A sintaxe do cálculo de predicados (II), cap. 7 de Introdução à Lógica (Mortari 2001) Luiz Arthur Pagani

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1 A sintaxe do cálculo de predicados (II), cap. 7 de Introdução à Lógica (Mortari 2001) Luiz Arthur Pagani 1

2 1 Linguagens de primeira ordem (Onde se usa linguagem, vou preferir língua; porque o primeiro designa `capacidade linguística', enquanto o segundo `instanciação desta capacidade'.) língua geral de primeira ordem: Denição 7.1 A linguagem geral do cálculo de predicados de primeira ordem consiste em: 1. um conjunto enumerável de constantes individuais; 2. para cada número natural n 0, um conjunto enumerável de constantes de predicado n-árias; 3. um conjunto enumerável de variáveis individuais; 4. operadores; 5. quanticadores; 6. sinais de pontuação. (p. 98) 2

3 símbolos lógicos não-lógicos: As expressões em (3), (4), (5) e (6) são chamadas símbolos lógicos, enquanto aquelas em (1) e (2) são chamadas símbolos não-lógicos. (p. 98) uma língua de primeira ordem: Denição 7.2 Uma linguagem de primeira ordem é qualquer subconjunto da linguagem geral do CQC que inclua todos os símbolos lógicos e pelo menos uma constante de predicado. (p. 99) 3

4 pelo menos um predicado: ainda que você não disponha de constantes individuais, você pode construir fórmulas se dispuser de pelo menos um símbolo de predicado. Por exemplo, se o único símbolo não-lógico for o símbolo de propriedade F, ainda assim você pode gerar as fórmulas F x, ( F x yf y) etc. Contudo, mesmo dispondo de constantes individuais, sem símbolos de predicado nenhuma fórmula pode ser gerada: lembre-se de que as fórmulas moleculares são construídas a partir das atômicas, e que estas começam com um símbolo de predicado. (p. 99) 4

5 L 1 : nossa linguagem vamos chamá-la de `L 1 ' se resume ao seguinte conjunto: (p. 100) L 1 = {a, c, m, G, E, P } L 2 : L 2 = {a, a 1,..., a n, a n+1,..., M, P } (p. 100) uma língua para cada teoria: em cada domínio de investigação em que estejamos pretendendo trabalhar em cada teoria que fazemos, usamos um subconjunto da linguagem geral de primeira ordem denida anteriormente. (p. 100) 5

6 expressão: termo: Uma expressão de uma linguagem de primeira ordem é qualquer sequência nita de símbolos do alfabeto dessa linguagem (p. 101) Denição 7.3 Os termos de uma linguagem de primeira ordem são suas variáveis e constantes individuais. (p. 101) 6

7 fórmula (bem-formada): Denição 7.4 Seja L uma linguagem de primeira ordem. Dizemos que: 1. Se P é um símbolo de predicados n-ário, para um número natural n 0, e t 1,..., t n são termos, então Pt 1,..., t n é uma fórmula (atômica); 2. Se α e β são fórmulas, então α, (α β), (α β), (α β) e (α β) são fórmulas (moleculares); 3. Se x é uma variável e α é uma fórmula na qual x ocorre, então xα e xα são fórmulas (gerais); 4. Nada mais é uma fórmula. (p. 101) 7

8 cláusula de limitação: A cláusula (4), por outro lado, garante que apenas as expressões que são dendas pelas cláusulas (1)(3) sejam fórmulas; tudo o mais não. Isto evita que, eventualmente, pudéssemos ter outras expressões que fossem fórmulas, mas cuja regra de formação não conhecemos. (p. 101) denição indutiva: Como eu havia mencionado [p. 79], o tipo de denição que demos para as fórmulas chama-se denição indutiva, ou recursiva. Temos um caso base as fórmulas atômicas e as demais fórmulas são obtidas a partir destas, usando-se operadores, quanticadores e parênteses. (p. 102) 8

9 árvore para (( Qb x(p x Qx)) P b) gura 7.1: (( Qb x(p x Qx)) P b) ( Qb x(p x Qx)) P b Qb x(p x Qx) P b Qb P x Qx 9

