UM MÉTODO HEURÍSTICO BASEADO EM PROGRAMAÇÃO DINÂMICA PARA O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO RESTRITO

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1 UM MÉTODO HEURÍSTICO BASEADO EM PROGRAMAÇÃO DINÂMICA PARA O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO RESTRITO v.9, n.1, p.78-92, abr Rejane Joas Slvera Renaldo Morabto Departamento de Engenhara de Produção Unversdade Federal de São Carlos São Carlos SP E-mals: rejane_slvera@bol.com.br morabto@power.ufscar.br Resumo Neste artgo estudamos um caso partcular dos problemas de corte, denomnado problema bdmensonal gulhotnado restrto (PGR). O PGR é um problema NP-dfícl que aparece em dversos processos ndustras de corte de chapas retangulares, em partcular, na ndústra de vdro e placas de crcuto mpresso. Para resolvê-lo, exploramos uma varação do método exato de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), baseada numa relaxação do espaço de estados de uma formulação de programação dnâmca do PGR, num procedmento do tpo otmzação do subgradente, e numa heurístca de factblzação. O resultado é um método sem garanta de otmaldade, porém bem mas rápdo e capaz de resolver problemas maores do que o método exato de Chrstofdes e Hadjconstantnou. O desempenho computaconal do método é avalado resolvendo-se dversos exemplos da lteratura e exemplos aleatóros, e comparando-se as soluções obtdas com as de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995) e da conhecda heurístca de WANG (1983). Palavras-chave: problema de corte, padrões de corte bdmensonas gulhotnados restrtos, programação dnâmca, heurístcas. 1. Introdução O problema de corte consste em determnar a melhor forma de cortar undades de materal (aqu denomnadas objetos), de manera a produzr um conjunto de undades menores (tens). Esse problema aparece em dversos processos ndustras de corte onde os objetos,

2 GESTÃO & PRODUÇÃO v.9, n.1, p.78-92, abr em geral dsponíves em estoque, correspondem a barras de aço, bobnas de papel e alumíno, placas metálcas e de madera, chapas de vdro e fbra de vdro, peças de couro, etc., e os tens, com dmensões especfcadas, são em geral encomendados através de uma cartera de peddos de clentes. Centenas de artgos foram publcados nas lteraturas de pesqusa operaconal e gestão da produção tratando problemas de corte, conforme mostram os exames e edções especas em DYCKHOFF (1992), DOWSLAND & DOWSLAND (1992), DYCKHOFF & FINKE (1992), SWEENEY & PATERNOSTER (1992), MORABITO & ARENALES (1992), BISCHOFF & WAESCHER (1995), MUKHACHEVA (1997), DYCKHOFF et al. (1997), e ARENALES et al. (1999). No presente artgo, tratamos um caso partcular dos problemas de corte, denomnado problema bdmensonal gulhotnado restrto (PGR). Nossa motvação para estudá-lo é que, além de ser um problema de dfícl solução exata, ele é mportante em dversos processos ndustras de corte de chapas retangulares, por exemplo, no corte de chapas de fbra de vdro (objetos) para produção de placas de crcuto mpresso (tens) encomendadas por clentes (SILVEIRA, 1999). O PGR é bdmensonal porque envolve duas dmensões relevantes para a solução (comprmento e largura dos objetos e tens), é gulhotnado porque, devdo às restrções mpostas pelos equpamentos, os cortes devem ser do tpo gulhotnado (um corte é gulhotnado se, ao ser realzado sobre um retângulo, produzr dos retângulos), e é restrto porque há lmtações para o número máxmo de vezes que um tem poderá ser cortado a partr de um objeto, além das lmtações mpostas pelas dmensões físcas do objeto. Ao tratar o PGR, a maora dos autores propôs métodos aproxmados. Exemplos dsso podem ser encontrados em WANG (1983), que propôs uma heurístca que combna tens em arranjos horzontas e vertcas para formar padrões de corte; em VASKO (1989) e OLIVEIRA & FERREIRA (1990), que apresentaram refnamentos do algortmo de Wang; em MORABITO & ARENALES (1996), que propuseram uma abordagem baseada numa busca em um grafo-e/ou, em MORNAR & KHOSHNEVIS (1997), que adaptaram o algortmo de Wang para uma aplcação partcular de cortes de placas de crcuto mpresso, e em FAYARD et al. (1998), que apresentaram um algortmo baseado em problemas da mochla undmensonas para combnar faxas horzontas e vertcas dentro de sub-retângulos. Poucos autores apresentaram métodos exatos para o PGR, entre eles, VISWANATHAN & BAGCHI (1993), que propuseram um procedmento de busca em árvore baseado na estratéga de busca o melhor prmero; HIFI (1997), que sugeru um melhoramento no algortmo de Vswanathan e Bagch; CHRISTOFIDES & WHITLOCK (1977), que apresentaram um algortmo de busca em árvore que utlza uma rotna baseada no problema de transporte para obter lmtantes durante a busca; e CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), que também propuseram um algortmo de busca em árvore, porém utlzando lmtantes dervados de uma relaxação do espaço de estados de uma formulação de programação dnâmca, e um procedmento do tpo otmzação do subgradente (ascensão no espaço de estados). Tal método é mas efcaz do que o de CHRISTOFIDES & WHITLOCK (1977). CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995) não chegaram a aplcar este método para resolver exemplos reas de processos de corte, mas apenas para resolver alguns exemplos da lteratura e exemplos gerados aleatoramente, todos de tamanho moderado. Neste artgo exploramos uma varação do método de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), onde, ao nvés de aplcarmos o algortmo de busca em árvore, optamos por desenvolver uma smples heurístca de factblzação que, em cada teração do procedmento de otmzação do subgradente, utlza a solução relaxada de programação dnâmca para tentar acentuar a melhor solução factível obtda até então. O resultado é um método sem garanta de otmaldade, porém,

