Lógica predicados. Lógica predicados (continuação)

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1 Lógica predicados (continuação)

2 Uma formula está na forma normal conjuntiva (FNC) se é uma conjunção de cláusulas. Qualquer fórmula bem formada pode ser convertida para uma FNC, ou seja, normalizada, seguindo os passos: 1º eliminando todas as implicações: p q = ~pvq 2º reduzir o escopo das negações: ~(pλq) (~p v ~q) e ~(pvq) (~p Λ ~q) 3º reduzir o escopo das disjunções: p v (qλr) (p v q) Λ (p v r) Exemplo:

3 Observe os argumentos: {homem(sócrates); x[homem(x) mortal(x)]} mortal(sócrates) Normalizando as fórmulas, obtemos: H(s); ~H(x) v m(x) Logo, m(s) {homem(sócrates); ~homem(x) v mortal(x)} mortal(sócrates) Observe que a regra de inferência por resolução não pode ser aplicada diretamente para deduzir que Sócrates e mortal, pois as fórmulas homem(sócrates) e homem(x) não são complementares. Entretanto, como a variável X e universal, podemos substituí-la por qualquer constante do domínio. Então, fazendo X = Sócrates, obtemos uma nova instância da formula: homem(x) v mortal(x) e, assim, podemos inferir a conclusão desejada. H(s); ~H(S) v m(s) (fazendo X = socrates ) ; Logo, m(s)

4 : Inferência na lógica de predicados O princípio de instanciação universal é o processo que permite substituir uma variável por uma constante sem alterar a sua lógica. Infelizmente, esse princípio só funciona corretamente para variáveis universais ( ) Considere a sentença: Todo mestre tem um discípulo", que pode ser traduzida como: x [mestre(x) Y [discípulo(y,x)]] Sendo X uma variável universal, podemos substituí-la por qualquer constante e a sentença obtida continuara sendo verdadeira.

5 : Inferência na lógica de predicados x [mestre(x) Y [discípulo(y,x)]] Ex.: fazendo x = Pedro, obtém-se a seguinte instância: mestre(pedro) Y [discípulo(y; pedro)]. Note que se mestre(pedro) for verdade, a semântica da sentença original forçará Y [discípulo(y; pedro)] ser verdade também. Pois (v v = v), concluí-se que a instância obtida e verdadeira. Por outro lado, se mestre(pedro) for falso, independentemente do valor da fórmula Y [discípulo(y; pedro)] a instância obtida também e verdadeira, pois (F F = v e F v = v).

6 O que ocorre ao substituir a variável existencial? x [mestre(x) Y [discípulo(y,x)]], Seja Y= Pedro Estabelece que: Todo mestre tem um discípulo chamado Pedro". Evidentemente, o significado da sentença original foi alterado. Isso acontece porque o valor de Y depende do valor escolhido para X.

7 Exemplos: Seja a proposição: Todo cão é fiel a alguém x[cao(x) y [fiel(x,y)] Instanciação universal. Seja x=rex Instâcia: cao(rex) y [fiel(rex,y)] Significado: Se rex é um cão, então rex é fiel a alguém Conclusão: a fórmula e sua instância tem significados coerentes. Instanciação existencial. Seja y = Ana. Instância: x[cao(x) [fiel(x,ana)] Significado: Todo cão é fiel a Ana. Conclusão: a fórmula e sua instancia não tem significado coerente. A instanciação é coerente para o quantificador universal

8 Regra da Instanciação Universal : Se uma propriedade é verdadeira para cada objeto no domínio. Então a propriedade é verdadeira para um objeto em particular do domínio. A propriedade pode ser definida, por exemplo, em termos de uma fórmula matemática, definição ou teorema. Instanciação universal é a ferramenta fundamental do raciocínio dedutivo.

9 Regra de instanciação universal + modus ponens Versão informal: Se x faz com que P(x) seja verdadeiro então x faz com que Q(x) seja verdadeiro. a faz com que P(a) seja verdadeiro; Logo, a faz com que Q(a) seja verdadeiro; Versão formal: x, se P(x) então Q(x); P(a) para a em particular; Logo, Q(a).

10 Modus Ponens Universal Exemplo: Seja a proposição: Se um número é par, então seu quadrado é par Se um [número é par] = E(x) então [seu quadrado é par] = S(x); instanciação: k é um número que é par; Logo, k 2 é par. Reescrevendo com quantificadores, variáveis e predicados: Para todo número par, então seu quadrado é par. x, E(x) S(x); Instanciando: E(k) para k em particular; Logo, S(k).

11 Regra de instanciação universal + modus tollens Versão informal: Se x faz com que P(x) seja verdadeiro então x faz com que Q(x) seja verdadeiro. a não faz com que Q(a) seja verdadeiro; Logo, a não faz com que P(a) seja verdadeiro; Versão formal: x, se P(x) então Q(x); ~Q(a) para a em particular; Logo, ~P(a).

12 Regra de instanciação universal + modus tollens Exemplo: Todos seres humanos são mortais; Zeus não é mortal; Logo, Zeus não é humano. Reescrevendo com quantificadores: H(x): x é humano; M(x): x é mortal; M(z): Zeus mortal x, H(x) M(x); ~M(z) para z em particular; Logo, ~H(z) para z em particular. H(x) M(x) ~M (z) Para z particular: H(z) M(z) ~M (z) Logo, ~H(z).

