CAPITULO II - FORMULAÇAO MATEMATICA

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1 CAPITULO II - FORMULAÇAO MATEMATICA II.1. HIPOTESES BASICAS A modelagem aqu empregada está baseado nas seguntes hpóteses smplfcadoras : - Regme permanente; - Ausênca de forças de campo; - Ausênca de trabalho de exo; - Sstema adabátco; - Ausênca de forças vscosas; - Gás perfeto; - Ausênca de dfusão molecular; - Equlíbro térmco entre as espéces químcas. Deve-se lembrar que as concentrações das espéces químcas varam ao longo do escoamento, devdo as reações químcas. Portanto, a le de conservação de massa deve ser 9

2 aplcada a cada espéce químca presente no escoamento, levando-se em conta as velocdades fntas das reações. As representações matemátcas desta afrmação e das hpótese serão apresentadas nos tens seguntes. Deve-se atentar que não fo necessáro consderar o escoamento como soentrópco, como ocorre para o caso do escoamento congelado (sem reação químca) ou para o caso de escoamento em equlíbro químco (velocdades de reações nfntas). Consequentemente, o escoamento em não-equlíbro apresenta uma varação de entropa ao longo do campo de escoamento, seja este consderado un ou bdmensonal. II.2. MODELAGEM TERMOQUIMICA Cada espéce químca exstente no escoamento fo consderada como sendo um gás perfeto. Suas propredades termodnâmcas (calor específco, entalpa e entropa) foram determnadas através de polnômos ajustados a dados catalogados pela JANNAF (uma comssão mltar norteamercana). Os coefcentes foram ncalmente 17 calculados por Gordon et McBrde. As tabelas JANNAF são atualzadas perodcamente com base em novos dados expermentas, através do Journal of Physcal and Chemcal Reference Data. Neste trabalho foram usados os coefcentes 17 publcados por Gordon et McBrde, pos estes apresentam anda um bom ajuste quando comparados à tabelas atualzadas 9 publcadas por Chase. 10

3 trabalho : Os seguntes polnômos são usados nos cálculos deste cp R = a + a T + a T + a T + a T (1) o h a a a a a = a + T + T + T + T + 1 RT T (2) o s a a a = a ln T + a T + T + T + T + a (3) R Pode-se ver que as equações (2) e (3) são resultados da ntegração do polnômo da equação (1) conforme a defnção termodnâmca de entalpa e de entropa. T o 0 h = cp dt + h (4),T T o 0 T o dt 0 s = cp + s (5) T,T T 0 Sendo a temperatura de referênca (T ) gual a 298,15 K 0 o e a entropa calculada para 1 atmosfera (sobrescrto ). Neste trabalho, os valores destas propredades foram calculados por undade de massa. Exstem dos grupos de coefcentes para cada espéce consderada, que correspondem a duas faxas de temperatura dstntas. Este procedmento é para se obter uma melhor precsão do ajuste polnomal. As propredades da mstura dos gases foram calculadas através da equação do gás deal, aplcada a cada espéce o 11

4 químca. Assm tem-se, P = RT (6) onde, n R = C R (7) =1 R R = (8) M também tem-se, n cp = C cp (9) f =1 cp = f (10) f cp - R f Com sto, pode-se defnr duas propredades do escoamento, a = RT (11) f f M = V (12) f a f O subescrto "f" sgnfca congelado ("frozen") e ndca que os valores das propredades são relatvas a uma dada composção exstente no ponto de cálculo. As concentrações das espéces químcas usadas no equaconamento e durante o cálculo numérco estão expressas em termos de frações másscas, para facltar a compatbldade dmensonal de cada um dos termos do sstema de equações. Contudo, todos os gráfcos de resultados 12

5 apresentam as concentrações em termos de frações molares, que é uma undade mas adequada para a compreensão físca dos efetos das reações químca sobre o sstema. A fração mássca é defnda como : m C = = (13) m E a fração molar é defnda como : N M X = = C (14) N M onde, n M = X M (15) =1 A constante de equlíbro para a reação de formação de cada espéce químca é necessára para o cálculo da constante de equlíbro de cada uma das reações elementares do mecansmo cnétco. Para sto, prmeramente calcula-se o valor da energa lvre de Gbbs de cada espéce presente. o o o g = h - T s (16) A reação de formação de um mol de uma espéce químca (A ) pode ser escrta de uma forma generalzada : n n A A (17) f f =1 =1 13