3 80 Slvera & Morabto Um Método Heurístco Baseado em Programação Dnâmca para o Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado Restrto bem mas rápdo e capaz de resolver problemas maores do que o método exato de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995). O desempenho computaconal do método é lustrado resolvendo-se alguns exemplos da lteratura e exemplos aleatóros, e comparando-se as soluções obtdas com as soluções ótmas do método de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995) e com as soluções produzdas por métodos heurístcos, entre eles, o algortmo de Wang (esta é a heurístca mas referencada na lteratura para resolver o PGR). Os resultados destes expermentos mostram que uma das vantagens do presente método sobre outros métodos heurístcos é que, nos casos em que ele encontra uma solução ótma, em geral também fornece um certfcado de otmaldade. Além dsso, nos casos em que a solução obtda é subótma, o método é capaz de produzr um excelente lmtante superor para o valor da solução ótma do PGR, o que permte uma boa estmatva do gap de otmaldade. Convém salentar que, na maora dos exemplos aqu analsados, este lmtante gualou-se ou fcou muto perto do valor da solução ótma. Este trabalho está organzado da segunte manera: na próxma seção dscutmos a modelagem do PGR e o método de solução aqu proposto baseado em CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), e na seção 3 analsamos os resultados computaconas do método, comparando-os com os dos outros métodos. Fnalmente, na seção 5, apresentamos as conclusões e perspectvas para pesqusa futura. 2. Modelagem do PGR e Método de Solução P roblemas de corte têm sdo abordados na lteratura prncpalmente por: () programação lnear combnada com uma técnca de geração de colunas (padrões de corte) (GILMORE & GOMORY, 1965), e () heurístca gulosa de aspração da demanda, combnada com um procedmento de geração de padrões de corte (HINXMAN, 1980). A abordagem () pode ser aproprada quando o problema de corte é rrestrto, sto é, não há lmtações para o número máxmo de vezes em que um tpo de peça poderá ser cortado a partr de uma placa, além das lmtações mpostas pelas dmensões físcas da placa. Uma heurístca gulosa de aspração da demanda bastante smples é a chamada redução exaustva repettva (HINXMAN, 1980): Heurístca de aspração: Enquanto a demanda de peças não for cumprda, faça-se: Passo 1: Gere o melhor padrão de corte para o PGR. Passo 2: Repta este padrão, tanto quanto for possível, em função da demanda das peças. Ou seja, corte no maor número de vezes possível este padrão, levando em conta a demanda atual das peças deste padrão. Passo 3: Atualze a demanda das peças, ou seja, retre da demanda atual a quantdade de peças que fo cortada no passo 2. Eventualmente, nclua na demanda as peças de novos peddos. Podemos verfcar que a maor dfculdade da heurístca de aspração se encontra no passo 1, que é o foco deste trabalho. A segur, descrevemos uma formulação de programação dnâmca para resolver o PGR do passo Formulação de programação dnâmca Seja R 0 o retângulo (chapa) de comprmento e largura L x W, e R um conjunto de n retângulos menores (peças) R 1, R 2,, R n, com comprmentos e larguras l 1, x w 1, l 2, x w 2,, l n x w n, demandas b 1, b 2,, b n, e valores v 1, v 2,, v n. O PGR consste em encontrar o padrão de corte gulhotnado para R 0 com o maor valor total possível, usando-se não mas do que b réplcas de cada retângulo R, = 1, 2,, n (uma vez que temos a restrção de não gerar estoque, ou seja, podemos produzr no máxmo b réplcas de cada retângulo R ). Se todos os valores v forem guas

4 GESTÃO & PRODUÇÃO v.9, n.1, p.78-92, abr y x Fgura 1 Exemplo de padrão de corte para (x, y) em 3-estágos às áreas l w, então o objetvo corresponde a mnmzar a perda de materal. Admtmos que os comprmentos e larguras da chapa e das peças são números nteros e, por smplcdade, que peças l x w são dferentes de peças w x l (casos em que as peças podem ser rotaconadas podem ser tratados por meo de smples modfcações nas defnções de F 0 em (3) e (7), e X e Y em (11) e (12) adante). Para desenvolver uma fórmula recursva de programação dnâmca, admtmos que os cortes são produzdos em estágos. A Fgura 1 lustra um padrão de corte em 3 estágos para um retângulo (x, y), onde, no prmero estágo, um corte horzontal dvde o retângulo (x, y) em 2 retângulos (superor e nferor); no segundo estágo, um corte vertcal dvde o retângulo superor em dos retângulos (superor esquerdo e superor dreto), e dos cortes vertcas dvdem o retângulo nferor em três retângulos (nferor esquerdo, nferor ntermedáro e nferor dreto); e, no tercero estágo, um corte horzontal dvde o retângulo superor esquerdo em dos retângulos, e dos cortes horzontas dvdem o retângulo nferor dreto em três retângulos. Note que os cortes de cada estágo são sempre paralelos aos exos x ou e que os cortes de dos estágos consecutvos são sempre perpendculares entre s. Sejam s 1, s 2,, s n as quantdades de peças dos tpos 1, 2,, n que podem ser usadas para produzr um padrão de corte factível para o retângulo (x, y). Representamos essas peças pela seqüênca ordenada: { s s s } S x y = 1, 2,..., Note que, para a chapa (L, W), podemos usar quasquer peças do conjunto R, e assm: n { b b } S =,...,, LW 1 2 b n Defnmos F (x, S ) como o valor do padrão de corte ótmo em até -estágos, para um retângulo de tamanho (x, y), usando uma combnação factível de retângulos do conjunto S, com cortes no prmero estágo paralelos ao exo y. Smlarmente, defnmos G (x, S ) como o valor do padrão de corte ótmo em até -estágos, para um retângulo de tamanho (x, y), usando uma combnação factível de retângulos do conjunto S, com cortes no prmero estágo paralelos ao exo x. Sejam X = {1, 2,, L} e Y = {1, 2,, W}. As funções recursvas F (x, S ) e G (x, S ), para todo 1, x X, y Y e S S LW, são defndas como (CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU, 1995): F S G S G 1 ) = max F max x' + < x, G x' X, 1 S' S F 1 ) = max G max y' + ' < F y Y, 1 S' S S ), ( x', S' ) + ( ) x x', S S' S ), y', S' ) + (1) ( ) x, y y', S S' (2)

