Lógica Computacional Aula 4

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1 Lógica Computacional Aula 4 DCC/FCUP 2017/18 Conteúdo 1 Lógica proposicional Fórmulas de Horn Satisfazibilidade Cláusulas Lógica proposicional 1.1 Fórmulas de Horn Fórmulas de Horn Uma fórmula de Horn é uma fórmula em forma normal conjuntiva em que em cada disjunção (cláusula) existe no máximo um literal positivo. p q (q p) ( p q s p) ( q r p) ( p s s) ( p q s) ( q r p) s Numa fórmula de Horn, as disjunções p 1... p n p também se podem escrever como: (p 1... p n ) p ou se p não existe (ou é F ): ou se os p i não existem: (p 1... p n ) F V p Fórmulas de Horn Nem todas as fórmulas têm uma fórmula de Horn equivalente! Mas... Para determinar se uma fórmula de Horn da lógica proposicional é satisfazível podemos usar um algoritmo eficiente! 1

2 Considera a fórmula p q (q p): começar por colocar numa linha as variáveis proposicionais que ocorrem na fórmula e colocar a fórmula. Ex: p q p q (q p) se alguma das variáveis proposicionais é um dos elementos da conjunção atribuir o valor V variável (porquê?). Ex: p q p q (q p) V a essa Com essa informação preencher a tabela como se tivesse a construir a tabela de verdade (para essa linha), analisando cada disjunção para determinar se, para ela ser verdadeira, se pode determinar mais valores para as variáveis proposicionais: V F Neste caso, q tem de ser V e então isso pode ser acrescentado: E voltando a repetir este passo, obtém-se: Continuar até mais nada poder ser acrescentado. V V F V V F F se no passo anterior se atribuir F a um dos elementos da conjunção, a fórmula também fica com o valor F e não é satisfazível. Caso contrário podemos atribuir à fórmula o valor V se atribuirmos F às restantes variáveis proposicionais. No exemplo que estamos a considerar, a fórmula tem o valor F e portanto não é satisfazível. Aplica o algoritmo anterior a p ( p q) r 2

3 1.2 Satisfazibilidade Satisfazibilidade Saber se uma fórmula da lógica proposicional é satisfazível é um problema central da Ciência de Computadores pois muitos problemas de outras áreas se podem exprimir em termos dele: optimização: planeamento, escalonamento,etc. combinatória: coloração de grafos,etc. teorias de lógica de primeira ordem: programação linear, aritmética de reais, strings de bits, apontadores, etc. (resolutores SMT). Mas se uma fórmula não estiver em forma normal disjuntiva ou não for duma classe para a qual é fácil determinar a satisfazibilidade, será que o único recurso é fazer a tabela de verdade? No pior caso, SIM... isto é, não é conhecido nenhum algoritmo para a satisfazibilidade que não seja exponêncial no número de variáveis e conectivas da fórmula! P =NP? Satisfazibilidade No caso geral, podemos encontrar algoritmos que determinam a satisfazibilidade de uma fórmula mais eficientemente que a construção de força bruta da tabela de verdade. A ideia geral ir construindo parcialmente uma valorização que satisfaça a fórmula...em vez de gerar uma valorização completa (linha da tabela de verdade) e verificar se a fórmula a satisfaz!. Este processo é especialmente simplificado se as as fórmulas estiverem em forma normal conjuntiva (FNC). Pois pode ser representado de forma compacta usando a noção de cláusula Cláusulas Cláusulas Uma cláusula é uma disjunção de literais l 1 l 2... l n, n 0. Uma cláusula pode-se representar por um conjunto de literais. Se n = 0 dizemos que a cláusula é vazia e corresponde a F. Se n = 1 dizemos que a cláusula é unitária. Exemplo 0.1. p q p s pode-se representar por {p, q, p, s}. Cláusulas Conjunto de cláusulas Qualquer fórmula da lógica proposicional em FNC pode-se representar por um conjunto de cláusulas. corresponde ao conjunto de cláusulas: p (q r q) ( r s) (p s) ( q s) {{ p}, {q, r}, { r, s}, {p, s}, { q, s}} 3

4 Cláusulas Literais complementares Dado um literal l designamos por literal complementar o literal l definido por: { l, se l é uma variável (positivo) l = p, se l é da forma p (negativo) Por exemplo p = p e p = p. Como vimos, uma cláusula é uma tautologia se contém um par de literais complementares p e p. Estas cláusulas podem ser retiradas do conjunto sem alterar a satisfazibilidade. 1.3 Versão inicial de 1960 que ainda é a base de muitos dos algoritmos mais eficientes actualmente: ou Concurso A ideia base do algoritmo é considerar para cada variável os possíveis valores de verdade e simplificar a fórmula de acordo com essas atribuições até se poder concluir que ela é ou não satisfazível. Propagação Unitária Seja S um conjunto de cláusulas. Um conjunto S é obtido de S por propagação unitária se S se obtém de S por repetição da seguinte transformação: se S contém uma cláusula unitária l então: 1. remover de S todas as cláusulas da forma l C 2. substituir em S cada cláusula da forma l C pela cláusula C. Considera o seguinte conjunto de cláusulas: {p 1, p 1 p 2, p 3 p 2, p 7 p 2, p 3 p 4, p 3 p 5, p 4 p q, p 5 p 6 r, p q p 6, p p 7, r p 7 } (1) Aplicando a p 1 { p 2, p 3 p 2, p 7 p 2, p 3 p 4, p 3 p 5, p 4 p q, p 5 p 6 r, p q p 6, p p 7, r p 7 } (2) Aplicando a propagação a p 2 {p 3, p 7, p 3 p 4, p 3 p 5, p 4 p q, p 5 p 6 r, p q p 6, p p 7, r p 7 } (3) Depois de aplicar a propagação a p 3 e p 7, temos: {p 4, p 5, p 4 p q, p 5 p 6 r, p q p 6, p, r} (4) 4

5 Propagando para p 4, p 5, r e p vem: {q, p 6, q p 6 } (5) E finalmente propagando para q e p 6 : {F } (6) o conjunto inicial de cláusulas é não satisfazível (e neste caso usando só propagação unitária). DLL( S ) { input : conjunto de c l a u s u l a s S output : s a t i s f a z i v e l ou nao s a t i s f a z i v e l S := propaga ( S ) i f S v a z i o then return s a t i s f a z i v e l i f S contem F then return nao s a t i s f a z i v e l l := s e l e c c i o n a _ l i t e r a l ( S ) i f DLL( S {l}) = s a t i s f a z i v e l then return s a t i s f a z i v e l else return DLL( S U { l}) } A função seleciona_literal retorna um literal da cláusula. Esta função poderá ser considerada um parâmetro do algoritmo, pois uma escolha adequada do literal pode tornar o algoritmo mais eficiente. Possíveis critérios são: escolher uma variável que ocorre mais vezes; que o produto das ocorrências de l e l é máximo; que ocorre mais vezes em cláusulas de tamanho minimal, etc. Aplicação do Algoritmo S = { p q, p q, p q, p q} (7) Como não tem cláusulas unitárias, temos de selecionar um literal, por exemplo, p. Por propagação: { p q, p q, p q, p q, p} { q, q} {F } (8) Aplicação do Algoritmo Temos ainda de considerar S {p}. Neste caso a propagação é: E o algoritmo retorna nao satisfazivel. { p q, p q, p q, p q, p} { q, q} {F } (9) 5