MÉTODOS EXATOS BASEADOS EM RELAXAÇÕES LAGRANGIANA E SURROGATE PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR

Transcrição

1 versão mpressa ISSN / versão onlne ISSN MÉTODOS EXATOS BASEADOS EM RELAXAÇÕES LAGRANGIANA E SURROGATE PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE PALETES DO PRODUTOR Llan Káta de Olvera Renaldo Morabto * Departamento de Engenhara de Produção Unversdade Federal de São Carlos (UFSCar) São Carlos SP llan.olvera@fsa.br morabto@power.ufscar.br * Correspondng author / autor para quem as correspondêncas devem ser encamnhadas Recebdo em 07/005; aceto em 03/006 Receved July 005; accepted March 006 Resumo Neste artgo apresentamos métodos exatos, baseados em relaxações Lagrangana e surrogate, com bom desempenho para resolver o problema de carregamento de paletes do produtor. Este problema consste em arranjar ortogonalmente e sem sobreposção o máxmo número de retângulos de dmensões (, lw ) ou ( wl, ) sobre um retângulo maor ( L, W ). Os métodos propostos são procedmentos de busca em árvore do tpo branch and bound que, em cada nó, utlzam lmtantes dervados de relaxações Lagrangana e/ou surrogate de uma formulação de programação lnear 0 1. Algortmos de otmzação do subgradente são usados para otmzar estes lmtantes. São aplcados anda testes de redução do problema e heurístcas Lagrangana e surrogate para se obter boas soluções factíves na otmzação do subgradente. Testes computaconas foram realzados utlzando exemplos da lteratura e exemplos reas de uma transportadora. Os resultados mostram que um dos métodos propostos é compettvo com outros métodos da lteratura, nclundo o software GAMS/CPLEX. Palavras-chave: problema de carregamento de paletes do produtor; relaxação Lagrangana e/ou surrogate; método branch and bound; otmzação do subgradente. Abstract In ths paper we present exact methods, based on Lagrangean and surrogate relaxatons, wth good performance to solve the manufacturer s pallet loadng problem. Ths problem conssts of orthogonally arrangng the maxmum number of rectangles of szes ( lw, ) or ( wl, ) nto a larger rectangle ( L, W ) wthout overlappng. The proposed methods nvolve a branch and bound based tree search procedure for whch the bounds, n each node of the tree, are derved from Lagrangean and/or surrogate relaxatons of a 0 1 lnear programmng formulaton. Subgradent optmzaton algorthms are used to optmze such bounds. Problem reducton tests and Lagrangean and surrogate heurstcs are also appled to obtan good feasble solutons n the subgradent optmzaton. Computatonal experments were performed wth nstances of the lterature and actual nstances of a carrer. The results show that one of the proposed methods s compettve wth methods found n the lterature, ncludng the software GAMS/CPLEX. Keywords: manufacturer s pallet loadng problem; Lagrangean and/or surrogate relaxaton; branch and bound method; subgradent optmzaton. Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

2 1. Introdução Este trabalho trata de um caso partcular dos problemas de corte e empacotamento, denomnado problema de carregamento de paletes do produtor (PCP do produtor), o qual é classfcado como /B/O/C (bdmensonal, seleção de tens, únco objeto, tens guas), de acordo com a tpologa de Dyckhoff (1990). Bascamente, este problema consste em arranjar sem sobreposção o máxmo número de retângulos de dmensões (l,w) ou (w,l) (faces nferores das caxas) sobre um retângulo maor (L,W) (superfíce do palete). Admtmos que as caxas estão dsponíves em grandes quantdades e devem ser arranjadas ortogonalmente, sto é, com seus lados paralelos aos lados do palete. Estes arranjos de caxas formam camadas que são então emplhadas sobre o palete. Devdo à escala e extensão de certos sstemas logístcos, um pequeno aumento do número de produtos carregados sobre cada palete pode resultar em economas substancas. Dscussões sobre as vantagens da paletzação de carga podem ser encontradas, por exemplo, em Sobral (1996), Novamad Pallets (004) e Interlogs (004). O PCP do produtor é mportante nas atvdades logístcas de armazenagem e transporte de produtos embalados em caxas e carregados sobre paletes e camnhões (Morabto et al., 000). Ele pode ser aplcado para apoar decsões tanto num nível mas estratégco (por exemplo, o projeto ou a escolha de paletes mas adequados, o desenvolvmento de embalagens para produtos), quanto num nível mas operaconal (por exemplo, a geração de padrões de carregamento para armazenagem e dstrbução). Além dsso, o PCP do produtor é NP-dfícl do ponto de vsta de complexdade computaconal, o que mplca que provavelmente não deve exstr um algortmo polnomal capaz de resolvê-lo (Tarnowsk et al., 1994; Nelssen, 1994; Letchford & Amaral, 001; Martns, 00). Poucos autores propuseram métodos exatos para resolver o PCP do produtor, entre eles, Dowsland (1987), Tsa et al. (1993) e Bhattacharya et al. (1998) (este últmo método nem sempre é váldo, conforme mostrado em Martns, 00). Dowsland (1987) apresentou um algortmo que consste em encontrar o máxmo conjunto estável de um grafo, representando o carregamento do palete. O algortmo funcona bem para problemas em que o número de caxas por camada não é grande, por exemplo, menor que 30, o que nem sempre corresponde aos casos prátcos. Tsa et al. (1993) formularam o PCP do produtor como um modelo 0 1 com restrções dsjuntvas, e sugerram resolvê-lo por algortmos do tpo branch and bound explorando a estrutura partcular do modelo. Porém, o número destas restrções cresce exponencalmente com o número de caxas dsponíves. Nenhum destes trabalhos apresentou extensvos expermentos computaconas com seus métodos, o que dfculta a comparação com outros métodos. Devdo à dfculdade com os métodos exatos, dversas heurístcas têm sdo propostas na lteratura para resolver o PCP do produtor. Exemplos podem ser encontrados em Steudel (1979), Smth & De Can (1980), Bschoff & Dowsland (198), Dowsland (1993), Nelssen (1994, 1995), Arenales & Morabto (1995), Schethauer & Terno (1996), Herbert & Dowsland (1996), Schethauer & Sommerwess (1998), Morabto & Morales (1998, 1999), Farago & Morabto (000), G & Kang (001), Martns (00), Lns et al. (003), Pureza & Morabto (003, 006), Alvarez-Valdes et al. (005a) e Brgn et al. (005). Lns et al. (003) apresentaram uma abordagem explorando partções na forma de um L, e conjeturaram que ela é exata para o PCP do produtor. A desvantagem desta abordagem é o relatvamente grande requsto de tempo computaconal, o que fo atenuado no estudo recente em Brgn et al. (005). Lmtantes superores para o PCP do produtor foram 404 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