5 82 Slvera & Morabto Um Método Heurístco Baseado em Programação Dnâmca para o Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado Restrto y y corte y corte 0 x 0 x x 0 (a) (b) (c) Fgura 2 (a) Nenhum corte neste estágo, mas um corte no estágo anteror paralelo ao exo x, (b) corte neste estágo paralelo ao exo (c) alocação de uma peça no retângulo (x, y) em = 0 peça x O prmero termo do colchete da fórmula (1) corresponde ao caso em que, no prmero estágo do padrão ótmo em até estágos de (x, y), não há cortes em (x, y) paralelos ao exo o que mplca que este padrão pode ser consderado como um padrão em até 1 estágos, com os cortes do prmero estágo paralelos ao exo x, como na Fgura 2(a). O segundo termo do colchete da fórmula (1) corresponde ao caso em que, no prmero estágo do padrão ótmo em até estágos de (x, y), exste pelo menos um corte em (x, y) paralelo ao exo dgamos um corte vertcal x X, x <x, produzndo dos retângulos (x, y) e (x x, y), como na Fgura 2(b). Neste caso, temos dos padrões de corte assocados com estes retângulos. No prmero, as peças pertencem ao conjunto S, os cortes no prmero estágo do padrão ótmo de (x, y) são paralelos ao exo e anda há estágos no total (dado que pode haver outros cortes vertcas x <x em (x, y), que não mplcam em outro estágo em (x, y)). No segundo, as peças pertencem ao conjunto complementar S S, os cortes no prmero estágo do padrão ótmo de (x x, y) são paralelos ao exo x, e há somente 1 estágos no total (dado que cortes horzontas em (x x, y) mplcam em outro estágo em (x, y)). Smlarmente para a fórmula (2). Um valor para = 0 em F (x, S ) ou G (x, S ) (fórmulas (1) e (2)) corresponde a uma alocação da maor peça (.e., mas valosa) do conjunto S para o retângulo (x, y) (ver Fgura 2(c)). Os dos cortes para produzr esta peça a partr de (x, y) não são consderados como estágos adconas de corte. Assm, condções ncas são fornecdas, para todo x, y e S, por: S ) = max 0,max[ v l x, w y] F0, (3) S G 0 (x, S ) = F 0 (x, S ). (4) Note que o máxmo entre F (x, S ) e G (x, S ) em (1)-(4) corresponde à solução ótma do PGR -estágos para o retângulo (x, y), gerado pelo uso das peças em S, quando a dreção dos cortes do prmero estágo não é especfcada. Em partcular, max[f (L, W, S LW ), G (L, W, S LW )] corresponde à solução ótma do PGR -estágos para a chapa R 0 = L x W. Se não for especfcado um número máxmo de estágos (.e., PGR multestágos), devemos consderar o valor de como sendo aquele em que: F (L, W, S LW ) = F +1 (L, W, S LW ) e G (L, W, S LW ) = G +1 (L, W, S LW ) A prncpal dfculdade desta formulação é a dmensão do espaço de estados assocada prncpalmente à varável de estado S LW. A segur, dscutmos uma relaxação do espaço de estados da formulação (1)-(4), combnada com um procedmento do tpo otmzação do subgradente (ascensão no espaço de estados), conforme explorado em CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), que produz bons lmtantes para o problema orgnal. Em seguda, desenvolvemos uma heurístca de factblzação que, em cada teração do procedmento de otmzação do subgradente, utlza a solução relaxada para produzr boas soluções factíves para o problema orgnal. Convém salentar que

6 GESTÃO & PRODUÇÃO v.9, n.1, p.78-92, abr S S g(s ) g(s ) S g(s ) S g(s ) Fgura 3 Representação da relaxação do espaço de estados CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995) não exploraram heurístcas de factblzação; ao contráro, aplcaram os lmtantes obtdos conforme dscussão acma num procedmento de busca em árvore, para garantr encontrar uma solução ótma para o problema. 2.2 Relaxação do espaço de estados Consdere-se a formulação (1)-(4). Seja g(.) uma função de mapeamento escalar ntera, do domíno de estados (x, S ) para algum outro domíno (x, g(s )), com menor cardnaldade. Por exemplo, seja g ( S ) = s ; logo, todos s S os subconjuntos S' S com mesmo valor g(s') (.e., com mesma quantdade total de peças dsponíves) são representados por apenas um ponto no novo domíno (Fgura 3). Portanto, trata-se de uma relaxação do espaço de estados orgnal. A fórmula recursva (1) para o problema de corte pode agora ser reescrta para o novo espaço relaxado, para todo 1, x X, y Y e g(s ), como segue: F g( S = max )) = max x < < ' x, x' X, g ( S ') g ( S ) G 1 + G g( S )) F 1 ( x', g( S') ), + ( ) x x', g( S S') Smlarmente para a fórmula recursva (2). Como se trata de uma relaxação da formulação (1)-(2), temos que: F (x, g(s )) F (x, S ) e G (x, g(s )) G (x, S ) e assm, max [ F (x, g(s )), G (x, g(s )) ] produz lmtantes superores para a solução ótma do PGR com até -estágos (uma prova formal dsto pode ser encontrada em CHRISTOFIDES et al., 1981). Obvamente, é desejável que a função g seja fácl de ser computada, e que tenha sua contrapartda muto menor do que seu domíno. CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995) propuseram assocar um peso ntero não negatvo q a cada peça no conjunto R, e defnram g como: g( S ) = q s S s q e g( S') = q' s q s S' Logo, g( S S' ) pode ser faclmente computada por q q', e as fórmulas (1)-(4) são reescrtas por: F G G 1 = max F max x + ' = < ' x, G x X, 1 q' 0,..., q F 1 = max G max y' < y, + F y' Y, 1 q' = 0,..., q, ( ) ( ) x', q' + x x', q q' (5), ( ) ( ) x, y', q' + x, y y', q q' (6)

