2.3.4 Algoritmos de SAT

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1 114 CAÍTULO 2. LÓGICA ROOSICIONAL Algoritmos de SAT Os algoritmos de SAT (do inglês satisfiability ) têm o objectivo de determinar se uma dada fbf α é satisfazível ou não; em caso afirmativo, devolvem uma interpretação que satisfaça α. Notemos que os diagramas de decisão binários já permitem resolver esta questão: dada uma fbf α, através do seu BDD é possível determinar se α é satisfazível ou não, e, em caso afirmativo, determinar todas interpretações que a satisfazem. No entanto, quando não necessitamos de conhecer todas as interpretações que satisfazem determinada fbf, mas apenas uma, os algoritmos de SAT respondem a esta questão de uma forma mais eficiente do que a construção do BDD correspondente à fbf. Nesta secção apresentamos dois algoritmos de SAT. O primeiro, que designamos por algoritmo de propagação de marcas, é muito eficiente, mas não é completo, ou seja, nem sempre termina com a resposta pretendida. O segundo, o algoritmo D, apesar de menos eficiente, é completo. Algoritmo de propagação de marcas A ideia subjacente a este algoritmo é a seguinte, dada uma fbf α, determinarmos as restrições que têm de ser satisfeitas pelas suas sub-fórmulas de forma a que α seja verdadeira. Exemplo Consideremos a fbf e raciocinemos da seguinte forma: para a fbf ser verdadeira, ambas as suas sub-fórmulas e têm de ser verdadeiras; para ser verdadeira, tem de ser falsa. Desta forma, determinámos por um lado que a fbf dada é satisfazível e, por outro, uma interpretação I que a satisfaz, I( ) = V e I() = F. ` Sempre que é imposta uma restrição a uma sub-fórmula α, ou seja, sempre que se conclui que α tem de ser verdadeira ou que α tem de ser falsa, dizemos que α foi marcada com V ou F, respectivamente, Assim, no exemplo anterior, começámos por marcar a fbf dada,, com a marca V. Em seguida, propagámos esta marca para as sub-fórmulas e ; como se tratava de uma conjunção, ambas estas sub-fórmulas foram marcadas com V ; finalmente, propagámos a marca de à sub-fórmula ; como se tratava de uma negação, foi marcada com F. O algoritmo de propagação de marcas tem 4 passos:

2 2.3. O SISTEMA SEMÂNTICO Transformação da fbf dada numa fbf que só contenha conjunções e negações. 2. Construção de um grafo dirigido e acíclico que representa a fbf obtida no passo anterior. 3. ropagação de marcas. 4. Verificação de marcas. ara executar o primeiro passo, basta eliminar as disjunções e as implicações que ocorram na fbf, usando as equivalências (α β) (α β) e (α β) (α β). Exemplo Dada a fbf ( ( )), obter-se-ia sucessivamente: (( ( )) ) (( ( )) ) (( ( )) ). ` A última transformação, a eliminação da dupla negação, não é requerida pelo algoritmo. No entanto, para uma maior simplicidade dos grafos que são usados, daqui em diante, a eliminação da dupla negação é sempre aplicada. ara executar o segundo passo, a construção de um grafo dirigido e acíclico que representa a fbf transformada, começa-se por construir uma árvore da seguinte forma: Uma fbf atómica, um símbolo de proposição, é representada por uma árvore constituída unicamente por uma raiz cujo rótulo é esse símbolo de proposição. Uma negação α é representada por uma árvore cuja raiz é um nó de rótulo do qual sai um arco para a raiz da árvore que representa α (Figura 2.33 (a)).

