Lógica para Computação

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1 Lógica para Computação Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng. celsokaestner (at) utfpr (dot) edu (dot) br

2 Sistemas Dedutivos Um Sistema Dedutivo (SD) tem por objetivo obter, a partir de um conjunto de fórmulas Γ dado, chamado de teoria, outras fórmulas que sejam consequência lógica de Γ; Quando um SD infere uma fórmula A a partir de Γ escreve-se Γ A; este elemento chama-se sequente, e é constituído do antecedente (ou hipóteses) Γ e do consequente (ou conclusão) A. 2

3 Sistemas Dedutivos Existem vários procedimentos para realizar inferências: 1. Método axiomático; 2. Sistema de dedução natural; 3. Método dos tableaux analíticos;

4 Sistemas Dedutivos Objetiva-se construir Sistemas Dedutivos que sejam: 1. Corretos, isto é, que produzam apenas conclusões que são consequência lógica das hipóteses dadas: se Γ A então Γ A 2. Completos, isto é, que sejam capazes de produzir todas as inferência válidas: se Γ A então Γ A 4

5 Método Axiomático É o SD mais antigo, tendo sido usado desde a apresentação da Geometria Euclidiana; Aqui será tratada apenas o método axiomático para a Lógica Proposicional Clássica; O método possui 2 elementos: 1. Axiomas, constituídos por fbf à quais se atribui um status de verdade básica ; 2. Regras de inferência, que indicam como obter novas fórmulas a partir das fórmulas já inferidas. 5

6 Método Axiomático A substituição de um átomo p por uma fórmula B em uma fórmula A, representada por A[p:=B] é definida por: 1. p[p:=b]=b; 2. q[p:=b]=q, se q p; 3. (A) [p:=b]= (A [p:=b]); 4. (A 1 A 2 ) [p:=b]= (A 1 [p:=b]) (A 2 [p:=b]); 5. (A 1 A 2 ) [p:=b]= (A 1 [p:=b]) (A 2 [p:=b]); e 6. (A 1 A 2 ) [p:=b]= (A 1 [p:=b]) (A 2 [p:=b]). 6

7 Método Axiomático Exemplo de substituição: Substituição de p por (r s) em (p (p q)): (p (p q))[p := (rs)] = (p[p:=(rs)](pq) [p:=(rs)]) = ((rs)(p[p:=(rs)q[p:=(rs))) = ((rs)((rs)q)) Se B é resultante da substituição de um ou mais átomos da fórmula A, diz-se que B é uma instância de A. 7

8 Método Axiomático Axiomas da lógica proposicional clássica: 1. p (q p) 2. (p (q r)) ((p q) (p r)) 3. p (q (p q)) 4. (p q ) p 5. (p q ) q 6. p (p q) 7. q (p q) 8. (p r) ((q r) ((p q) r)) 9. (p q) ((p q) p) 10. p p 8

9 Método Axiomático Regra de inferência (Modus Ponens): a partir de A B e de A infere-se B; Uma dedução é uma sequência de fórmulas A 1, A 2 A n tal que cada fórmula de sequência é: 1. Uma instância de axioma; ou 2. Pode ser deduzida das fórmulas anteriores pela aplicação das regras de inferência. Um teorema é uma fórmula A para a qual existe uma dedução A 1, A 2 A n = A. Neste caso escreve-se A. 9

10 Método Axiomático Exemplo de teorema: 1. (p ((p p) p)) ((p (p p)) (p p)) (instância do ax.2 com p:=p, q:=(pp) e r:= p; 2. (p ((p p) p)) (instância do ax. 1 com p:=p, q:=(pp)) 3. ((p (p p)) (p p)) (modus ponens de 1 e 2) 4. (p (p p)) (instância do ax. 1 com p:=p, q:=p) 5. (pp) (modus ponens de 3 e 4) 10

11 Método Axiomático Exemplo de teorema: 1. (p p) ((q p) (p p)) (instância do ax.1 com p:=(p p) e q:=(qp)) 2. p p (axioma 10) 3. (q p) (p p) (modus ponens de 1 e 2) 4. (q p) (p p) (((q p) (pp)) q) (instância do ax. 6 com p:= (q p) (p p) e q:=q) 5. (((q p) (pp)) q) (modus ponens de 3 e 4) 11

12 Método Axiomático O método axiomático possui a propriedade da substituição uniforme, isto é, se A é um teorema e se B é uma instância de A, então B também é um teorema. (((p q p) (p p)) (p q)) é um teorema, pois esta formula é obtida do teorema (((q p) (p p)) q) pela substituição q:= p q. 12

