Complexidade computacional

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1 Complexidade computacional O Teorema de Nash garante a existência de um equilíbrio em qualquer jogo finito. Mas como encontrar um tal equilíbrio? Teoria dos Jogos p. 1

2 Complexidade computacional O Teorema de Nash garante a existência de um equilíbrio em qualquer jogo finito. Mas como encontrar um tal equilíbrio? Kamal Jain: If your laptop cannot find it, neither can the market. Teoria dos Jogos p. 1

3 Complexidade computacional O Teorema de Nash garante a existência de um equilíbrio em qualquer jogo finito. Mas como encontrar um tal equilíbrio? Kamal Jain: If your laptop cannot find it, neither can the market. Problema NASH: Dado um jogo em forma padrão, encontrar um equilíbrio de Nash. Teoria dos Jogos p. 1

4 Complexidade computacional O Teorema de Nash garante a existência de um equilíbrio em qualquer jogo finito. Mas como encontrar um tal equilíbrio? Kamal Jain: If your laptop cannot find it, neither can the market. Problema NASH: Dado um jogo em forma padrão, encontrar um equilíbrio de Nash. Podemos resolver esse problema eficientemente? Qual é a sua complexidade? Teoria dos Jogos p. 1

5 Complexidade computacional O Teorema de Nash garante a existência de um equilíbrio em qualquer jogo finito. Mas como encontrar um tal equilíbrio? Kamal Jain: If your laptop cannot find it, neither can the market. Problema NASH: Dado um jogo em forma padrão, encontrar um equilíbrio de Nash. Podemos resolver esse problema eficientemente? Qual é a sua complexidade? A versão de decisão (existe equilíbrio de Nash?) é trivial... Teoria dos Jogos p. 1

6 Discussão Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, com utilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais. Teoria dos Jogos p. 2

7 Discussão Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, com utilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais. Seja σ Σ. Estratégia s em S i é resposta ótima para σ i se U i (s,σ i ) = max{u i (ρ,σ i ) : ρ Σ i }. Teoria dos Jogos p. 2

8 Discussão Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, com utilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais. Seja σ Σ. Estratégia s em S i é resposta ótima para σ i se U i (s,σ i ) = max{u i (ρ,σ i ) : ρ Σ i }. Teorema: σ Σ é equilíbrio de Nash sse todas as estratégias puras no suporte dos σ i são respostas ótimas. Teoria dos Jogos p. 2

9 Discussão Nash descreveu um jogo de poker com três jogadores, com utilidades inteiras, e único equilíbrio envolvendo irracionais. Seja σ Σ. Estratégia s em S i é resposta ótima para σ i se U i (s,σ i ) = max{u i (ρ,σ i ) : ρ Σ i }. Teorema: σ Σ é equilíbrio de Nash sse todas as estratégias puras no suporte dos σ i são respostas ótimas. Suporte de σ i : subconjunto de S i em que σ i é positivo. Teoria dos Jogos p. 2

10 Discussão Seja σ Σ. Estratégia s em S i é resposta ótima para σ i se U i (s,σ i ) = max{u i (ρ,σ i ) : ρ Σ i }. Teorema: σ Σ é equilíbrio de Nash sse todas as estratégias puras no suporte dos σ i são respostas ótimas. Suporte de σ i : subconjunto de S i em que σ i é positivo. Teoria dos Jogos p. 3

11 Discussão Seja σ Σ. Estratégia s em S i é resposta ótima para σ i se U i (s,σ i ) = max{u i (ρ,σ i ) : ρ Σ i }. Teorema: σ Σ é equilíbrio de Nash sse todas as estratégias puras no suporte dos σ i são respostas ótimas. Suporte de σ i : subconjunto de S i em que σ i é positivo. Exemplo: Jogo simétrico com dois jogadores dado por Teoria dos Jogos p. 3

