rá remunerar o segundo com determnada taxa e forma de ncdênca de juros. Consderemos o empréstmo de um captal ncal P, sob a promessa de juros à taxa de ao mês, e renovado automatcamente a cada mês. Enquanto o devedor não pagar, o montante M va crescer na forma de uma p. g.. Este é um acordo subentenddo! M = P (1 + ) n em que n é o número de meses da renovação automátca sem abatmentos durante o período. Em quantos meses uma dívda acumulada sob taxa de juros de 10% ao ano dobra seu valor? Para responder essa pergunta, calculamos n = log(2) log(1,1) 7,27 sto é, no vencmento do sétmo mês, a dívda quase dobra, ou seja (1,1) 7 1,95 95% de juros. No vencmento do otavo mês, a dívda passa do dobro: (1,1) 8 2, % de juros. As contas são fáces. O dfícl é tomar decsões. O que é melhor, R$ 200 agora ou ao fnal do mês? Na maora das stuações fnanceras, o dnhero agora é melhor, pos você pode ter uma oportundade ou necessdade antes do fnal do mês. Dessa forma, a taxa de juros pode medr rscos e oportundades. Para comparar valores de manera objetva e raconal, deve-se fazê-lo em um mesmo momento. Dzemos que o dnhero não tem o mesmo valor durante o tempo por causa das possbldades de nvestr (e fazer ganhos) ou evtar prejuízos (e abater dívdas). Por exemplo: certo empresáro tem dnhero aplcado em um banco com rendmento de 4% ao mês. Ele pretende comprar uma máquna para a sua ndústra, ao custo total de R$ 300. Então o vendedor do equpamento lhe oferece três possbldades: 1. Um desconto de 5% se a máquna for paga em um mês. 2. Pagamento de 3 parcelas de R$ 100 começando medatamente, sto é, uma entrada mas dos pagamentos. 3. Pagamento de R$ 300 daqu a dos meses, que é o prazo de entrega. Tudo garantdo (dealzado). Qual é a melhor opção? É mportante organzar as nformações em uma tabela, conforme a segur: Tempo em meses 3 parcelas guas Desconto de 5% Pagamento na entrada Sem dúvda que essa tabela auxla a tomada de decsão. Mas, além dela, precsaremos encontrar relações que expressem os valores envolvdos em função do tempo. Para sso, vamos consderar apenas que o dnhero pode ser valorzado a 4% ao mês se se mantver a aplcação. Desta forma, daqu a um mês, os R$ 100 seram R$100 (1 + ) = R$96,15 Aplcação 0 R$ 100,00 R$ 300,00 1 R$ 100,00 R$ 285,00 R$ 312,00 2 R$ 100,00 R$ 300,00 R$ 324,48 tabela 1 Em outra palavras, se aplcarmos os R$ 96,15 hoje a 4% de juros, então teremos (com arredondamento) R$ 100 daqu a um mês. Como comprar sua moto Gua do professor 3 / 8

5 Defnção O valor atual (tempo zero) A de uma parcela P após n períodos de tempo, assumndo um taxa de juros, é: A = P (1 + ) n Voltando ao exemplo: então, o valor equvalente atual dos pagamentos em parcelas sera: A 1 = 100 (1,04) (1,04) (1,04) 2 = 288,61 A segunda opção em valores atuas sera: A 2 = 285 (1,04) = 274,04 E a tercera opção em valores atuas sera: A 3 = 300 (1,04) 2 = 277,37 Com estes valores atuas, o empresáro pode fazer a escolha mas raconal, a saber, a segunda opção. Observe que nem sempre o empresáro tem o dnhero necessáro dsponível. Nesse caso, é precso avalar se o ganho em se adqurr a máquna antecpadamente compensa o juro pago. Ou sera melhor acumular o dnhero para poder comprar a máquna? Séres temporas unformes Ambas as atvdades do software têm uma sequênca de pagamentos fetos para acumular um valor ou para abater (dmnur) uma dívda. Vamos apresentar o conceto de Fluxo smples de caxa, conforme lustra a fgura a segur: pv Há nper undades de tempo (mês, bmestre, ano etc.) em que um pagamento pmt de mesmo valor é feto (ou depostado). O valor presente pv é a soma de todos os valores atualzados consderando alguma taxa de juros. O valor futuro fv é a soma de todos os valores acumulando os juros. Isto é, pv = pmt (1 + ) + pmt (1 + ) 2 + pmt (1 + ) pmt (1 + ) nper fv = pmt + pmt(1 + )+pmt(1 + ) pmt(1 + ) (nper 1) Ambas as expressões são somas de p. g. que podem ser smplfcadas para pv = pmt [1 (1 + ) nper] fv = pmt nper fg. 1 Representação de um fluxo de caxa [ ] (1 + ) nper 1 fv pmt Como comprar sua moto Gua do professor 4 / 8

