Implementação Bayesiana

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1 Implementação Bayesana Defnção 1 O perfl de estratégas s.) = s 1.),..., s I.)) é um equlíbro Nash-Bayesano do mecansmo Γ = S 1,..., S I, g.)) se, para todo e todo θ Θ, u gs θ ), s θ )), θ ) θ Eθ u gŝ, s θ )), θ ) θ para todo ŝ S. Defnção 2 O mecansmo Γ = S 1,..., S I, g.)) mplementa a função de escolha socal f.) em equlíbro Nash-Bayesano se exste um equlíbro Nash- Bayesano de Γ, s.) = s 1.),..., s I.)), tal que gs θ)) = fθ), para todo θ Θ. Defnção 3 A função de escolha socal f.) é compatível em ncentvos à Bayes-Nash se s θ ) = θ, para todo θ Θ e todo, é um equlíbro do mecansmo de revelação dreta Γ = Θ 1,..., Θ I, f.)). Ou seja, se para todo e todo θ Θ, para todo ˆθ Θ. u fθ, θ ), θ ) θ u fˆθ, θ ), θ ) θ, Proposção 1 Prncípo da Revelação para Equlíbro Nash-Bayesano. Suponha que exsta um mecansmo Γ = S 1,..., S I, g.)) que mplemente a função de escolha socal f.) em equlíbro Nash-Bayesano. compatível em ncentvos à Bayes-Nash. Demonstração. Então f.) é Se Γ = S 1,..., S I, g.)) mplementa f em equlíbro Nash-Bayesano, então exste s.) = s 1.),..., s I.)), tal que gs θ)) = fθ) para todo θ Θ, todo e todo θ Θ, u gs θ ), s θ )), θ ) θ Eθ u gŝ, s θ )), θ ) θ 1

2 para todo ŝ S. Em partcular, temos que para todo e todo θ Θ, u gs θ ), s θ )), θ ) θ Eθ u gs ˆθ ), s θ )), θ ) θ para todo ˆθ Θ. Como gs θ)) = fθ) a condção acma é equvalente, para todo e todo θ Θ, a u fθ, θ ), θ ) θ u fˆθ, θ ), θ ) θ, para todo ˆθ. O conceto de mplementação Nash-Bayesana é estrtamente mas fraco do que o de mplementação em estratégas domnantes no sentdo de que toda função de escolha socal mplementável em estratégas domnantes é também mplementável em equlíbro Nash-Bayesano, mas não o contráro. A razão é smples, todo equlíbro em estratégas domnantes é também um equlíbro Bayes-Nash. No prmero caso, o requermento é de que falar a verdade seja a estratéga ótma qualquer que seja θ, enquanto no segundo somente que seja ótmo quando tomando o θ esperado. O mecansmo de externaldade esperada Consderemos o problema de provsão de bem públco que vmos anterormente x = k, t 1,..., t I ), com k {0, 1} e t R a transferênca de numeráro feta pelo agente e suponhamos que a densdade φθ) é da forma φθ) = φ 1 θ 1 )...φ I θ I ),.e., os tpos são ndependentes. Vamos supor anda v k, θ ) = kθ para todo. Seja, então, fθ) = kθ), t 1 θ),..., t I θ)) com k = 1 se θ c e k = 0 caso contráro, o que vmos ser uma condção necessára para efcênca expost. O que vamos fazer aqu é mostrar que é possível escolher t.) de tal 2

3 modo a gerar equlíbr orçamentáro sem volar as restrções de compatbldade ncentvos,.e., garantr que f seja ex-post efcente e compatível em ncentvos em equlíbro Nash-Bayesano. Para tanto defnamos ξ θ ) = kθ) j θ j c I ), e t θ ) = h θ ) = 1 I 1 kθ) j ξ j θ j ), j θ j c I ) + kθ) c I + h θ ). Para verfcar que f é compatível em ncentvos à Bayes-Nash consderemos ˆθ Θ, θ Θ e ˆθ = ˆθ, θ ), então, kˆθ)θ t ˆθ) = kˆθ)θ + kˆθ) θ j c ) kˆθ) c I I h θ ) j = kˆθ) kθ) = kθ )θ t θ). θ c ) h θ ) I θ c ) h θ ) I Para verfcar que é efcente ex-post só precsamos verfcar que t θ ) = ckθ). t θ ) ckθ) = = kθ) j ξ θ ) + θ j c I h θ ). ) + h θ ) 3