3 estudados em Nelssen (1995), Letchford & Amaral (001), Morabto & Farago (00) e Martns (00). Neste trabalho, modelamos o PCP do produtor como um problema ntero 0 1, smlarmente a Farago & Morabto (000). O modelo pode ser vsto como um caso partcular do modelo proposto em Beasley (1985) para o problema mas geral de corte /B/O/M (bdmensonal, seleção de tens, únco objeto, város tens dferentes). Apresentamos métodos exatos baseados na aplcação de relaxações Lagrangana e/ou surrogate e, para otmzar os lmtantes superores, utlzamos procedmentos de otmzação do subgradente. Testes de redução do problema e heurístcas Lagrangana e surrogate são aplcados na otmzação do subgradente para otmzar os lmtantes nferores (soluções factíves). Um procedmento enumeratvo de busca em árvore é usado para a obtenção da solução ótma do problema. Heurístcas construtvas também são exploradas para melhorar os lmtantes nferores, além do uso de outros lmtantes superores dsponíves na lteratura para o PCP do produtor. Os resultados computaconas foram realzados utlzando exemplos da lteratura e exemplos reas de uma empresa transportadora. É mportante observar que o trabalho de Beasley (1985) analsa somente o uso de relaxação Lagrangana combnada com relaxação surrogate (LAGSUR), e não reporta resultados utlzando apenas relaxação Lagrangana (LAG) ou apenas relaxação surrogate (SUR). Além dsso, o trabalho trata do problema de corte mas geral, os lmtantes obtdos para tal problema não são apertados e os resultados mostram que a abordagem produz bons resultados apenas para problemas de tamanhos moderados (smlarmente para o trabalho de Hadjconstantnou & Chrstofdes, 1995). O trabalho de Farago & Morabto (000) aplca LAG e LAGSUR no PCP do produtor e utlza uma heurístca Lagrangana para encontrar boas soluções factíves na otmzação do subgradente. No entanto, não ncorpora a otmzação do subgradente em uma árvore de busca e por sso o método não tem garanta de otmaldade. O presente trabalho pode ser vsto como uma extensão do trabalho de Farago & Morabto (000). Nossa motvação é avalar o desempenho de métodos exatos baseados em LAG, SUR e LAGSUR para tratar o PCP do produtor. O artgo está organzado da segunte manera: na seção apresentamos uma formulação do PCP do produtor adaptada de Beasley (1985), e na seção 3 dscutmos lmtantes superores e apresentamos as aplcações de LAG, SUR e LAGSUR para o problema. Na seção 4 dscutmos técncas de redução do problema e apresentamos heurístcas Lagrangana e surrogate para melhorar os lmtantes nferores. Na seção 5 detalhamos o procedmento de busca em árvore do tpo branch and bound. Na seção 6 os desempenhos dos métodos LAG, SUR e LAGSUR são analsados e comparados em dversos expermentos com exemplos da lteratura e exemplos reas de uma transportadora. Os resultados mostram que o método LAG é compettvo com outros métodos da lteratura, nclundo o software GAMS/CPLEX. Fnalmente, a seção 7 apresenta as conclusões e perspectvas para pesqusa futura.. Formulação do Problema O PCP do produtor pode ser modelado como um programa ntero 0 1 (Farago & Morabto, 000), o qual é um caso partcular do modelo proposto em Beasley (1985) para o problema de corte bdmensonal não-gulhotnado. Admtmos que L, W, l e w são números nteros, e que l w e l mn{ L, W}. Por smplcdade, defnmos ( l1, w1) = ( l, w) e ( l, w) = ( w, l), l, w, =1,, correspondem ao comprmento e largura da face de uma caxa com assm ( ) Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

4 orentação. O problema consste em encontrar um arranjo de caxas em camadas horzontas (padrão de carregamento bdmensonal) tal que a utlzação da superfíce do palete seja a máxma possível. Sejam P e Q o número mínmo e o máxmo de caxas por camada, respectvamente, a serem colocadas sobre o palete ( 0 P Q). Adotamos um sstema de coordenadas cartesanas com orgem no canto nferor esquerdo do palete. Sabemos que as caxas podem ser colocadas em váras posções ao longo do comprmento L e largura W do palete. Sejam X = { p 0 p L- w, ntero} e Y = { q 0 q W - w, ntero}, os conjuntos das coordenadas (p,q), respectvamente, para se colocar o canto nferor esquerdo da face de uma caxa dentro do palete. Sem perda de generaldade, podemos restrngr os conjuntos X e Y para os conjuntos normas (Chrstofdes & Whtlock, 1977): X = { p p = lb, 0 p L w, b 0 e ntero, = 1,} = 1 = 1 Y = { q q = wb, 0 q W w, b 0 e ntero, = 1,}. Defnmos a função a para descrever restrções de sobreposção de caxas sobre o palete, e que pode ser computada com antecedênca para cada posção (p,q), cada posção (r,s) e cada orentação, com p X tal que p L l, q Y tal que q W w, r X, s Y e = 1, (Fgura 1): a pqrs 1, se 0 p r p+ l 1 L 1 e 0 q s q+ w 1 W 1 =. 0, caso contráro Note que a pqrs = 1 ndca que a coordenada (r,s) fca ocupada, ao se colocar uma caxa com orentação na coordenada (p,q) do palete. Para todo p X tal que p L l, q Y tal que q W w e = 1,, defnmos a varável de decsão x pq : x pq 1, se uma caxa é colocada na posção ( pq, ) do palete com orentação =. 0, caso contráro W Palete Caxa w s q L p r Fgura 1 Posção (r,s) ocupada em função da colocação de uma caxa na posção (p,q) com orentação. l 406 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

5 O PCP do produtor pode então ser formulado pelo segunte problema lnear 0 1: Max sujeto a: = 1 x (1) = 1 { p X p L l} { q Y q W w} pq apqrs xpq 1, para todo r X, s Y () { p X p L l} { q Y q W w} (3) P x Q = 1 { } { p X p L l} { q Y q W w} pq x 0,1, = 1,, p X tal que p L l, q Y tal que q W w (4) pq A função objetvo (1) maxmza o número de caxas colocadas sobre o palete. Note que a restrção () garante que cada posção (r,s) seja ocupada por no máxmo uma caxa e, desta manera, evta sobreposção no arranjo de caxas (Fgura 1). A restrção (3) garante que o número de caxas arranjadas esteja dentro do ntervalo [P,Q]. Em geral temos P=0 e Q é um lmtante superor para o problema. Em certos casos a restrção (3) pode ser reescrta como: { p X p L l} { q Y q W w} = 1 pq, P x Q para todo, para mpor lmtantes para o número de caxas arranjadas em cada orentação. Isto pode ser útl para gerar padrões mas estáves do ponto de vsta da amarração da carga. O problema (1)-(4) envolve O( X Y ) varáves e restrções, o que o torna em geral dfícl de ser resolvdo otmamente nos casos prátcos, dependendo do tamanho dos conjuntos X e Y. Estes conjuntos podem ser anda mas reduzdos, usando o conceto de raster ponts (para mas detalhes, veja Schethauer & Terno, 1996; Morabto & Morales, 1998): X ' = {( L p) p X} {0}, ( p') = max{ p p X, p p'} X Y' = {( W q) q Y} {0}, ( q') = max{ q q Y, q q'}. Y Outras formulações para o PCP do produtor podem ser encontradas em Tsa et al. (1993), Hadjconstantnou & Chrstofdes (1995) e Martns (00) (o modelo de Hadjconstantnou & Chrstofdes (1995) nem sempre é váldo, conforme mostrado em Amaral & Letchford, 1999). No presente trabalho, a escolha do modelo (1)-(4) deveu-se às experêncas anterores da lteratura com LAGSUR para o problema de corte mas geral (Beasley, 1985) e com LAG e LAGSUR para o PCP do produtor (Farago & Morabto, 000), e o fato dos lmtantes superores obtdos com as relaxações lnear, LAG e LAGSUR deste modelo para o PCP do produtor serem bem apertados (Letchford & Amaral, 001; Morabto & Farago, 00). X Y 3. Lmtantes Superores e Relaxações Lagrangana e Surrogate Dversos lmtantes superores para o problema (1)-(4) são encontrados na lteratura (Nelssen, 1995; Letchford & Amaral, 001; Morabto & Farago, 00; Martns, 00). O mas smples e ntutvo é o lmtante da razão da área, defndo por LW / lw. Outros lmtantes são o de Barnes (1979) e de exemplos equvalentes (usando a noção de partções Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

