Modelação com Variáveis Discretas

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1 Engenhara de Processos e Sstemas Modelação com Varáves Dscretas Fernando Bernardo Fev 2011 mn f ( x, y, θ ) x, y s. t. h( x, y, θ ) = 0 g( x, y, θ ) 0 x x x L x real y {0,1}) U Leque de aplcações. Tpos de problemas: Escolha múltpla, decsões dscretas, condções lógcas, síntese de processos. Modelação de condções lógcas Exemplos város. 1

2 Optmzação dscreta. Aplcações váras Localzação das almentações e produtos lateras de uma coluna de destlação Dmensões dscretas de equpamentos Nº de reactores em paralelo, eventualmente de dmensão gual, fxa ou não Estrutura do dagrama de fabrco e opções de equpamento alternatvo Problemas de formulação (e.g. no máxmo 10 ngredentes, 3 dos quas préespecfcados) Selecção de grupos funconas numa molécula Planear/calendarzar a produção. O que produzr e quando, face a prevsões na curva de procura. Comprar produtos ntermédos ou produz-los a partr de percursores? Expandr capacdade? s/n?) max f ( x, y, θ ) x, y s. t. h( x, y, θ ) = 0 g( x, y, θ ) 0 x x x L U x real y ntero (habtualmente, y {0,1}) 2

3 Modelação de problemas Nesta aula vamos preocupar-nos em como formular os problemas, envolvendo decsões dscretas e não em como resolvê-los (enumeração explícta, branch and bound ; aula anteror) De um ponto de vsta mas geral, o modelo ou formulação do problema envolve: - análse prelmnar do problema - representação do problema (dagrama de blocos, rede, representação de alternatvas) - dentfcação de graus de lberdade (varáves de decsão) - defnção da função objectvo - modelação de restrções - modelação de condções lógcas - Submodelos ncorporados (balanços, dmensonamento, estmatva de custos, ) 3

4 Modelação de problemas Formulação geral: mn f ( x, y, θ ) x, y s. t. h( x, y, θ ) = 0 g( x, y, θ ) 0 x x x L x real y {0,1}) U f escalar x, y vectores h e g vectores MILP: Mxed-nteger lnear programmng, se f convexa, h e g lneares em x e y MINLP: Mxed-nteger non-lnear programmng Óptmo global se f convexa, h lnear e g <=0 regão convexa 4

5 Um prmero exemplo Problema de formulação: mnmzar o custo de uma formulação, sujeto a um desempenho mínmo. a) Sem lmtação no número de ngredentes b) Lmtando o número de ngredentes a N x fracção mássca do componente V valor nutrtvo (U/kg) C custo (EUR/kg) Avea, trgo, mlho amêndoas, etc Cereas de pequenoalmoço Nível nutrtvo 5

6 Custo= Valor= x C x V Um prmero exemplo Sem lmtação no número de ngredentes mn x s. t. x V V x C x = 1 0 x 1 mn 6

7 E agora lmtando o número de ngredentes a N: Um prmero exemplo Varáves bnáras y: y = 1, se o componente está presente na formulação y = 0, caso contráro mn x s. t. x y V V = 1 0 x 1 x y C x y mn Será esta uma formulação razoável? 7

8 Um prmero exemplo Devemos evtar termos não-lneares, neste caso do tpo x*y Isso é possível se consegurmos modelar a condção lógca y = 0 x = 0 Restrção do tpo bg-m : x My (1), sendo M um lmte superor para x, neste caso M=1 Tem-se também a restrção: 0 x M = 1 (2) Então, se y=1, (1) resulta em x <= M, o que é elemento neutro na formulação Se y=0, tem-se x <= 0, o q em conjunto com (2), resulta em x=0, tal como desejado 8

9 Um prmero exemplo (na aula, este slde estava em falta) A formulação adequada é então: mn x s. t. x V V x = 1 mn My, neste caso M = 1 0 x 1 x C x y mn x s. t. x y V V = 1 0 x 1 x y C x y MINLP mn MILP Óptmo global 9

10 Arte e Cênca Por agora, sto parece mas arte do que cênca. Vamos agora abordar alguns tpos de problemas e depos apresentar uma teora geral para a modelação de condções lógcas. Escolha múltpla - Selecconar um só tem: y = - Selecconar no máxmo N tens: 1 - Selecconar pelo menos duas opções de entre 3: y1 + y2+ y3 2 y - Selecconar ou a opção A ou a opção B (e não as duas): y A + y = 1 B 10

11 Decsões dscretas Bnáras: componente presente ou não na formulação; basta defnr varável y Optmzar o volume de um reactor de entre 5 dmensões específcas possíves: V = V y, y = 1 (trata-se no fundo de uma escolha múltpla) Coluna com N pratos entre 5 e , ' = 5 5 u= 45, 2 =32, r= 5 Então : ' = y + 2y + 4y + 8y + 16y + 32y Temos pos 6 varáves bnáras Representação bnára de nteros: 0 γ u, γ, u N { } γ = y + 2y + 4 y y, y 0,1 r onde 2 é a menor potênca de 2, r onde 2 é a maor potênca de 2, (errado, na aula) r r u u