6 Então a constante de equlíbro pode ser calculada do segunte modo : o - g ln K = (18) pf RT onde, n o o o g = g - g (19) f f =1 Deve-se lembrar que para elementos químcos em seu estado natural (H, O, F, etc) e em condções padrões 2 2 (298,15 K e 1 atm), a constante de equlíbro de sua reação de formação é nula. Este procedmento resultou no uso de mas um arquvo de dados onde estão lstadas todas as reações de formação das espéces químcas consderadas. Outra manera possível de se calcular a constante de equlíbro para cada espéce químca é realzar prevamente o cálculo descrto acma para váras temperaturas, dentro da faxa de valdade dos dados termodnâmcos. Com a tabela resultante, pode-se ajustar uma função tpo Arrhenus, determnando os seus coefcentes. c T K = b T a exp (20) pf 11 No trabalho de Cohen et Westberg são apresentados ajustes deste tpo para algumas reações químcas à alta temperatura. Apesar deste últmo procedmento ser mas efcente, computaconalmente falando, ele não fo utlzado nesta tese. 14

7 II.3. MODELAGEM DA CINETICA QUIMICA Para uma mstura de n espéces químcas (A ), onde ocorrem smultâneamente m reações, a equação geral que representa todas as reações do mecansmo cnétco é : n K n fj A A (j = 1,...,m) (21) j j =1 K =1 bj Os coefcentes e são os coefcentes j j estequométrcos dos reagentes e dos produtos, respectvamente, e K e K representam as constantes de fj bj velocdade da reação j no sentdo dreto e no sentdo nverso, respectvamente. O sentdo dreto de uma reação é defndo, por convenção, como sendo da esquerda para a dreta. As espéces químcas a esquerda da reação são chamadas reagentes e as posconadas a dreta são os produtos. O mecansmo cnétco é composto de uma sére de reações químcas elementares que descrevem o fenômeno físco de alteração nas concentrações das espéces químcas com o tempo. Um dado mecansmo não é uma complação de todas as reações possíves entre as espéces químcas presentes, na verdade, ele representa as reações mas sgnfcatvas que controlam o fenômeno físco. Portanto, modelos que usam uma nfndade de reações para descrever um dado sstema podem 15

8 dar resultados semelhantes a modelos com poucas, mas mportantes, reações químcas. O uso de reações elementares, ou seja, reações que obedecem a le de ação das massas, tem como objetvo generalzar o equaconamento do termo fonte, que nforma a taxa de aparecmento ou de desaparecmento de uma dada espéce químca. Contudo, para sstema mas complexos, como por exemplo combustão de hdrocarbonetos, poderam ser usadas reações não-elementares desde que o equaconamento do termo fonte fosse modfcado, tornando-o partcular para o sstema estudado. Deve-se observar que uma reação não-elementar representa o efeto global de uma seqüênca de reações elementares, baseado no fato de que duas ou mas destas produzem espéces ntermedáras em quantdades desprezíves, não-detectáves. Neste trabalho as reações químcas são consderadas em não-equlíbro, ou seja, exste uma taxa de aparecmento ou desaparecmento para cada espéce químca presente no escoamento. O termo fonte mede esta taxa para a espéce e é uma função das seguntes grandezas : = (P,,C ) (22) A dedução a segur vale para uma mstura reatva de gases perfetos e um mecansmo cnétco baseado em reações elementares. 16

9 46 A le de ação das massas pode ser enuncada da segunte forma : "A velocdade com a qual uma reaçao elementar ocorre é proporconal ao produto das concentraçoes molares dos reagentes elevados a uma potênca gual ao seu coefcente estequométrco na equaçao da reaçao." Esta le resulta na segunte representação matemátca para a taxa líquda de geração da espéce pela reação j. Deve-se notar que fo levado em conta a reação no sentdo dreto bem como no sentdo nverso. d[a ] n n j j j = K [A ] - K [A ] (23) j fj bj dt =1 =1 onde, j j j = - (24) representa a varação do coefcente estequométrco entre produtos e reagentes para a espéce na reação j. [A ] é a concentração molar (no. de moles/volume) da espéce químca, defnda da segunte forma : N C M M [A ] = = = (25) 17

10 Mudando as undades de d[a ] /dt (no. de moles/volume/tempo) j para uma base de massa, temos : d[a ] = j M (j = 1,...,m) (26) j dt Somando as taxas de geração da espéce para todas as m reações do mecansmo e usando as equação 23 e 25, temos : m n C j n C j = M K - K (27) j fj bj =1 M =1 M j=1 A equação (27) defne o termo fonte ( em massa/volume/tempo) para a espéce químca numa mstura reatva de gases. Como K e K são funções da fj bj temperatura, a equação (22) fo confrmada. As constantes de velocdade da reação K f e K podem ser b calculadas, em função da temperatura, através da le de Arrhenus (1899) modfcada : E RT K = T exp - (28) onde, e E são constantes, sendo E a energa de atvação necessára para a reação ocorrer. As constantes de velocdade para um sentdo da reação são determnadas expermentalmente da forma descrta por 20 Halstead et Jenkns, por exemplo. Nesta classe de 18

