OTIMIZAÇÃO DAS PERDAS EM CORTES GUILHOTINADOS PARA BOBINAS DE AÇO NA INDÚSTRIA METALMECÂNICA

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1 OTIMIZAÇÃO DAS PERDAS EM CORTES GUILHOTINADOS PARA BOBINAS DE AÇO NA INDÚSTRIA METALMECÂNICA osé Aélo Slvera únor Mestrado em Informátca Aplcada - MIA Esmaltec S/A Avenda Parque Oeste, 230, CEP , Maracanaú CE, Brasl aelo@esmalteccombr Plácdo Rogéro Pnhero Unversdade de Fortaleza UNIFOR Mestrado em Informátca Aplcada - MIA Avenda Washngton Soares, 32 CEP , Fortaleza -CE, Brasl plácdo@unforbr Antono Cléco Fontenelle Thomaz Unversdade Estadual do Ceará Avenda Paranjana, 700, CEP , Fortaleza -CE, Brasl cleco@larcesuecebr RESUMO Aborda-se problema de corte gulhotnado e seleção em estoque de bobnas de aço da Indústra Metalmecânca, onde apresenta-se um modelo em programação lnear ntera que está dvdda em duas etapas seqüencas : a prmera é um modelo de otmzação dos comprmentos dos planos de corte que vsam mnmzar as perdas; a segunda, um modelo de seleção de bobnas em estoque que atende a demanda mnmzando os ecedentes de produção A partr desses modelos, apresenta-se um modelo global que envolve as duas etapas de otmzação (comprmentos dos planos de corte e seleção em estoque) Em seguda, são mostrados os resultados computaconas de alguns testes comparatvos entre os modelos Palavra-chave: Programação Lnear Intera, Problemas de Corte Gulhotnado, Bobnas de Aço ABSTRACT The ssues of gullotne cut and n-stoc steel rolls selecton of metalmechanc steel ndustry are approached, where an nteger lnear programmng model s ntroduced, whch s dvded n two stages: the frst one s an optmzaton model for the lengths of the cuttng plans, whch s ntended to mnmze the loss; The second one s the n-stoc steel rolls selecton that attans the demands by mnmzng the eceedng producton Based on those models, a global model s ntroduced whch nvolves both optmzaton stages (lengths of the cuttng plans and n-stoc selecton) Further, computatonal results of some comparatve tests among the models ey-words: Integer Lnear Programmng, Gullotne Cut Problem, Steel Roll