6 * efcentes), dado por: LW * / lw, onde * L = max{ x x = rl+ sw L, r, s 0, ntero} (smlarmente para W * ). Lmtantes mas apertados para o PCP do produtor são obtdos com a relaxação lnear do problema (1)-(4) e as relaxações dscutdas abaxo. 3.1 Relaxação Lagrangana (LAG) A relaxação Lagrangana (LAG) tal como é conhecda hoje fo ntroduzda por Held & Karp (1970, 1971). Para mas detalhes de LAG, os letores podem consultar, por exemplo, Nemhauser & Wolsey (1988) e Reeves (1993). Introduzndo os multplcadores de Lagrange λ rs ( 0) para todo r X e todo s Y da expressão (), obtemos o segunte problema Lagrangano do lmtante superor: Max sujeto a: = 1 V { } { } pq x p X p L l q Y q W w pq + λ rs = 1 r X s Y (5) (6) P x Q { } { p X p L l} { q Y q W w} pq x 0,1, = 1,, p X tal que p L l, q Y tal que q W w (7) pq onde V = 1 λ a. Sejam { X } representando os valores das varáves {x pq } na pq rs pqrs r X s Y solução do problema Lagrangano (5)-(7), com valor dado por: pq UB = { } { } pq pq + p X p L l q Y q W w rs = 1 r X s Y. Z V X λ Note que Z UB corresponde a um lmtante superor para o valor ótmo do problema orgnal λ, o problema (5)-(7) pode ser (1)-(4), para quasquer { } rs λ não negatvos. Dados { } faclmente resolvdo por nspeção. Seja n o número de varáves x pq com valores V pq estrtamente postvos: Se n Q, então escolha as Q varáves com maores valores V pq, e fxe-as em 1. Se P n < Q, então escolha as n varáves com maores valores V pq, e fxe-as em 1. Se n < P, então escolha as P varáves com maores valores V pq, e fxe-as em 1. As demas varáves são fxadas em 0. O problema Lagrangano (5)-(7) possu a propredade de ntegraldade, uma vez que, dados { λ rs}, sua solução não se altera ao trocarmos a restrção de ntegraldade x pq {0,1} por sua relaxação lnear 0 x pq 1 (note que todos os coefcentes de (6) são guas a 1, e P e Q são números nteros). Isto mplca que o melhor lmtante superor produzdo pelo problema dual Lagrangano: mn {problema Lagrangano (5)-(7)} λrs 0 rs 408 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

7 para o problema (1)-(4) não é melhor do que o lmtante superor obtdo pela relaxação lnear de (1)-(4). Para resolver o problema dual Lagrangano é utlzado o método de otmzação do subgradente (Camern et al., 1975; Crowder, 1976; Beasley, 1985; Farago & Morabto, 000), resumdo a segur (o algortmo em pseudo-códgo está apresentado em Olvera, 004): Passo 1: Gere uma solução factível, por exemplo, a solução homogênea com todas as caxas arranjadas sob a mesma orentação. Faça Z LB gual ao valor desta solução homogênea. Seja ITMAX o máxmo número de terações e faça t = 0. Fxe λ rs = 0 para todo s Y, e todo r X, como valores ncas para os multplcadores. Passo : Resolva o problema Lagrangano (5)-(7) com o conjunto de multplcadores atual, obtendo a solução {X pq } e valor Z UB. Faça t = t +1. Passo 3: Teste de factbldade: se a solução Lagrangana é factível para o problema orgnal (1)-(4), então atualze Z LB, o lmtante nferor para o problema, correspondendo a uma solução factível. Atualze o menor lmtante superor Z mn com Z UB. Passo 4: Teste de otmaldade: pare se Zmn = ZLB ; caso contráro, vá para o Passo 5. Passo 5: Calcule os subgradentes: rs { p X p L l} { q Y q W w} pqrs pq = 1. G = 1 + a X, para todo ( r, s ) ( X, Y ) Passo 6: Defna o tamanho do passo t por: t ( ) f Z Z UB LB G r X s Y rs =, onde 0 < f, e atualze os multplcadores de Lagrange por: λ max ( 0, λ tg ), para todo ( r, s) ( X, Y ) = +. rs rs rs Passo 7: Se t = ITMAX, pare; caso contráro, vá para o Passo. Algumas varações deste algortmo podem ser encontradas na lteratura. Por exemplo, Camern et al. (1975) sugerram modfcações na atualzação do tamanho do passo em cada m 1 5 t = 10 e nas teração mt ( ). Na prmera teração o tamanho é dado por um valor fxo ( ) m demas terações, ( t ) é defndo pela expressão a segur (note que os subgradentes utlzados dependem dos subgradentes das terações anterores): t ( ) f Z Z m UB LB = m s onde: m m m 1 m s = G + β s, m 1 s Grs m 1 m 1 γ, se s G 0 s rs < = 0 para m= 0, β m 1 m = s e γ = , caso contráro Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

8 Em Reeves (1993) é sugerdo que uma boa prátca para a convergênca do procedmento de otmzação do subgradente é ajustar os subgradentes antes do cálculo do tamanho do passo (t) (durante o Passo 5), usando G rs = 0 sempre que G rs < 0 e λ rs = 0 (veja também Lucena, 004). Ou seja, se a restrção () não está volada (sto é, G rs < 0 ) na teração corrente, e não possu multplcador assocado não nulo (sto é, λ rs > 0 ), seu gradente é desconsderado, fxando-o em zero (Passo 5). Com sso, G rs não contrbu no cálculo do tamanho do passo t (Passo 6). 3. Relaxação surrogate (SUR) A relaxação surrogate (SUR) fo ntroduzda por Glover (1965, 1968). Para mas detalhes de SUR, os letores podem consultar, por exemplo, Greenberg & Perskalla (1970), Glover (1975) e Karvan & Rardn (1979). Introduzndo os multplcadores surrogate µ rs > 0 para todo r X e todo s Y da expressão () e aplcando SUR nesta expressão, obtemos o segunte problema surrogate (relaxado): Max sujeto a: x (8) = 1 { p X p L l} { q Y q W w} pq V { } { } pq x p X p L l q Y q W w pq µ rs = 1 r X s Y (9) (10) P x Q = 1 { } { p X p L l} { q Y q W w} pq x 0,1, = 1,, p X tal que p L l, q Y tal que q W w (11) pq onde Vpq µ rsapqrs r X s Y = (por convenênca, usamos a mesma notação anteror V pq ). Note que V pq sempre é não negatvo, dado que rs 0 µ rs, o modelo (8)-(11) resulta em um problema 0 1 com coefcentes reas fácl de se resolver por nspeção, pos os coefcentes da função objetvo são todos guas a 1. Seja n o número de varáves x pq : µ >. Dados { } Se n Q, então escolha as Q varáves com menores valores V pq, não ultrapassando o valor de µ, e fxe-as em 1. Se ultrapassar este lmte, escolha o maor número r X s Y rs possível de varáves com menores valores V pq não ultrapassando o lmte, e fxe-as em 1. Se P n Q, então escolha as n varáves com menores valores V pq, não ultrapassando o valor de µ, e fxe-as em 1. Se ultrapassar este lmte, escolha o maor número r X s Y rs possível de varáves com menores valores V pq não ultrapassando o lmte, e fxe-as em Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

