DESENHO DE MECANISMOS (2)

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1 MICROECONOMIA II DESENHO DE MECANISMOS (2) Rafael V. X. Ferreira Novembro de 2017 Universidade de São Paulo (USP) Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade (FEA) Departamento de Economia

2 Implementação Bayesiana O Teorema de Gibbard-Satterwaite nos dá poucas esperanças sobre o conjunto de funções de escolha social implementáveis em estratégias dominantes. Uma opção é restringirmos a uma classe de funções f, como fizemos anteriormente. Uma alternativa é enfraquecermos o conceito de implementação.

3 Equilíbrio Nash Bayesiano Definição Um perfil de estratégias s ( ) (s 1 ( ),..., s ( )) é um equilíbrio Nash I Bayesiano do mecanismo Γ (S 1,..., S I, g( )) se, para todo i e todo Θ i, E θ i [u i (g(s i (), s i (θ i)), ) ] E θ i [u i (g(ŝ, s i (θ i)), ) ] para todo ŝ i S i.

4 Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano Definição Um mecanismo Γ (S 1,..., S I, g( )) implementa a função de escolha social f em Equilíbrio Nash Bayesiano se existe equilíbrio Nash Bayesiano do jogo induzido por Γ, (s 1 ( ),..., s ( )), tal que I g(s 1 (θ 1),..., s I (θ I)) f (θ) θ Θ 1 Θ I

5 Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano Definição A função de escolha social f é implementável verdadeiramente em equilíbrio Nash Bayesiano (ou compatível com incentivos em Equilíbrio Nash Bayesiano) se s i () para todo Θ i e i I é um equilíbrio Nash Bayesiano do mecanismo de revelação direta Γ (Θ 1,..., Θ I, f ( )). Isto é, se para todo i e para todo Θ i : E θ i [u i ( f (, θ i ), ) ] E θ i [u i ( f ( ˆ, θ i ), ) ] para todo θ i Θ i e todo ˆ Θ i.

6 Princípio da Revelação Proposição (Princípio da Revelação Eq. Nash Bayesiano) Suponha que exista um mecanismo Γ (S 1, S 2,..., g( )) que implementa a função de escolha social f em equilíbrio Nash Bayesiano. Então f é implementável verdadeiramente em equilíbrio Nash Bayesiano. Proposição 23.D.1 do MWG

7 Princípio da Revelação Passos da Demonstração: Se Γ implementa f em estratégias dominantes, existe um perfil de estratégias s : Θ A i, tal que g(s (θ)) f (θ). Além disso, Θ i, θ Θ e i, temos: E θ i [u i (g(s i (), s i (θ i)), ) ] E θ i [u i (g(ŝ i, s i (θ i)), ) ] para todo ŝ i S i. Por quê? Por que como a implementação é em Equilíbrio Nash Bayesiano, a estratégia de equilíbrio tem que ser a melhor, considerando as escolhas de equilíbrio dos demais jogadores.

8 Princípio da Revelação Passos da Demonstração: De modo semelhante, como a expressão anterior vale ŝ i, vale em particular para ŝ i s i ( ˆ ), a estratégia ótima associada a mentir sobre o tipo: E θ i [u i (g(s i (), s i (θ i)), ) ] E θ i [u i (g(s i ( ˆ ), s i (θ i)), ) ] para todo ˆ Θ i. Como g(s (θ)) f (θ) para todo θ, temos: E θ i [u i ( f (, θ i ), ), ] E θ i [u i ( f ( ˆ, θ i ), ) ] i, Θ i que deve valer para todo ˆ Θ i e todo θ i Θ i. Logo, f é implementável verdadeiramente (truthfully implementable) em equilíbrio Nash Bayesiano.

9 Princípio da Revelação Intuição: se o agente acha melhor, quando o seu tipo é, escolher s ( ), ele diria a verdade se introduzíssemos um intermediário ou, equivalentemente, se trocássemos o mecanismo pelo mecanismo de revelação direta associado que perguntasse qual o tipo do jogador e, então, jogasse a estratégia s i associada aquele tipo. Implicação: para identificar o conjunto de funções de escolha social que são implementáveis em equilíbrio Nash Bayesiano, basta procurar por aquelas de são implementáveis verdadeiramente.