11 trabalhos são encontrados os valores das constantes da equação de Arrhenus. Contudo, devdo as extremas dfculdades expermentas, exstem dscrepâncas sgnfcatvas entre resultados de dferentes trabalhos. Assm, como ocorre com os dados termodnâmcos a alta temperatura, as fontes devem ser escolhdas com crtéro. Entretanto, os dados de cnétca químca são bem escassos e não exste um trabalho de coleta e análse contínua como o realzado pela JANNAF. Nesta tese os dados foram provenentes da revsta Journal of Physcal and Chemcal 11 Reference Data (Cohen et Westberg ) e de outras complações de reações a alta temperatura (Frost et Pearson, Gold, Jensen et Kurzus e Sarner ). Foram retradas da lteratura as constantes de velocdade de reação no sentdo dreto (K ). Para o sentdo f nverso a constante de velocdade fo calculada através da segunte relação provenente da defnção de equlíbro químco. K - fj j K bj pj = K RT (29) onde, n = - (30) j j j =1 representa a varação total entre os coefcentes 19

12 estequométrcos (número de moles) dos produtos e dos reagentes na reação j. A constante de equlíbro para a reação j (K ) fo pj calculada a partr das constantes de equlíbro das reações de formação de cada espéce químca (K ) na reação j. pf Assm, n ln K = ln K (31) pj j pf =1 Outro ponto mportante no cálculo das constantes de velocdade são as undades usadas. Como o número de espéces químcas envolvdas e seus coefcentes estequométrcos mudam de reação para reação, as undades das constantes de velocdade também são mutáves em termos de potênca. Neste trabalho todas estas constantes foram tratadas usando as seguntes undades : centímetros, mol, Kelvn e segundo. A passagem para o sstema SI fo feta quando do cálculo das equações (29) e (27) por meo de constantes de conversão. Em geral, os mecansmos cnétcos envolvem dos tpos de reações, as de dssocação e as de dupla troca, exemplfcadas abaxo. H + M 2H + M 2 2 H + HF H + F (Dssocação) (Dupla Troca) As reações de dupla troca são tratadas matematcamente pelas equações deste tem sem nenhum cudado especal. O 20

13 contráro ocorre com as equações de dssocação, pos estas envolvem um tercero corpo (M). No exemplo acma, a molécula de H deve coldr com um tercero corpo M, que possu 2 energa relatva sufcente para quebrá-la em dos átomos de H. Este tercero corpo pode ser qualquer outra das espéces químcas presentes no escoamento e permanece qumcamente nalterado durante a colsão. Quando do cálculo do termo fonte, equação (27), um valor de concentração deve ser atrbuído ao tercero corpo para que o equaconamento seja fscamente coerente. O modelo adotado neste trabalho usa o conceto de efcênca do tercero corpo, onde para cada espéce químca, presente na reação j, é atrbuído um fator que aplcado sobre a concentração da espéce ndca qual a ação desta sobre uma velocdade méda de reação, retrada da lteratura. Portanto, uma dada espéce químca pode dobrar a velocdade de uma reação de dssocação, enquanto outra pode não contrbur sgnfcatvamente para a ocorrênca desta. Porém, não são dsponíves na lteratura nformações sobre a efcênca de dferentes moléculas sobre uma reação de dssocação. Em geral, as meddas expermentas referem-se a espéces nertes (Ar, N, He) como tercero corpo que podem 2 não estar presentes no escoamento estudado. A solução encontrada fo utlzar uma velocdade de dssocação méda entre dferentes terceros corpos e consderar que todas as espéces químcas presentes possuem efcênca gual a undade. Isto sgnfca que a concentração do tercero corpo 21

14 é gual a concentração total de moléculas exstentes no escoamento (fração molar gual a undade). Este procedmento fo adotado por Momtchloff et al, Sarl et al e 43 Westenberg et Favn. O modelo de efcênca do tercero 29 corpo fo apresentado no trabalho de Penny et al e usado por Kacynsk et al, Pavl et al e Smth et al em seus trabalhos de valdação do programa de Nckerson et 24,28,38 al. Nesta tese, apesar das efcêncas serem consderadas guas a undade, fo mplementado a possbldade de uso de dferentes valores. Portanto, a concentração molar do tercero corpo [M] nas equações de dssocação fo calculada do segunte modo : n C [M] = f (32) j M =1 onde, f é a efcênca de tercero corpo da espéce na j reação de dssocação j. Deve-se lembrar que para o cálculo das constantes de equlíbro das reações, o corpo M não deve ser consderado, pos sua varação de número de moles entre produtos e reagentes é nula. 22

15 Para maores detalhes sobre a físca das reações 14 químcas ver o lvro de Frost et Pearson onde é apresentada uma dscussão detalhada sobre cnétca químca sob a ótca da teora cnétca dos gases. 23