9 Se n< P, então escolha as P varáves com menores valores V pq, não ultrapassando o valor de µ, e fxe-as em 1. Se ultrapassar este lmte o problema é nfactível r X s Y rs (sto nunca ocorre se P for defndo como um lmtante nferor para o problema). As demas varáves são fxadas em 0. Não encontramos um contra-exemplo do PCP do produtor (usando P = 0 e Q como um lmtante de Barnes ou de exemplos equvalentes, defndos no níco da seção 3), mostrando que o problema surrogate (8)-(11) não satsfaz a propredade de ntegraldade. Também não encontramos, ao longo dos expermentos computaconas apresentados na seção 6, um contra-exemplo cujo lmtante gerado pela relaxação surrogate fosse melhor do que o lmtante gerado pela relaxação Lagrangana. Isto sugere que o melhor lmtante superor produzdo pelo problema dual surrogate: mn {problema surrogate (8)-(11)} µ > 0 para o problema (1)-(4) não deve ser melhor do que o lmtante superor obtdo pela relaxação lnear de (1)-(4). Para resolver o problema dual surrogate pode ser utlzado o método de otmzação do subgradente, porém, não há garanta teórca de convergênca (Galvão et al., 000). Métodos com garanta de convergênca estão dscutdos em Banerjee (1971), Dyer (1980) e Sarn et al. (1987), mas, devdo às suas complexdades e dfculdades de mplementação, estão além do escopo deste trabalho. O procedmento de otmzação do subgradente para a resolução do problema (8)-(11) é smlar ao da seção 3.1, trocando-se o problema Lagrangano (5)-(7) pelo problema surrogate (8)-(11), com algumas adaptações nos Passos 1 e 6 descrtos a segur: Passo 1: Gere uma solução factível, por exemplo, a solução homogênea com todas as caxas arranjadas sob a mesma orentação. Faça Z LB gual ao valor desta solução homogênea. Seja ITMAX o máxmo número de terações e faça t = 0. Fxe µ rs = 1 para todo r X e s Y, como valores ncas para os multplcadores. Passo 6: Defna o tamanho do passo t por: t ( ) f Z Z UB LB G r X s Y rs =, onde 0 < f, e atualze os multplcadores surrogate por: µ ( µ ) = max 0, + tg, para todo ( r, s) ( X, Y ). rs rs rs 3.3 Relaxação Lagrangana surrogate (LAGSUR) Beasley (1985) utlzou as duas restrções surrogate apresentadas abaxo, obtdas pela soma de todos os comprmentos possíves r X (usando µ r = 1 ) da restrção (), e todas as larguras possíves s Y (usando µ s = 1 ) da restrção (): Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

10 r X ( = 1 { p X / p L l { q Y / q W w pqrs pq ) a x X, para todo s Y (1) s Y ( = 1 { p X / p L l { q Y / q W w pqrs pq ) a x Y, para todo r X (13) Substtundo no problema (1)-(4) a restrção () pelas restrções surrogate (1) e (13), e ntroduzndo os multplcadores de Lagrange g s ( 0) para todo s Y em (1) e hr ( 0) para todo r X em (13), obtemos o segunte problema Lagrangano do lmtante superor (com relaxação surrogate). Note agora que temos apenas X + Y multplcadores, ao nvés de X Y multplcadores como no problema (5)-(7). Max sujeto a: = 1 { } { } pq pq + s + p X p L l r q Y q W w = 1 s Y r X V x g X h Y (14) (15) P x Q { } { p X p L l} { q Y q W w} pq x 0,1, = 1,, p X tal que p L l, q Y tal que q W w (16) pq onde Vpq = 1 ( gs + hr ) apqrs (por convenênca, novamente usamos a mesma r X s Y notação anteror V pq ). Sejam { X pq} representando os valores das varáves { x pq} na solução do problema Lagrangano (14)-(16), com valor dado por:. Z = V X + g X + h Y UB pq pq s r = 1{ p X p L l}{ q Y q W w} s Y r X Note que Z UB corresponde a um lmtante superor para o valor ótmo do problema (1)-(4), para quasquer {g s } e {h r } não negatvos. Este lmtante não é melhor do que o lmtante produzdo pelo problema (5)-(7), uma vez que derva de um problema Lagrangano construído a partr de restrções surrogate (com 1 r µ = e µ = 1 ). Por outro lado, é mas fácl de ser computado, dado que envolve um menor número de multplcadores de Lagrange. Convém observar que esta LAGSUR é dferente da relaxação Lagrangana e surrogate utlzada em outros estudos da lteratura como, por exemplo, em Lorena & Senne (1996) e Narcso & Lorena (1999). Assm como no problema (5)-(7), dados {g s } e {h r }, o problema (14)-(16) também pode ser faclmente resolvdo por nspeção. O mesmo procedmento anterormente descrto para resolver o problema (5)-(7) também pode ser aqu aplcado. Para resolver o problema dual Lagrangano (com relaxação surrogate): mn gs 0, hr 0 {problema Lagrangano (14)-(16)} podemos utlzar o método de otmzação do subgradente, o qual é smlar ao da seção 3.1, trocando-se o problema Lagrangano (5)-(7) pelo problema (14)-(16), com pequenas modfcações nos Passos 1, 5 e 6, conforme Farago & Morabto (000): s 41 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