2 Introdução Os problemas de corte, seleção de bobna e estoque, são problemas de otmzação combnatóra que ocorrem em mutos processos ndustras A prmera documentação para este tpo de problema ocorreu na ndústra de papel, em 939, pelo economsta russo antorovch [2] Glmore e Gomory [] ntroduzram em 96, a técnca de geração de coluna para resolver o problema de corte undmensonal usando Programação Lnear (PL) Em 97, Haessler [5], depos de pesqusar como programadores enfrentavam problemas reas em fábrcas de papel, propôs um procedmento heurístco Os problemas de corte undmensonas podem ser dvddos em duas categoras: heurístcas e métodos baseados em programação lnear (PL) Golden [2], Hnman, Haessler e Sweeney [3] deram ecelentes ajudas em váras soluções de preparação O corte de bobnas de aço é um eemplo onde aparecem padrões compartmentados undmensonas, pos, alguns tens devem sofrer lamnações dstntas Neste caso é precso defnr compartmentos que são denomnados por bobnas blans HOTO [6,7,9] descrevem padrões compartmentados undmensonas por meo de um Problema da Mochla Compartmentada (PMC) HOTO [], que é uma nova varação do clássco problema da Mochla Marques & Arenales [3, 4] estudaram o caso restrto do PMC e apresentaram alguns procedmentos heurístcos Tem-se como oetvo realzar um estudo comparatvo entre os modelos propostos para corte gulhotnado em bobnas de aço na ndústra Para a solução do problema foram defndos dos modelos utlzando Programação Lnear, que resolve seqüencalmente o corte gulhotnado das bobnas e em seguda a seleção em estoque Procura-se agora amplar este estudo através de aplcações na ndústra utlzando um únco modelo global (Corte e Seleção) Como aplcação, este processo é consderado de produção crítca, uma vez que estas perdas podem chegar a grandes proporções, aumentando o custo para a Indústra, o que consttu um mportante componente na formação do custo fnal dos produtos 2 O problema de corte gulhotnado Os problemas de corte aparecem em ambentes de produção de algumas ndústras, tas como: papel, móves, vdro, metalúrgca, plástca, têtl, etc Estas ndústras deparam-se, freqüentemente, com o problema de cortar peças grandes (oetos) para a produção de pedaços menores (tens), requerdos nternamente por outros setores da empresa ou por clentes eternos (demandas) As metas tradconas para problemas de corte são mnmzar as perdas ou o valor do custo, sendo necessáro planejar os padrões de corte para amenzar os efetos negatvos, como o desperdíco que onera os custos de produção, MASSARU [5] No ramo de metalurga as bobnas de aço são dentfcadas pelo seu peso (vara de 2000 g a 4000 g), sua largura (vara de 000 mm a 300 mm), espessura do aço (vara de 0,50 mm a,55mm) e pelo teor de carbono na lga, que determnará a dureza do aço A demanda é composta por tras de especfcações determnadas (largura, espessura e tpo de aço) que devem ser cortadas de uma bobna de estoque HOTO [0] Consdere a segunte aplcação: Uma ndústra de aço mantém em estoque um número sufcentemente grande de bobnas de comprmento L que devem ser cortadas em tras menores de comprmentos l para atender uma demanda d, =,,n (veja Fg ) 760

3 Fg - Bobnas em estoque com largura L Após o corte (veja Fg 2), as bobnas são rebobnadas pela própra máquna Sltter, dando orgem às tras que serão referencadas como bobnas blans(veja Fg3) Fg 2 - Máquna Sltter realzando corte de bobnas com largura L 76

4 Fg 3 Bobnas blans de largura l (geradas após o corte da bobna de largura L) Nesta etapa a bobna blan pode segur dos camnhos: ser armazenada no estoque das bobnas blans (bobnas já cortadas) ou ser dreconada a produção onde sofrerão um segundo corte nas máqunas blanqueaderas, dando orgem aos blans (veja Fg 4) A bobna blan quando estocada em méda por 2 meses e de volta a produção, produz uma perda apromada de % Esta perda é provocada por alguns fatores como odação Podem-se chamar de blans, as chapas já cortadas nas dmensões (largura e comprmento) necessáras à produção de uma peça, porém, anda sem acabamentos Fg 4 Corte da bobna blan na máquna Blanqueadera dando orgem aos blans Devdo às larguras dferencadas dos blans (peças), as bobnas podem ser cortadas de dferentes maneras Dessa forma deve-se defnr um padrão de corte para cada bobna a ser cortada (veja Fg 5) Denomna-se por padrão de corte cada combnação possível de peças menores (tens) dentro de peças grandes (oeto) 762

5 Fg 5- Padrão de corte O problema de corte é resolvdo determnando-se os padrões de corte a serem utlzados de forma a otmzar uma função oetva Undade Planos Váves (gerados de acordo com os lmtes da peça) Comprmento Desejado Bobna Blan Plano Plano 2 Plano n Blan a a 2 a n L Blan 2 a 2 a 22 a 2n L 2 Blan m a m a m2 a mn l m Perdas P P 2 p n Tabela Dsposção dos planos váves de forma a atender a demanda 3 Corte das Bobnas de Aço Apresenta-se o modelo seqüencal para solução dos problemas de corte gulhotnado e seleção de bobnas em estoque Em seguda, uma formulação global (P corte e P sel ) do modelo oetvando otmzar o estoque de bobnas blans e as perdas por odação A Esmaltec S/A, do Grupo Edson Queroz, fo à empresa colaboradora do projeto fornecendo dados reas do seu plano de produção, oetvando os testes computaconas e verfcação da efcênca do modelo l l 3 O modelo de corte gulhotnado A partr de um bobna B, de largura l contínua, deseja-se cortar I bobnas blans bl de largura, e de comprmento L, =,, I Cada bobna blan bl, sofrerá em seguda um corte gulhotnado para dar fnalmente peças de comprmento pas É necessáro, então, determnar o valor de L, comprmento total de B, assm como os planos de corte utlzados Estes planos de corte são somente as dferentes possbldades de dsposção das n bobnas blans bl, na largura da bobna prncpal B A cada plano de corte s, assocamos n (s), =,,I, o número de bobnas blans tpo bl contdos em s Desgnaremos por bobna, o rolo prncpal B, e por bobnas blans, os I rolos de bl, a cortar 763