7 84 Slvera & Morabto Um Método Heurístco Baseado em Programação Dnâmca para o Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado Restrto (a) (b) Fgura 4 (a) Padrão de corte não normalzado, (b) padrão de corte normalzado e ncalzadas por F0 = 1,..., n (7) = max 0,max [ v l x, w q q], G 0 (x, = F 0 (x,. (8) As recursões (5)-(8), aplcadas para todo 1, x X, y Y e q = 0,, Q, onde Q = b q, (9) b S LW podem ser usadas para obtermos um lmtante superor Z UB para o valor da solução ótma do PGR -estágos, para um dado conjunto de pesos q 1, q 2,, q n. Este lmtante é calculado por: Z UB = max [ F (L, W, Q), G (L, W, Q) ] (10) Note que para q 1 = 0, q 2 = 0,, q n = 0 e sufcentemente grande, o lmtante Z UB em (10) corresponde à solução ótma do problema gulhotnado rrestrto. A computação de Z UB pode ser reduzda pela restrção aos padrões de cortes normas (HERZ, 1972; CHRISTOFIDES & WHITLOCK, 1977). Qualquer padrão de corte é dto normalzado se qualquer peça cortada tem sua margem do lado esquerdo e sua margem nferor adjacentes a outra peça cortada ou às bordas de R 0, como mostra a Fgura 4. Uma conseqüênca dsso é que os conjuntos X = {1, 2,, L} e Y = {1, 2,, W} em (5)-(6) podem ser sgnfcatvamente reduzdos, sem perda de generaldade, ao serem redefndos por: x x = X = Y = y y = n = 1 n = 1 θ l, 1 x L, 0 θ b e θ ntero, = n 1,..., τ w, 1 y W, 0 τ b e τ ntero, = n 1,..., (11) (12) Neste caso, as fórmulas recursvas (5) e (6), aplcadas para todo 1, x X, y Y e q = 0,, Q (conforme (9), (11) e (12)), são reescrtas por: F G G = max F max x' < x, + G x' X, 1 q' = 0,..., q F = max G max y' < + F y' Y, 1 q' = 0,..., q 1, ( ) ( ) x', q' + x x', q q' (13) 1, ( ) ( ) x, y', q' + x, y y', q q' (14) onde = max { x1 x1 x, x1 X { 0 }} = max { y1 y1 y1 Y { 0 }} x, y (estas defnções são necessáras para garantrmos que o resultado das dferenças x x' e y y' em (13) e (14) pertençam aos conjuntos X e Y em (11) e (12)), e F = G = 0 se x = 0 ou y = 0 (note agora que, por causa das

8 GESTÃO & PRODUÇÃO v.9, n.1, p.78-92, abr defnções de x e y, podemos ter x = 0 ou y = 0). As fórmulas (13)-(14) são ncalzadas conforme antes, por (7)-(8). Uma vez computado o valor do lmtante Z UB em (10) para um dado conjunto de pesos q 1, q 2,, q n, e sufcentemente grande, é necessáro fazer um bactracng para determnar as peças em R que compõem o padrão correspondente (não necessaramente factível) para a chapa R 0. Isso requer o uso de ponteros que ndcam, para cada conjunto de valores (, x,, os termos na recursão (13)-(14) que levaram aos valores de F (x, e G (x,. Uma smples rotna bactracng pode ser defnda para determnar a seqüênca de cortes realzados sobre a chapa R 0, em conjunto com uma estrutura de dados aproprada para representar a lsta de peças em R produzdas durante o processo de corte. Seja γ o número de vezes que a peça fo usada neste padrão. Se γ b para todo =1,, n, então uma solução factível para o PGR multestágos fo encontrada, e logo é ótma. Caso contráro, um procedmento do tpo otmzação do subgradente pode ser utlzado para otmzar o lmtante Z UB em (10), varando-se os pesos q 1, q 2,, q n. 2.3 Ascensão no espaço de estados Um método de modfcação do espaço de estados, assocado com a formulação relaxada (13)-(14), pode ser usado numa tentatva de mnmzar o lmtante Z UB em (10). O objetvo desta técnca é penalzar as nfactbldades de modo a forçar que a solução do problema relaxado se aproxme cada vez mas da factbldade. Sejam q o vetor de pesos (q 1, q 2,, q n ), f( o lmtante superor Z UB produzdo por (10) usando o vetor q, e D a máxma dmensão do espaço de estados relaxado que desejamos modfcar (sto é, os maores valores de Q em (9)). Temos que resolver o segunte problema: f(q*) s.a.: = mn [ f ( ] q 0 b S LW b q D A mnmzação de f( no problema acma é, em geral, dfícl, dado que f( é uma função descontínua em q. Entretanto, um procedmento do tpo otmzação do subgradente para modfcar os pesos q e ascender no espaço de estados pode ser usado (CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU, 1995). O procedmento é baseado no segunte prncípo: consdere-se γ conforme defndo anterormente. Se γ b para todo = 1,, n, então o problema está resolvdo; caso contráro, então é razoável tentar reduzr a dferença γ b para se mover em dreção à factbldade. Um smples modo de se consegur sso é ncrementar o peso q das peças para as quas γ > b e, ao mesmo tempo, decrementar o peso q das peças para as quas γ b. Neste trabalho utlzamos a segunte fórmula para atualzar os valores dos pesos q : q + q = max t ( γ b ) t [ 0, q ( b γ ) ] seγ b, se γ > b, (15) onde z denota o maor ntero menor ou gual a z, e t é o tamanho do passo escalar postvo, dado por: m t = max1, π ( ZUB Z LB ) / ( b γ ) = 1 Note que esta fórmula, smlar ao tamanho dos passos na otmzação do subgradente (HELD et al., 1974), é uma pequena modfcação da utlzada em CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995). Nossa motvação para o lmte nferor t = 1 é permtr que q em (15) seja alterado sempre que γ b. O parâmetro π é ncalmente fxado em 2,0, sendo então reduzdo pela metade a cada 3 terações, até que π seja nferor a ε = 0,05 (.e., após 18 terações). Z LB é o valor de um lmtante nferor (correspondendo a uma solução factível) para a solução ótma do PGR, ncalzado por alguma heurístca. Z UB é o valor do lmtante superor 2