13 Provando validade de argumentos com proposições quantificadas Definição (forma de um argumento): A forma de um argumento é válida quando os símbolos dos predicados nas premissas forem substituídos por quaisquer predicados em particular, se as premissas resultantes forem verdadeiras então a conclusão também é verdadeira. Um argumento é válido se somente se sua forma é válida.

14 Provando validade de argumentos com proposições quantificadas Prova de validade da regra do Modus Ponens Universal: x, se P(x) então Q(x); P(a) para a em particular; Logo, Q(a). Mostrar que Q(a) é Verdadeiro (o que deve ser provado). 1 Suponha que as premissas p(x) e q(x) são Verdadeiras 2 Pela premissa P(a) é Verdadeiro para um a particular 3 Por 1 pela regra de instanciação universal a afirmação P(a) Q(a) é Verdadeira para o valor de a em particular. 4 Se as proposições P(a) Q(a) e P(a) são Verdadeiras, então por modus ponens a proposição Q(a) também é Verdadeira. (como proposto a ser provado).

15 Regras de inferência na lógica de predicados

16 Particularização Universal (PU) Essa regra diz que podemos deduzir P(x), P(y), P(a), etc. de ( x)(p(x)), retirando seu quantificador universal. A justificativa intuitiva para esta regra e que se o predicado (ou formula) P e verdadeiro para todos os elementos do domínio, então podemos nomear um elemento qualquer deste domínio por um nome arbitrário de variável ou por um símbolo de constante que P continuara sendo verdadeiro para esta nova variável ou constante. A particularização universal pode ser semi-formalizados pelo seguinte esquema: Todos os A, são B. a e um A. Logo, a e um B. ( x)(a(x) B(x)), A(a) B(a) que pode facilmente ser demonstrado por: 1 ( x)(a(x) B(x)) hip 2 A(a) hip 3 A(a) B(a) 1, pu 4 B(a) 2, 3, mp

17 Particularização Existencial Essa regra diz que, a partir de ( x)(p(x)), podemos deduzir P(y), P(z), P(a), P(b), etc. desde que y, z, a, b, etc. sejam essencialmente símbolos novos. A justificativa intuitiva para esta regra e que se P e verdadeira para algum elemento do domínio, então podemos dar um nome especifico para ele, mas não podemos supor nada mais a seu respeito, isto é, nada nos impede de dar um (novo) nome a este suposto elemento x que satisfaz P(x). Para exemplificar, considere o argumento: Todos os A são B. Existe algum A. Logo, um fulano é B. onde fulano indica alguém que não conhecemos mas que sabemos certamente que e B. Este argumento pode ser totalmente formalizado por:..

18 Generalização Universal - Essa regra permite que se insira um quantificador universal. Esta inserção somente pode ser feita se estivermos seguros que a sentença aberta P(x) e verdadeira e que a variável x, usada nesta sentença, indica um elemento realmente arbitrário, isto é x pode realmente ser qualquer elemento do domínio. Neste caso então nada impede de afirmar ( x)(p(x)). Porem se existir alguma pressuposição na demonstração de que x é algum elemento específico do domínio (por exemplo, P(x) foi obtido por particularização existencial) então se pode generalizar P(x) para ( x)(p(x)). Exemplo: x, (P(x) Q(x)), y, P(y) x, Q(x) Demonstração: 1 - x, (P(x) Q(x) hipótese 2 - y, P(y) hipótese 3 - P(x) Q(x) 1, part. universal 4 - P(x) 2, part. Universal (não há restrição em pu) 5 - Q(x) 3, 4 MP 6 - x, Q(x) 5, generalização universal

19 Generalização Existencial (GE) A regra permite a inserção de um quantificador existencial. De P(x) ou P(a), podemos deduzir ( x)(p(x)). A justificativa intuitiva para esta regra e que se alguma já foi nomeada como tendo a propriedade P, então podemos afirmar que existe alguma coisa com a propriedade P, logo ( x)(p(x)). Para exemplificar, vamos provar o argumento: ( x)(p(x)) ( x)(p(x)) pela seguinte demonstração: 1 ( x)(p(x)) hip 2 P(x) 1, pu 3 ( x)(p(x)) 2, ge A restrição da generalização existencial serve para evitar que, por exemplo, formulas similares a P(a,y) possa deduzir ( y)(p(y,y)).

20 Prove que os seguintes argumentos são validos: a) ( x)(p(x)) ( x) ((P(x) v Q(x)) Demonstração: 1 - x, P(x) hipótese 2- P(x) pu 3- P(x) v Q(x) adição disjuntiva 4 - x, P(x) v Q(x) gu b) ( x)(p(x)), ( x)(q(x)) ( x)(p(x) Λ Q(x)) c) ( x)(p(x)), ( x) (~P(x)) ( x)(q(x)) d) ( x)( A(x) Λ B(x) ) ( x)(a(x)) Λ ( x)(b(x)) e) ( x) ( y)(q(x,y)) ( y)( x)(q(x,y))

21 Exercício. 1) Paulo é estudioso e simpático. Se alguém é simpático ou inteligente, então é popular. Portanto, existe alguém estudioso e popular. Simbolicamente: 1- E(p) Λ S(p) 2- x, [S(x) v I(x) P(x)] C: (x), [E(x) Λ P(x)] 3 - IU,2 [S(p) v I(p) P(p)] 4-1,simp. E(p) 5-1, simp. S(p) 6-5, AD S(p) v I(p) 7-3,6,MP P(p) 8-4,7,C E(p) Λ P(p) 9-8,GE (x)[e(x)λ P(x)].