Correção Prova-2 LPL

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1 Correção Prova-2 LPL Felipe Lunkes Fin e Deiwys Grumovski Joinville, 30 de Agosto de Utilizando o método de demonstração por absurdo ou indireta, demonstre a validade do argumento (s p), a partir das premissas: 1. p q 2. q r 3. s t 4. r Isto é, esta sequência deduz (, consiste de um teorema) (s p)? 1. p q 2. q r 3. s t 4. r 5. (s p) Negou-se o teorema a ser demonstrado 6. ( s p) Usando 5 por Condicional 7. s p Usando 6 por De Morgan 8. s p Usando 7 por Dupla Negação 9. p Usando 8 por Simplicação 10. q 1,9 por Silogismo Disjuntivo 11. r Usando 2,10 por Modus Ponens 12. r r 4,11 por Conjunção Inconsistência Logo, o terorema (s p) é válido 2. Demonstrar que o conjunto das proposições abaixo geram uma contradição (isto é, derivam uma inconsistência do tipo ( x x)). a) 1 p q 2 q 3 r s 4 p (s t) t r

2 1. p q 2. q 3. r s 4. p (s t) 5. (t r) Negou-se o teorema a ser demonstrado 6. p 1,2 por Silogismo Disjuntivo 7. s t 4,6 por Modus Ponens 8. r t 3,7 por Silogismo Hipotético 9. t r 8 por Contraposição 10. (t r) (t r) 5,9 por Conjunção Inconsistência Logo, o teorema (t r) é valido. b) 1 t p 2 t r 3 q r 4 p s q q 1. t p 2. t r 3. q r 4. p s q 5. q Negou-se o teorema a ser demonstrado 6. (p s) q 4 por Condicional 7. ( p s) q 6 por De Morgan 8. ( p q) ( s q) Aplicando a distributividade em 7 9. p q 8 por Simplicação 10. p 5,9 por Silogismo Disjuntivo 11. t 2 por Simplicação 12. t p 1 por Condicional 13. p 11,12 por Silogismo Disjuntivo 14. p p 10,13 por Conjunção Inconsistência Logo, o teorema q é válido. 3. Aplique o método da Resolução nos itens a) e b) da questão anterior. Indique passo-a-passo, indicando o resolvente λ e as novas cláusulas obtidas. A árvore de prova é dispensável. a) 1. p q 2. q 3. r s ( r) s r s r s 4. p (s t) p ( s t) ( p) ( s t) p s t 5. (t r) ( t r) t r t r

3 Notação Clausal: C1 = { p, q} C2 = { q} C3 = {r, s} C4 = {p, s, t} C5 = {t} C6 = { r} C7 = Resolvente(C1,C2) = {{ p, q} q} {{ q} q} = { p} com λ /q C7 = { p} C8 = Resolvente(C3,C6) = {{r, s} r} {{ r} r} = {s} com λ /r C8 = {s} C9 = Resolvente(C4,C7) = {{p, s, t} p} {{ p} p} = { s, t} com λ /p C9 = { s, t} C10 = Resolvente(C8,C9) = {{s} s} {{ s, t} s} = { t} com λ /s C10 = { t} C11 = Resolvente(C5,C10) = {{t} t} {{ t} t} = {} = com λ /t C11 = b) 1. t p t p 2. t r 3. q r q r 4. p s q (p s) q ( p s) q ( p q) ( s q) 5. q Notação Clausal: C1 = { t, p} C2 = {t} C3 = {r} C4 = { q, r} C5 = { p, q} C6 = { s, q} C7 = { q} C8 = Resolvente(C1,C2) = {{ t, p} t} {{t} t} = {p} com λ / t C8 = {p} C9 = Resolvente(C5,C8) = {{ p, q} p} {{p} p} = {q} com λ / p C9 = {q} C10 = Resolvente(C7,C9) = {{ q} q} {{q} q} = com λ / q 4. Faça as interpretações (φ) e justique (explique) o valor lógico das fórmulas abaixo segundo os domínios: a) x(x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4 para x N