9 86 Slvera & Morabto Um Método Heurístco Baseado em Programação Dnâmca para o Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado Restrto corrente em (10). Note que, se Z UB = Z LB, então o procedmento de otmzação do subgradente pode ser nterrompdo, com Z LB sendo a solução ótma para o problema orgnal. Algortmo de otmzação do subgradente: Passo 1: Determne X e Y em (11)-(12), e escolha valores ncas para Z LB e para o vetor q, por exemplo, q = 0, = 1,, n. Passo 2: Resolva a formulação relaxada (13)- (14), com sufcentemente grande, para obter o valor ótmo Z UB em (10) relatvo ao vetor q atual. Passo 3: Cheque se o padrão de corte assocado com Z UB gera uma solução factível para o PGR. Se sm, então esta solução é ótma e o procedmento é termnado. Caso contráro, se Z UB < Z mn (o mínmo lmtante superor obtdo até então), atualze Z mn com Z mn = Z UB. Passo 4: Execute uma heurístca de factblzação (descrta a segur) para encontrar uma solução factível para o problema. Se o valor desta solução for maor que Z LB (o valor da melhor solução factível obtda até então), atualze Z LB. Se Z LB = Z mn, então esta solução é ótma e o procedmento é termnado. Passo 5: Modfque o vetor q usando a fórmula dada em (15), e atualze Q em (9) e π. Passo 6: Volte para o passo 2 com o novo vetor q, a menos que um número sufcente de terações já tenha sdo realzado, ou π ε. No fnal do algortmo, a solução ótma para o PGR pode ter sdo encontrada (passo 3 ou 4). Caso contráro, a solução apresentada é a melhor obtda no passo 4 com a heurístca de factblzação, que não tem garanta de otmaldade. Em CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), não há o passo 4, e o melhor lmtante superor Z mn obtdo pelo algortmo é usado num procedmento de busca em árvore para resolver otmamente o problema. 2.4 Heurístca de factblzação Uma heurístca de factblzação bastante smples é resumda nos seguntes passos: Passo 1: Retre aleatoramente do padrão as peças que excederam a demanda atual. Por exemplo, se o padrão contém três peças do tpo 1, e apenas duas peças do tpo 1 são demandadas, então retre aleatoramente do padrão uma peça do tpo 1. Passo 2: Para cada buraco produzdo no passo 1 (.e., espaço formado pelas peças que foram retradas do padrão), determne a solução homogênea (arranjo com peças do mesmo tpo) mas valosa, dentre os tpos de peças que anda não excederam a demanda. Guarde o valor da melhor solução homogênea obtda para cada buraco. Passo 3: Preencha o buraco que resultar no maor valor para o padrão. Atualze a demanda das peças utlzadas para preencher este buraco. Passo 4: Volte para o passo 2 enquanto exstrem buracos que anda possam ser preenchdos por peças demandadas. Esta heurístca é executada no passo 4 do algortmo de otmzação do subgradente (seção 2.3). Ao térmno do algortmo, se tvermos encontrado uma solução factível com valor Z mn, então esta solução é ótma. Caso contráro, o algortmo retorna a melhor solução produzda pela heurístca de factblzação ao longo de todas as terações, junto com o lmtante nferor Z mn para o valor da solução ótma do PGR. 3. Resultados Computaconas N esta seção apresentamos alguns resultados computaconas para lustrar o desempenho computaconal do método proposto na seção 2. Tanto as mplementações deste método quanto as do algortmo proposto em WANG (1983) foram codfcadas em lnguagem Pascal (complador

