Lógica Proposicional Dedução Natural

Transcrição

1 Lógica Matemática Lógica Proposicional Dedução Natural Tiago Massoni

2 "testando" argumentos dado que d c como fazer? e t d então c t 2

3 Assim... Testar argumentos com tabela verdade é proibitivo não escalável Precisamos raciocionar sobre argumentos sem isso de forma sintática Dedução natural 3

4 Dedução natural

5 Dedução natural Dedução natural: coleção de regras de prova inferir fórmulas a partir de outras A partir de premissas, chegar na conclusão regras de inferência 5

6 Dedução natural dedução p 1 p 2 p 3 regra x sequent p i p i +1.. regra y a partir dos resultados e de regras, chega-se a q. q 6

7 Regras de inferência

8 Regras para conjunção 8

9 Inclusão/Exclusão da conjunção (Programa que imprime o histórico do aluno) Exemplo d c, p c p d: O programa calcula o número de disciplinas cursadas c: O programa calcula o CRE do aluno p: O programa foi feito em Python Tradução: O programa calcula o número de disciplinas cursadas e calcula o CRE do aluno. O programa foi feito em Python. Portanto, o programa calcula o CRE do aluno e foi feito em Python. Prova: 1 d c premissa 2 p premissa 3 c e c p i 3, 2 d c ( e 2 ) c p ( i) c p

10 Regras de negação dupla 10

11 Exemplo p, (c d) p c p: O programa foi feito em Python c: O programa calcula o CRE do aluno d: O programa calcula o número de disciplinas cursadas Tradução: O programa foi feito em Python. Não é verdade que o programa não calcula o CRE e o número de disciplinas cursadas do aluno. Portanto, não é verdade que o programa não foi feito em Python, e o programa calcula o CRE do aluno. Prova: 1 p premissa 2 (c d) premissa 3 p i 1 4 c d e 2 5 c e p c i 3, 5

12 Exercício (d c) p, t f c t d: O programa calcula o número de disciplinas cursadas c: O programa calcula o CRE do aluno p: O programa foi feito em Python t: O programa imprime o histórico na tela f: O programa imprime o histórico em folha de papel Tradução: O programa calcula o número de disciplinas cursadas e o CRE do aluno, e foi feito em Python. O programa imprime o histórico na tela e em folha de papel. Portanto, o programa calcula o CRE do aluno e imprime o histórico na tela. 12

13 Eliminando implicação 13

14 Exemplo i (n q), i n, i q i: Acesso a um índice inválido de um array n: Lançamento de NullPointerExcepGon q: Programa quebra Tradução: Se é feito o acesso a um índice inválido de um array, se ocorrer o lançamento de NullPointerExcepGon, o programa quebra. Se há o acesso a um índice inválido, ocorre o lançamento de NullPointerExcepGon. Ocorre o acesso a índice inválido de um array. Portanto, o programa quebra. Prova: 1 i (n q) premissa 2 i n premissa 3 i premissa 4 n q e 1, 3 5 n e 2, 3 6 q e 4, 5 14

15 Modus Tollens 15

16 Exercício a (i n), a, n i a: A variável é um array i: É acessado um índice inválido na variável n: Ocorre o lançamento de NullPointerExcepGon dessa variável Tradução: Se a variável é um array, se for acessado um índice inválido na variável, ocorre o lançamento de NullPointerExcepGon dessa variável. A variável é um array. Não houve lançamento de NullPointerExcepGon dessa variável. Portanto, não foi acessado um índice inválido na variável. 16

17 Introdução de implicação Como construir implicações Vamos temporariamente assumir uma proposição p como verdadeira se chegarmos a uma proposição q, temos a implicação 17

18 Caixa (Box) Serve para demarcar suposições temporárias HIPÓTESES 18

19 Exemplo j c c j j: O problema pode ser solucionado por um programa em Java c: O problema pode ser solucionado por um programa em C++ Tradução: Se o problema não pode ser solucionado por um programa em Java, ele não pode ser solucionado por um programa em C++. Portanto, se o problema puder ser solucionado por um programa em C++, não é verdadeiro que ele não pode ser solucionado por um programa em Java. Prova: 1 j c premissa 2 c hipótese 3 c i 2 4 j MT 1, 3 5 c j i

20 Introdução de implicação 20

21 Teorema A conclusão não depende de nenhuma premissa (j o) (( j m) (m o)) j: O programa é escrito em Java o: O programa é orientado a objetos m: O programa é mulgplataforma Tradução: Se é verdade que, se o programa é escrito em Java então é orientado a objetos, então é verdade que, se o programa não é escrito em Java então não é mulgplataforma, então se o programa é mulgplataforma então é orientado a objetos. p p igual a p p Teorema

22 Teorema A conclusão não depende de nenhuma premissa (j o) (( j m) (m o))

23 Teorema transforma-se em 23

24 Exercício m i m f i f m: O programa chama um método para impressão na tela i: Algo é impresso na tela f: O programa finaliza sua execução Tradução: Se o programa chama um método para impressão na tela, então algo é impresso na tela. Portanto, se o programa chama um método para impressão na tela e finaliza sua execução, então algo é impresso na tela e o programa finaliza sua execução. 24