6 DEFINIÇÃO : Um plano de corte s, é dto possível se a soma das larguras das bobnas blans bl que o compõe é nferor a largura l da bobna B, seja: I = n ( s ) l l () Denota-se por p(s), a perda correspondente a este plano, ou seja, a parte não utlzada da largura da bobna prncpal O valor de p(s) é dado por: I p( s ) = l - n ( s ) l (2) = A partr da equação (2), pode-se deduzr que um plano de corte s é dto possível se p(s) 0 DEFINIÇÃO 2: Um plano de corte s é dto vável se ele é possível e se anda, p(s) é nferor a menor largura das bobnas blans bl p( s) mín{ l } (3) =,, I CONSEQUÊNCIA: Um plano de corte s é vável se =,, I { l } 0 p( s) mín (4) Denotado por o comprmento ótmo dos planos de corte necessáros para atender a demanda L, o problema de corte das bobnas de aço pode ser formulado como: (P corte z(mín) = ) sujeto a : B b= B n j p b= = 0, j =,, + nj pas L, =,,I I (5) (6) - corresponde ao número de planos de corte váves; - B corresponde ao número de tpos de bobnas; - I corresponde aos tpos de peças necessáros para a atender a demanda; - o comprmento do plano de corte s j, j =,, na bobna B; - p = p(s j ), corresponde a perda assocada ao plano (s j, j =,) na bobna B; - n j = n (s j ), ndca a quantdade de tras da peça do plano j; - L ndca quantdade de peças necessáras para atender a demanda; - pas dependendo da escolha plano, poderá ser a largura ou comprmento da peça; 764

7 A restrção (6) corresponde aos comprmentos mínmos a cortar para cada tpo de peça, de forma que atenda a demanda L A função oetvo (5) procura mnmzar a perda superfcal total (p j ), I nj e ecedente de peças obtdas, representadas pelo termo ( ) pas = DEFINIÇÃO 3: (P corte ) é dto realzável (ou seja, bem defndo) se para todo tpo de bobna b estr um plano de corte s j, tal que, n j > 0 Se (P corte ) é realzável, obtém-se como solução uma base de comprmentos de planos de corte (s,, s ) que só necessta-se somar para obter C, comprmento teórco total da bobna B a cortar: C = j = s = (7) 32 Seleção das bobnas em estoque Uma vez encontrado o comprmento dos planos ótmos, precsa-se nformar quas as bobnas devem ser seleconadas em estoque de forma que possamos cortar com o menor ecedente de produção (bobnas blans) Portanto, fo necessáro modelar o problema de seleção das bobnas a cortar dentre as dsponíves no estoque 32 Um modelo de seleção de bobnas (B); Ressalta-se a estênca de condções de funconamento operaconal da máquna encarregada do corte das bobnas Uma das condções mas mportantes é a segunte: uma vez um corte ncado, a máquna (sltter) pode parar em qualquer momento, mas a operação que consste em modfcar (trocar) as lâmnas de posção é muto demorada Deve-se então, propor um modelo no qual seja consderado que a máquna só pode parar quando toda a bobna for cortada O nconvenente maor desta tentatva é que na prátca ela gera novos ecessos de produção (bobnas blans) ( P sel ) z( mín) = sujetoa: = T y y ( T y ) = C, j =,,, T, =,,,, =,,, fator_mn T y y 0, j 0, 0, j =,,, =,, 0, j =,,, =,, ( 8) ( 9) ( 0) j =,,, =,, ( ) 765

