Introdução. Programação em Lógica. Resolução na Lógica Proposional. Resolução na Lógica Proposional. Resolução na Lógica Proposional.

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1 Ciência da Computação Introdução Programação em Lógica Prof. Sergio Ribeiro Sistemas dedução da Lógica: Estabelecem estruturas que permitem a representação e dedução do conhecimento. Vários tipos: Sistema axiomático Tableaux semânticos Material adaptado do livro-texto de João Nunes de Souza Programação em Lógica 2 Proposional Método de prova criado por John Alan Robinson. Inúmeras pesquisas e implementações utilizam tal método. Programação Lógica Notação (forma de conjuntos): Considere a fórmula H H = (P ~Q R) (P ~Q) (P P) Esta fórmula é uma conjunção de disjunções (FNC). Proposional Notação (forma de conjuntos): H = (P ~Q R) (P ~Q) (P P) Esta fórmula é representada na forma de conjuntos como: H = {{P, ~Q, R}, {P, ~Q}, {P}} Cláusula disjunção de literais (conjunto finito de literais). Literais Complementares ocorre quando um literal é a negação do outro. Programação em Lógica 3 Programação em Lógica 4 Proposional Resolvente de duas cláusulas Considere duas cláusulas: C 1 = {A 1,...,A n } C 2 = {B 1,...,B n } Considere que elas possuem literais complementares. Considere um literal λ em C 1, tal que o seu complementar ~λ esteja em C 2. O resolvente de C 1 e C 2, chamado Res(C 1,C 2 ), é definido por: Res(C 1,C 2 ) = (C 1 {λ}) (C 2 {~λ}) Se Res(C 1,C 2 ) = { }, tem-se um resolvente vazio. Programação em Lógica 5 Considere: C 1 = {P, ~Q, R} C 2 = {~P, R} Logo, Res(C 1,C 2 ) = {~Q, R} Programação em Lógica 6 1

2 Exemplo 02 Considere: C 1 = {P} C 2 = {~P} Logo, Res(C 1,C 2 ) = { } Exemplo 03 Considere: C 1 = {P, ~Q} C 2 = {~P, Q} Então, Res(C 1,C 2 ) = {~Q, Q} ou {P, ~P} A regra resolvente elimina apenas um literal por vez! Programação em Lógica 7 Programação em Lógica 8 Elementos básicos da : Composição dos seguintes elementos: Alfabeto da Lógica Conjunto de cláusulas da Lógica Regra de resolução define uma estrutura para representação e dedução de conhecimento. Não existem axiomas. Apenas uma regra de inferência (regra de resolução). Prova de argumentos usando o conhecimento representado no sistema. Programação em Lógica 9 Regra de Dadas duas cláusulas C 1 = {A 1,...,A n } C 2 = {B 1,...,B n } A regra de resolução aplicada a C 1 e C 2 é definida por Tendo C 1 e C 2, deduza Res(C 1,C 2 ) Prova da satisfatibilidadede um conjunto de cláusulas aplicação repetida da regra de resolução até obter uma cláusula vazia. Expansão por Programação em Lógica 10 Exemplo Considere {{~P, Q, R}, {P, R}, {P, ~R}} Expansão 1. {~P, Q, R} 2. {P, R} 3. {P, ~R} 4. {Q, R} [Res(1,2)] 5. {Q, P} [Res(3,4)] 6. {P} [Res(2,3)] Neste caso, não é possível obter a cláusula vazia. Programação em Lógica 11 Expansão por Seja um conjunto de cláusulas {A 1,...,A n } Uma expansão por resolução de {A 1,...,A n } 1. A 1 2. A 2... n. A n OBS: Nessa expansão, as fórmulas {A 1,...,A n } podem ser escritas em qualquer ordem. Programação em Lógica 12 2

3 Expansão por Seja Exp uma expansão por resolução sobre {A 1,...,A n }. Se Exp* é a estrutura resultante da adição de Res(A i, A j ), (i, j) n, i j, à expansão Exp, então Exp* também é uma expansão por resolução sobre {A 1,...,A n }. Programação em Lógica 13 Exemplo Considere {{~P, Q}, {P, R}, {P, ~Q}, {~Q, ~R}} Expansão 1. {~P, Q} 2. {P, R} 3. {P, ~Q} 4. {~Q, ~R} 5. {Q, R} Res(1,2) 6. {P, R} Res(3,5) 7. {Q, R} Res(1,6) 8. {R, ~R} Res(4,7) Tal resolução também não contém a cláusula vazia. Se expansão contém cláusula vazia expansão fechada. Programação em Lógica 14 Consequência Lógica na Forma clausal de H Fórmula Hc que é uma conjunção de cláusulas e é equivalente a H. Toda fórmula da Lógica possui uma fórmula clausal associada. Prova por Seja H uma fórmula e ~Hc a fórmula clausal associada a ~H. Uma prova de H por resolução é uma expansão fechada sobre ~Hc Nesse caso, H é um teorema do sistema de resolução. Programação em Lógica 15 Prova por H = ((P 1 P 2 P 3 ) (P 1 P 4 ) (P 2 P 4 ) (P 3 P 4 )) P 4 Prova de H ~H = ~(((P 1 P 2 P 3 ) (P 1 P 4 ) (P 2 P 4 ) (P 3 P 4 )) P 4 ) ~(~((P 1 P 2 P 3 ) (~P 1 P 4 ) (~P 2 P 4 ) (~P 3 P 4 )) P 4 ) ((P 1 P 2 P 3 ) (~P 1 P 4 ) (~P 2 P 4 ) (~P 3 P 4 )) ~P 4 (P 1 P 2 P 3 ) (~P 1 P 4 ) (~P 2 P 4 ) (~P 3 P 4 ) ~P 4 Programação em Lógica 16 Prova por H = ((P 1 P 2 P 3 ) (P 1 P 4 ) (P 2 P 4 ) (P 3 P 4 )) P 4 ~Hc = (P 1 P 2 P 3 ) (~P 1 P 4 ) (~P 2 P 4 ) (~P 3 P 4 ) ~P 4 ~Hc = { {P 1, P 2, P 3 }, {~P 1, P 4 }, {~P 2, P 4 }, {~P 3, P 4 }, {~P 4 } } Programação em Lógica 17 Prova por Expansão por 1. {P 1, P 2, P 3 } 2. {~P 1, P 4 } 3. {~P 2, P 4 } 4. {~P 3, P 4 } 5. {~P 4 } 6. {P 2, P 3, P 4 } Res(1,2) 7. {P 3, P 4 } Res(3,6) 8. {P 4 } Res(4,7) 9. {} Res(5,8) Programação em Lógica 18 3

