COMO LER NOTAÇÃO LÓGICA

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1 COMO LER NOTAÇÃO LÓGICA DARREN BRIERTON TRADUÇÃO DE AISLAN ALVES BEZERRA Conectivos Proposicionais O primeiro conjunto de símbolos que introduzir-vos-ei são chamados de conectivos proposicionais porque eles combinam uma proposição, ou duas proposições, para criar uma nova proposição. Isso parece mais complicado do que realmente é. Deixe-me explicar. Uma proposição é simplesmente o que é expresso por qualquer sentença declarativa, em português de uso comum, como por exemplo: "O gato está no tapete". O caso mais simples que podemos considerar é quando adicionamos as palavras "Não é verdade que..." a "O gato está no tapete", criando uma nova proposição: "Não é verdade que o gato está no tapete". Os lógicos chamam esta operação de negação eles utilizam a letra P para representar "O gato está no tapete", e a proposição "Não é verdade que o gato está no tapete" é normalmente representada em uma das quatro formas seguintes: As notações acima são lidas em português como "Não é verdade que P", ou, mais simplesmente, "Não P". Estas diferentes notações são todas equivalentes em significado. Tentei pôr os símbolos que considero ser mais utilizados primeiro. Alguns dos símbolos são bastante antiquados, espero que não os encontre por aí. Os próximos quatro conectivos são aqueles que unem duas proposições para criar uma nova proposição. Nos exemplos seguintes, considere o significado de P como "O desemprego está aumentando" e de Q como "A inflação está diminuindo". Em primeiro lugar, podemos usar a palavra "e" para unir nossas duas proposições e criar uma nova proposição. Os lógicos chamam essa operação de conjunção e a simbolizam em uma das quatro formas seguintes:

2 As notações acima são lidas em português como "P e Q". Ou seja, os símbolos acima representam a proposição: " O desemprego está aumentando e a inflação está diminuindo". O próximo caso será usar a palavra "ou" para unir nossas duas proposições e criar uma nova proposição. Os lógicos chamam essa operação de disjunção e a simbolizam em uma das duas maneiras seguintes: As notações acima são lidas em português como "P ou Q". Isto é, ambos os símbolos acima representam a proposição "O desemprego está subindo ou a inflação está diminuindo". Também podemos unir nossas duas proposições para criar uma nova proposição, adicionando a palavra "Se" na frente da primeira e a palavra "então" entre elas. Os lógicos chamam essa operação de condicional e a simbolizam em uma das duas maneiras seguintes: As notações acima são lidas em português como "Se P, então Q". Ou seja, ambas as notações acima representam a proposição "Se o desemprego está subindo, então a inflação está diminuindo". Por fim, podemos juntar nossas duas proposições para criarmos uma nova proposição, adicionando as palavras "se e somente se" entre elas. Os lógicos chamam essa operação de bicondicional e a simbolizam numa das três maneiras seguintes:

3 As notações acima são lidas em português como "P se e somente se Q". Ou seja, todas as notações acima representam a proposição: "O desemprego está aumentando se e somente se a inflação estiver diminuindo". Mas qual é a utilidade dessas fórmulas? Isso não tornará tudo ainda mais complicado? Bem, em verdade existem várias razões para utilizarmos tais fórmulas. A razão mais óbvia é que algumas vezes será muito difícil descobrir se um argumento expresso em português é bom ou não. Todavia, se pudermos representar as premissas e a conclusão do argumento em termos lógicos formais, então, na maioria das vezes, será bem fácil descobrirmos se o argumento realmente prova o que pretende provar. O significado dos conectivos proposicionais é explicado em termos de funções de verdade. O valor de verdade de uma proposição complexa a qual é construída a partir de proposições mais simples e conectivos proposicionais é determinado puramente pelos valores de verdade das proposições mais simples. (Todas as proposições são assumidas como verdadeiras ou falsas, ou têm o valor de verdade "verdadeiro" ou o valor de verdade "falso".) Tais funções de verdade podem ser representadas por tabelas de verdade. Considere o caso da negação. A função de verdade expressa pela negação pode ser representada pela seguinte tabela de verdade: P Não P V F F V A proposição "Não é o caso que P" é verdadeira somente quando a proposição P é falsa e vice-versa; seu valor de verdade é determinado puramente pelo valor de verdade de P. O mesmo acontece com os conectivos que formam uma nova proposição a partir de duas proposições mais simples. O valor de verdade da proposição complexa é determinado puramente pelo valor de verdade de duas proposições mais simples: P Q P e Q P ou Q Se P, então Q P se e somente se Q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Como podes notar na tabela acima, a proposição "P e Q" é verdadeira somente quando P é verdadeira e quando Q é verdadeira; "P ou Q" é verdadeira