3 116 CAÍTULO 2. LÓGICA ROOSICIONAL α α (a) α β α β (b) Figura 2.33: Representação da negação e da conjunção. Uma conjunção α β é representada por uma árvore cuja raiz é um nó de rótulo do qual saem dois arcos, um para a raiz da árvore que representa α e o outro para a raiz da árvore que representa β (Figura 2.33 (b)). Dada uma fbf α, as folhas da árvore que a representa são nós cujos rótulos são os símbolos de proposição que ocorrem na fbf. Finalmente, para obter o grafo dirigido e acíclico basta juntar as folhas de rótulos repetidos. 34 Na Figura 2.34 mostramos a árvore e o grafo que representam a fbf (( ( )) ). 35 Uma vez obtido o grafo, na execução do terceiro passo, a propagação das marcas pelo grafo, são atribuídas as marcas V ou F aos nós do grafo. ara iniciar o processo de propagação de marcas, é atribuída a marca V à raiz do grafo. As marcas dos restantes nós do grafo são atribuídas de acordo com as seguintes regras: Regra para a negação: Sejam n um nó de rótulo, e n α o nó no fim do arco que sai de n. Então, a marca contrária 36 à marca de n pode ser propagada a n α, e vice-versa. Esta regra corresponde a dizermos que se α é verdadeira (respectivamente, falsa) então α tem de ser falsa (respectivamente, verdadeira), e se α é verdadeira (respectivamente, falsa) então α tem de ser falsa (respectivamente verdadeira). 34 oderemos também partilhar os nós repetidos, o que permite um aumento da eficiência do algoritmo. mas não o faremos aqui. 35 Tal como fizemos com os BDDs, nos nossos grafos, omitimos as setas dos arcos. or convenção, um arco dirige-se sempre do nó mais acima no desenho para o nó mais abaixo. 36 A marca contrária de V é F e a marca contrária de F é V.

4 2.3. O SISTEMA SEMÂNTICO 117 (a) (b) Figura 2.34: Árvore e grafo representando a fbf (( ( )) ). Regras para a conjunção: Sejam n um nó de rótulo e n α e n β os nós no fim dos arcos que saem de n : 1. Se n tiver a marca V, então n α e n β podem ser marcados com V. Esta regra corresponde a dizer que se uma conjunção α β é verdadeira, tanto α como β têm de ser verdadeiras. 2. Se n α e n β tiverem a marca V, então n pode ser marcado com V. Esta regra corresponde a dizer que se α e β são verdadeiras, então a conjunção α β é verdadeira. 3. Se n α ou n β tiverem a marca F, então n pode ser marcado com F. Esta regra corresponde a dizer que se α ou β são falsas, então a conjunção α β é falsa. 4. Se n α (respectivamente, n β ) tiver a marca V, e n tiver a marca F, então n β (respectivamente, n α ) pode ser marcado com F. Esta regra corresponde a dizer que se α (respectivamente, β) é verdadeira, e a conjunção α β é falsa, então β (respectivamente, α) é falsa. Exemplo Consideremos a fbf ( ). Na Figura 2.35 mos-

5 118 CAÍTULO 2. LÓGICA ROOSICIONAL 1: V 3: F 4: F 5: V Figura 2.35: ropagação de marcas relativas à fbf ( ). tramos o resultado de propagar a marca V da raiz do grafo. Nesta figura, os inteiros que aparecem associados às marcas indicam a ordem pela qual as marcas foram atribuídas aos respectivos nós. ` Finalmente, a execução do quarto passo, a verificação das marcas determinadas no terceiro passo, consiste em propagar as marcas atribuídas às folhas do grafo de baixo para cima, verificando se as marcas assim determinadas são as mesmas do que as determinadas anteriormente. Em caso afirmativo, encontrámos uma interpretação que satisfaz a fbf representada pelo grafo, uma testemunha (de que a fbf é satisfazível). Se as novas marcas não coincidirem com as anteriores, então a fbf não é satisfazível. Exemplo Consideremos novamente a Figura Se propagarmos as marcas atribuídas às folhas, de baixo para cima, obtemos exactamente as mesmas marcas. Isto significa que a fbf ( ) é satisfazível, e que a interpretação I, tal que I( ) = I() = V, é uma testemunha. ` Exemplo Consideremos a fbf ( ( )). A figura 2.36 mostra o grafo correspondente, bem como o resultado da propagação da marca V da raiz. Se propagarmos as marcas atribuídas às folhas, de baixo para cima, verificamos que o nó negação marcado com V ( ) recebe agora a marca F. Isto significa que a fbf não é satisfazível. ` Vimos já que o algoritmo de propagação de marcas pode terminar de duas formas diferentes, encontrando marcas consistentes para todos os nós, ou

