Lógica de Predicados. Quantificadores

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Ruth Ramalho Prada
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1 Lógica de Predicados Quantificadores

2 Conteúdo Correção de Exercícios Operações Lógicas Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42)

3 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0 P(x) = x 2 -x-2

4 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0 P(x) = x 2 -x-2 CV={3}

5 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0 P(x) = x 2 -x-2 CV={3} CV={0,1,2,3,4}

6 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 CV={3} P(x) = 5x + 6 = 0 CV={ } P(x) = x 2 -x-2 CV={0,1,2,3,4}

7 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 CV={3} P(x) = 5x + 6 = 0 CV={ } P(x) = x 2 -x-2 CV={0,1,2,3,4} CV={2}

8 Exercícios Dados os conjuntos A={ -2,0,1,2} B={-1,0,3} Determinar o conjunto verdade de P(x,y)= x+y < 1 xa e yb

9 Exercícios Dados os conjuntos A={ -2,0,1,2} B={-1,0,3} Determinar o conjunto verdade de P(x,y)= x+y < 1 xa e yb CV = { (-2,-1), (-2,0), (0,-1), (0,0), (1,-1)}

10 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) b) P(4) c) P(6)

11 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) é Verdade b) P(4) é Verdade c) P(6) é Falso

12 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) b) P(lemon) c) P(true) d) P(false)

13 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) é Verdade b) P(lemon) é Falso c) P(true) é Falso d) P(false) é Verdade

14 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado)

15 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan)

16 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing c) Q(Massachusetts, Boston)

17 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing c) Q(Massachusetts, Boston) é Verdade d) Q(Nova York, Nova York)

18 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing c) Q(Massachusetts, Boston) é Verdade d) Q(Nova York, Nova York) é F capital é Albany

19 Exercícios Rosen pg 46 4) Constate o valor de x depois que o comando if P(x) then x:=1 for executada, em que P(x) é a proposição x>1, se o valor de x, quando essa proposição for alcançada, for a) x=0; Resp. 0 b) x=1; Resp. 1 c) x=2; Resp 1

20 Operações Lógicas Sobre Predicados As operações lógicas que usamos para proposições estendem se a predicados. M(x) = x é médico P(x) = x é professor M(x) ^ P(x) x é médico e professor

21 Operações Lógicas sobre Predicados Conjunção P(x) = x>2 Q(x) = x<8 P(x) ^ Q(x) = 2 < x < 8 CV =??? em N

22 Operações Lógicas sobre Predicados Conjunção P(x) = x > 2 Q(x) = x < 8 P(x) ^ Q(x) = 2 < x < 8 CV = {3,4,5,6,7}

23 Operações Lógicas sobre Predicados Disjunção P(x) = x < 2 Q(x) = x > 8 P(x) v Q(x) = x > 2 ou x < 8 CV em N??? 0? 1? 2? 5?

24 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) =??? O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

25 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

26 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar Q(x) = x < y ~Q(x) =??? O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

27 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar Q(x) = x < y ~Q(x) = x y O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

28 Operações Lógicas sobre Operadores As operações: Condicional Bicondicional também podem ser estendidas para a lógica de predicados. Falaremos sobre elas em aulas futuras.

29 Quantificadores São frases do tipo: para todo para cada para algum Ou seja, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, têm uma determinada propriedade.

30 Quantificadores - Tipos Universal: considera todos os elementos de um conjunto Existencial: Existe um ou mais elementos de um conjunto.

31 Quantificador Universal Propriedade é verdadeira para todos os valores de uma variável em um determinado domínio, ou seja, todos os elementos do domínio tornam o predicado verdadeiro. Domínio = Conjunto Verdade Símbolo Usado:

32 Quantificador Universal Notação: (x A) (P(x)) x A, P(x) x A: P(x) (x ) P(x) x, P(x) x: P(x) x P(x)

33 Quantificador Universal Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à conjunção das proposições. x P(x) P(a 1 )^ P(a 2 ) ^... P(a n )

34 Quantificador Universal Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à conjunção das proposições. x P(x) P(a 1 )^ P(a 2 ) ^... ^P(a n ) Sendo assim ao usarmos o quantificador universal no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.

35 Quantificador Universal Exemplo: A= {3,5,7} P(x) = x é primo x P(x) é???

36 Quantificador Universal Exemplo: A= {3,5,7} P(x) = x é primo x P(x) é Verdade Um elemento para o qual P(x) é falsa é chamado de contra exemplo para x P(x) e torna x P(x) falso também.

37 Quantificador Universal Exemplo: P(x) = x +1 > x Domínio: o conjunto dos números reais. x P(x) é?

38 Quantificador Universal Exemplo: P(x) = x +1 > x Domínio: o conjunto dos números reais. x P(x) é Verdade

39 Quantificador Universal Exemplo: Q(x) = x < 2 Domínio: o conjunto dos números reais x Q(x) é???

40 Quantificador Universal Exemplo: Q(x) = x < 2 Domínio: o conjunto dos números reais Q(3) é Falso logo x Q(x) é Falso Contra exemplo

41 Quantificador Existencial Propriedade é verdadeira para pelo menos um valor de uma variável em um determinado domínio, ou seja, existe um elemento do domínio que torna o predicado verdadeiro. Símbolo Usado:

42 Quantificador Existencial Exemplo P(x) = x é aluno de fundamentos 1 que tem N1=10.0 Domínio = {alunos desta sala} Podemos escrever que: x P(x)

43 Quantificador Existencial Notação: (x A) (P(x)) x A, P(x) x A: P(x) (x ) P(x) x, P(x) x: P(x) x P(x)

44 Quantificador Existencial Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à disjunção das proposições. x P(x) P(a 1 ) v P(a 2 ) v... v P(a n )

45 Quantificador Existencial Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à disjunção das proposições. x P(x) P(a 1 ) v P(a 2 ) v... v P(a n ) Sendo assim ao usarmos o quantificador existencial no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.

46 Quantificador Existencial Exemplo: P(x) = x > 3 Domínio: conjunto dos números reais. Temos que 4 > 3 logo x P(x) é V

47 Quantificador Existencial x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio. Exemplo: (x N) (n+4<8) O Conjunto Verdade = {0,1,2,3}, logo o predicado é verdadeiro x P(x) é Verdade

48 Quantificador Existencial x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio. Exemplo: (x N) (n+4 < 4) O Conjunto Verdade = { }, logo o predicado é falso x P(x) é Falso

49 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. Como podemos representar isso na lógica?

50 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica

51 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica 2) Definir o domínio Domínio = {estudantes desta classe}

52 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica 2) Definir o domínio Domínio = {estudantes desta classe} 3) Escrever a proposição: x C(x)

53 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou calculo 2) Definir o domínio Existem várias maneiras de Domínio = {estudantes desta classe} tradução!!!! 3) Escrever a proposição: x C(x)

54 Rosen Pg 46 Ex. 5 Considere P(x) como o predicado x passa mais do que cinco horas em aula todos os dias, em que o domínio de x são todos os estudantes. Expresse cada uma dessas quantificações em português. a) x P(x) b) x P(x) c) x ~P(x) d) x ~P(x)

55 Exercícios Rosen(47) 6 a) e 6 b)

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