4 x = 0, (0 + 2) 2 = = 4 V x = 1, (1 + 2) 2 = = 9 V x = 2, (2 + 2) 2 = = 16 V Logo, V V V... = V assim, concluímos que φ( x(x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4) é uma fórmula verdadeira. b) x(3x 2-2x - 1) = 0 para x R x = -1, (3( 1) 2 2.( 1) 1) = 0 0 = 0 V x = 0, (3(0) 2 2.(0) 1) = 0 1 = 0 F x = 1, (3(1) 2 2.(1) 1) = 0 0 = 0 V Logo, V F V... = V assim, concluímos que φ( x(3x 2-2x - 1) = 0) é também uma fórmula verdadeira. 5. Seja o enunciado:... para todo caminho denido de x até z e arco entre z e y, então há um caminho entre x e y. Sabe-se que todo arco entre x e y é também um caminho entre x e y. Sabe-se ainda que há arcos denidos pelas cláusulas/fórmulas: arco(a,b), arco(a,c), arco(b,d) e arco(c,d). Prove que é possível ir de um ponto a a d denido por caminho(a,d) como verdade. caminho(x,z) arco(z, y) caminho(x,y), logo, com quanticadores: I x y z(caminho(x, z) arco(z, y) caminho(x, y)) II x y(arco(x, y) caminho(x, y) III arco(a,b) IV arco(a,c) V arco(b,d) VI arco(c,d) 1. x y z(caminho(x, z) arco(z, y) caminho(x, y)) 2. x y(arco(x, y) caminho(x, y)) 3. arco(a,b) 4. arco(a,c) 5. arco(b,d) 6. arco(c,d) 7. arco(a,b) caminho(a,b) Usando 2 por Particularização Universal 8. caminho(a,b) 3,7 por Modus Ponens 9. arco(b,d) caminho(b,d) Usando 2 por Particuarização Universal 10. caminho(b,d) 5,9 por Modus Ponens 11. caminho(a,b) arco(b,d) 5,8 por Conjunção 12. caminho(a,b) arco(b,d) caminho(a,d) Usando 1 com Particularização Universal x/a, y/d e z/b 13. caminho (a,d) 11,12 por Modus Ponens CQD Conforme se Queria Demonstrar. (Isto é, há uma prova para caminho(a,d)). Outro método: Usando a Resolução as fórmulas 1 e 2 sendo transformadas nas seguintes cláusulas: Notação Clausal:

5 1. caminho(x,z) arco(z,y) caminho(x,z) 2. arco(x,y) caminho(x,y) 3. arco(a,b) 4. arco(a,c) 5. arco(b,d) 6. arco(c,d) 7. caminho(a,b) (negação da prova) C1 = { caminho(x,z), arco(z,y), caminho(x,z)} C2 = { arco(x,y), caminho(x,y)} C3 = { arco(a,b) } C4 = { arco(a,c) } C5 = { arco(b,d) } C6 = { arco(c,d) } C7 = { caminho(a,d) } C8 = arco(a,b) caminho(a,b) Instância x/a e y/b em 2 C8 = { arco(a,b), caminho(a,b) } C9 = Resolvente(C3,C8) = {{arco(a,b) - arco(a,b)} { arco(a,b), caminho(a,b) - arco(a,b) } = {caminho(a,b)} com λ /arco(a,b) C9 = { caminho(a,b) } C10 = arco(b,d) caminho(b,d) Instância x/a e y/d em 2 C10 = { arco(b,d), caminho(b,d) } C11 = Resolvente(C5,C10) = {{ arco(b,d) } - arco(b,d)} { arco(b,d), caminho(b,d) } - arco(b,)} = {caminho(b,d)} com λ /arco(b,d) C11 = {caminho(b,d)} C12 = caminho(a,b) arco(b,d) caminho(a,d) Instância x/a y/d z/d em 1 C12 = { caminho(a,b), arco(b,d), caminho(a,d) } C13 = Resolvente(C9,C12) = {{caminho(a,b) - caminho(a,b)} {{ caminho(a,b), arco(b,d), caminho(a,d)} - caminho(a,b) } = { arco(b,d) caminho(a,d)} com λ /caminho(a,b) C13 = { arco(b,d) caminho(a,d)} C14 = Resolvente(C5,C13) = {arco(b,d) - arco(b,d)} {{ arco(b,d) caminho(a,d) } - arco(b,d)} = {caminho(a,d)} com λ /arco(b,d) C14 = {caminho(a,d)} C15 = Resolvente(C7,C14) = {{ caminho(a,d)} - caminho(a,d)} {{caminho(a,d)} - caminho(a,d)} C15= Conforme queríamos demonstrar. Leia-se "instância"por Particularização Universal

6 6. Prove esta implicação lógica usando as propriedades da LPO: x(ax bx) x(ax) x(bx) 1. x(ax bx) 2. a(1) b(1) Particularização Existencial com x=1 (um átomo qualquer de um Domínio qualquer) 3. a(1) 2 por Simplicação 4. b(1) 2 por Simplicação 5. x a(x) 3 por Generalização Existencial 6. x b(x) 4 por Generalização Existencial 7. x(ax) x(bx) 5,6 por Conjunção Logo x(ax bx) x(ax) x(bx) 7. Idem quanto: x y (q(x,y)) y x (q(x,y)) 1. x y (q(x,y)) 2. y(q(x,y)) 1 Por Particularização Existencial 3. q(x,y) 2 por Particularização Universal 4. x(q(x,y)) 3 Por Generalização Existencial 5. y x(q(x,y)) 4 Por Generalização Universal Logo x x(q(x,y)) y x(q(x,y)) Apenas lembrar que: 1. q(x,y) era uma fórmula atômica (sem operadores) 2. A Generalização Universal tem esta restrição, apenas para fórmulas atômicas. Caso alguém encontre algum erro... por gentileza me comunique.