4 se pelo menos P for verdadeira ou Q for verdadeira; "Se P, então Q" é falsa apenas quando P é verdadeira e Q é falsa. E, por fim, a proposição "P se, e somente se, Q" é verdadeira sempre que os valores de verdade de P e Q forem iguais. Quantificadores Utilizamos Fx para representarmos "x é F". Se admitirmos que F represente "é um filósofo" e G represente "é um bêbado", então Fx diz que "x é um filósofo" e Gx diz que "x é um bêbado". Usamos Lxy para representar "x está na relação de L com y". Se permitirmos que L represente "ama", então Lxy significa que "x ama y". Agora, os argumentos frequentemente envolvem alegações sobre "todos os Fs", ou "algum F". Os lógicos denominam tais expressões de quantificadores, e o termo "todos" ou "para todo" é conhecido como quantificador universal. O quantificador universal geralmente é representado por um "A" invertido, seguido por um x ou alguma outra letra minúscula do final do alfabeto. Utilizando o quantificador universal podemos expressar uma afirmação como a seguinte (três notações variantes da mesma proposição serão dadas): As notações acima literalmente dizem-nos que "Para todo x, se x é F, então x é G", o que é equivalente à frase mais natural em português: "Todos os Fs são Gs". Neste caso, portanto, as notações lógicas acima representam a proposição "Todos os filósofos são bêbados". O termo "algum" ou "há pelo menos um" é conhecido como quantificador existencial. O quantificador existencial geralmente é representado por um "E" invertido, seguido por um x ou alguma outra letra minúscula do final do alfabeto. Utilizando o quantificador existencial podemos expressar uma afirmação como a seguinte (duas notações variantes da mesma proposição serão dadas):

5 As notações acima literalmente dizem-nos que "Há pelo menos um x tal que x é F e x é G", o que é equivalente à frase mais natural em português: "Algum F é G". Neste caso, portanto, as notações acima representam a proposição "Algum filósofo é bêbado". O significado dos quantificadores talvez possa ser melhor compreendido pelo fato de que eles são definíveis em termos uns dos outros: A primeira fórmula acima diz-nos que "Algo é F se e somente se não é o caso que tudo é não F", e a segunda que "Tudo é F se e somente se não é o caso que algo é não F". Um bom exemplo da utilidade da notação lógica é a frase em português "Todo mundo ama alguém". Esta frase é ambígua: significa que há uma pessoa especial que é amada por todo mundo, ou significa que todo mundo ama alguém ou outrem, mas não necessariamente a mesma pessoa? É fácil obter desambiguação utilizando símbolos lógicos. O primeiro significado seria representado assim: A fórmula acima literalmente diz que "Há algum x tal que todo y ama x". O segundo dos significados acima seria representado assim: Esta fórmula literalmente significa que "Para todo x há algum y que x ama". Necessidade e Possibilidade Até este momento, os exemplos examinados apenas referem-se à questão de saber se, de fato, uma proposição é verdadeira ou falsa. "P" diz que a proposição P é verdadeira, e " P" diz que a proposição P não é verdadeira. Mas às vezes, na filosofia, estamos preocupados com algo bem mais forte. A proposição P pode não ser simplesmente verdadeira, ela talvez seja

6 necessariamente verdadeira. A necessidade de P é representada numa das duas formas seguintes: De forma semelhante, a proposição P pode não ser verdadeira, mas poderia ter sido. A proposição P pode ainda ser possível. A possibilidade de P é representada numa das duas formas seguintes: Novamente, talvez possamos elucidar ainda mais o significado desses dois novos símbolos pelo fato de serem definíveis em termos uns dos outros: A primeira fórmula acima diz-nos que "P é necessário se e somente se não é possível que não P seja o caso", e a segunda que "P é possível se e somente se não é necessário que não P seja o caso". Aqui está um exemplo desta notação em ação: A notação acima representa a proposição bastante prosaica: "Necessariamente, se P é o caso, então P é possível". Fonte: Philosophy Vade Mecum