11 Passo 1: Gere uma solução factível, por exemplo, a solução homogênea com todas as caxas arranjadas sob a mesma orentação. Faça Z LB gual ao valor desta solução homogênea. Seja ITMAX o máxmo número de terações e faça t = 0. Fxe g s = 0 para todo s Y, e h r = 0 para todo r X, como valores ncas para os multplcadores. Passo 5: Calcule os subgradentes: Gs = X + ( 1 { } a p X p L l { q Y q W w } pqrs X = pq ), para todo s Y, r X r ( 1 { p X p L l } { q Y q W w } pqrs pq ) H Y a X = s Y = +, para todo r X. Passo 6: Defna o tamanho do passo t por: t = ( ) f Z Z UB LB G s Y s + H r X r onde 0 < f, e atualze os multplcadores de Lagrange por: ( ) g = max 0, g + tg, para todo s Y, s s s h = max ( 0, h + th ), para todo r X. r r r 4. Lmtantes Inferores e Heurístcas Lagrangana e Surrogate As soluções dos problemas Lagrangano e surrogate do lmtante superor podem ser utlzadas na obtenção de soluções factíves (lmtantes nferores) para o problema (1)-(4) por meo de heurístcas Lagrangana e surrogate. É possível também reduzr o tamanho do problema por meo de técncas de redução, tentando fxar, sem perda de generaldade, certas varáves em 0 ou 1. Tanto as heurístcas Lagrangana e surrogate, quanto às técncas de redução, podem ser aplcadas no procedmento de otmzação do subgradente. 4.1 Redução do problema Em Farago & Morabto (000) foram dscutdas técncas de fxação de varáves (sto é, x pq = 0 ou x pq = 1) em cada teração do procedmento de otmzação do subgradente, para reduzr o tamanho do problema. Estas técncas foram defndas para LAG e LAGSUR, mas podem ser estenddas também para SUR. Naquele trabalho foram realzados testes quanto à nclusão ou não destas técncas de redução para LAG e LAGSUR. Os autores concluem que é melhor utlzar a redução, dado que o esforço computaconal de tentar fxar varáves ao longo das terações é compensatóro. Desta forma, no presente trabalho estas técncas de redução foram ncluídas no procedmento de otmzação do subgradente para LAG, SUR e LAGSUR. Para detalhes destas técncas, o letor pode consultar Farago & Morabto (000) e Olvera (004). Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

12 4. Heurístca Lagrangana O desempenho dos testes de redução depende da qualdade do lmtante nferor. Dessa forma, utlzamos o procedmento heurístco em Farago & Morabto (000), que é smples e relatvamente efcaz para encontrar uma solução factível (lmtante nferor) a partr de uma solução do problema Lagrangano. Por convenênca, descrevemos a segur os passos desta heurístca Lagrangana: Passo 1: Coloque todas as varáves fxadas em 1 pela redução do problema na solução da heurístca e retre-as da lsta dos {V pq }. Ordene os {V pq } restantes de forma decrescente e forme uma lsta F com as varáves x pq correspondentes aos V pq. Passo : Pare se a lsta F estver vaza, caso contráro, coloque na solução heurístca a prmera varável da lsta F, e retre-a dessa lsta. Passo 3: Teste a factbldade da solução heurístca em questão. Se for factível, mantenha a varável correspondente na solução; caso contráro, desconsdere-a e volte para o Passo. Ao térmno deste procedmento, podemos estar com uma solução factível melhor que as das terações anterores. Neste caso, atualzamos o lmtante nferor Z LB do problema (1)-(4). A otmaldade desta solução é testada no decorrer do método de otmzação do subgradente. Consderamos também um procedmento de melhora na heurístca Lagrangana apresentada acma. A déa deste procedmento consste em modfcar a solução atual obtda com o objetvo de se encontrar uma melhor solução. Incalmente, ordena-se a solução corrente de forma decrescente (ou seja, consderamos prmeramente todas as varáves fxadas em 1). Em seguda, desconsderamos uma varável da solução ordenada e aplcamos novamente a heurístca Lagrangana, na tentatva de se obter uma solução melhor que a anteror. Este procedmento é repetdo para cada varável fxada em 1 na solução corrente. No caso de termos um grande número de varáves presentes na solução, estpula-se um número máxmo de repetções deste procedmento (por exemplo, apenas para as prmeras m varáves fxadas em 1). 4.3 Heurístca surrogate Utlzamos um smples procedmento heurístco, muto smlar ao da seção 4., para encontrar uma solução factível (lmtante nferor) a partr de uma solução do problema surrogate. A únca dferença em relação à heurístca Lagrangana está no Passo 1, descrto abaxo: Passo 1: Coloque todas as varáves fxadas em 1 pela redução do problema na solução da heurístca e retre-as da lsta dos {V pq }. Ordene os {V pq } restantes de forma crescente e forme uma lsta F com as varáves x pq correspondentes aos V pq. Ao térmno deste procedmento, podemos estar com uma solução factível melhor que as das terações anterores. Neste caso, atualzamos o lmtante nferor Z LB. A otmaldade desta solução é testada no decorrer do método de otmzação do subgradente. Assm como a heurístca Lagrangana, a heurístca surrogate é aplcada em cada teração do procedmento de otmzação do subgradente. 414 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

13 5. Busca em Árvore No fnal do procedmento de otmzação do subgradente, o menor lmtante superor (Z mn ) e o máxmo lmtante nferor (Z LB ) correspondente a uma solução factível podem não concdr e, para resolver este problema, aplcamos o método branch and bound (Nemhauser & Wolsey, 1988). O problema é resolvdo utlzando uma busca em árvore bnára em que, em cada nó da árvore, é computado um lmtante superor das relaxações Lagrangana e/ou surrogate. Em cada nó da árvore é aplcado o procedmento de otmzação do subgradente e, se em qualquer teração do procedmento, obtvermos Z mn = Z LB, então o problema é resolvdo otmamente. O conjunto ncal de multplcadores de cada nó é o conjunto assocado com o melhor lmtante superor encontrado no nó predecessor da árvore. Durante cada teração do método de otmzação do subgradente, é aplcada a heurístca Lagrangana ou surrogate (seções 4. e 4.3) para gerar soluções factíves para o problema orgnal (1)-(4), a partr da solução obtda para o problema Lagrangano e/ou surrogate (modelos LAG (5)-(7), SUR (8)-(11) e LAGSUR (14)-(16)). Também é aplcada a técnca de redução do problema menconada na seção 4.1 para tentar fxar, sem perda de generaldade, alguma varável em 0 ou 1, e, desta manera, reduzr o tamanho do problema (1)-(4). Os crtéros para sondagem do método branch and bound para os nós da árvore são: otmaldade, nfactbldade e valor de domnânca. No caso de encontrarmos uma solução factível com Zmn > ZLB devemos fazer a dvsão (branch) do nó e teremos então dos novos subproblemas a serem resolvdos, ou seja, um novo nó à esquerda e outro à dreta. Neste caso, seleconamos uma varável e esta será fxada com valor gual a 1 no nó da esquerda e valor gual a 0 no nó da dreta. O nó da esquerda é consderado prmero do que o da dreta; assm, ao fazermos a sondagem de um nó, exploramos prmero o nó da esquerda. Intutvamente, estamos nteressados em colocar o máxmo número de caxas em um palete e, portanto, devemos explorar prmero a possbldade de se colocar tas varáves na solução do problema e avalar se esta solução é vável ou não. A segur é apresentado resumdamente o algortmo do procedmento de busca em árvore mplementado neste trabalho (Nemhauser & Wolsey, 1988). Este algortmo está detalhado em pseudo-códgo em Olvera (004). Sejam: L lsta de problemas nteros ( P ) que devem ser nvestgados ou lsta de nós abertos; S conjunto das soluções factíves do problema ( P ) pertencente a L; Z LB lmtante nferor para o valor objetvo de P (solução factível); Z UB lmtante superor para o valor objetvo de P (relaxação); Z valor da função objetvo do problema P. Passo 1: Incalzação: forme uma lsta L={P} (sendo P o problema (1)-(4)) com os 0 0 problemas anda não resolvdos, S = S, Z UB = e Z LB =. Passo : Teste de parada: se L= então a solução x que assegura ZLB = Z é a solução ótma. Passo 3: Seleção do problema e relaxação: selecone e elmne um problema P de L. Resolva a relaxação do problema seleconado (RP ). Seja Z R o valor ótmo da relaxação e seja x R a solução ótma se exstr. Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