12 Nota sobre conversão de ntero a bnáro Por exemplo: = Então: Em geral, é melhor usar o algortmo da dvsão ntera por 2 45 a dvdr por 2 dá 22 e resto 1 22 a dvdr por 2 dá 11 e resto 0 11 a dvdr por 2 dá 5 e resto 1 5 a dvdr por 2 dá 2 e resto 1 2 a dvdr por 2 dá 1 e resto 0 1 a dvdr por 2 dá 0 e resto 1 Então: (de baxo para cma) Ou seja: = Compreende-se agora melhor como representa todos os nteros entre 0 e 45. ' = y + 2y + 4y + 8y + 16y + 32y

13 Implcação lógca Se y=0, então função contínua assocada f(x)=0 (e.g.: exstênca de corrente e o seu caudal): f ( x) U y 0, f ( x) [0; U ] f f (restrção do tpo bg-m) Evta-se assm termos não-lneares do tpo F x y, F caudal. Exemplo: função custo, C = CF + CV*x, CF custo fxo, CV custo varável Se reactor selecconado com caudal x, então C = CF + CV*x Mas se reactor não selecconado, C = 0 y codfca a selecção do reactor Modelação não-lnear (ndesejável): C= ( C + C x) y Modelo lnear, com modelação de condção lógca: C= C y+ C x F V ( y= 0 x= 0) x U y 0 x F V CF C 13 x

14 Síntese de processos químcos A optmzação dscreta é um método sstemátco de explorar dferentes possbldades processuas Defne-se uma super-estrutura do processo, que codfca as váras alternatvas Formula-se um problema com varáves bnáras que seleccona a melhor alternatva (a menos de óptmos locas) 14

15 Exemplo 1 15

16 y= 0 x= 0 16

17 Exemplo 2: super-estrutura de separação Sstema de separação flash e/ou coluna com ou sem bypass s S 2 S 1 Varáves bnáras: yf flash exste yc coluna exste S 3 S 4 17

18 Exemplo 2: super-estrutura de separação S 2 S 1 S 3 S 4 18

19 Exemplo 2: super-estrutura de separação Se yf = 0, então S1 = 0 0 S1 yf S 2 S 1 Se yc = 0, então S4 = 0 0 S4 yc S 3 S 4 Se coluna exste então tem dâmetro entre 2.2 e 5.5 Se não exste, dâmetro é nulo e o respectvo custo também 2.2yC D 5.5yC C 19

20 Excerto do fchero GAMS S 2 S 1 S 3 S 4 20

21 S 2 S 1 S S 3 4 Conjunto de soluções para xamn e xbmn crescentes xamn xbmn Proft DC DF S2 S3 xa xb UNF Unfeasble 21

22 Método geral (apenas varáves bnáras y) - Condções lógcas smples têm tradução matemátca Modelação de condções lógcas Relação lógca Expressão lógca Restrção lnear equvalente OR P 1 P 2 y 1 + y 2 1 A D P 1 P 2 y 1 1, y 2 1 Implcação P 1 P 2 ~ P 1 P 2 1 y 1 + y 2 1 Equvalênca P 1 P 2 y 1 = y 2 OR (exclusvo) P 1 ɺ P 2 y 1 + y 2 = 1 - Condções lógcas compostas podem ser reduzdas à forma conjuntva normal, aplcando equvalêncas lógcas. A forma conjuntva normal corresponde depos a um sstema de restrções lneares. ( P P...) ( P P...) y y + y y

23 Método geral (apenas varáves bnáras y) Modelação de condções lógcas - Exemplo: Se produzmos A então pelo menos um dos produtos B, C e D tb. devem ser produzdos. Como traduzr matematcamente? P ( P P P ) A B C D ~ P ( P P P ) A B C D 1 y + y + y + y 1 A B C D 23

24 Modelação de condções lógcas Exemplo. Consdere a segunte condção lógca na síntese de um processo de separação: se a coluna de absorção para recuperar o produto é escolhda ou o separador de membrana é escolhdo, então não usar separação crogénca. Proposções: P A = selecconar absorção; P M = selecconar membrana; P C = selecconar separador crogénco Condção lógca: P A P M ~ P C Redução à forma conjuntva P 1 P 2 P 3... ~ (P A P M ) ~ P C (~ P A ~ P M ) ~ P C (~ P A ~ P C ) (~ P M ~ P C ) Modelo: 1 y A + 1 y C 1 y A + y C 1 1 y M + 1 y C 1 y M + y C 1 24