13 Método Axiomático Diz-se que a fórmula A é dedutível a partir de uma teoria se há uma dedução, ou seja sequência de fórmulas A 1, A 2 A n = A tal que cada fórmula na sequência é: 1. uma fórmula de ; 2. uma instância de um axioma; ou 3. pode ser obtida das fórmulas anteriores por meio das regras de inferência. 13

14 Método Axiomático O Teorema da Dedução: Γ, A B se e somente se Γ A B Exemplos de aplicação: pg. 39 Exercícios: pg

15 Método Axiomático Exemplo de dedução: pq, pr p q r Usando o Teorema da Dedução: pq, pr, p q r 15

16 Método Axiomático 1. pq (hipótese) 2. pr (hipótese) 3. p (hipótese) 4. q (modus ponens de 1 e 3) 5. r (modus ponens de 2 e 3) 6. q(r (q r)) (instância do axioma 3) 7. r (q r) (modus ponens de 4 e 6) 8. (q r) (modus ponens de 5 e 7) 16

17 Dedução Natural Método proposto por Gentzen; Não há axiomas; As inferências são baseadas em regras de inferência em que hipóteses podem ser introduzidas e descartadas para consolidação da prova; Para cada conectivo há uma regra para inserção e para remoção do conectivo. 17

18 Dedução Natural Regras de Inferência: Para a implicação (): A B A [A] i B (E) (I) i B _ A B 18

19 Dedução Natural Para a disjunção (): A (I) _ B (I) [A] i [B] j A B A B (E) i,j A B C C C Para a conjunção (): A B (I) A B (E) _A B _(E) A B A B 19

20 Dedução Natural Para a negação (): A A (I) (E) A [A] i [A] i (I) I (E) i A A O símbolo representa contradição. 20

21 Dedução Natural Exemplos de dedução natural: pgs. 43, 44, 45; Definição formal: pg. 46; Exercícios: pg. 47; Prática com a ferramenta JAPE: rsonal/jape.org/ 21

22 Tableaux Analíticos É um procedimento de decisão: permite determinar a validade de um sequente, ou seja, se B 1,,B n A 1,,A m ou não; Os métodos axiomático e da dedução natural permitem determinar se Γ A, e não se Γ A; observe ainda que Γ A não implica Γ A; O método dos tableaux analíticos é baseado em refutação: para provar Γ A mostra-se que {A} 22

23 Tableaux Analíticos Utiliza fórmulas marcadas pelos símbolos T (true) e F (false), por exemplo T A e F B ; O passo inicial para um sequente B 1,,B n A 1,,A m é a criação do tableau inicial: T B 1 T B n F A 1 F A m 23

24 Tableaux Analíticos Em seguida usam se as regras de expansão e : 1 2 T AB T A T B F AB F A F B F AB T A F B T A F A 24

25 Tableaux Analíticos Em seguida usam se as regras de expansão e : 1 2 F AB F A F B T AB T A T B T AB F A T B F A T A 25

26 Tableaux Analíticos Uma expansão é indicada pela adição de 1 e 2 ao fim dos ramos que contém ; Uma expansão é indicada por uma bifurcação em dois ramos, iniciados por 1 e 2; Um ramo sem mais fórmulas a serem expandidas é dito saturado; Como o processo de expansão reduz o tamanho das fórmulas, o processo de expansão sempre termina; 26

27 Tableaux Analíticos Um ramo é fechado se contém um par de fórmulas conjugadas TA e FA; Um ramo fechado não precisa mais ser expandido; Um tableaux está fechado se todos seus ramos estão fechados; Um sequente B 1,,B n A 1,,A m foi deduzido pelo método dos tableaux analíticos se existir um tableau fechado para ele; Portanto uma dedução A neste método corresponde a construir um tableau fechado para FA. 27

28 Tableaux Analíticos Exemplo: p p 1. F p p 2. F p,1 3. F p,1 4. T p, 3 5. X (fechamento) 2,4 28

29 Tableaux Analíticos Exemplo: p q, q r p r 1. T p q 2. T q r 3. F p r 4. T p, 3 5. F r, 3 6. F p T q, 1 7. X F q T r, 2 8. X X 29

30 Tableaux Analíticos Exemplo: 1. T p p, p q r r 2. T p q r 3. F r 4. F p q T r, 2 5. F p F q X, 4 6. X Se o tableau não é fechado, o ramo aberto indica uma valoração V que é um contra-exemplo, no caso T p, F r e F q, ou ainda V (p)=1, V (q)=0 e V (r)=0. 30

31 Tableaux Analíticos Mais exemplos Exercícios (pg. 55). 31

32 Correção e Completude Sistema dedutivo correto: se Γ A então Γ A Sistema dedutivo completo: se Γ A então Γ A Os métodos vistos são corretos e completos para a Lógica Proposicional; Exercícios pg