10 fórmula e subfórmulas: Na gura 7.1, temos essa fórmula que é um condicional, na parte de cima, e imediatamente abaixo dela, seus componentes esquerdo e direito que chamamos de suas subfórmulas imediatas, a saber, ( Qb x(p x Qx)) e P b. Para cada uma dessas fórmulas temos também suas subfórmulas imediatas (ou subfórmula imediata, se for uma só: no caso, P b tem apenas um componente, que é P b). (p. 102) denição (indutiva) de subfórmula imediata: 1. fórmulas atômicas não têm subfórmulas imediatas; 2. a subfórmula imediata de α é α; 3. as subfórmulas imediatas de (α β), (α β), (α β) e (α β) são α e β; 4. a subfórmula imediata de xα e xα é α. (p. 103) 10

11 escopo do quanticador (subfórmula imediata dele): Os quanticadores agem apenas sobre a fórmula que inicia imediatamente após a variável do quanticador. O âmbito de ação de um quanticador é chamado de escopo do quanticador, e pode ser denido da seguinte maneira: numa fórmula da forma xα ou xα, o escopo do quanticador é α. Em outras palavras, o escopo de um quanticador é apenas a fórmula que o segue, aquela cujo primeiro símbolo ocorre imediatamente após o quanticador. (p. 103) exemplo: x (P x Qx) }{{} escopo x(p x Qx) (P x Qx) P x Qx 11

12 exemplo mais complexo: ( xp x y zf zy) xp x y zf zy P x zf zy variável ligada: F zy uma ocorrência de uma variável x é ligada, numa fórmula α, se x ou faz parte de um quanticador, ou está no escopo de um quanticador para x em α. Isto é, se x ocorre em algum parte de α que é da forma xα ou xα. (p. 104) 12

13 outro exemplo: ( x zlxz Qz) x y(p xy xqx) x zlxz Qz y(p xy xqx) zlxz (P xy xqx) Lxz P xy xqx Qx (no último exemplo, o quanticador x bloqueia o escopo do quanticador x sobre a fórmula atômica Qx) 13

14 variável livre: qualquer ocorrência de alguma variável x numa fórmula α que esteja fora do escopo de qualquer quanticador para x é chamada de uma ocorrência livre dessa variável em α. (p. 104) fórmula aberta: Uma fórmula é chamada aberta se possui pelo menos uma ocorrência livre de alguma variável, como x zqxyz ou (F w wf w), nas quais as variáveis y e w, respectivamente, ocorrem livres. (p. 105) fórmula fechada, ou sentença: uma fórmula é chamada de fechada caso não possua nenhuma ocorrência livre de variável, como ( x(p x Qx) wrw). As fórmulas fechadas são chamadas ainda de sentenças. (p. 105) 14

15 economia dos parênteses externos: dispensar os parênteses externos de uma fórmula molecular, se ela está escrita isoladamente. Assim, podemos escrever como uma abreviação de (F s Gs) Ms ((F s Gs) Ms) e x yrxy z(qz P z) como uma abeviação de (p. 105) ( x yrxy z(qz P z)). 15

16 2 Proposições categóricas quatro formas: As proposições categóricas são aquelas que correspondem a uma das quatro formas seguintes: Todo A é B (universal armativa) Nenhum A é B Algum A é B Algum A não é B (universal negativa) (particular armativa) (particular negativa) (p. 107) expressões que constituiam os silogismos particular armativa: alguns peixes são azuis x(p x Ax) particular negativa: algum pinguim não mora na Antártida x(p x Ax) 16

17 algum pinguim que mora na Antártida não gosta de frio: x((p x Ax) F x) universal armativa: todo peixe é azul x(p x Ax) e não : não podemos formalizar a sentença `todo peixe é azul' com x(p x Ax) Esta fórmula, na verdade, está dizendo que qualquer que seja o indivíduo x, x é um peixe e x é azul, ou seja, que todos os indivíduos do universo têm as duas propriedades: ser peixe e ser azul. Isso só é verdade, claro, num universo de peixes azuis i.e., num universo onde todos os indivíduos, sem exceção, são peixes azuis. (ps ) 17

18 (condicional:) não é isso que a sentença original armava. Você percebe a diferença entre `Todos são peixes azuis' e `Todos os peixes são azuis', não é mesmo? O segundo caso signica dizer que, para qualquer x, vale o seguinte: se ele for peixe, então é azul. Mas um certo x pode, claro, não ser um peixe, e ter outra cor. (p. 111) universal negativa: nenhum peixe é azul x(p x Ax) ou x(p x Ax) (algum pinguim não mora na Antártida: x(p x Ax)) CQC: não só propriedades, também relações todos os lhos de João são estudantes: x(f xj Ex) nenhum lho adolescente de João é estudante: x((f xj Ax) Ex) 18