25 Modelação de condções lógcas Método geral (lgação varáves dscretas/varáves contínuas Como conclar esta teora com varáves e restrções contínuas? A base está em assocar uma varável bnára y à verfcação da restrção contínua f(x) <=0. Caso 1: y = 1 f ( x) 0 Restrção correspondente: f ( x) U (1 y) f (restrção do tpo bg-m) Caso 2 (nverso): f ( x) 0 y= 1 Podemos usar a lógca para deduzr a restrção para este caso ( A B) (~ B ~ A) Então ( f ( x) 0 y= 1) é equvalente a ( y= 0 f ( x) > 0) Faz-se f ( x) ε, ε pequeno f ( x) ε f ( x) + ε 0 Então: y= 0 f ( x) + ε 0 E a restrção correspondente é: f ( x) + ε U y f ( x) L y+ ε f f 25

26 Caso 1: y = 1 f ( x) 0 f ( x) U (1 y) f Caso 3: y = 1 g( x) 0 Pode converter-se no caso 1 y= 1 g( x) 0 E a restrção correspondente é: g( x) U (1 y) g( x) L (1 y) g g Caso 4: g( x) 0 y= 1 Análogo ao caso 2: g( x) 0 y= 1 E a restrção correspondente é: g( x) + ε U y g( x) U y ε g g 26

27 Caso 5: y= 1 h( x) = 0 h( x) = 0 h( x) 0 h( x) 0 Logo: h( x) U (1 y ) h( x) L (1 y ) h 1 h 2 27

28 Exemplo Se reactor 1 escolhdo, então pressão entre 5 e 10 bar Se reactor 2 escolhdo, então pressão entre 20 e 30 bar Escolha exclusva de um dos dos reactores y + y = Caso 1: y = 1 f ( x) 0 f ( x) U (1 y) f y = 1 P 10 P P 10 U (1 y ) P + 5 U (1 y ) 1 P1 1 1 P1 1 y = 1 P 10 P P 30 U (1 y ) P + 20 U (1 y ) 2 P2 2 2 P2 2 De forma mas smples: 5y P 10y y P 30y Mas aqu P = 0 se y=0, o que pode ser uma lmtação 28

29 Problema 12 de Wllams Uma empresa compra 5 óleos (VEG1, VEG2, OIL1, OIL2 e OIL3), refna-os e vende msturas deles. Custo actual dos óleos: 110, 120, 130, 110, 115 (EUR/ton) Preço de venda da mstura: 150 EUR/ton Lmtes na refnação: 200 ton/mês (VEG) e 250 ton/mês (OIL) Dureza fnal da mstura entre 3 e 6; durezas ndvduas: 8.8; 6.1; 2.0; 4.2; 5.0 Parte 1. Qual a polítca de compras e produção para maxmzar o lucro? Custo dos óleos no momento presente, mês de Jan. LP, um só período (stuação actual de custos) Varante semelhante a 1, mas face a dferentes cenáros de custo no futuro (de Fev a Jun). Em cada mês, dstngue-se qtd comprada, armazenada e processada LP, mult-período 29

30 Problema 12 de Wllams Uma empresa compra 5 óleos (VEG1, VEG2, OIL1, OIL2 e OIL3), refna-os e vende msturas deles. Custo actual dos óleos: 110, 120, 130, 110, 115 (EUR/ton) Preço de venda da mstura: 150 EUR/ton Lmtes na refnação: 200 ton/mês (VEG) e 250 ton/mês (OIL) Dureza fnal da mstura entre 3 e 6; durezas ndvduas: 8.8; 6.1; 2.0; 4.2; 5.0 LP, um só perído: max Lucro= 150 z (110 x + 120x + 130x + 110x x ) x, z s. t. z=x + x + x + x + x x1+ x2 200 x3+ x4+ x (8.8x x x x x5 ) 6 z 3z 8.8x x x x x5 8.8x x x x x5 6z 30

31 Parte 2. Adconar restrções (1) a mstura não pode conter mas do que três óleos (2) Se um óleo é usado, a quantdade mínma é de 20 ton (3) Se VEG1 ou VEG2 são usados então OIL3 tem também de ser usado VEG1, VEG2, OIL1, OIL2 e OIL3 y1, y2, y3, y4, y5 (1) (2) (3) y1 + y2+ y3+ y4+ y5 3 x 20y ( Y1 Y 2) Y5 ~ ( Y1 Y 2) Y5 (~ Y1 ~ Y 2) Y5 (~ Y1 Y5) (~ Y 2 Y5) 1 y + y 1 1 y + y

32 Conclusões A modelação e optmzação com nteros tem um vasto leque de aplcações, onde quer que estejam envolvdos cenáros alternatvos, varáves dscretas e/ou mposção de condções lógcas Uma das aplcações relevantes é ao problema de síntese de processos químcos, defnndo-se uma super-estrutura que codfca múltplas alternatvas processuas É possível modelar pratcamente qualquer condção lógca, podendo assm ncorporar-se na formulação do problema todo o tpo de nteracções e cenáros ou mesmo regras heurístcas 32