6 2.3. O SISTEMA SEMÂNTICO 119 1: V 3: V 4: F 5: F 3: V 6: V Figura 2.36: ropagação de marcas relativas à fbf ( ( )). chegando a uma contradição. Em qualquer dos casos, o problema fica resolvido. No primeiro caso, foi encontrada uma testemunha, e no segundo caso a fbf não é satisfazível. Infelizmente, o algoritmo pode ainda terminar de uma forma diferente, não conseguindo determinar marcas para todos os nós. Neste caso, o problema continua por resolver não sabemos se a fbf é satisfazível ou não. ara ilustrar esta situação, aplique o algoritmo de propagação de marcas à fbf. 37 uando o algoritmo de propagação de marcas não consegue marcar todos os nós de um grafo, deve ser aplicado um outro algoritmo, que designaremos por algoritmo de teste de nós. Este algoritmo escolhe um dos nós por marcar e testa esse nó com um valor lógico; se este teste não permite resolver o problema, o mesmo nó é testado com o valor lógico contrário. O teste de um nó com um valor lógico consiste nos seguintes passos: 1. Marcação temporária do nó com esse valor lógico. 2. ropagação desta marca temporária. 3. Determinação das marcas temporárias que resultam desta propagação. Após o teste de um nó com um valor lógico, várias situações podem ocorrer: 37 Deixamos este caso como exercício.

7 120 CAÍTULO 2. LÓGICA ROOSICIONAL 1: V 3: V 3: V 6: F 4: F 5: F R Figura 2.37: ropagação de marcas relativas à fbf ( ) ( ) ( R). Se todos os nós ficaram marcados com marcas consistentes, o algoritmo termina, pois foi encontrada uma testemunha. Se foi encontrada uma contradição, então o nó é marcado permanentemente com a marca contrária à que foi usada no teste, e é utilizado o algoritmo de propagação de marcas. Se nenhuma das situações anteriores se verifica, são comparadas as marcas obtidas nos dois testes do nó; as marcas (temporárias) comuns aos dois testes são passadas a permanentes, e propagadas pelo algoritmo de propagação de marcas. Exemplo Consideremos a fbf ( ) ( ) ( R). Na Figura 2.37, mostramos o resultado da aplicação do algoritmo de propagação de marcas ao grafo desta fbf. Uma vez que nem todos os nós ficaram marcados, deve agora ser aplicado o algoritmo de teste de nós. Suponhamos que era escolhido o nó de rótulo para ser testado; se testarmos este nó com a marca temporária V, chegamos a uma contradição. Logo, este nó é marcado permanentemente com F. A propagação desta marca, determina a marca V para o nó de rótulo R. Nesta altura, apenas falta rotular o nó de rótulo. O teste deste nó com qualquer valor lógico leva à descoberta de uma testemunha. `

8 2.3. O SISTEMA SEMÂNTICO 121 1: V 3: V 3: V 6: F 4: F 5: F R Figura 2.38: ropagação de marcas relativas à fbf ( ) ( ) ( R). Exemplo Consideremos a fbf ( ) ( ) ( R). Na Figura 2.38, mostramos o resultado da aplicação do algoritmo de propagação de marcas ao grafo desta fbf. Tal como no exemplo , nem todos os nós ficaram marcados, pelo que deve agora ser aplicado o algoritmo de teste de nós. Suponhamos que era escolhido o nó de rótulo para ser testado; se testarmos este nó com a marca temporária V, chegamos, entre outras, à marca temporária F para o nó de rótulo. Como ficaram nós por marcar, o mesmo nó é agora testado com a marca contrária, isto é, F. Novamente ficam nós por marcar, mas o nó de rótulo volta a ser marcado com a marca temporária F. Assim, esta marca passa a permanente. Note-se no entanto que os nós de rótulos e R continuam por marcar. Se testarmos qualquer um deles com qualquer marca, o outro continua por marcar. Assim, o algoritmo termina sem determinar se a fbf é satisfazível ou não. ` odemos concluir que o algoritmo de propagação de marcas não é completo, como dissemos no ínicio desta secção. Apesar do algoritmo de teste de nós permitir resolver mais alguns casos, continua a não resolver todos. A vantagem destes algoritmos é a sua eficiência. O algoritmo de propagação tem um crescimento linear com o tamanho da fbf, e o algoritmo de teste tem um crescimento cúbico.