10 Implementação Bayesiana e Quase-linearidade Vamos voltar ao ambiente quase-linear, que vimos antes Resultado, sobre o qual os agentes tem preferências definidas, é dado por: x (k, t 1,..., t I ) X k é elemento de K, conjunto finito, que representa os projetos possíveis. t i R é a transferência de um bem numerário para o agente i, que tem função utilidade quase-linear: u i (x, ) v i (k, ) + ( m + t i ) em que m é a dotação do bem numerário do agente i. Conjunto X das alternativas possíveis: { X (k, t 1,..., t I ) : k K, t i R i e } t i 0 i

11 Implementação Bayesiana e Quase-linearidade Lembrando: Quando o espaço de tipos é grande o suficiente, não há uma função de escolha social implementável em estratégia dominantes. Será que em Equilíbrio Nash Bayesiano (ENB) conseguimos implementar uma classe maior de funções de escolha social? A resposta é sim!

12 Implementação Bayesiana e Quase-linearidade Seja k ( ) tal que, k K e θ Θ: v i (k (θ), ) v i (k, ) i I i I e t i (θ) 0 Considere uma função f ( ) (k ( ), t 1 ( ),, t I ( )) de escolha social tal que, i, temos, para uma função h i ( ) arbitrária: t i (θ) E θ i v j (k (, θ i ), θ j ) + h i (θ i ) j i É possível mostrar que, quando as utilidades dos agentes são quase-lineares e os tipos estatisticamente independentes, existe uma função de escolha social que é implementável em ENB. i I

13 Implementação Bayesiana Linearidade Vamos simplificar um pouco mais as preferências, e considerar o caso em que as utilidades de Bernoulli são lineares no tipo do agente. u i (k, ) v i (k) + t i Tipos dos agentes estão distribuídos nos intervalos [, ], de acordo com as distribuições acumuladas estatisticamente independentes Φ i ( ). Φ i ( ) tem função de densidade associada φ i ( ) > 0. Notação: t i ( ˆ ) E θ i [t i ( ˆ, θ i )] v i ( ˆ ) E θ i [v i (k( ˆ, θ i ))]

14 Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano Proposição A função de escolha social f ( ) (k( ), t 1 ( ),..., t I ( )) é implementável verdadeiramente em equilíbrio Nash Bayesiano se, e somente se, para todo i 1,..., I: v i ( ) é crescente U i ( ) U i ( ) + θi v i (s)ds Proposição 23.D.2 do MWG Provaremos primeiro necessidade, e em seguida suficiência.

15 Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano Passos da Demonstração: Necessidade ( ) Como f é implementável verdadeiramente em ENB, temos que, para todo ˆ > : U i ( ) v i ( ˆ ) + t i ( ˆ ) ˆ v i ( ˆ ) + t i ( ˆ ) +( ˆ ) v i ( ˆ ) } {{ } U i ( ˆ ) U i ( ˆ ) ˆ v i ( ) + t i ( ) v i ( ) + t i ( ) +( ˆ ) v i ( ) } {{ } Segue que: U i ( ) U i ( ) U i ( ˆ ) ˆ v( ˆ ) e U i( ) U i ( ˆ ) ˆ v( )

16 Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano Passos da Demonstração (2): Necessidade ( ) v( ) U i( ) U i ( ˆ ) ˆ v( ˆ ) Como ˆ >, a expressão acima indica que v( ) é crescente. Além disso, tomando ˆ na expressão acima, temos que: Segue, portanto, que: U i () v i ( ) U i ( ) U i ( ) + θi v i (s)ds

17 Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano Passos da Demonstração (3): Suficiência ( ) Sejam, ˆ Θ i, com > ˆ, sem perda de generalidade. Suponha que v i ( ) é crescente e que Temos que: U i ( ) U i ( ) + U i ( ) U i ( ˆ ) U i ( ) + ˆ θi v i (s)ds + θi ˆ v i (s)ds θi v i (s)ds v i (s)ds U i ( ) θi ˆ v i (s)ds ˆ ˆ v i (s)ds v i (s)ds θi ˆ v i ( ˆ )ds ( ˆ ) v i ( ˆθ)

18 Implementação em Equilíbrio Nash Bayesiano Passos da Demonstração (4): Suficiência ( ) Logo: U i ( ) U i ( ˆ ) ( ˆ ) v i ( ˆθ) Ou: U i ( ) U i ( ˆ ) + ( ˆ ) v i ( ˆθ) ˆ v i ( ˆ ) + t i ( ˆ ) +( ˆ ) v i ( ˆθ) } {{ } U i ( ˆ ) v i ( ˆθ) + t i ( ˆ ) De modo similar, podemos chegar a: U i ( ˆ ) ˆ v i (θ) + t i ( ) Logo, f é implementável verdadeiramente em ENB.

