R X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais

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1 30 Varáves aleatóras bdmensonas Sea ε uma experênca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experênca. Seam X X(s) e Y Y(s) duas funções cada uma assocando um número real a cada resultado s S. Desgna-se (X,Y) por v.a. bdmensonal. S s X X(s) R X Y Y(s) R Y Se X 1 X 1 (s), X 2 X 2 (s),, X n X n (s) forem n funções, cada uma assocando um número real a cada resultado s S, então (X 1, X 2,, X n ) é uma v.a. n- dmensonal. R X Y : contradomíno de (X,Y), conunto de todos os valores possíves de (X,Y). De um modo análogo ao caso undmensonal poderemos ter uma v.a. bdmensonal dscreta ou contínua. Varáves aleatóras dscretas bdmensonas Se o número de valores possíves de (X,Y) for fnto ou nfnto numerável, sto é, se os valores de (X,Y) puderem

2 31 ser representados por (x, y ), 1,2,, n, ; 1, 2,, m,, então (X,Y) desgna-se como v.a. dscreta bdmensonal. Função de probabldade conunta p XY (x,y) P ( X x, Y y) p XY ( ) ( ) x, y pxy x, y se ( x, y) ( x, y) 0 se ( x, y) ( x, y) Propredades p XY (x, y ) 0,, n p ( x y ) XY m 1 1, 1 Função de dstrbução conunta (ou de probabldade acumulada de (X, Y) ) F XY (x,y) P(X x, Y y) p ( x, y ) Propredades xk x yk y F XY ( x, y ) é monótona crescente F XY ( -, y ) 0, y F XY ( x,- ) 0, x F XY ( +,+ ) 1 XY k k P(x 1 <X x 2, y 1 <Y y 2 ) F XY (x 2, y 2 ) - F XY (x 1,y 2 )- - F XY (x 2,y 1 ) + F XY (x 1,y 1 )

3 32 Funções de probabldade margnas Sea (X,Y) uma v. a. dscreta bdmensonal. Conhecda p XY (x, y), a função de probabldade conunta, podemos obter nformação relatvamente apenas a X ou a Y através das funções de probabldade margnas. Função de probabldade margnal da v. a. X p X ( x ) P ( X x ) m P ( X x, Y y ) Nota: 1 m p ( x, y ) 1 XY p X (x ) 0, n 1 px ( x) 1 Função de probabldade margnal da v. a. Y p Y ( y ) P ( Y y ) P ( X x, Y y ) Nota: p Y (y ) 0, m 1 py ( y) 1 n 1 n 1 pxy ( x, y ) Funções de probabldade condconadas Sea (X,Y) uma v. a. dscreta bdmensonal. O conceto de probabldade condconada aplca-se do segunte modo:

4 33 Função de probabldade da v. a. X condconada a um dado Y y P(X x Y y ) então temos que: (, ) P ( Y y ) P X x Y y se P (Yy ) > 0 ( ) p x y X Y y (, ) ( y ) p x y XY p Y se p Y ( y ) > 0 Função de probabldade da v. a. Y condconada a um dado X x P(Y y X x ) e portanto: (, ) P X x Y y ( x ) P X se P (Xx ) > 0 ( ) p Y X x y x (, ) pxy x y px ( x ) se p X ( x ) > 0

5 Nota: p ( x y X Y y ) e p Y X x ( y x ) satsfazem as duas condções de uma função de probabldade, sto é: p ( x y ) X Y y 0 p ( x y ) n n 1 X Y y 1 p XY p ( x,y ) ( y ) Y 1 34 Varáves aleatóras contínuas bdmensonas Sea (X,Y) uma v.a. contínua bdmensonal, então (X, Y) toma todos os valores em alguma regão R do plano eucldeano. Função densdade de probabldade conunta f XY (x,y) : P (a X b, c Y d) f ( ) Propredades 2 f XY ( x, y ) 0, (x, y) R + + fxy ( x, y) dydx 1 Função de dstrbução conunta a b c d XY, c d a b fxy, ( ) u v x y dy dx x y dxdy F XY (x,y) P(X x,y y) f (, ) XY u v dv du

6 35 Propredades F XY ( x, y ) é monótona crescente F XY ( -, y ) 0, y F XY ( x,- ) 0, x F XY ( +,+ ) 1 P(x 1 <X x 2, y 1 <Y y 2 ) F XY (x 2, y 2 ) - F XY (x 1,y 2 )- - F XY (x 2,y 1 ) + F XY (x 1,y 1 ) F XY (x, y) (, ) (, ) F a b + f x y dy dx XY a x b x XY a ] -, x ] e b ] -, y ] F XY (x, y) 0, (x, y) 2 F ( ) XY x, y fxy ( x, y) x y Funções de probabldade margnas Sea (X,Y) uma v. a. contínua bdmensonal. Conhecda f XY (x, y), a função densdade de probabldade conunta, podemos obter nformação relatvamente apenas a X ou a Y através das funções densdade de probabldade margnas. Função densdade de probabldade margnal da v. a. X f X ( x ) f ( ) Nota: + XY, x y dy