10 GESTÃO & PRODUÇÃO v.9, n.1, p.78-92, abr Tabela 1 Resultados computaconas para 6 exemplos da lteratura Prob Dados Wang Chrst Chrst/Fact Ótma Melh (L, W) n X Y Sol. Tempo Lm. Sol. Tempo Sol. Tempo Sol. % CW1 (15,10) * < * < 1 244* < ,0 CW2 (40,70) < ,0 CW3 (40,70) < * ,9 OF1 (70,40) < * * ,0 OF2 (70,40) < ,3 WA (70,40) < * * ,5 Méda < ,5 * solução ótma Delph 4 da Borland), e foram rodadas num mcrocomputador Pentum (350 Mhz, 256 Mbytes de memóra RAM). Dvdmos os expermentos desta seção em duas partes: exemplos retrados da lteratura (seção 3.1) e exemplos gerados aleatoramente (seção 3.2). Em todos os exemplos resolvdos pelo algortmo proposto em WANG (1983), usamos como parâmetro β = 0,03, ou seja, permtmos uma perda de no máxmo 3% dentro dos arranjos horzontas e vertcas gerados pelo algortmo. Convém salentar que este fo o valor que apresentou os melhores resultados em WANG (1983). Como o algortmo de Wang é sufcentemente rápdo (conforme é vsto a segur, ele consumu menos de 1 segundo para resolver cada exemplo) e produz soluções relatvamente boas, estas foram utlzadas para ncalzar o valor de Z LB no passo 1 do algortmo de otmzação do subgradente (seção 2.3). Desta manera, os resultados a segur ndcam quanto o segundo algortmo é capaz de melhorar as soluções do prmero. 3.1 Exemplos da lteratura Tomamos 6 exemplos amplamente utlzados na lteratura para comparações de métodos de solução para o PGR: os exemplos CW1, CW2 e CW3 em CHRISTOFIDES & WHITLOCK (1977), OF1 e OF2 em OLIVEIRA & FERREIRA (1990), e WA em WANG (1983). As soluções ótmas destes exemplos são conhecdas na lteratura. A Tabela 1 resume os dados dos exemplos e os resultados computaconas obtdos; os demas dados dos exemplos podem ser encontrados em SILVEIRA (1999). As colunas Wang, Chrst e Chrst/Fact apresentam, respectvamente, as soluções obtdas pela heurístca de WANG (1983), pelo algortmo de otmzação do subgradente de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995) (algortmo da seção 2.3 sem o passo 4), e pelo algortmo de otmzação do subgradente junto com a heurístca de factblzação (algortmo da seção 2.3 com o passo 4, e algortmo da seção 2.4). Os tempos computaconas (coluna Tempo) referemse a segundos, e o símbolo < 1 ndca um tempo menor que 1 segundo. A coluna Lm apresenta o melhor lmtante superor gerado por Chrs e Chrst/Fact, e as colunas Ótma e Melh apresentam, respectvamente, a solução ótma e a melhora (em %) da solução de Chrst/Fact em relação à solução da heurístca de Wang. Observe na Tabela 1 que: () enquanto Wang fo capaz de encontrar a solução ótma apenas de CW1, Chrst encontrou a solução ótma de CW1, OF1 e WA, e Chrst/Fact a solução ótma de

11 88 Slvera & Morabto Um Método Heurístco Baseado em Programação Dnâmca para o Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado Restrto CW1, CW3, OF1 e WA; () Chrst e Chrst/Fact produzram lmtantes superores guas ou muto próxmos do valor da solução ótma; () Chrst/Fact produzu soluções em méda 16,5% melhores que Wang, porém que demandaram um tempo computaconal substancalmente superor (135 segundos em méda). Além dsso, Chrst/ Fact produzu soluções melhores do que Chrst nos exemplos CW3 e OF2. Convém salentar que o método exato de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), baseado no algortmo de otmzação do subgradente e num procedmento de busca em árvore, fo capaz de encontrar as soluções ótmas de todos os exemplos acma, no entanto os tempos computaconas foram bem elevados (em alguns casos chegaram à ordem de horas num mcrocomputador IBM 486). Ao compararmos Chrst/Fact com outros métodos heurístcos da lteratura, por exemplo, o método de FAYARD et al. (1998), este encontrou soluções nferores às de Chrst/Fact para os exemplos CW2 (2731), CW3 (1740) e OF1 (2713), mas superor para o exemplo OF2 (2586), com tempos computaconas da ordem de poucos segundos numa estação de trabalho Sparc-Server Exemplos gerados aleatoramente Geramos, aleatoramente, 20 exemplos com chapas de dmensões (L, W) = (100, 100) e n = 10 peças, dvddos em duas classes: exemplos com peças grandes e pequenas. Essa classfcação tem sdo utlzada por alguns autores na lteratura, como em BEASLEY (1985), MORABITO & ARENALES (1995, 1996), e HIFI (1997). Exemplos com peças grandes: as dmensões l, w, =1, 2,, n, foram sorteadas (e em seguda arredondadas) de uma dstrbução unforme nos ntervalos [0,25L, 0,75L], [0,25W, 0,75W], respectvamente. Exemplos com peças pequenas: as dmensões l, w, =1, 2,, n, foram sorteadas (e em seguda arredondadas) de uma dstrbução unforme nos ntervalos [0,20L, 0,50L], [0,20W, 0,50W], respectvamente. Em todos os exemplos, os valores de utldade v, =1,2,,n, foram consderados guas às áreas l w das peças, e as demandas d foram sorteadas de uma dstrbução unforme no ntervalo [1, 4]. Os demas dados destes 20 exemplos podem ser encontrados em SILVEIRA (1999). As Tabelas 2 e 3 apresentam os resultados obtdos para os exemplos com peças grandes e pequenas, respectvamente. Como estes exemplos foram gerados aleatoramente, a solução ótma não é conhecda a pror. Portanto, só temos garanta de otmaldade quando a solução gerada em Chrst ou Chrst/Fact é factível e tem valor gual ao lmtante superor (passos 3 ou 4 do algortmo da seção 2.3). Nas tabelas, o símbolo (1) na coluna Ótma ndca que o exemplo tem solução ótma desconhecda. Como podemos observar, para os exemplos com peças grandes (25% a 75% do tamanho da placa orgnal), as soluções apresentadas em Chrst e Chrst/Fact são quase sempre ótmas e acompanhadas de um certfcado de otmaldade; além dsso, são superores às soluções encontradas em Wang (em méda mas de 15%, conforme Tabela 2). Note que Chrst/Fact supera Chrst apenas no problema 5 (neste caso, não sabemos se a solução é ótma, mas sabemos que, caso não seja, o gap de otmaldade é, no máxmo, 3,3%), o que sugere que a heurístca de factblzação é menos efetva em problemas com peças grandes. Para os exemplos com peças pequenas (20% a 50% do tamanho da placa orgnal), as soluções obtdas em Chrst e Chrst/Fact nem sempre são acompanhadas de um certfcado de otmaldade (note que não sabemos se as soluções dos problemas 1, 2, 3, 6, 8 e 10 na Tabela 3 são ótmas). Isso se deve ao fato de que agora cabem mas peças dentro da placa orgnal (em comparação aos problemas com peças grandes), aumentando, assm, as chances de que o algortmo de otmzação de subgradente gere soluções nfactíves (.e., colocando mas peças no padrão de corte do que a demanda requerda). Contudo, as soluções obtdas em Chrst/Fact anda são melhores que as encontrados em Wang