19 Equivalência de Receita de Leilões Considere um leilão de um objeto indivisível, em que: Agente 0 é o leiloeiro Agentes i 1,..., I são os compradores Seja y(θ) (y 1,..., y I (θ)) o vetor que dá as probabilidades de que cada comprador obtenha o objeto, condicional aos perfil de anúncios (θ 1,..., θ I ). Comprador i é neutro ao risco: quando o perfil de tipos para os I compradores é (θ 1,..., θ I ), sua utilidade é y i (θ) + t i (θ) Se os demais agentes anunciam seus tipos verdadeiramente, teremos para o agente i, em termos de utilidade esperada: U i ( ) E θ i [ y i (θ) + t i (θ)] ȳ i ( ) + t i ( )

20 Teorema de Equivalência de Receita de Leilões Proposição Considere um leilão com I compradores neutros ao risco, de modo que o valuation do i-ésimo comprador sai de um intervalo [, ], com, e uma densidade φ i ( ) > 0 estritamente positiva, com o tipo de cada comprador estatisticamente independente dos tipos dos demais compradores. Suponha que um dado par de ENB para dois leilões diferentes seja tal que, para cada comprador i, tenhamos: Para cada realização de θ (θ 1,..., θ I ), o comprador i tem a mesma probabilidade de obter o bem em ambos os leilões; O comprador i tem a mesma utilidade esperada nos dois leilões, quando o seu valuation para o objeto é o mais baixo possível. Desse modo, os equilíbrios desses dois leilões rendem a mesma receita esperada para o leiloeiro. Proposição 23.D.3 do MWG

21 Teorema de Equivalência de Receita de Leilões Passos da Demonstração (1): Usando o Princípio da Revelação, sabemos que qualquer função de escolha social implementada em qualquer leilão tem que ser implementável verdadeiramente em ENB. A receita esperada do leiloeiro será i E[ t i ( )]. Note que: E[ t i ( )] E[ t i ( )] θi θi θi [ȳ i ( ) U i ( )]φ i ( )d [ [ θi ȳ i ( ) U i ( ) θi ȳ i ( ) ȳ i (s)ds } {{ } U i ( ) ] ] φ i ( )d ȳ i (s)ds φ i ( )d U i ( ) (1)

22 Teorema de Equivalência de Receita de Leilões θi Passos da Demonstração (2): Aplicando o método de integração por partes e a Regra de Leibniz, temos: ( θi ) ( s θ ) θi i ȳ i (s)ds φ i ( ) d ȳ( )d Φ(s) ȳ i ( ) Φ i ( ) d }{{} }{{} } {{ }} }{{}}{{}{{ } G( ) F ( ) G( ) F( ) θi ȳ i ( )[1 Φ i ( )]d Substituindo na Equação (1) do slide anterior: [ ( E[ t i ( )] θi ȳ i ( ) G ( ) F( ) 1 Φ ) ] i( ) φ i ( )d U i ( ) φ i ( )

23 Teorema de Equivalência de Receita de Leilões Passos da Demonstração (3): E[ t i ( )] θi [ ȳ i ( ) ( 1 Φ ) ] i( ) φ i ( )d U i ( ) φ i ( ) Ou, de modo equivalente: [ θ1 θi ( E[ t i ( )]... y i (θ 1,..., θ I ) 1 Φ ) ] i( ) I φ j (θ j )dθ 1... dθ I θ 1 θ I φ i ( ) j 1 U i ( ) Portanto, a receita esperada do leiloeiro é dada por: [ θ1 θi I (... y i (θ 1,..., θ I ) 1 Φ ) ] i( ) I φ j (θ j )dθ 1... dθ I θ 1 θ I φ i ( ) i 1 j 1 I U i ( ) i 1

24 Teorema de Equivalência de Receita de Leilões [ θ1 Passos da Demonstração (4):... θ 1 Portanto, a receita esperada do leiloeiro é dada por: θi θ I I ( y i (θ 1,..., θ I ) 1 Φ ) ] i( ) I φ j (θ j )dθ 1... dθ I φ i ( ) j 1 i 1 Note que, como em ambos os leilões temos: as mesmas probabilidades de os compradores obterem o bem, (y 1 (θ),..., y I (θ)) os compradores com a mesma utilidade esperada U i ( ) quando o valuation do bem é o mais baixo possível Logo, a receita esperada, dada pela expressão acima, será a mesma para ambos os leilões. I U i ( ) i 1

25 Teorema de Equivalência de Receita de Leilões Dados dois leilões quaisquer, em que: 1. os valuations dos compradores são estatisticamente independentes 2. a utilidade decorrente do pior valuation é a mesma em ambos os leilões 3. a alocação do bem em ambos os leilões é a mesma, dado o perfil de tipos. A receita do leiloeiro será a mesma! Não importa, por exemplo, se o leilão é de primeiro ou segundo preço.