7 36 Deverá atender-se à eventual necessdade de auste dos lmtes de ntegração e à consderação de um ou mas ramos na obtenção de f X ( x ). f X (x) 0, x R + fx ( x ) dx 1 Função de probabldade margnal da v. a. Y + f Y ( y ) f ( ) XY, x y dx Nota: Auste dos lmtes de ntegração e consderação de um ou mas ramos na obtenção de f Y ( y ) se necessáro. f Y (y) 0, y R + f ( ) y dy 1 Y Funções de probabldade condconadas Sea (X,Y) uma v. a. contínua bdmensonal. O conceto de probabldade condconada aplca-se do segunte modo: Função densdade de probabldade da v. a. X condconada a um dado Y y f X Y y ( x y ) fxy fy ( x, y ) ( y ) se f Y ( y ) > 0

8 37 Função densdade de probabldade da v. a. Y condconada a um dado X x ( y x ) f Y X x fxy fx ( x, y ) ( x ) se f X ( x ) > 0 Nota: f ( x y ) e f ( y x ) X Y y Y X x satsfazem as condções mpostas a uma função densdade de probabldade, sto é: f ( x y ) X Y y 0 + X Y y x y dx + f ( ) fxy fy ( x, y ) ( y ) 1 Varáves aleatóras ndependentes v.a. dscreta Sea (X,Y) uma v.a. dscreta bdmensonal. Dz-se que X e Y são v.a. ndependentes sse: p XY ( x, y ) p X ( x ). p Y ( y ), Usando a noção de probabldade condconada podemos afrmar que X e Y são v.a. ndependentes sse:

9 38 ( ) ( ) p x y p x X Y y X, ou, de um modo equvalente ( ) ( ) p Y X x y x py y, v.a. contínua Sea (X,Y) uma v.a. contínua bdmensonal. Dz-se que X e Y são v.a. ndependentes sse: f XY ( x, y ) f X ( x ). f Y ( y ) ( x, y ) Usando a noção de probabldade condconada podemos afrmar que X e Y são v.a. ndependentes sse: ( ) ( ) f X Y y x y fx x ( x, y ) ou, de um modo equvalente ( ) ( ) f Y X x y x fy y ( x, y ) Varáves aleatóras n-dmensonas As noções expostas podem ser generalzadas a v.a. n- dmensonas. Assm se (X 1,X 2,,X n ) puder tomar todos os valores numa dada regão do espaço n-dmensonal, a respectva fdp conunta satsfará:

10 39 a) fx X X x x xn n 1, 2,..., ( n 1, 2,..., ) 0 ( x1, x2,..., xn ) R b) fx, X,..., X ( x, x,..., xn) dx... dx 1 2 n n 1 a partr desta fdp podemos defnr: P[(X 1,X 2,,X n ) C]... fx,..., X ( x,..., xn ) dx... dx 1 n 1 1 n C em que C é um subconunto do contradomíno de (X 1,X 2,,X n ). A cada uma das v.a. n-dmensonas podemos assocar v.a. de dmensão nferor. Assm, por exemplo, se n 3 então: + + f ( x, x, x ) dx dx f ( x ) X X X X em que fx 3 ( x3) é a fdp margnal da v.a. undmensonal X 3. Por outro lado: + f ( x, x, x ) dx f ( x, x ) X X X X X em que fx 1 X 2 ( x1, x2 )representa a fdp conunta da v.a. bdmensonal (X 1,X 2 ). O conceto de v.a. ndependentes é também faclmente generalzável. Assm, dada (X 1,X 2,..,X n ) dremos que X 1,X 2 e X n são v.a. ndependentes sse : fx,..., X ( x1,..., xn ) fx ( x1) fx ( x2 )... fx ( xn ) 1 n 1 2 n

11 40 VALOR ESPERADO E V. A. BIDIMENSIONAIS Sea (X,Y) uma varável aleatóra bdmensonal e h(x,y) uma função real de (X,Y), então temos que: a) Se (X,Y) for uma varável aleatóra dscreta com função de probabldade conunta p XY ( x, y ) P ( X x, Y y ) (, 1,2,... ) : E [ h ( X,Y) ] h ( x, y ) p ( x, y ) b) Se (X,Y) for uma varável aleatóra contínua com função f XY x,y : XY densdade de probabldade conunta ( ) + + [ h ( X, Y) ] h ( x, y ) f ( x, y) E XY dy dx Nota: Analogamente ao que fo referdo no caso undmensonal, também aqu a varável Z h(x,y) é uma varável aleatóra com uma determnada dstrbução de probabldades e poderemos calcular E(Z) do segunte modo: Se Z for uma varável aleatóra dscreta, então: ( Z) z p ( z ) E Z 1 Se Z for uma varável aleatóra contínua, então: E + ( Z) z f ( z)dz Z