14 Passo 4: Sondagem: a) se Z Z, vá para o Passo ; b) se c) se x R R R x LB S, vá para o Passo 5; S, faça todos os problemas com Z = Z R e se Z ZLB Z Z Z e vá para o Passo. UB LB >, então faça LB = Z, elmne de L Passo 5: Dvsão (branch): Seja { S j }, j=1,, a dvsão de S. Assm teremos dos novos subproblemas e devemos seleconar uma varável e esta será fxada com valor gual a 1 no nó da esquerda e valor gual a 0 no nó da dreta. Esses novos j j subproblemas ( P ), j=1,, são ncluídos na lsta L onde ZUB = ZR. Em seguda, vá para o Passo. 5.1 Regras para escolha da varável a ser fxada No Passo 5 do algortmo de busca em árvore acma, devemos fazer a dvsão dos nós (branchng), ou seja, temos dos novos subproblemas e devemos seleconar uma varável para ser fxada com valor gual a 1 no nó da esquerda e valor gual a 0 no nó da dreta. As três regras defndas abaxo foram testadas para escolher a varável a ser fxada na dvsão dos nós. Nos expermentos realzados (seção 6), estas regras se comportaram melhor do que smplesmente escolher a varável a ser fxada na dvsão dos nós de forma aleatóra, sem consderar nenhum crtéro pré-defndo, ou smplesmente escolher a varável com maor valor Lagrangano, ou seja, com maor V pq para ser fxada em 0 ou em 1. Regra 1 (Beasley, 1985) { } Em qualquer nó da árvore de busca, seja G = (, p, q) F x pq 0 (onde F é a lsta com as varáves x pq correspondentes aos V pq ), sto é, G é o conjunto de posções onde anda é possível colocar uma caxa, pos este conjunto não consdera as posções (, p, q ) com x = 1 ((, p, q) F) e anda, as posções (, p, q ) com x = 0. Então defnmos, pq R = mn ( r (, r, s) G), S = mn ( s (, r, s) G) e V = max ( V (, R, S) G). A escolha da varável a ser fxada em 0 e em 1 corresponde a colocar a caxa j no palete ( LW, ) com o seu canto nferor esquerdo em ( RS, ). Intutvamente esta escolha corresponde a colocar no palete ( LW, ) a caxa j com máxmo valor Lagrangano, que então será colocada na posção mas abaxo e mas a esquerda, ou seja, no ponto ( RS, ) formando um padrão normalzado na busca em árvore. Podemos dzer que a escolha dessas varáves nos dá padrões de empacotamento em camadas, pos as caxas são colocadas sempre de forma a encontrar os pontos ( RS, ) com coordenadas mas abaxo e mas a esquerda e, desta manera, as caxas são colocadas lado a lado sem espaços entre elas (ou com o mínmo espaço). Anda, ao ser consderado que x jrs = 1 sgnfca que devemos ter x pq = 0 se exste um ponto ( rs, ) tal que a + a =. Isto porque, ao fxar a varável x = 1, não podemos ter jrsrs pqrs pq jrs jrs RS 416 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

15 outra caxa no ponto ( rs, ), pos, neste caso, haverá sobreposção das peças e assm devemos retrar tas varáves do problema, sto é, consderar tas varáves como guas a zero ( 0) x =. Regra (Reeves, 1993) No procedmento de busca em árvore baseado no lmtante de relaxação Lagrangana (modelo (5)-(7)), a regra de seleção da varável a ser fxada é a segunte: 1. Seja ( λ, X ) representando os multplcadores e os valores das varáves assocados com o melhor lmtante nferor encontrado no nó que está sendo ramfcado;. Consdere o vetor de valor λ rs 1 a { p X / p L l} { q X / q W w pqrs X pq λg = r X s Y = 1 e escolha a restrção com maor valor absoluto neste vetor; 3. Selecone a segur a varável com maor valor Lagrangano, ou seja, com maor V pq. pq Regra 3 Estratéga utlzando o conceto de memóra de longo prazo de busca tabu Utlzamos uma estratéga para a escolha da varável que aplca o conceto de memóra de longo prazo da meta-heurístca busca tabu. Nesta estratéga, consderamos a freqüênca com que as varáves aparecem na solução do problema. A cada determnado número de terações (por exemplo, 5 ou 10 terações), escolhe-se uma varável que tenha baxa freqüênca (por exemplo, freqüênca menor que 0,35, ou seja, se a varável escolhda apareceu em 35% ou menos das soluções nas terações anterores) e então esta varável é escolhda para ser fxada na dvsão dos nós. A déa é dversfcar a solução do problema, fazendo com que as varáves que tenham baxa freqüênca façam parte da solução. No restante das terações, utlzamos a regra 1 defnda acma. Alguns autores recomendam aplcar um maor esforço computaconal (maor número de terações na otmzação do subgradente) no nó ncal da árvore. Com sto a heurístca Lagrangana tem maor chance de encontrar boas soluções factíves, o procedmento de redução tem maor chance de reduzr o tamanho do problema e, anda, a otmzação do subgradente tem maor chance de encontrar melhores lmtantes. Com respeto a ncalzação dos multplcadores de Lagrange e ao número de terações na otmzação do subgradente, autores têm sugerdo (Reeves, 1993): (a) ncar os multplcadores de Lagrange em cada nó da árvore com o conjunto assocado com o melhor lmtante superor encontrado no nó predecessor da árvore; (b) executar 30 terações do subgradente, com f ( 0< f ) sendo dvddo a cada 5 (ou 10) terações nos nós da árvore das ramfcações seguntes e, (c) duplcar ambos os parâmetros (para 60 sendo dvddo a cada 10 (ou 0)) nos nós da árvore assocados com a sondagem. No presente trabalho, nos métodos LAG, SUR e LAGSUR os multplcadores de Lagrange e/ou surrogate são ncados em cada nó da árvore com o conjunto assocado com o melhor (máxmo) lmtante superor encontrado no nó predecessor da árvore, segundo a estratéga apresentada acma. Anda, na árvore de busca, para o cálculo do lmtante superor foram utlzados os lmtantes da Razão da Área e o de Barnes. O lmtante nferor pode ser ncado com a solução homogênea com todas as caxas arranjadas na mesma dreção, ou anda com a heurístca de Morabto & Morales (1998), que é relatvamente smples e efetva. Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