12 GESTÃO & PRODUÇÃO v.9, n.1, p.78-92, abr Prob Tabela 2 Resultados computaconas para 10 exemplos aleatóros com peças grandes, com (L,W) = (100,100), e n = 10. Dados Wang Chrst Chrst/Fact Ótma Melh X Y Sol. Tempo Lm. Sol. Tempo Sol. Tempo Sol. % < , < < < , < , < , < (1) 5, < , < < < , < < < , < < < , < (1) 0,0 Méda < ,2 (1) A solução ótma não é conhecda Prob Tabela 3 Resultados computaconas para 10 exemplos aleatóros com peças pequenas, com (L,W) = (100,100) e n = 10. Dados Wang Chrst Chrst/Fact Ótma Melh X Y Sol. Tempo Lm. Sol. Tempo Sol. Tempo Sol. % < (1) 2, < (1) 2, < (1) 3, < , < , < (1) 35, < < < , < (1) 5, < < < , < (1) 0,0 Méda < ,0 (1) A solução ótma não é conhecda (em méda 8%, conforme Tabela 3), apesar de os tempos computaconas serem bem maores (178 segundos em méda). Além dsso, nos problemas onde a solução ótma não fo encontrada, Chrst/Fact produzu soluções em geral melhores do que Chrst (problemas 1, 2, 3, 6 e 8), ndcando que a heurístca de factblzação é mas efetva em problemas com peças pequenas. 4. Conclusões e Perspectvas para Pesqusa Futura N este artgo estudamos o problema de corte bdmensonal gulhotnado restrto. Para resolvê-lo, exploramos uma varação do método de CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), baseada numa relaxação do espaço de

13 90 Slvera & Morabto Um Método Heurístco Baseado em Programação Dnâmca para o Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado Restrto estados de uma formulação de programação dnâmca do PGR (seção 2.2), num procedmento do tpo otmzação do subgradente (seção 2.3), e numa heurístca de factblzação (seção 2.4). O desempenho computaconal deste método heurístco fo avalado resolvendo-se 6 exemplos da lteratura (seção 3.1) e 20 exemplos aleatóros (seção 3.2), e comparando-se as soluções obtdas com as soluções da conhecda heurístca de WANG (1983). Os resultados mostraram que a abordagem fo capaz de produzr soluções melhores do que a heurístca de Wang (com parâmetro β = 0,03), com melhoras médas de 16,5% nos exemplos da lteratura, e 15% e 8% nos exemplos aleatóros com peças grandes e pequenas, respectvamente. Além dsso, mutas destas soluções são ótmas e, nos casos em que não são, a abordagem, partndo da solução ótma do problema rrestrto (relaxado), fo capaz de produzr um lmtante superor relatvamente próxmo do valor da solução ótma do PGR, o que permte uma boa estmatva do gap de otmaldade (nos expermentos este lmtante superor concdu com o valor da solução ótma em 5 dos 6 exemplos da lteratura, em pelo menos 8 dos 10 exemplos aleatóros com peças grandes, e em pelo menos 4 dos 10 exemplos aleatóros com peças pequenas). Uma vantagem deste método é que, nos casos em que ele encontrou uma solução ótma, em geral também forneceu um certfcado de otmaldade. Por outro lado, uma desvantagem dele foram os tempos computaconas, substancalmente superores aos da heurístca de Wang. Apesar de a heurístca de factblzação utlzada ser bastante smples, o presente método produzu resultados razoavelmente bons, se comparados aos de WANG (1983) e FAYARD et al. (1998), e parece ser mas efetvo nos exemplos com peças pequenas (Tabela 3) do que grandes (Tabela 2). Entretanto, o método, na sua versão atual, é superado pela abordagem em grafo-e/ou de MORABITO & ARENALES (1996), capaz de produzr, para todos os exemplos aqu analsados, soluções no mínmo tão boas e com tempos computaconas bem nferores. Outras heurístcas de factblzação mas elaboradas que a atual estão na nossa agenda de pesqusa para tentar melhorar o desempenho atual do método. Outra perspectva nteressante para pesqusa futura sera um estudo aprofundado em uma fábrca de vdro ou placas de crcuto mpresso, aplcando a heurístca de aspração (seção 2) combnada com o método aqu proposto, para avalar na prátca o benefíco desta abordagem com relação aos métodos utlzados pela empresa. Agradecmentos Os autores agradecem aos revsores anônmos pelos útes comentáros e sugestões. Esta pesqusa contou com apoo da FAPESP (processos 95/9522-0, 97/ , 97/ ) e CNPq (processo /95-7). Referêncas Bblográfcas ARENALES, M.; MORABITO, R.; YANASSE, H. Specal ssue: Cuttng and pacng problems. Pesqusa Operaconal, v.19, n.2, p , BEASLEY, J.E. Algorthms for unconstraned twodmensonal gullotne cuttng. Journal of the Operatonal Research Socet v.36, n.4, p , BISCHOFF, E.; WAESCHER, G. Specal Issue on Cuttng and Pacng Problems. European Journal of Operatonal Research, v.84, n.3, p , CHRISTOFIDES, N.; HADJICONSTANTINOU, E. An Exact Algorthm for Orthogonal 2-D Cuttng Problems Usng Gullotne Cuts. European Journal of Operatonal Research, v.83, p.21-38, 1995.