12 41 sendo também neste caso necessáro obter prevamente a função de probabldade (caso dscreto) ou a função densdade de probabldade (caso contínuo) da v.a. Z. PROPRIEDADES Seam X e Y duas v.a. conuntamente dstrbuídas e seam Z H 1 (X,Y) e WH 2 (X,Y) duas funções reas de X e Y. Então: ) E (X + Y) E(X) + E(Y) ) E ( X + Y) E ( X ) + E ( Y ) + 2 E ( XY) ) Var ( X ± Y) Var ( X) + Var ( Y) ± 2 cov( X, Y) v) E (Z + W) E(Z) + E(W) Se X e Y forem v. a. ndependentes, temos que: v) E (XY) E(X). E(Y) v) Var ( X + Y) Var (X) + Var (Y) Estas propredades podem ser generalzadas para o caso de n varáves aleatóras X 1,X 2,...,X n conuntamente dstrbuídas obtendo-se: v) E (X 1 + X X n ) E (X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) 2 2 v) E ( X + X X ) E ( X ) + 2 E ( X ) 1 2 n X <

13 x) Var ( X ±... ± X ) Var ( X ) ± 2 cov( X, ) 1 n X Se X 1,X 2,...,X n forem v.a. ndependentes, então: x) E ( X 1 X 2...X n ) E(X 1 ) E(X 2 )... E(X n ) x) Var ( X + X X ) Var ( ) 1 2 n X < 42 COVARIÂNCIA E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR Para estudar as relações entre duas varáves aleatóras X e Y pode-se analsar a covarânca e o coefcente de correlação lnear cuas defnções se apresentam a segur: Cov e portanto: ( X,Y) E[ ( X µ X ) ( Y µ Y )] σxy Varáves aleatóras dscretas: Cov ( X,Y) ( x µ ) ( y µ ) p ( x, y ) Varáves aleatóras contínuas: Cov X Y XY + + ( X,Y) ( x ) ( y µ ) f ( x, y) dy dx µ X Y XY

14 43 A covarânca é portanto uma medda da dstrbução conunta dos valores de X e Y, em termos dos desvos em relação às respectvas médas. A cov(x,y) descreve, a relação lnear entre duas varáves e a sua mútua dependênca. Uma covarânca postva mplca que, quando uma das varáves se desva sgnfcatvamente do seu valor esperado, a outra tenderá a desvar-se no mesmo sentdo. Isso mplcará um aumento da dspersão da soma das varáves X e Y. Se a covarânca for negatva, os desvos das duas varáves tenderão a ser de sentdo contráro, mplcando uma dmnução da varânca da soma. TEOREMA: Se X e Y forem v.a. ndependentes, então Cov(X,Y)0 A covarânca é expressa nas undades de X e nas de Y, smultaneamente, o que ntroduz algumas dfculdades quando se pretende fazer comparações. Para ultrapassar este nconvenente, pode calcular-se o coefcente de correlação lnear ( ρ XY ) : ρ XY Cov Var ( X, Y) ( X) Var ( Y) E [ ( X µ X ) ( Y µ Y )] σxy Var ( X) Var ( Y) σx σy O coefcente de correlação lnear toma valores no segunte ntervalo :

15 44 1 ρxy 1 Demonstração:... O valor do coefcente de correlação dependerá do grau de relaconamento lnear entre X e Y, verfcando-se que: ρ XY 1 quando há correlação lnear negatva perfeta entre X e Y ( Y a X + b, com a e b constantes e a < 0 ) ρ XY 1 quando há correlação lnear negatva perfeta entre X e Y ( Y a X + b, com a e b constantes e a > 0 ) ρ XY 0 quando o grau de relaconamento lnear entre X e Y é nulo ( poderá contudo exstr uma relação não lnear entre as duas varáves ) Quando 0< ρxy < 1, dz-se que exste correlação lnear postva entre X e Y menos forte do que quando ρ XY 1 e de modo análogo quando 1< ρxy < 0. Nota: Defne-se momento de ordem (r, s) da v.a. bdmensonal (X,Y) como: ' r s µ rs E ( X Y ) e momento central de ordem (r, s) do par (X,Y) como: µ rs [ r ( ) ( ) s ] X µ Y E µ X Y

16 45 ' com µ 10 µ 1 µ X, µ ' 01 µ 2 µ Y, 2 2 µ 02 σ2 σy. 2 2 µ 20 σ1 σ X e Atendendo à defnção de Cov(X,Y) vemos que corresponde ao momento central de ordem (1, 1) do par (X,Y).