25 Regras de disjunção 25

26 Exemplo a d z a z d a: O método altera o valor da variável para 10 d: A variável tem valor 10 z: A variável tem valor 0 Tradução: Se o método altera o valor da variável para 10, então ela fica valendo 10. Se a variável tem valor 0 ou o método a altera para 10, então a variável vale 0 ou 10. Prova: 1 a d premissa 2 z a hipótese 3 z hipótese 4 z d i a hipótese 6 d e 1, 5 7 z d i z d e 2, 3-4, z a z d i

27 Exercício (i f) d i (f d) i: Dado do Gpo int f: Dado do Gpo float d: Dado do Gpo double Tradução: O dado é do Gpo int ou float, ou o dado é double. Portanto, o dado é do Gpo int, ou do Gpo float ou double. 27

28 (i f) d i (f d) i: Dado do Gpo int f: Dado do Gpo float d: Dado do Gpo double Tradução: O dado é do Gpo int ou float, ou o dado é double. Portanto, o dado é do Gpo int, ou do Gpo float ou double. Prova

29 Exercício d (x s) (d x) (d s) d: O programa salva dados em disco x: O programa usa XML s: O programa usa SQL Tradução: O programa salva dados em disco, e usa XML ou SQL. Portanto, o programa salva em disco e usa XML, ou salva em disco e usa SQL. 29

30 d (x s) (d x) (d s) d: O programa salva dados em disco x: O programa usa XML s: O programa usa SQL Tradução: O programa salva dados em disco, e usa XML ou SQL. Portanto, o programa salva em disco e usa XML, ou salva em disco e usa SQL. Prova

31 "One cannot say of something that it is and that it is not in the same respect and at the same time." Aristóteles 31

32 Contradição Não dá para inferir p a partir de p contradições Conceito importante em lógica todas as contradições são equivalentes 32

33 Contradição Qualquer fórmula pode ser deduzida quando há uma contradição p: o programa é escrito em Java q: o comando quota existe no Linux símbolo tudo que pode ser inferido, a partir das fórmulas a esquerda 33

34 Regras negação 34

35 Exemplo c t c t c: O método é executado corretamente t: O método retorna true Tradução: O método não é executado corretamente, ou retorna true. Portanto, se o método é executado corretamente, ele retorna true Prova 35

36 Regras negação 36

37 Exemplo a (v z), a, z v a: O método recebe um array como argumento v: O array é vazio z: O método retorna zero Tradução: Se o método recebe um array como argumento, se o array é vazio, então o método retorna zero. O método recebe um array como argumento. O método não retorna zero. Portanto, o array não é vazio. Prova 1 a (v z) premissa 2 a premissa 3 z premissa 4 v hipótese 5 v z e 1, 2 6 z e 5, 4 7 6, 3 8 v i

38 Exercício r t i, i, r t r: O método lança uma RunGme ExcepGon t: A exceção é tratada no programa i: A execução é interrompida Tradução: Se um método lançar uma Run+me Excep+on e a exceção não for tratada no programa, então a execução será interrompida. A execução seguiu sem interrupção. O método lançou uma RunGme ExcepGon. Portanto, a exceção foi tratada no programa. 38

39 r t i, i, r t r: O método lança uma RunGme ExcepGon t: A exceção é tratada no programa i: A execução é interrompida Tradução: Se um método lançar uma Run+me Excep+on e a exceção não for tratada no programa, então a execução será interrompida. A execução seguiu sem interrupção. O método lançou uma RunGme ExcepGon. Portanto, a exceção foi tratada no programa. Prova 1 r t i premissa 2 i premissa 3 r premissa 4 t hipótese 5 r t i 3, 4 6 i e 5, 4 7 6, 2 8 t i t e 8

40 Redução por absurdo Demonstração 40

41 LEM (Law of the Excluded Middle) if B then {C1} else {C2} 41

42 Exercício m d m d m: O programa chama método para dobrar o valor da variável d: A variável tem o valor dobrado Tradução: Se o programa chama o método para dobrar o valor da variável, então ela tem seu valor dobrado. Portanto, o programa não chama o método ou a variável tem seu valor dobrado. 42

43 m d m d m: O programa chama método para dobrar o valor da variável d: A variável tem o valor dobrado Tradução: Se o programa chama o método para dobrar o valor da variável, então ela tem seu valor dobrado. Portanto, o programa não chama o método ou a variável tem seu valor dobrado. Prova 1 m d premissa 2 m m LEM 3 m hipótese 4 m d i m hipótese 6 d e 1, 5 7 m d i m d e 2, 3-4, 5-7

44 Sumário Tarefa: ler seção do livro dicas para dedução 44

45 Equivalência que pode ser provada Sejam duas fórmulas de lógica proposicional p e q são provadas equivalentes sse p q e q p p q 45

46 Exercício 46

47 corretude 47

48 completude e corretude lógica proposicional 48

49 Dedução e semântica Será que é VÁLIDO? Se premissas=t, conclusão=t?

50 Dedução e semântica é possível que haja conclusão=f para a as premissas=t? Felizmente não!!! as regras são corretas!

51 Correção (soundness) da L.P. Leitura: se houve dedução correta, o argumento é mesmo válido!