8 Onde: - C j é o comprmento do plano de corte s j, j =,, encontrado em P corte ; - T é o comprmento da bobna b dsponível em estoque; - é o comprmento do plano j a ser cortado efetvamente da bobna b ; - y é gual a se a bobna b pelo plano j, e gual a 0 em caso contráro; - fator_mín é um parâmetro que nforma o percentual mínmo a ser cortado da bobna b pelo plano j; A restrção (8) assegura que o comprmento total a ser cortado da bobna b por um plano de corte j, atenda ao comprmento obtdo pelo modelo (P corte ) Na restrção (9) mpõe-se que o comprmento a ser efetvamente cortado da bobna b seja menor que o comprmento total da bobna em estoque (T ) A condção () mpõe o comprmento mínmo a ser cortado da bobna b (dado um fator mínmo), e que o comprmento mámo a ser cortado não ultrapasse os comprmentos das bobnas b em estoque (T ) 33 Um Modelo global ntegrando corte e seleção de bobnas A segur, apresentam-se algumas motvações para aplcação de um modelo global envolvendo o problema de corte, seleção de bobnas e estoque: a) A ausênca de solução vável pelos modelos (P corte ) e (P sel ) vem smplesmente comprovar que para a base ótma de um plano de corte escolhdo (s,,s ), não este combnação de bobnas permtndo responder às demandas ( ); b) O modelo P sel só permte rodar para (um) determnado tpo de bobna por vez Dessa forma, devem-se fazer váras nterações no modelo, deando assm o tempo de processamento bastante elevado c) Devdo o funconamento da sltter, que obrga cortar uma bobna por completo, tem-se gerado um ecesso de estoque de bobnas blans Na prátca sso é rum, pos para as bobnas blans armazenadas em méda por 2 meses, possuímos uma perda apromada de % do comprmento total da bobna blan por motvo de odação Do ponto de vsta prátco o modelo de otmzação em duas etapas, pode não ser totalmente satsfatóro É necessáro então fazer de modo com que os comprmentos dos planos de cortes propostos sejam também os mas prómos possíves dos comprmentos das bobnas em estoque Há então a necessdade de formular um modelo ntegrando os dos aspectos: corte e seleção das bobnas, permtndo resolver globalmente 33 Um modelo global: corte e seleção das bobnas em estoque Consderando as restrções já apresentadas e reagrupando os modelos (P corte ) e (P sel ) obtém-se a segunte formulação: 766

9 ( P Global ) Parâmetros: z( mín) = sa : b= = = w y B w T w T y b y y 0, b =,,B, 0, T fator_mn T, b =,,B, j =,, {0,}, p, =,, w L, =,, I 0 0 j =,, b =,, B, j =,,, =,, b =,, B, j =,,B, y 0 + B I, j + b= = pas = n j b, b n, =,, =,,, T j =,, b, =,, y, =,, w - o número de planos de corte váves; - b o número de tpos de bobnas; - I os tpos de peças necessáros para atender a demanda; - o comprmento do plano de corte s j, j = na bobna b; - p = p(s j ) a perda assocada ao plano (s j, j = ) na bobna b; - n j = n (s j ) Quantdade de tras da peça do plano j; - L quantdade de peças necessáras para atender a demanda; - T é o comprmento da bobna b dsponível em estoque; - w é o comprmento do plano j a ser cortado efetvamente da bobna b ; - y se a bobna b é utlzada ou não pelo plano j; - fator_mín é um parâmetro que nforma o percentual mínmo a ser cortado da bobna b pelo plano j; 34 Epermentos computaconas Nesta seção, apresentam-se epermentos computaconas oetvando comparar o desempenho dos modelos P corte, P sel e P global Antes, porém, consderem-se algumas propostas de alteração no modelo P global 767