4 Note que h θ ) = 1 I 1 ξ j θ j ) = j j ξ j θ j ). Esse mecansmo fo caracterzado prmeramente por d Aspremont e Gérard- Varet 1979) e por Arrow 1979). Note que podemos generalzar as preferêncas para o caso U x, θ ) = v k, θ ) t, mas não podemos abrr mão da quase-lneardade. Compatbldade em Incentvos Bayesana com utldade quase-lnear. Há algo de especal na estrutura de preferênca que usamos no exemplo anteror pelo fato de ser lnear em θ. Vamos agora ver que essa estrutura nos permte uma caracterzação relatvamente smples de todas as funções de escolha socal compatíves em ncentvos à Nash-Bayes. Seja 1 u x, θ ) = θ v k) + t para todo. Suponha anda θ a, b R, b > a. Suponha fnalmente ndependênca estatístca da dstrbução e que, para todo, a densdade assocada a cada θ tenha a propredade de φ θ ) > 0 para todo θ a, b. Vamos dervar uma condção necessára e sufcente para uma função f.) = k.), t 1.),..., t I.)) ser compatível em ncentvos em equlíbro Nash- Bayesano. Comecemos pelas defnções, t ˆθ ) = tˆθ, θ ) e v ˆθ ) = v kˆθ, θ )),. 1 Ou seja, suponha u x, θ ) = θ v k) + t + m e use a normalzação m = 0 para todo 4

5 que correspondem respectvamente à transferênca esperada pelo agente que anunca ser ˆθ quando todos os demas adotam a estratéga de falar sempre a verdade e ao benefíco esperado pelo agente nas mesmas crcunstâncas. Temos, então, que u fˆθ, θ ), θ ) = θ v ˆθ ) + t ˆθ ). Defnamos fnalmente Uθ ) = θ v θ ) + t θ ). Proposção 2 A função de escolha socal, é compatível em ncentvos a Bayes-Nash se e só se, para todo = 1,..., I, e v θ ) é não-decrescente 1) U θ ) = U a ) + ˆ θ a v s)ds θ. 2) Demonstração. Necessdade. Compatbldade em ncentvos requer que para cada ˆθ > θ tenhamos U θ ) θ v ˆθ ) + t ˆθ ) = U ˆθ ) + θ ˆθ v ˆθ ) 3) e ou seja, U ˆθ ) ˆθ v θ ) + t θ ) = U θ ) + ˆθ θ v θ ), 4) v ˆθ ) U ˆθ ) U θ ) ˆθ θ v θ ). 5) Usando??), temos que v.) é não-decrescente. Além dsso, tomando ˆθ θ, temos que U θ ) = v θ ), donde, ˆ θ Uθ ) = Ua ) + v s)ds θ. a 5

6 Sufcênca. Tome θ e ˆθ tas que, sem perda de generaldade, θ > ˆθ. Se valem??) e??) então, U θ ) U ˆθ ) = ˆ θ ˆθ v s)ds ˆ θ ˆθ v ˆθ )ds = θ ˆθ v ˆθ ) Portanto, U θ ) U ˆθ ) + θ ˆθ v ˆθ ) = θ v ˆθ ) + t ˆθ ). Analogamente U ˆθ ) U θ ) + ˆθ θ v θ ) = ˆθ v θ ) + t θ ). O espírto da proposção acma é o segunte. Prmero, procuro uma função k.) tal que v.) é não-decrescente para todo. Então uso??) para determnar as funções de transferênca esperada t θ ). I.e., t θ ) = a v a ) θ v θ ) + t a ) + ˆ θ a v s)ds. Fnalmente, escolho um conjunto de funções t 1.),..., t I.)) tas que tθ, θ ) = t θ ) para todo θ. 2 Teorema de Equvalênca de Recetas Consdere uma economa composta de I +1 agentes ndexados por = 0,..., I. O agente 0 é o vendedor de um objeto ndvsível para o qual ele valor 0. Há nessa economa I potencas compradores. Um potencal comprador, > 0 atrbue valor θ, onde θ é extraído de um ntervalo a, b de acordo com uma dstrbução Φ com densdade assocada φ. 2 Há, em geral, város conjuntos de funções que têm tal propredade. Por exemplo, t θ ) = t θ ). 6