19 tabela de formas categóricas: Todo A é B Nenhum A é B Algum A é B Algum A não é B x(ax Bx) x(ax Bx) x(ax Bx) x(ax Bx) ( x(ax Bx)) ( x(ax Bx)) 19

20 os gatos e os cachorros são animais domésticos: x((gx Cx) Ax) embora na sentença em português tenha aparecido uma conjunção `gatos e cachorros, na fórmula usamos. Para perceber a razão disso, compare a fórmula anterior com a seguinte: x((gx Cx) Ax). Essa última está dizendo que qualquer coisa que seja um gato e um cachorro é um animal doméstico. Mas certamente não existe um indivíduo que seja gato e cachorro ao mesmo tempo. Assim, para exprimir corretamente o que estava em português, precisamos usar a disjunção: qualquer x que seja um gato ou um cahcorro é um animal doméstico, o que é justamente o que pretendíamos. (p. 113) 20

21 3 Quanticação múltipla mais de um quanticador: é também comum termos sentenças em que aparecem mais de um quanticador. (p. 114) menos interessante os gatos são pretos e os cisnes são brancos: x(gx P x) x(cx Bx) se todos os gatos são pretos, então não existem gatos cor-de-laranja: x(gx P x) x(gx Lx) nem todos os gatos são pretos, nem há gatos maiores que Miau que sejam cor-de-laranja: x(gx P x) x((gx Mxm) Lx) 21

22 no escopo de : Os casos mais interessantes envolvendo quanticadores, porém, ocorrem quando há mais de um quanticador e um ocorre dentro do escopo do outro. Por exemplo, considere a sentença `todos gostam de alguém'. Ela pode ser parafraseada do seguinte modo: `qualquer que seja x, há um y do qual ele gosta', i.e.: qualquer que seja x, há um y tal que x gosta de y Na linguagem do CQC, usando G para `x gosta de y': (p. 115) x ygxy. 22

23 no escopo de : a ordem dos quanticadores é de fundamental importância. A fórmula seguinte, parecida com a anterior, mas com a ordem dos quanticadores invertida, diz algo bem diferente: y xgxy. Isso arma que existe algum indivíduo, y, tal que, qualquer que seja x, x gosta de y. Em outras palavras (e símbolos), existe algum indivíduo y do qual todos gostam: João gosta de y, Maria gosta de y etc. (p. 115) 23

24 há alguém que não gosta de ninguém: x y Gxy há alguém que não gosta de todos: a segunda sentença, que diz que alguém não gosta de todos, é ambígua. Por um lado, ela pode estar signicando que há alguém que, embora goste de algumas pessoas, não gosta de todas elas sem exceção. Isto é, temos o seguinte: x ygxy, ou seja, para algum x, não é verdade que ele goste de todo e qualquer y. Por outro lado, a sentença `há alguém que não gosta de todos' pode também signicar que há alguém que não gosta de qualquer pessoa ou seja, que não gosta de ninguém. Neste caso, essa sentença diz o mesmo que a primeira acima mencionada, e a fórmula correspondente é a mesma. (p. 116) 24

25 três quanticadores: Mais um exemplo, neste caso envolvendo três quanticadores: dados três indivíduos quaisquer, se o primeiro é pai do segundo, e o segundo é mãe do terceiro, então o primeiro é avô (materno) do terceiro. Usando P, M, e A para as relações `x é pai de y', `x é mãe de y' e `x é avô materno de y', respectivamente, camos com: (p. 116) x y z((p xy Myz) Axz). 25

26 mesma relação reversa: se um indivíduo é avô materno de outro, então há um terceiro de quem o primeiro é o pai, e é mãe do segundo. Isto é: quaisquer que sejam x e y, se x é avô materno de y, então há um z tal que x é pai de z e z é mãe de y. Ou seja: (p. 116) x y(axy z(p xz Mzy)) 26

27 todo marciano verde que é rico possui uma casa em Syrtis Major (p. 117): notação: M: x é um marciano; C: x é uma casa; G: x é verde; S: x ca em Syrtis Major; R: x é rico; P : x possui y. (p. 117) Todo [marciano verde que é rico] [possui uma casa em Syrtis Major] x(x é marciano, verde e rico x possui uma casa em Syrtis Major) x((mx (Gx Rx)) possui uma casa em Syrtis Major) x((mx (Gx Rx)) y(cy (Sy P xy))) (ou x(((mx Gx) Rx) y((cy Sy) P xy))) 27