12 Discussão Seja σ Σ. Estratégia s em S i é resposta ótima para σ i se U i (s,σ i ) = max{u i (ρ,σ i ) : ρ Σ i }. Teorema: σ Σ é equilíbrio de Nash sse todas as estratégias puras no suporte dos σ i são respostas ótimas. Suporte de σ i : subconjunto de S i em que σ i é positivo. Exemplo: Jogo simétrico com dois jogadores dado por Jogo simétrico de dois jogadores: A 2 = A t 1. Teoria dos Jogos p. 3

13 Discussão Seja σ Σ. Estratégia s em S i é resposta ótima para σ i se U i (s,σ i ) = max{u i (ρ,σ i ) : ρ Σ i }. Teorema: σ Σ é equilíbrio de Nash sse todas as estratégias puras no suporte dos σ i são respostas ótimas. Suporte de σ i : subconjunto de S i em que σ i é positivo. Exemplo: Jogo simétrico com dois jogadores dado por Equilíbrio simétrico de Nash: (0, 1/3, 2/3). Teoria dos Jogos p. 3

14 Consequência Resolver NASH significa encontrar o suporte certo das estratégias mistas de cada jogador. Teoria dos Jogos p. 4

15 Consequência Resolver NASH significa encontrar o suporte certo das estratégias mistas de cada jogador. Dados os suportes, um sistema de equações polinomiais identifica σ. Teoria dos Jogos p. 4

16 Consequência Resolver NASH significa encontrar o suporte certo das estratégias mistas de cada jogador. Dados os suportes, um sistema de equações polinomiais identifica σ. Sejam S i S i os suportes para cada i, e k i = S i. As k i probabilidades correspondentes devem somar 1. O valor de U i deve ser igual para as k i estratégias. Teoria dos Jogos p. 4

17 Consequência Resolver NASH significa encontrar o suporte certo das estratégias mistas de cada jogador. Dados os suportes, um sistema de equações polinomiais identifica σ. Sejam S i S i os suportes para cada i, e k i = S i. As k i probabilidades correspondentes devem somar 1. O valor de U i deve ser igual para as k i estratégias. Tais restrições são descritas em k i equações, para um total de i k i equações, com i k i variáveis. Teoria dos Jogos p. 4

18 Consequência Resolver NASH significa encontrar o suporte certo das estratégias mistas de cada jogador. Sejam S i S i os suportes para cada i, e k i = S i. Sistema de equações polinomiais: As k i probabilidades correspondentes devem somar 1. O valor de U i deve ser igual para as k i estratégias. Tais restrições são descritas em k i s equações, para um total de i k i equações, com i k i variáveis. Teoria dos Jogos p. 5

19 Consequência Resolver NASH significa encontrar o suporte certo das estratégias mistas de cada jogador. Sejam S i S i os suportes para cada i, e k i = S i. Sistema de equações polinomiais: As k i probabilidades correspondentes devem somar 1. O valor de U i deve ser igual para as k i estratégias. Tais restrições são descritas em k i s equações, para um total de i k i equações, com i k i variáveis. Resolva o sistema e verifique se a solução consiste em números positivos que formam um equilíbrio. Teoria dos Jogos p. 5

20 Complexidade computacional Os seguintes problemas são NP-completos: dado um jogo com dois jogadores na forma matricial, decidir se este jogo tem pelo menos dois equilíbrios de Nash; dado k, um equilíbrio de Nash para o jogador 1 com utilidade pelo menos k; dado k, um equilíbrio de Nash com valor social pelo menos k; dado k, um equilíbrio de Nash com pelo menos k estratégias no seu suporte; dado s, um equilíbrio de Nash com s no suporte; dado s, um equilíbrio de Nash sem s no suporte. Teoria dos Jogos p. 6

21 Complexidade computacional Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão, decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash. Teoria dos Jogos p. 7

22 Complexidade computacional Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão, decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash. Vamos mostrar uma redução de SAT para este problema. Teoria dos Jogos p. 7

23 Complexidade computacional Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão, decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash. Vamos mostrar uma redução de SAT para este problema. φ: fórmula booleana em FNC sobre as variáveis x 1,...,x n. J ǫ (φ): jogo simétrico com dois jogadores para ǫ > 0. Teoria dos Jogos p. 7