9 122 CAÍTULO 2. LÓGICA ROOSICIONAL O algoritmo D O algoritmo D 38 exige que a fbf esteja na forma clausal, isto é, que seja representada por um conjunto de cláusulas. Recorde-se que uma cláusula é um conjunto de literais que representa a disjunção desses literias. O algoritmo D baseia-se no seguinte teorema: Teorema Sejam uma fbf na forma clausal, i um símbolo de proposição e Ω o conjunto de cláusulas obtido a partir de da seguinte forma: 1. Todas as cláusulas de que mencionam i são retiradas. 2. Todos os resolventes em i 39, a partir de cláusulas de, são adicionados. Então, é satisfazível se e só se Ω é satisfazível. Note-se que nenhuma cláusula do conjunto Ω menciona o símbolo de proposição i. or esta razão, dizemos que Ω foi obtido de por eliminação do símbolo de proposição i. Exemplo Seja = {{, }, {, }, {, R}}. or eliminação de em, obtém-se Ω = {{}, {, R}}. De acordo com o Teorema 2.3.4, será satisfazível se e só se Ω o for. ` O algoritmo D consiste em, dada uma fbf na forma clausal, ir eliminando sucessivamente os símbolos de proposição que ocorrem em. Os conjuntos de cláusulas que vão sendo obtidos mencionam cada vez menos símbolos de proposição. Eventualmente, ocorre uma de duas situações: 1. Chegamos a um conjunto vazio de cláusulas. Como tal conjunto corresponde a uma tautologia, podemos concluir que a fbf inicial é satisfazível. 2. É gerada a cláusula vazia. Como tal cláusula corresponde a uma contradição, podemos concluir que a fbf inicial não é satisfazível. 38 De Davis e utman, os criadores do algoritmo. 39 Um resolvente num símbolo de proposição i é um resolvente obtido a partir de duas cláusulas por eliminação dos literais i e i nessas cláusulas.

10 2.3. O SISTEMA SEMÂNTICO 123 Exemplo Consideremos a fbf representada em forma clausal por = {{, }, {, }, {, R}}. or eliminação de, e R, por esta ordem, obtemos, sucessivamente, os conjuntos: {{}, {, R}}, {{R}} e {}. Como o último conjunto é satisfazível, podemos concluir que é satisfazível. ` Exemplo Consideremos a fbf representada em forma clausal por = {{, }, {, }, {, R}, {R}}. or eliminação de, e R, por esta ordem, obtemos, sucessivamente, os conjuntos: {{}, {, R}, {R}}, {{R}, {R}} e {{}}. Como o último conjunto não é satisfazível, podemos concluir que não é satisfazível. ` Apresentamos uma possível implementação do algoritmo D 40. Neste algoritmo é usado o conceito de balde (do inglês bucket ). Um balde consiste num conjunto de cláusulas. Dada uma fbf na forma clausal, o algoritmo consiste nos seguintes passos: 1. Criação e preenchimento de baldes. Este passo corresponde à execução de três passos sequenciais: (a) Establece-se uma ordem arbitrária entre os símbolos de proposição em (a quantidade de processamento necessária poderá depender fortemente desta ordem). (b) Cria-se um balde (sem elementos) por cada símbolo de proposição i que ocorra em. Cada um destes baldes é designado por b i. Os baldes são ordenados de acordo com a ordem estabelecida no passo anterior. (c) Cada cláusula em é colocada no primeiro balde b i, tal que a cláusula menciona o símbolo de proposição i. 2. rocessamento dos baldes. Este passo, consiste em processar cada balde, pela ordem estabelecida no passo anterior, da seguinte forma. (a) ara processar o balde b i geram-se todos os resolventes em i a partir exclusivamente de cláusulas de b i. (b) Cada um dos resolventes obtidos no passo anterior é colocado no primeiro balde b j, tal que o resolvente menciona o símbolo de proposição j. 40 Esta implementação é baseada em [Darwiche e ipatsrisawat 09].