16 6. Resultados Computaconas Nesta seção são descrtos os resultados dos testes computaconas realzados com o objetvo de avalar o desempenho dos métodos exatos LAG, SUR e LAGSUR. As mplementações foram codfcadas em lnguagem Pascal (complador Delph 5), e os testes foram realzados em um Pentum III 650 MHz. Nestes expermentos, admtmos no modelo (1)-(4) que P = 0 e Q é gual ao mínmo entre os lmtantes de Barnes e de exemplos equvalentes (seção 3). 6.1 Resultados com Grupos 1 e Incalmente foram realzados dversos testes computaconas prelmnares para se verfcar o desempenho de possíves varações nos procedmentos de otmzação do subgradente e na busca em árvore dos métodos LAG, SUR e LAGSUR. Em relação à otmzação do subgradente consderamos: () utlzar ou não o método de redução do problema (seção 4.1), () utlzar ou não as heurístcas Lagrangana e surrogate (seções 4. e 4.3), () utlzar ou não a melhora da heurístca Lagrangana (seção 4.), (v) utlzar ou não modfcações na atualzação dos multplcadores baseados na dscussão da seção 3.1 (v) utlzar ou não modfcações propostas por Camern et al. (1975) para cálculo do tamanho do passo t (seção 3.1), e (v) qual varação escolher para ncar e reduzr o valor do parâmetro f do tamanho do passo t (seção 3.1). Com respeto a este últmo tem, nvestgamos ncar este parâmetro com f = ou f = 1, sendo reduzdo após um determnado número de terações. Sete varações foram exploradas para reduzr o valor de f ao longo das terações: () dvdr f a cada 60 terações, () dvdr f a cada 30 terações, () dvdr f a cada 15 terações, (v) dvdr f a cada 60 terações se Z mn não dmnur nas últmas 60 terações, (v) dvdr f a cada 30 terações se Z mn não dmnur nas últmas 30 terações, e (v) dvdr f a cada 15 terações se Z mn não dmnur nas últmas 15 terações, (v) dvdr f a cada X Y terações se Z mn não dmnur nas últmas X Y terações até Zmn < Q, então dvdr f a cada 30 terações se Z mn não dmnur nas últmas 30 terações (conforme Farago & Morabto, 000). Em relação ao procedmento de busca em árvore consderamos: () qual regra escolher para a seleção da varável a ser fxada na dvsão dos nós (seção 5.1), () executar ou não um número maor de terações no nó ncal da árvore (seção 5), () utlzar ou não valores de multplcadores assocados com o melhor lmtante superor obtdo no nó predecessor da árvore (seção 5), (v) utlzar ou não os conjuntos de raster ponts ao nvés dos conjuntos normas (seção ), e (v) utlzar ou não a heurístca construtva de Morabto & Morales (1998) para gerar bons lmtantes nferores ncas (seção 5). Para vablzar a realzação destes dversos testes prelmnares, optamos por utlzar apenas dos grupos de exemplos com característcas dferentes. No prmero grupo (subdvdo nos Grupos 1A e 1B conforme Tabelas 1 e ), escolhemos aleatoramente 0 exemplos do conjunto Cover I da lteratura (Nelssen, 1993, 1994; Schethauer & Terno, 1996), que contém exemplos do PCP do produtor com solução ótma conhecda (composta de até 50 caxas). O Grupo 1A contém 10 exemplos (L1-L10) que não tem gap entre o valor da solução ótma e o valor da solução da relaxação lnear de (1)-(4), enquanto o Grupo 1B contém 10 exemplos (L11-L0) que tem gap e, portanto, são mas desfavoráves para os métodos aqu propostos. Nas tabelas abaxo, as colunas X Y e X Y representam o 418 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

17 número (aproxmado) de varáves 0 1 envolvdas no modelo (1)-(4) usando os conjuntos normas X e Y e os conjuntos de raster ponts X e Y, respectvamente. O segundo grupo de exemplos fo subdvddo nos Grupos A e B conforme Tabelas 3 e 4. No Grupo A consderamos 9 exemplos (L1-L9) analsados em dversos artgos, como Dowsland (1993), Nelssen (1994), Schethauer & Terno (1996), Morabto & Morales (1998), Farago & Morabto (000) e Pureza & Morabto (006). Assm como o Grupo 1A, tas exemplos não tem gap entre o valor da solução ótma e o valor da relaxação lnear de (1)-(4). Os 10 exemplos do Grupo B (L30-L39) foram analsados em Letchford & Amaral (001) e, assm como o Grupo 1B, tem gap e, portanto são mas desfavoráves para os métodos aqu propostos. Todos os exemplos dos Grupos 1A, 1B, A e B têm solução ótma não-gulhotnada de prmera ordem (esta classfcação fo defnda em Arenales & Morabto (1995) e refere-se a padrões não-gulhotnados mas smples). Tabela 1 Exemplos do Grupo 1A sem gap entre solução ótma e relaxada. GRUPO 1A Exemplo (L,W) (l,w) X Y ( X Y ) X Y ( X Y ) L1 (11,5) (4,1) L (16,11) (4,3) L3 (4,18) (8,3) L4 (8,7) (8,3) L5 (14,14) (3,) L6 (0,16) (5,) L7 (48,39) (11,4) L8 (31,0) (7,) L9 (11,8) (,1) L10 (33,30) (5,4) Méda 17,70 13,40 54,40 14,80 10,80 353,80 Tabela Exemplos do Grupo 1B com gap entre solução ótma e relaxada. GRUPO 1B Exemplo (L,W) (l,w) X Y ( X Y ) X Y ( X Y ) L11 (36,8) (8,3) L1 (36,36) (10,3) L13 (60,33) (9,5) L14 (37,5) (7,3) L15 (30,30) (5,4) L16 (50,36) (8,5) L17 (39,39) (11,3) L18 (33,30) (7,3) L19 (37,6) (5,4) L0 (45,3) (10,3) Méda 8,80 3, ,40,50 15,30 67,80 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

18 Tabela 3 Exemplos do Grupo A sem gap entre solução ótma e relaxada. GRUPO A Exemplo (L,W) (l,w) X Y ( X Y ) X Y ( X Y ) L1 (,16) (5,3) L (86,8) (15,11) L3 (57,44) (1,5) L4 (4,39) (9,4) L3 (14,81) (1,10) L6 (40,5) (7,3) L7 (5,33) (9,4) L8 (56,5) (1,5) L9 (87,47) (7,6) Méda 33,89 0, ,00 5,33 14,00 736,89 Tabela 4 Exemplos do Grupo B com gap entre solução ótma e relaxada. GRUPO B Exemplo (L,W) (l,w) X Y ( X Y ) X Y ( X Y ) L30 (3,) (5,4) L31 (40,6) (7,4) L3 (100,64) (17,10) L33 (3,7) (5,4) L34 (37,30) (8,3) L35 (100,8) (,8) L36 (100,83) (,8) L37 (40,33) (7,4) L38 (53,6) (7,4) L39 (81,39) (9,7) Méda 31,80 17, ,60 4,30 13,40 641,60 Em relação à otmzação do subgradente, os resultados destes testes com os exemplos dos Grupos 1 e apontaram para: () utlzar o método de redução do problema, () utlzar as heurístcas Lagrangana e surrogate, () não utlzar a melhora da heurístca Lagrangana, (v) não utlzar as modfcações na atualzação dos multplcadores (seção 3.1), (v) não utlzar as modfcações propostas por Camern et al. (1975) para cálculo do tamanho do passo t, e (v) ncar o parâmetro com f = 1 e dvd-lo a cada 30 terações. Em relação ao procedmento de busca em árvore, os resultados dos testes apontaram para: () utlzar a regra 1 para a seleção da varável a ser fxada na dvsão dos nós, () não executar um número maor de terações no nó ncal da árvore, () utlzar os valores de multplcadores assocados com o melhor lmtante superor obtdo no nó predecessor da árvore, (v) utlzar os conjuntos de raster ponts ao nvés dos conjuntos normas, e (v) utlzar a heurístca construtva de Morabto & Morales (1998) para gerar bons lmtantes nferores ncas. Por motvo de espaço, a segur apresentamos apenas alguns resultados destes testes. Os demas resultados encontram-se detalhados em Olvera (004). Convém salentar que em todos estes testes o método LAG em méda superou os métodos SUR e LAGSUR. Por exemplo, a Tabela 5 compara os resultados obtdos com os métodos LAG, SUR e LAGSUR 40 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006