10 34 Retrada da Restrção de Corte Mínmo Foram realzados alguns testes sem a restrção do fator mínmo, onde o modelo não tera um mínmo a ser cortado, permanecendo apenas a restrção de corte mámo, ou seja, o corte tera que ser menor ou gual ao tamanho da bobna em estoque: = T y w 0, j =,,, =,, Verfcou-se que o modelo passou a nos propor a cortar pequenos comprmentos por bobna em estoque Por outro lado, observam-se algumas condções reas, tas como: o alto custo de preparação da máquna sllter (tempo de setup), a dfculdade de transportar essas bobnas no chão de fábrca, etc 342 Restrção do comprmento necessáro Com as nformações de partcpação da peça no produto e largura e/ou comprmento é possível encontrar o comprmento mínmo a ser cortado para cada tpo de peça: b j b= w C m, =,, onde C m a quantdade em comprmento de produzr a cada tpo de peça Não se obteve resultados satsfatóros com essa alteração, pos o modelo não apresentou solução vável y : 343 Restrção do comprmento necessáro e gualdade na varável de escolha Aplcou-se ao modelo, a alteração 342 juntamente com uma gualdade na varável de escolha = y =, b =,, B, j =,, Dessa forma o modelo obteve uma solução ótma, entretanto propondo cortar todas as bobnas em estoque Este fato merece um aprmoramento do modelo 344 Tabela de resultados comparatvos Oetvando comparar as estruturas seqüencal e global, realzamos uma smulação com o segunte cenáro: A Esmaltec necessta produzr 00 fogões de um determnado tpo de modelo (Fogão Rub), que possu em sua estrutura 7 tpos de peças (lateras, tampão, etc) com o tpo de chapa 0,65 mm A Esmaltec possu 2(dos) tpos de chapa 0,65 com as dmensões 000 e 200 mm e para cada tpo possu 3(três) bobnas em estoque, como podemos observar na Tabela 2 TIPO BOBINA DIMENSÃO COMP ESTOQUE 0, , , , , , Tabela 2 Comprmentos ótmos encontrados no modelo P corte A tabela 3 mostra o comparatvo entre os resultados dos modelos em sére ( P corte e P sel ) e o modelo P global Os epermentos computaconas foram realzados em um computador Pentum IV, com 256 Mb utlzando o pacote LINDO 768

11 Modelo Status Iterações Função Oetvo Tempo Pcorte Ótmo seg Psel (6 planos váves) Ótmo seg Psel ( plano vável) Ótmo 4 0 2seg Total 9seg Pglobal - INT Ótmo seg Total 6seg Tabela 3 Demonstratvo de eecução dos modelos Modelo Nº de Plano de Corte Vável Total Comprmento Pcorte Pglobal Tabela 4 Demonstratvo de resultados dos modelos Foram realzados outros epermentos computaconas consderando uma maor quantdade e dversdade de produtos, como mostra a Tabela 5 Seq Qtde de Função Tempo Nº Nº Teste Modelo Produtos Modelo Iterações Oetvo Status (seg) Lnhas Colunas º Fogão 00 Pcorte Ótmo Psel(6 planos) 24 0 Ótmo Psel( plano) 4 0 Ótmo Total 9 Pglobal Ótmo 6 Total 6 2º Fogão 400 Pcorte Ótmo Psel(6 planos) 24 0 Ótmo Psel( plano) 4 0 Ótmo Total 9 Pglobal Ótmo Total 6 3º Fogão 000 Pcorte Ótmo Psel(6 planos) 26 0 Ótmo Psel( plano) 4 0 Ótmo Total 9 Pglobal Ótmo Total 6 4º Fogão, Gelagua e Geladera 5000 produtos de cada modelo Pcorte Ótmo Psel(2 planos) E-2 Ótmo Psel( plano) 5 0 Ótmo 4 6 Total Pglobal Ótmo Total 9 Tabela 5 Demonstratvo de resultados dos modelos com uma maor dversdade de produtos Verfca-se que o modelo P global propõe planos de corte com o mesmo tamanho se eecutarmos os modelos P corte, P sel Também constatamos que o número de terações para os modelos P corte, P sel fo mas elevado, o que poderá resultar um maor tempo de processamento para ouras nstâncas 35 Conclusão 769

