Análise e Projeto de Algoritmos

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1 Análise e Projeto de Algoritmos

2 Classes P e NP P São os problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial por uma Máquina de Turing Determinística. NP São os problemas que podem ser decididos em tempo polinomial por uma Máquina de Turing Não-Determinística.

3 Classes NP NP-difícil Os problemas em NP-difícil são os problemas mais difíceis conhecidos, eles são tão ou mais difíceis que os problemas em NP. Um problema é NP-difícil se todos os problemas NP podem ser reduzidos a ele em tempo polinomial. NP-completo Os problemas em NP-completo são os problemas que estão em NP e são NP-difíceis.

4 Classes NP

5 Redução Se o Problema A é NP-difícil, então o Problema B também é.

6 Problema da Satisfatibilidade Booleana (SAT) Determinar se para um conjunto de n variáveis existe um conjunto de valores booleanos que resulte em verdadeiro para uma determinada fórmula. Existem n variáveis: x 1, x 2,, x n A fórmula booleana possui somente as operações AND ( ), OR ( ) e NOT ( ). Uma fórmula é dita satisfazível se é possível fazer com que ela seja verdadeira. (x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ) x 1

7 Problema da Satisfatibilidade Booleana SAT Determinar se para um conjunto de n variáveis existe um conjunto de valores booleanos que resulte em verdadeiro para uma determinada fórmula. x 1 x 2 é satisfazível x 1 = 0 x 2 = 1 x 1 x 1 não é satisfazível

8 Circuíto SAT csat A fórmula SAT representada como um circuito lógico.

9 Forma Normal Conjuntiva SAT CNF SAT A fórmula SAT como uma conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. (x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) ( x 1 ) (x 5 x 6 x 7 x 8 )

10 3-SAT 3-SAT A fórmula SAT é CNF e cada cláusula possui 3 literais. (x 1 x 2 x 7 ) ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 3 x 4 x 6 ) (x 5 x 6 x 7 )

11 Teorema de Cook O problema csat é NP-completo. Por redução, CNF SAT e 3-SAT também são NP-completo. Problemas SAT em P: 2-SAT: cada cláusula possui 2 literais Horn SAT: cada cláusula possui no máximo uma variável sem o NOT DNF: é uma disjunção (OR) de cláusulas, onde uma cláusula é uma conjunção (AND) de literais.

12 CNF vs DNF CNF SAT Conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. DNF SAT Disjunção (OR) de cláusulas, onde uma cláusula é uma conjunção (AND) de literais.

13 CNF vs DNF CNF SAT Conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. DNF SAT Disjunção (OR) de cláusulas, onde uma cláusula é uma conjunção (AND) de literais. Qualquer SAT pode ser representado em CNF em tempo polinomial CNF NP-completo

14 CNF vs DNF CNF SAT Conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. DNF SAT Disjunção (OR) de cláusulas, onde uma cláusula é uma conjunção (AND) de literais. Qualquer SAT pode ser representado em CNF em tempo polinomial CNF NP-completo Qualquer SAT pode ser representado em DNF em tempo exponencial DNF P

15 csat para SAT Cada operador possui uma variável de saída. Comece com o último operador. Substitua ele pelas variáveis que o geram e seu operador. Continue a substituição até que todas as variáveis sejam as variáveis iniciais.

16 csat para SAT x 10

17 csat para SAT x 9 x 8 x 7

18 csat para SAT x 9 (x 5 x 6 ) x 7

19 csat para SAT (x 6 x 7 ) (x 5 x 6 ) x 7

20 csat para SAT (x 6 x 7 ) ((x 1 x 2 ) x 6 ) x 7

21 csat para SAT (x 6 (x 1 x 4 x 2 )) ((x 1 x 2 ) x 6 ) (x 1 x 4 x 2 )

22 csat para SAT ( x 4 (x 1 x 4 x 2 )) ((x 1 x 2 ) x 4 ) (x 1 x 4 x 2 )

23 csat para SAT (x 3 (x 1 x 3 x 2 )) ((x 1 x 2 ) x 3 ) (x 1 x 3 x 2 )

24 csat para CNF-SAT Cada operador possui uma variável de saída. Comece com o último operador. Substitua ele pela equivalência de seu operador. Continue a substituição para todos operadores. Substitua cada equivalência de acordo com o operador. A B A B