7 A regra de alocação defnda pela função f pode ser de atrbução aleatóra, no sentdo de que a função de escolha socal pode atrbur a um ndvíduo a probabldade p θ) de fcar com o objeto quando o perfl de tpos é θ. Ou seja, não precsa ser uma regra determnístca. Note que este ambente corresponde ao da Proposção?? se tomarmos k = p 1,..., p I ), K = {p 1,..., p I ); p 0, 1, e p 1} e v k) = p. A utldade esperada do ndvíduo é nesse caso θ p θ) t θ). Para aplcar a Proposção?? escrevamos v ˆθ ) = p ˆθ ) = p ˆθ, θ ) e Uθ ) = θ p θ ) + t θ ). Proposção 3 Teorema de Equvalênca de Recetas. Consdere um ambente de lelão com Icompradores neutros ao rsco em que a valoração de cada comprador vem de uma dstrbução defnda ntervalo a, b com b > a e densdade φ tal que φ θ ) > 0 para todo θ a, b com os tpos sendo estatstcamente ndependentes. Suponha que um par qualquer de equlíbros Nash-Bayesanos para dos tpos dstntos de procedmentos de lelões sejam tas que para todo comprador : ) para cada realzação possível de θ, o comprador tenha probabldade dêntca de receber o objeto nos dos lelões; e ) o comprador tenha sempre a mesma utldade nos dos lelões caso seu tpo realzado seja a. Então esses dos lelões geram a mesma receta esperada para o vendedor. Demonstração. A déa da prova é mostrar que duas funções de escolha socal compatíves em ncentvos à Nash-Bayes quasquer que têm as mesmas p 1 θ),..., p I θ)) e os mesmos valores de U 1 a 1 ),..., U I a I )) geram a mesma receta esperada. Como toda alocação mplementada pelo mecansmo ndreto que é um lelão é compatível em ncentvos esta é a demonstração do teorema. 7

8 Tome a expressão da receta esperada do vendedor para um mecansmo compatível em ncentvos à Nash-Bayes arbtráro. Note, então, que a utldade esperada do vendedor é gual a E t θ) e que Note que ou seja, E t θ) = E t θ ) = = = ˆ b ˆ θ a a E t θ) = ˆ b a ˆ b a ˆ b a pθ )θ U θ ) φ θ )dθ ˆ θ pθ )θ U a ) ˆ θ pθ )θ ps)ds a a ps)ds φ θ )dθ φ θ )dθ U a ). ˆ b ps)ds φ θ )dθ = 1 Φ θ ) pθ )dθ, a ˆ b a pθ ) θ 1 Φ ) θ ) φ θ )dθ U a ), φ θ ) ou, de forma equvalente, E t θ) = ˆ b1 ˆ bi... pθ ) θ 1 Φ ) ) θ ) I φ j θ j ) dθ 1...dθ I U a ), a 1 φ θ ) a I o que mplca em E t θ) = ˆ b1 ˆ bi... pθ ) θ 1 Φ ) ) θ ) I φ j θ j ) dθ 1...dθ I a 1 a I φ θ ) j=1 j=1 U a ). Por essa expressão fca claro que dos lelões quasquer que geram os mesmos p 1 θ),..., p I θ)) e os mesmos U 1 a 1 ),..., U I a I )) geram a mesma receta esperada para os vendedores. Note que em qualquer lelão smétrco.e., em que as valorações dos ndvíduos provém de dstrbuções dêntcas e ndependentes as condções do teorema serão atenddas em qualquer equlíbro dos lelões selados de prmero e segundo preço. 8