24 Complexidade computacional Problema: Dado jogo com dois jogadores na forma padrão, decidir se existem pelo menos dois equilíbrios de Nash. Vamos mostrar uma redução de SAT para este problema. φ: fórmula booleana em FNC sobre as variáveis x 1,...,x n. J ǫ (φ): jogo simétrico com dois jogadores para ǫ > 0. O conjunto S de estratégias de cada jogador é a união do conjunto das variáveis V = {x 1,...,x n }, do conjunto dos literais L = {+x 1, x 1,...,+x n, x n }, do conjunto das cláusulas C, e de uma estratégia especial f. Teoria dos Jogos p. 7

25 Funções utilidade u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} u 1 (f,y) = u 2 (y,f) = n 1 para todo x em S \{f} Teoria dos Jogos p. 8

26 Funções utilidade u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} u 1 (f,y) = u 2 (y,f) = n 1 para todo x em S \{f} u 1 (c,l) = u 2 (l,c) = 0 para todo c em C e l in c u 1 (c,l) = u 2 (l,c) = n para todo c em C e l in L\c u 1 (c,y) = u 2 (y,c) = n 4 para todo c em C e y in V C Teoria dos Jogos p. 8

27 Funções utilidade u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} u 1 (f,y) = u 2 (y,f) = n 1 para todo x em S \{f} u 1 (c,l) = u 2 (l,c) = 0 para todo c em C e l in c u 1 (c,l) = u 2 (l,c) = n para todo c em C e l in L\c u 1 (c,y) = u 2 (y,c) = n 4 para todo c em C e y in V C u 1 (v,l) = u 2 (l,v) = 0 para todo v em V e l tq v(l) = v u 1 (v,l) = u 2 (l,v) = n para todo v em V e l tq v(l) v u 1 (v,y) = u 2 (y,v) = n 4 para todo v em V e y in V C Teoria dos Jogos p. 8

28 Funções utilidade u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} u 1 (f,y) = u 2 (y,f) = n 1 para todo x em S \{f} u 1 (c,l) = u 2 (l,c) = 0 para todo c em C e l in c u 1 (c,l) = u 2 (l,c) = n para todo c em C e l in L\c u 1 (c,y) = u 2 (y,c) = n 4 para todo c em C e y in V C u 1 (v,l) = u 2 (l,v) = 0 para todo v em V e l tq v(l) = v u 1 (v,l) = u 2 (l,v) = n para todo v em V e l tq v(l) v u 1 (v,y) = u 2 (y,v) = n 4 para todo v em V e y in V C u 1 (l 1,l 2 ) = u 2 (l 2,l 1 ) = n 1 para todo l 1 l 2 u 1 (l 1,l 2 ) = u 2 (l 2,l 1 ) = n 4 para todo l 1 = l 2 u 1 (l,y) = u 2 (y,l) = n 4 para todo l em L e y in V C Teoria dos Jogos p. 8

29 Equilíbrios de Nash Equilíbrio óbvio: (f,f) pois u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} Teoria dos Jogos p. 9

30 Equilíbrios de Nash Equilíbrio óbvio: (f,f) pois u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} Existe um outro equilíbrio de Nash (EN) sse φ é satisfatível. Teoria dos Jogos p. 9

31 Equilíbrios de Nash Equilíbrio óbvio: (f,f) pois u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} Existe um outro equilíbrio de Nash (EN) sse φ é satisfatível. A L: conjunto de literais de atribuição que satisfaz φ. Estratégia mista que escolhe cada elemento de A com probabilidade 1/n é EN. Teoria dos Jogos p. 9

32 Equilíbrios de Nash Equilíbrio óbvio: (f,f) pois u 1 (f,f) = u 2 (f,f) = ǫ u 1 (y,f) = u 2 (f,y) = 0 para todo x em S \{f} Existe um outro equilíbrio de Nash (EN) sse φ é satisfatível. A L: conjunto de literais de atribuição que satisfaz φ. Estratégia mista que escolhe cada elemento de A com probabilidade 1/n é EN. EN distinto de (f,f) é uma estratégia mista do tipo acima. Teoria dos Jogos p. 9