AXIOMATIZAÇÃO Equipe:

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1 AXIOMATIZAÇÃO Equipe: André Augusto Kaviatkovski, Daniel Elias Ferreira, Vinicius Zaramella Curso: Engenharia de Computação Disciplina: Lógica para Computação Professor: Adolfo Neto (DAINF) Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 1

2 Sistema Dedutivo: Sistemas Dedutivos são métodos utilizados na lógica e em outras ciências para se inferir conseqüências lógicas a partir de um conjunto de fórmulas tomadas a priori. Existem várias formas de se realizar inferências. Entre esses métodos estão os Sistemas de Dedução Natural, Métodos de Tablôs analíticos e as Axiomatizações. Quando um Sistema Dedutivo infere uma fórmula A de uma teoria Γ, escreve-se Γ Ⱶ A. Esta expressão é chamada de sequente. Ela é constituída do antecedente (ou hipótese) Γ e do consequente (ou conclusão) A. 2

3 Axiomatização: O axioma era um importante elemento do método lógico dedutivo dos gregos. Um método dedutivo baseado em axiomas método foi utilizado na apresentação da geometria euclidiana.tratava-se, na época, de axiomatizar uma teoria, a teoria geométrica. Posteriormente, as axiomatizações foram utilizadas em tentativas de prover um fundamento seguro para a matemática. Em lógica, porém, compreende-se axiomatização como uma forma lógica de inferência. Uma axiomatização possui dois elementos distintos: axiomas e regras de inferência. 3

4 Axioma: Um axioma é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria). Um axioma não é necessariamente uma verdade autoevidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente. Axiomatizar um sistema é mostrar que suas inferências podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem-definido conjunto de sentenças. 4

5 Regras de inferência: As regras de inferência possuem como características: I)Se a Hipótese inicial for verdadeira, então a Conclusão é verdadeira. II) As premissas de um sistema de inferência são regras sem hipóteses. III) Permitem inferir novas fórmulas a partir de formulas já inferidas. No caso da axiomatização da lógica proposicional clássica será utilizado o Modus Ponens. 5

6 Modus Ponens: A partir de A B e A, infere-se B. O argumento tem duas premissas: -A condição "se - então", nomeadamente que A implica B. -A é verdadeiro. Destas duas premissas pode ser logicamente concluído que B tem de ser também verdadeiro. EXEMPLO: - Se chover, então fico em casa. - Choveu. - Então fico em casa. 6 Fonte: WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em: < Acesso em: 21 mar

7 Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, p Substituição: A substituição de um átomo p por uma fórmula B em uma fórmula A é representada por A[p := B]. A definição formal de substituição se dá por indução estrutural sobre a fórmula A, sobre a qual se processa a substituição, da seguinte maneira: 1.p[p := B] = B 2.q[p := B] = q, para q p. 3.( A) [p:=b]= (A [p:=b]). 4.(A 1 ο A 2 ) [p := B] = (A 1 [p := B]) ο (A 2 [p := B]), para ο {,, } 7

8 Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, p Substituição: Exemplo: (p (p q))[p := (r s)] = p[p := (r s)] (p q)[p := (r s)] = (r s) (p[p := (r s)] q[p := (r s)]) = (r s) ((r s) q) Quando uma fórmula B é resultante da substituição de um ou mais átomos da fórmula A, dizemos que B é uma instância da fórmula A. 8

9 Dedução, teoremas: Axiomas da lógica proposicional clássica: ( 1 ) p (q p); ( 2 ) (p (q r)) ((p q) (p r)); ( 1 ) p (q (p q)); ( 2 ) (p q ) p ; ( 3 ) (p q ) q ; ( 1 ) p (p q); ( 2 ) q (p q); ( 3 ) (p r) ((q r) ((p q) r)); ( 1 ) (p q) ((p q) p); ( 2 ) p p. Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, p

10 Dedução, teoremas: Dedução: uma seqüência de fbf A 1, A 2 A n tal que cada fbf na seqüência é uma instância de axioma ou pode ser obtida das fbfs anteriores por meio das regras de inferência. Teorema: uma fbf A tal que existe uma dedução A 1, A 2 A n = A. Neste caso escreve-se Ⱶ A. A axiomatização possui a propriedade da substituição uniforme, isto é, se A é um teorema e se B é uma instância de A, então B também é um teorema 10 Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: < Acesso em: 18 mar

11 Dedução, teoremas: Pode-se ainda definir o conceito de fórmula dedutível de uma teoria (conjunto de fbf); Diz-se que A é dedutível a partir de uma teoria Γ se há uma dedução, ou seja seqüência de fbf A 1, A 2 A n = A tal que cada fbf na seqüência é: 1. uma fbf da teoria Γ; ou 2. uma instância de um axioma; ou 3. pode ser obtida das fórmulas anteriores por meio das regras de inferência; 11 Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: < Acesso em: 18 mar

12 Fonte: Adaptado de CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, p. 38. Exemplo de dedução: Dedução do teorema I = A A. ( 2 ), onde p := A, q := A A e r := A. Assim temos: 1.(A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)). ( 1 ), onde p := A, q :=A A.Obtemos assim: 2.A ((A A) A). Aplicando Modus Ponens 1, 2, obtemos a fórmula 3: 3. ((A (A A)) (A A). ( 1 ) onde p := A e q := A: 4. A (A A). Aplicando Modus Ponens 3, 4, obtemos a fórmula 5: 5. A A. 12

13 Teorema da dedução: O teorema da dedução diz que: Γ, A Ⱶ B se e somente se Γ Ⱶ A B. É capaz de transformar uma dedução que poderia ser complexa em uma dedução bastante simples. Exemplo: B= (A B) ((C A) (C B)) A B, C A, C Ⱶ B. Tomamos como Hipótese as fórmulas: 1 A B 2 C A 3 C. Aplicamos agora o Modus Ponens 2,3 e obtemos a fórmula: 4 A Por fim, aplicamos o Modus Ponens 1,4 e obtemos a fórmula: 5 B 13

14 Referências: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, p KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: < t>. Acesso em: 18 mar WIKIPEDIA. AXIOMA. Disponível em: < Acesso em: 13 mar WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em: < Acesso em: 21 mar