25 csat para CNF-SAT Cada operador possui uma variável de saída. Comece com o último operador. Substitua ele pela equivalência de seu operador. Continue a substituição para todos operadores. Substitua cada equivalência de acordo com o operador. A B A B A B = ( A B) (A B)

26 csat para CNF-SAT A B = ( A B) (A B)

27 csat para CNF-SAT NOT A B = ( A B) (A B) A B = ( A B) (A B) A B = ( A B) (A B)

28 csat para CNF-SAT NOT A B = ( A B) (A B) A B = ( A B) (A B) A B = ( A B) (A B) AND A B C = ( A (B C)) (A (B C)) A B C = ( A (B C)) (A B C) A B C = ( A B) ( A C) (A B C)

29 csat para CNF-SAT NOT A B = ( A B) (A B) A B = ( A B) (A B) A B = ( A B) (A B) AND A B C = ( A (B C)) (A (B C)) A B C = ( A (B C)) (A B C) A B C = ( A B) ( A C) (A B C) OR A B C = ( A (B C)) (A (B C)) A B C = ( A B C) (A B C)) A B C = ( A B C) (A B) (A C)

30 csat para CNF-SAT x 10

31 csat para CNF-SAT x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 )

32 csat para CNF-SAT x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 ) (x 8 x 5 x 6 )

33 csat para CNF-SAT x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 ) (x 8 x 5 x 6 ) (x 9 x 6 x 7 )

34 csat para CNF-SAT x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 ) (x 8 x 5 x 6 ) (x 9 x 6 x 7 ) (x 6 x 4 )

35 csat para CNF-SAT x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 ) (x 8 x 5 x 6 ) (x 9 x 6 x 7 ) (x 6 x 4 ) (x 7 x 1 x 2 x 4 )

36 csat para CNF-SAT x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 ) (x 8 x 5 x 6 ) (x 9 x 6 x 7 ) (x 6 x 4 ) (x 7 x 1 x 2 x 4 ) (x 5 x 1 x 2 )

37 csat para CNF-SAT x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 ) (x 8 x 5 x 6 ) (x 9 x 6 x 7 ) (x 6 x 4 ) (x 7 x 1 x 2 x 4 ) (x 5 x 1 x 2 ) (x 4 x 3 )

38 csat para CNF-SAT A B = ( A B) (A B) NOT A B = ( A B) (A B) AND A B C = ( A B) ( A C) (A B C) OR A B C = ( A B C) (A B) (A C) x 10 (x 10 x 8 x 9 x 7 ) (x 8 x 5 x 6 ) (x 9 x 6 x 7 ) (x 6 x 4 ) (x 7 x 1 x 2 x 4 ) (x 5 x 1 x 2 ) (x 4 x 3 )

39 CNF-SAT para 3-CNF-SAT Uma fórmula é dada por uma conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. Caso 1: a cláusula tem 1 literal Troque x i por (x i x i x i )

40 CNF-SAT para 3-CNF-SAT Uma fórmula é dada por uma conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. Caso 2: a cláusula tem 2 literais Troque (x i x j ) por (x i x j x i )

41 CNF-SAT para 3-CNF-SAT Uma fórmula é dada por uma conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. Caso 3: a cláusula tem 3 literais Já está na forma correta

42 CNF-SAT para 3-CNF-SAT Uma fórmula é dada por uma conjunção (AND) de cláusulas, onde uma cláusula é uma disjunção (OR) de literais. Caso 4: a cláusula tem mais de 3 literais Troque (x 1 x 2 x m ) por (x 1 x 2 y 1 ) ( y 1 x 3 y 2 ) ( y 2 x 4 y 3 ) ( y m 4 x m 2 y m 3 ) ( y m 3 x m 1 x m )

43 Reduções a partir de SAT

44 Reduções a partir de SAT

45 Exercício Diga se você acha que é possível fazer as seguintes reduções em tempo polinomial e explique. 2-SAT para 3-SAT 3-SAT para 2-SAT CNF-SAT para DNF-SAT DNF-SAT para CNF-SAT

46 Exercício: Solução Diga se você acha que é possível fazer as seguintes reduções em tempo polinomial: 2-SAT para 3-SAT: sim, o problema 3-SAT é muito mais difícil que 2-SAT 3-SAT para 2-SAT: somente se P=NP CNF-SAT para DNF-SAT: somente se P=NP DNF-SAT para CNF-SAT: sim, o problema CNF-SAT é muito mais difícil que DNF-SAT