12 Após alguns testes computaconas realzados com os modelos P corte, P sel e P global, observam as seguntes necessdades: a) Uma qualdade maor de testes computaconas entre os modelos seqüencal e global Após a realzação destes testes um estudo estatístco probablístco vsando comprovar o desempenho; b) Observando-se a necessdade da ndústra, caso Esmaltec S/A, a nclusão de algumas novas restrções que possam completar stuações de estoque Estas restrções podem ser entenddas através do caso real: a No das atuas, o modelo só permte a geração de até dos planos de corte por bobna blan do ecedente de bobnas blans gerado após o modelo de seleção em estoque Por eemplo, se tvermos um plano com 20 planos váves, teremos uma movmentação (transporte, corte) de no mínmo 0 bobnas, o que reflete num custo bastante elevado (movmentação e ecedente de estoque de bobnas blans) Desta forma, pretende-se delmtar o estoque de bobnas blans nas prómas smulações, reformulando o modelo global de modo a atender as restrções de corte mínmo e aperfeçoar o número de planos váves cortado por bobna, uma vez que atualmente podemos medr o comprmento de cada plano na própra máquna slltter; Assm sendo, pretende-se amplar o desempenho computaconal dos modelos de corte, seleção de bobnas e estoque de forma a atender as necessdades da ndústra 4 Referêncas Bblográfcas [] GILMORE, PC and RE Gmoory, A lnear Programmng Approach to the Cuttng Stoc Problems, Operaton research, V 9, N 6, 99, pp [2] GOLDEN,B, Approaches to cuttng stoc problem, AIIE Transacton, vol 8, pp , 976 [3] HAESSLER,R and SWEENEY, P, Cuttng sotc problems and solutons procedures, European ournal of Operatonal Research, vol 54, pp 4-50, 99 [4] HAESSLER, RW, Mult-machne roll trm problems and soluton procedures, TAPPI, 63, 980, pp [5] HAESSLER, RW, A heurstc programmng soluton to a nonlnear cuttng stoc problem, Management Sc, 7, 97, pp [6] HOTO, R Otmzação no Corte de Peças Undmensonal com Restrções de Agrupamento Dssertação de estrado,icmsc-usp, São Carlos, SP, 996, Brasl [7] HOTO, R & Arenales, M Um problema de corte undmensonal com restrções de agrupamento e aplcações ndustras I ON PCE, IME-USP, SP, 996, Brasl [8] HOTO, R & Arenales, M O problema de corte em bobnas de aço XX CNMAC, Gramado, RS, 997, Brasl [9] HOTO, R; Maculan, N; Arenales,MN O problema de corte em bobnas de aço va geração de colunas XXX Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal,Curtba, PR, 998, Brasl, [0] HOTO, R; Maculan, N Um problema de corte com padrões compartmentados Pesqusa Operaconal, v23, n, p69-87, 2003, Brasl [] HOTO, R; Maculan, N;Arenales,MN Um novo procedmento para cálculo de mochlas compartmentadas Pesqusa Operaconal, Lsboa, 2002, Portugal, 22(2), [2] ANTORIVICH, LV, Mathematcal Methods for Producton Plannng and Organzaton, Lenngrad Unversty, Lenngrad, 939,(n Russan) [3] MARQUES, FP & Arenales, MN O problema da mochla compartmentada XXXII Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, Vçosa, MG, 2000, Brasl, [4] MARQUES, FP & Arenales, MN O problema da mochla compartmentada e aplcações Pesqusa Operaconal, v22, n3, 2002, Brasl, p [5] MASSARU,D, Estudo sobre o efeto da utlzação de padrões tabuleros na produtvdade do equpamento de cortes,fapesp,200, Dsponível em:< acesso em 05/