14 GESTÃO & PRODUÇÃO v.9, n.1, p.78-92, abr CHRISTOFIDES, N.; MINGOZZI, A.; TOTH, P. State-space relaxaton procedure for the computaton of bounds to routng problems. Networs, v.11, p , CHRISTOFIDES, N.; WHITLOCK, C. An algorthm for two-dmensonal cuttng problems. Operatons Research, v.25, n.1, p.30-44, DOWSLAND, K.; DOWSLAND, W.B. Pacng Problems. European Journal of Operatonal Research, v.56, p.2-14, DYCKHOFF, H. Classfcaton of Real World Trm Loss Problems. In: FANDEL, G. et al. Essays on Producton Theory and Plannng. Berln: Sprnger-Verlag, DYCKHOFF, H.; FINKE, U. Cuttng and Pacng n Producton and Dstrbuton: Typology and Bblography. Hedelberg: Sprnger-Verlag, DYCKHOFF, H.; SCHEITHAUER, G.; TERNO, J. Cuttng and pacng. In: AMICO, M.; MAFFIOLI, F.; MARTELLO, S. (eds.). Annotated bblographes n combnatoral optmsaton. New Yor: John Wley & Sons, p FAYARD, D.; HIFI, M.; ZISSIMOPOULOS, V. An effcent approach for large-scale twodmensonal gullotne cuttng stoc problems. Journal of the Operatonal Research Socet v.49, p , HERZ, J.C. Recursve computatonal procedure for two-dmensonal cuttng. IBM Journal of Research and Development, p , HIFI, M. An mprovement of Vswanathan and Bagch s exact algorthm for constraned twodmensonal cuttng stoc. Computers and Operatons Research, v.24, n.8, p , HINXMAN, A.I. The Trm Loss and Assortment Problems: A Survey. European Journal of Operatonal Research, v.5, p.8-18, MORABITO, R.; ARENALES, M. Um Exame dos Problemas de Corte e Empacotamento. Pesqusa Operaconal, v.12, n.1, p.1-20, MORABITO, R.; ARENALES, M. Performance of Two Heurstcs for Solvng Large Scale Two- Dmensonal Gullotne Cuttng Problems. INFOR, v.33, n.2, p , MORABITO, R.; ARENALES, M. Staged and constraned two-dmensonal gullotne cuttng problems: An AND/OR-graph approach. European Journal of Operatonal Research, v.94, p , MORNAR, V.; KHOSHNEVIS, B. A cuttng stoc procedure for prnted crcut board producton. Computers and Industral Engneerng, v.32, n.1, p.57-66, MUKHACHEVA, E.A. Decson mang under condtons of uncertanty: cuttng-pacng problems. The Internatonal Scentfc Collecton, Ufa, Russa, OLIVEIRA, J.F.; FERREIRA, J.S. An mproved verson of Wang s algorthm for two-dmensonal cuttng problems. European Journal of Operatonal Research, v.44, p , SILVEIRA, R.J. O Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado e Restrto: Aplcação na Indústra de Crcutos Impressos. Dssertação (Mestrado) DEP, Unversdade Federal de São Carlos, São Carlos, SWEENEY, P.; PATERNOSTER, E. Cuttng and Pacng Problems: A Categorzed, Applcatonorented Research Bblography. Journal of the Operatonal Research Socet v.43, p , VASKO, F.J. A computatonal mprovement to Wang s two-dmensonal cuttng stoc algorthm. Computers and Industral Engneerng, v.16, n.1, p , VISWANATHAN, K.V.; BAGCHI, A. Best-frst search methods for constraned two-dmensonal cuttng stoc problems. Operatons Research, v.41, n.4, p , WANG, P.Y. Two Algorthms for Constraned Two- Dmensonal Cuttng Stoc Problems. Operatons Research, v.31, p , 1983.

15 92 Slvera & Morabto Um Método Heurístco Baseado em Programação Dnâmca para o Problema de Corte Bdmensonal Gulhotnado Restrto A HEURISTIC METHOD BASED ON DYNAMIC PROGRAMMING FOR THE CONSTRAINED TWO-DIMENSIONAL GUILLOTINE CUTTING PROBLEM Abstract In ths paper we study a partcular case of two-dmensonal cuttng problems named constraned gullotne cuttng (CGC). The CGC s an NP-hard problem that appears n dfferent ndustral processes of cuttng rectangular plates, such as n the glass and crcut board ndustres. To solve the problem we present a varaton of the exact method of CHRISTOFIDES & HADJICONSTANTINOU (1995), based on a state space relaxaton of a dynamc programmng formulaton of the CGC, a procedure of subgradent optmzaton type, and a feasblty heurstc. The result s a method wthout guarantee of optmalt however, faster and able to solve larger problems than the exact method of Chrstofdes and Hadjconstantnou. The computatonal performance of the approach s evaluated solvng several examples of the lterature as well as randomly generated examples, and comparng the solutons obtaned wth the ones of Chrstofdes and Hadjconstantnou s method and the well-nown heurstc of WANG (1983). Key words: cuttng problem, constraned two-dmensonal cuttng patterns, dynamc programmng, heurstcs.