11 124 CAÍTULO 2. LÓGICA ROOSICIONAL Se durante o processamento de um balde for gerada a cláusula vazia, o algoritmo termina indicando que a fbf dada não é satisfazível. Se todos os baldes forem processados sem nunca ser gerada a cláusula vazia, então a fbf dada é satisfazível. Note-se que, de acordo com o Teorema 2.3.4, após o processamento de um balde b α, sabemos que a fbf dada será satisfazível se e só se o conjunto de cláusulas correspondente à união dos baldes a seguir a b α for satisfazível. Exemplo Consideremos a fbf correspondente à cláusula = {{,, R}, {, S, T, R}, {,, S}, {, R}, {S}}. Estabelecendo a ordem entre os símbolos de proposição,, R, S, T, após a execução do primeiro passo do algoritmo temos os seguintes baldes: b : {,, R}, {, S, T, R}, {,, S} b : {, R} b R : b S : {S} b T : O processamento do balde b origina duas novas cláusulas, {, R, S, T, R} e {, R, S}. A primeira destas cláusulas é uma tautologia, pelo que é ignorada; a segunda cláusula é colocada no balde b : b : {,, R}, {, S, T, R}, {,, S} b : {, R}, {, R, S} b R : b S : {S} b T : O processamento do balde b origina a nova cláusula {R, S}, que é colocada no balde b R : b : {,, R}, {, S, T, R}, {,, S} b : {, R}, {, R, S} b R : {R, S}

12 2.3. O SISTEMA SEMÂNTICO 125 b S : {S} b T : O processamento dos restantes baldes não gera novas cláusulas, pelo que se conclui que é satisfazível. ` Depois de todos os baldes terem sido processados, a inspecção dos baldes por ordem inversa à ordem de processamento permite determinar uma interpretação que satisfaça a fbf da seguinte forma: a inspecção do balde b i atribui um valor lógico ao símbolo de proposição i de forma a que sejam satisfeitas todas as cláusulas de b i, e considerando os valores lógicos já atribuídos a outros símbolos de proposição. Exemplo odemos determinar uma interpretação I que satisfaz a fbf do exemplo , raciocinando da seguinte forma. 1. Começamos pelo último balde b T. Uma vez que este balde está vazio, podemos escolher qualquer valor para T. Suponhamos que escolhemos I(T ) = V. 2. Inspeccionamos o balde b S, que contém uma única cláusula, {S}. ara esta cláusula ser satisfeita temos de ter I(S) = V. 3. Inspeccionamos o balde b R, que contém uma única cláusula,{r, S}. Uma vez que temos I(S) = V, esta cláusula será satisfeita qualquer que seja o valor de R. Suponhamos que escolhemos I(R) = V. 4. ara satisfazer a cláusula {, R} do balde b temos de ter I() = F. A outra cláusula deste balde já é satisfeita, independentemente do valor de. 5. Finalmente, no balde b a única cláusula cuja satisfação depende do valor de é a cláusula {,, R}, pelo que temos de ter I( ) = V. Concluímos assim que a seguinte interpretação satisfaz : I(T ) = V, I(S) = V, I(R) = V, I() = F e I( ) = V. ` Exemplo Suponhamos que, ao estabelecer uma ordem entre os símbolos de proposição da fbf correspondente à cláusula = {{,, R}, {, S, T, R}, {,, S}, {, R}, {S}}, escolhíamos a ordem S, R,,, T. Neste caso, após a criação e preenchimento dos baldes teríamos:

13 126 CAÍTULO 2. LÓGICA ROOSICIONAL b S : {, S, T, R}, {,, S}, {S} b R : {,, R}, {, R} b : b : b T : O processamento dos baldes não gera nenhuma nova cláusula, pelo que a escolha desta ordem levou a menos processamento do que a escolha da ordem,, R, S, T. ` Exemplo Consideremos a fbf correspondente à cláusula = {{, }, {, }, {}, {R, S}} e a ordem,, R, S. Após a execução do primeiro passo do algoritmo temos os seguintes baldes: b : {, }, {, } b : {} b R : {R, S} b S : O processamento do balde b gera a nova cláusula {}, que é colocada no balde b : b : {, }, {, } b : {}, {} b R : {R, S} b S : O processamento do balde b gera a cláusula vazia, pelo que o algoritmo termina, indicando que a fbf não é satisfazível. ` O algoritmo D tem uma ordem de crescimento exponencial, o que significa que é menos eficiente do que o algoritmo de propagação de marcas. Contudo, o algoritmo D tem a vantagem de ser completo, isto é, de terminar sempre com uma resposta, qualquer que seja a fbf em questão.