6 Desta forma, podemos computar o valor do dnhero em um determnado momento, seja no presente (se for uma compra parcelada), seja no futuro (se for um nvestmento regular). Para fazer uma compra parcelada, supondo-se haver um desconto tal que o valor da compra à vsta seja menor do que pv, então vale a pena pagar à vsta, obtendo o desconto. Caso contráro, não! Analsemos agora outro exemplo: certa rede de lojas oferece uma geladera por R$ 1400 em 10 prestações de R$ 140. O comprador nsste em pagar à vsta se receber algum desconto. O gerente dz que não há juros, mas ele dá um desconto de 5% se for pago à vsta. Consderando uma taxa de juros de nvestmentos ou rscos de 1% ao mês, perguntamos. O que é melhor? O valor presente pv das prestações é R$ 1325,98. Se for paga à vsta, com o desconto de 5%, a geladera fca por R$ 1330,00. Assm, é melhor pagá-la em prestações! 1 Guardando no banco ATIVIDADE Nessa atvdade, o aluno aprenderá o conceto de nvestmento, entenddo como o acúmulo de captal sufcente para se concretzar alguma aqusção, no caso, a compra de uma moto. A cada novo mês, calcula-se o valor depostado e o valor do juro sobre o valor acumulado até o mês anteror. tela 2 Com sso, o aluno va entender o conceto de valor futuro, sto é, o valor que será acumulado ao longo do fluxo de caxa. Na parte 4, o gráfco da soma fv, conforme demonstrado acma, é apresentado para que o aluno entenda a dea de valor futuro acumulado. Como comprar sua moto Gua do professor 5 / 8

7 2 O fnancamento ATIVIDADE Essa atvdade apresenta um contexto fctíco de que a avó do nteressado esteja dsposta a pagar o que falta para a compra da moto à vsta e o neto se compromete a devolver em parcelas guas até que a dívda seja qutada. No entanto, para ser justo, ele se compromete a pagar o juro que a avó recebera do banco a cada mês sobre o dnhero comprometdo. tela 3 Na parte 5, o aluno pode ver a dferença no acumulado com a ncdênca de juros compostos e o que sera acumulado sem juro algum, como se fosse apenas guardar em um cofre em casa. tela 5 Com essa parte o aluno deve perceber que a dívda dmnu gradatvamente, mesmo com a ncdênca de juro sobre o saldo devedor do mês anteror. Isto va acontecer até o momento que a dívda é completamente qutada. tela 4 Como comprar sua moto Gua do professor 6 / 8

8 Fechamento Sugermos começar o fechamento dessa atvdade aprovetando as questões para o caderno propostas no software: Questão para o caderno Procure na sala algum outro grupo que tenha escolhdo guardar dnhero pelo mesmo período que você, mas em uma quantdade dferente. Feto sso, responda: A. A dferença entre o acumulado em casa e no banco fo a mesma? B. A razão entre o acumulado em casa e no banco fo a mesma? O acumulado em casa é smplesmente o número de prestações vezes o valor de pagamento. Enquanto o valor acumulado no banco é dado pela expressão fv = pmt [ ] (1 + ) nper 1 No entanto, a razão entre o guardado em casa e o depostado no banco não va depender do valor depostado em cada mês, sto é, não depende do valor das parcelas. Bblografa nper pmt pmt [ ] = nper (1 + ) nper (1 + ) 1 nper 1 lma, E; carvalho, PCP; wagner, E; morgado, AC. A Matemátca do Ensno Médo, vol. 2, Coleção do Professor de Matemátca, sbm, 2000 Assm a dferença é pmt [ ] [ (1 + ) (1 + ) nper nper 1 nper ] 1 nper pmt = pmt Fca claro então que a dferença va depender em proporção dreta do valor das parcelas depostadas a cada mês. Assm, ao comparar com outros colegas que tenham depostados valores dferentes, mas com a mesma taxa de juros e pelo mesmo número de parcelas, va obter valores dferentes. Substtundo, por exemplo, nper = 24, = 0,01, e pmt = R$100, obtemos a dferença de R$ 297,35. Como comprar sua moto Gua do professor 7 / 8

9 Fcha técnca Autor Samuel Rocha de Olvera Revsores Língua Portuguesa Dens Barbosa Cacque Projeto gráfco e lustrações técncas Preface Desgn Ilustrador Lucas Ogasawara Unversdade Estadual de Campnas Retor Fernando Ferrera Costa Vce-Retor Edgar Salvador de Decca Pró-Retor de Pós-Graduação Eucldes de Mesquta Neto Matemátca Multmída Coordenador Geral Samuel Rocha de Olvera Coordenador de Software Leonardo Barchello Coordenador de Implementação Matas Costa Insttuto de Matemátca, Estatístca e Computação Centífca (mecc uncamp) Dretor Jayme Vaz Jr. Vce-Dretor Edmundo Capelas de Olvera lcença Esta obrá está lcencada sob uma lcença Creatve Commons Secretara de Educação a Dstânca Mnstéro da Cênca e Tecnologa Mnstéro da Educação