4 Exercício Consequência Lógica na G = ((P 1 P 2 ) (P 1 P 4 ) (P 2 P 4 ) (P 3 P 4 )) P 3 Resolver! Seja H uma fórmula da Lógica. Teorema da Completude Se H é uma tautologia, então existe uma prova de H por resolução. Teorema da Correção Se existe uma prova de H por resolução, então H é uma tautologia. Programação em Lógica 19 Programação em Lógica 20 Consequência Lógica na Definição: Dada uma fórmula H, e um conjunto de hipóteses ß = {A 1,..., A n } Então H é uma consequência lógica de ß, por resolução, se existe uma prova de (A 1... A n ) H Notação ß H {A 1,..., A n } H Programação em Lógica 21 Considerando que Guga é determinado. Guga é inteligente. Se Guga é determinado e atleta, ele não é um perdedor. Se Guga é um amante do tênis, então é um atleta. Se Guga é inteligente, então é um amante do tênis. Verificar se a afirmação Guga não é um perdedor é uma consequência lógica dos argumentos acima. Programação em Lógica 22 Proposições: Guga é determinado P Guga é inteligente Q Guga é um atleta R Se Guga é determinado e atleta, ele não é um perdedor. (P R) ~P 1 Se Guga é um amante do tênis, então é um atleta. Q 1 R Se Guga é inteligente, então é um amante do tênis. Q Q 1 Programação em Lógica Guga é um perdedor P1 Guga é um amante do tênis Q1 23 H = (P Q ((P R) ~P 1 ) (Q 1 R) (Q Q 1 )) ~P 1 Obtenção da fórmula clausal (~Hc) associada a ~H. ~H = ~((P Q ((P R) ~P 1 ) (Q 1 R) (Q Q 1 )) ~P 1 ) ~(~(P Q ((P R) ~P 1 ) (Q 1 R) (Q Q 1 )) ~P 1 ) Programação em Lógica 24 4

5 Obtenção da fórmula clausal (~Hc) associada a ~H. (P Q ((P R) ~P 1 ) (Q 1 R) (Q Q 1 )) P 1 ) P Q (~(P R) ~P 1 ) (~Q 1 R) (~Q Q 1 ) P 1 P Q (~P ~R ~P 1 ) (~Q 1 R) (~Q Q 1 ) P 1 Programação em Lógica 25 ~Hc representado na notação de conjuntos. { {P} {Q} {~P, ~R, ~P 1 } {~Q 1, R} {~Q, Q 1 } {P 1 } } Programação em Lógica 26 Expansão por de ~Hc. 1. {P} 2. {Q} 3. {~P, ~R, ~P 1 } 4. {~Q 1, R} 5. {~Q, Q 1 } 6. {P 1 } 7. {~Q, R} Res(4,5) 8. {~P, ~P 1, ~Q} Res(3,7) 9. {~P 1, ~Q} Res(1,8) 10.{~Q} Res(6,9) 11.{} Res(2,10) Programação em Lógica 27 A expansão obtida é fechada. Assim, temos H H é uma tautologia. Programação em Lógica 28 Exemplo 02 Considere os argumentos: Se Guga joga uma partida de tênis, a torcida comparece se o ingresso é barato. Se Guga joga uma partida de tênis, o ingresso é barato. Verifique se a afirmação Se Guga joga uma partida de tênis, a torcida comparece é uma consequência lógica dos argumentos acima. Programação em Lógica 29 Exemplo 02 G = ((P (R Q)) (P R)) (P Q) Prove! Programação em Lógica 30 5

6 Conjunto Insatisfatível Um conjunto ß, tal que: ß = {~P Q, ~(Q ~R), R P 1, ~(~P P 1 )} é insatisfatível se e somente se H, tal que: H = ~((~P Q) ~(Q ~R) (R P 1 ) ~(~P P 1 )) é uma tautologia. Exercício: determinar se o conjunto ß é insatisfatível. Programação em Lógica 31 Exercícios 1. Faça as seguintes demonstrações utilizando resolução: P P ~(P Q) (P (~Q)) (P (P ~P)) P 2. Determine se os conjuntos a seguir são insatisfatíveis: {~(P Q), ~P Q} {P Q, P Q, ~Q} Programação em Lógica 32 6