19 para os exemplos L1-L10 do Grupo 1A, ncando com parâmetro f = e dvdndo-o a cada 60 terações, utlzando os conjuntos normas e não utlzando a heurístca de Morabto & Morales (1998). A tabela apresenta as médas do lmtante superor (Z mn ) e do lmtante nferor (Z LB ) no nó ncal da árvore para cada um dos métodos. Anda são apresentados os valores médos da solução ótma (Z * ), da solução obtda em um tempo computaconal lmtado em 3 horas de processamento, do número de nós envolvdos na busca em árvore, e do tempo total (em mnutos) gasto para se resolver o conjunto de exemplos (computado apenas para os exemplos resolvdos em menos de 3 horas). Tabela 5 Resultados computaconas dos métodos LAG, SUR e LAGSUR para o Grupo 1A (utlzando f = e dvsão de f a cada 60 terações, utlzando os conjuntos normas e sem a heurístca de Morabto & Morales, 1998). Nó ncal Busca em árvore Método exato Z mn Z LB Z * Solução Tempo # nós obtda (mn) LAG 31,90 9,60 31,90 31,90* 4,00 0,4 SUR 31,90 9,60 31,90 31,50 3,67 0,06 LAGSUR 31,90 9,60 31,90 31,70 9,5 1,30 Podemos observar na Tabela 5 que entre os três métodos, o que apresentou melhores resultados quanto ao valor da solução ótma e ao tempo computaconal fo o método LAG (lembre-se que os tempos correspondem à méda apenas dos exemplos resolvdos em menos de 3 horas). O método LAG conseguu resolver todos os exemplos do Grupo 1A (ndcado na tabela com um astersco), dferente dos métodos SUR e LAGSUR. Outros expermentos foram realzados com os outros grupos, varando-se os parâmetros da otmzação do subgradente e da busca em árvore, e o método LAG contnuou apresentando desempenho superor aos métodos SUR e LAGSUR. Uma vantagem do método LAG sobre o método LAGSUR é o maor número de multplcadores ( X Y ao nvés de X + Y ), o que mplca em mas nformações sobre as restrções do problema ao longo das terações da otmzação do subgradente. Com relação ao método SUR, aparentemente ele não produz lmtantes (do dual surrogate) melhores do que os lmtantes do método LAG (do dual Lagrangano). Além dsso, a otmzação do subgradente para SUR não tem garanta de convergênca, conforme dscussão na seção 3.. A segur apresentamos alguns resultados obtdos para os Grupos 1 e comparando algumas das varações descrtas acma para a otmzação do subgradente e a busca em árvore do método LAG. Outros resultados estão apresentados em Olvera (004). As tabelas apresentam a solução obtda num tempo computaconal máxmo de 3 horas, ncando com parâmetro f = 1 e dvdndo-o a cada 30 terações. Por lustração, as Tabelas 6 a 8 comparam o mpacto de: () utlzar conjuntos normas ou conjuntos de raster ponts, e () utlzar ou não a heurístca construtva de Morabto & Morales (1998) para gerar bons lmtantes nferores ncas. A Tabela 7 mostra que, utlzando os conjuntos de raster ponts, o método LAG fo capaz de resolver todos os exemplos em tempos computaconas menores do que os apresentados na Tabela 6, especalmente para os Grupos A e B. Note também que o número de nós envolvdos na busca em árvore fo em méda um pouco menor consderando os raster ponts. A Tabela 8 mostra que, utlzando a heurístca de Morabto & Morales (1998), os tempos computaconas foram reduzdos nos problemas que não apresentam gap Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de

20 entre a solução ótma e a solução de relaxação lnear (Grupos 1A e A). Já para os Grupos 1B e B, os tempos computaconas foram aproxmadamente mantdos, em relação aos mostrados na Tabela 7. Tabela 6 Resultados computaconas do método LAG para Grupos 1 e utlzando: () conjuntos normas, () sem heurístca de Morabto & Morales (1998). Nó ncal Busca em árvore Grupo Z mn Z LB Z * Solução Tempo # nós obtda (mn) 1A 31,90 9,60 31,90 31,90* 10,0 0,6 1B 45,0 40,50 44,0 44,0* 9,0 1,7 A 48,56 41,89 48,56 48,56* 95,00 15,7 B 43,60 37,90 4,60 4,60* 131,60 6,30 Tabela 7 Resultados computaconas do método LAG para Grupos 1 e utlzando: () conjuntos de raster ponts, () sem heurístca de Morabto & Morales (1998). Nó ncal Busca em árvore Grupo Z mn Z LB Z * Solução Tempo # nós obtda (mn) 1A 31,90 9,60 31,90 31,90* 10,0 0,18 1B 45,0 40,50 44,0 44,0* 5,0 0,7 A 48,56 41,89 48,56 48,56* 76,00 4,55 B 43,60 37,90 4,60 4,60* 105,80,67 Tabela 8 Resultados computaconas do método LAG para Grupos 1 e utlzando: () conjuntos de raster ponts, () com heurístca de Morabto & Morales (1998). Nó ncal Busca em árvore Grupo Z mn Z LB Z * Solução Tempo # nós obtda (mn) 1A 31,90 31,90 31,90 31,90* 1,00 < 0,01 1B 45,0 44,0 44,0 44,0* 18,00 0,70 A 48,56 48,44 48,56 48,56* 1,00 0,0 B 43,60 4,60 4,60 4,60* 104,00 3,31 6. Resultados com Grupos 3 e 4 Também consderamos outros grupos de exemplos além dos Grupos 1 e. O tercero grupo de exemplos fo subdvddo nos Grupos 3A e 3B conforme Tabelas 9 e 10. Os 16 exemplos do Grupo 3A (L40-L55) foram escolhdos aleatoramente do conjunto Cover II da lteratura (Nelssen, 1993, 1994; Schethauer & Terno, 1996), que contém exemplos do PCP do produtor com solução ótma conhecda (composta de 51 a 100 caxas). Todos os exemplos do Grupo 3A têm solução ótma não-gulhotnada de prmera ordem. Os 16 exemplos do Grupo 3B (L56-L71) são exemplos do Cover II dfíces de se resolver com as heurístcas de lteratura (Morabto & Morales, 1998; Lns et al., 003), pos nenhum deles tem solução ótma não-gulhotnada de prmera ordem. O quarto grupo de exemplos (Grupo 4) refere-se 4 Pesqusa Operaconal, v.6, n., p , Mao a Agosto de 006