Lógica Proposicional

Transcrição

1 Lógica Proposicional

2 Lógica Proposicional As notações lógicas formais representam proposições em forma simbólica fbf Lembrando: fbf: fórmula bem formulada; Essas fbfs também são chamadas de fbfs proposicionais Essas fbfs podem ser utilizadas para chegar a conclusões, novas proposições O sistema que utiliza essas fbfs proposicionais é chamado de Lógica proposicional; ou Lógica declarativa; ou Cálculo proposicional. 2

3 Argumento Válido Pode ser representado em forma simbólica como P 1 P 2 P 3 Pn Q Onde: P 1, P 2, P 3,,Pn: são proposições dadas de hipóteses do argumento Q: é a conclusão do argumento. Obs.: P e Q são fbfs e não letras de proposição Q é ma conclusão lógica de P 1,, Pn sempre que a verdade das proposições implica a verdade de Q 3

4 Exemplo 1 Seguindo essas duas proposições e essa conclusão: George Washington foi o primeiro presidente dos EUA. Thomas Jefferson escreveu a Declaração de Independência. Portanto, todo dia tem 24 horas. As proposições são verdadeiras. Mas sobre a conclusão É um fato verdadeiro isolado. Não possui relação com as proposições. Não devendo então ser considerado um argumento válido 4

5 O que deve ser considerado um Argumento Válido então? 5

6 Argumento Válido Define-se argumento válido quando for uma tautologia P 1 P 2 P 3 Pn Q Argumento do Exemplo 1: A B C (não é tautologia) 6

7 Exemplo 2 Seguindo essas duas proposições e essa conclusão: Se George Washington foi o primeiro presidente dos EUA, então John Adams foi o primeiro vice-presidente. George Washington foi o primeiro presidente dos Estados Unidos. Portanto, John Adams foi o primeiro vice-presidente. Sua forma simbólica é: (A B) A B Como essa é uma tautologia, o Argumento é Válido Sua conclusão segue, inevitavelmente, das hipóteses. 7

8 Modus ponens Essa forma de argumento é chamada de modus ponens, que significa método de afirmação. Ele é utilizado para construir a lógica proposicional. 8

9 Regras de Dedução Para confirmar se um argumento é uma tautologia pela tabela verdade ou pelo algoritmo TestaTautologia. Porém, o método mais utilizado são as regras de dedução. Elas são capazes de modificar a fbf de modo a preservar seu valor lógico. Como deve-se: iniciar com as hipóteses verdadeiras (ou supostas); e aplicar as regras de dedução; até terminar com a conclusão. 9

10 Sequência de demonstração É uma sequência de fbfs nas quais: Cada uma é uma hipótese. Ou cada uma é um resultado ao aplicar regras de dedução às fbfs anteriores. Da forma: P 1 (hipótese) Pn fbf 1 fbf 2 (hipótese) (obtida aplicando uma regra de dedução à fbf anterior) (obtida aplicando uma regra de dedução à fbf anterior)... Q (obtida aplicando uma regra de dedução à fbf anterior) 10

11 Cuidados As regras de produção tem que ser escolhidas com cuidado. Pois se a regra for forte demais: os valores lógicos podem ser perdidos; poderá ser deduzido qualquer valor de um conjunto de hipóteses. E se for fraca demais: Existirão conclusões que não serão capazes de serem provadas do conjunto de hipóteses dado. O sistema lógico formal utilizado deve ser: Correto: nada que não deveria ser um teorema, não o é. Completo: tudo o que deveria ser um teorema, o é. 11

12 Regras de dedução para a Lógica Proposicional São basicamente de dois tipos: Equivalências: permitem que as fbfs individuais sejam reescritas mantendo o mesmo valor lógico. Inferências: permitem a dedução de novas fbfs a partir de fbfs anteriores. 12

13 Regras de Equivalência Informam que a equivalência dentre determinados pares de fbfs. Nota: R S é uma tautologia e R pode ser substituída por S a qualquer momento sem a mudança de seu valor lógico.. 13

14 Regras de Inferência Informam que uma ou mais fbfs contidas na primeira coluna de regras fazem parte de uma sequência de demonstração. Pode-se então adicionar uma nova fbf na sequência, substituindo a anterior pela sua correspondente. 14

15 Exercícios 15