Gabarito da Lista 3 de exercícios - Microeconomia 2 Professora: Joisa Dutra Monitor: Rafaela Nogueira

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1 Gabarito da Lista 3 de exercícios - Microeconomia 2 Professora: Joisa Dutra Monitor: Rafaela Nogueira. (a) Falso. A lei de Walras depende apenas dos agentes esgotarem suas restrições orçamentárias. Vale, portanto, para qualquer vetor de preços. (b) Falso. Precisamos conhecer a dotação inicial dos agentes. O equilíbrio, pelo primeiro teorema do bem-estar, estará sobre a curva de contrato, mas sua localização depende das dotações iniciais. (c) Verdadeiro, por contraposição. (d) Falso. É perfeitamente possível que isso ocorra. Se a alocação é eficiente, nao há como aumentar o bem-estar de um agente sem piorar o outro. Assim, nesta nova alocação um dos agentes estará melhor e outro pior do que no caso inicial. (e) Falso. Suponha que os agentes tenham utilidades U=x+y. Nesse caso, toda a caixa de Edgeworth corresponde à curva de contrato. 2. (a) O consumidor A, com função utilidade complementos perfeitos, determina a curva de contrato, pois consome quantidades iguais dos dois bens, de forma que x A = y A. Se ele consumisse mais de um bem do que do outro não seria pareto ótimo, pois eu poderia diminuir o consumo deste bem, mantendo a utilidade de A (pois ela só depende do mínimo), e aumentar o consumo e a utilidade do agente B. Assim, o conjunto das alocações P.O. é: P O = {x A, y A, x B, y B : x A = y A, x A + x B = 0, y A + y B = 0}. (b) O problema do agente A é: {x A,y A } min{x A, y A } p x x A + y A 0p x + 0.

2 Como o consumidor tem preferências complementos perfeitos, sabemos que ele consome onde x A = y A. Utilizando essa informação, obtemos a partir da restrição orçamentária as demandas: O problema do agente B é: x A = y A = 0p x p x +. {x B,y B } x B + y B p x x B + y B 0p x + 0. O lagrangeano é: CPO: λp x = 0 λp y = 0 0 p x x B y B = 0 L = x B + y B + λ [0 p x x B y B ] Logo, o problema do agente B me dá o vetor de preços p x = =. Utilizando essa informação nas demandas do consumidor A, obtemos: x A = y A = 0 2 = 5. Pelas equações de market clearing, obtemos as demandas de B: x B + x A = 0 x B = 5. y A + y B = 0 y B = (a) O problema do consumidor A é: {x A,y A } 2x A + y A p x x A + y A 5p x + 0 O lagrangeano é: L = 2x A + y A + λ [5p x + 0 p x x A y A ] 2

3 Da CPO, obtemos: 2 λp x = 0 λp y = 0 5p x + 0 p x x A y A = 0 Assim, com o problema do indivíduo A já obtenho o vetor de preços: px = 2. O problema do consumidor B é: {x B,y B } x B y B p x x B + y B 0p x + 5 O lagrangeano é: L = x B y B + λ [0p x + 5 p x x B y B ] Da CPO, obtemos: y B λp x = 0 x B λp y = 0 0p x + 5 p x x B y B = 0 p Das duas primeiras CPOs temos que y B = x x B. Usando esta informação e substituindo na restrição orçamentária, temos: Substituindo de volta, obtemos x B = 5. 2 p x y B = 5 = Com o vetor de preços já encontrado a partir do problema do agente A, temos que: x B = 5 4, y B =

4 Com as condições de market clearing, obtemos as demandas de A: x A + x B = 5 = x A = 5 4 y A + y B = 5 = y A = 5 2 (b) Como as preferências são convexas e diferenciáveis, o conjunto das alocações eficientes de pareto é encontrado igualando-se as taxas marginais de substituição dos dois agentes: T MS A x,y = UmgA x A Umg A y A = UmgB x B Umg B y B = T MS B x,y = 2 = y B x B Assim, o conjunto das alocações pareto ótimas é: { P O = x A, y A, x B, y B : 2 = y } B, x A + x B = 5, y A + y B = 5 x B (c) Com os valores encontrados na letra (a), obtemos que: y B x B = = 2, portanto as alocações de equilíbrio pertencem ao conjunto PO e são pareto eficientes. 4. Sabemos que no equilíbrio a taxa marginal de substituição de cada agente será igual à razão de preços. Portanto, temos que: T MS 5 x,y = p x y 5 x 5 = p x Logo, p x = 5 0 = 2. 4

5 5. (b) O problema do consumidor A é: {x A,y A } x A + y A O lagrangeano é: L = x A + y A + λ Da CPO, obtemos: λp x = 0 λp y = 0 2 (p x + ) p x x A y A = 0 p x x A + y A 2 (p x + ) [ ] 2 (p x + ) p x x A y A Assim, com o problema do indivíduo A já obtemos o vetor de preços: p x = =. (c) A alocação de equilíbrio será dar tudo de um bem para um dos agentes e o restante para o outro. Assim, será na quina da caixa de edgeworth, dois pontos. A figura acima representa esta situação: o ponto W é a dotação, os pontos E as alocações de equilíbrio possíveis, a curva de indiferença de A é a azul (no centro da caixa) e a de B a vermelha (na borda superior e direita): (d) As alocações pareto-eficientes serão aquelas localizadas na fronteira da caixa de edgeworth no canto inferior-esquerdo. Portanto, a curva de contrato é toda a borda da caixa no lado inferioresquerdo. Para ver isso, suponha que a utilidade do agente A seja a dada pela curva de indiferença azul na figura abaixo. A maior curva de indiferença do agente B, vermelha, que toca a curva de A me dá os pontos e 2 como alocações pareto eficientes. Posso repetir o exercício em outros pontos, de modo que o conjunto das alocações eficientes de pareto é a borda inferior-esquerda. 5

6 6. (a) Nessa economia, o equilíbrio competitivo é caracterizado por um vetor de preços {p x, } e pelas alocações {x A, y A, x B, y B } tais que: i. Aos preços {p x, } de equilíbrio: (x A, y A ) soluciona o problema do consumidor A, isto é, soluciona: {x A,y A } 2 ln x A + 2 ln y A p x x A + y A = p x (x B, y B ) soluciona o problema do consumidor B, isto é, soluciona: ii. As alocações são factíveis: {x B,y B } 3 ln x B ln y B + ln x A p x x B + y B = 2p x + 4 x A + x B = 6; y A + y B = 6 Utilizando a da Lei de Walras, podemos normalizar o preço de um dos bens (neste caso, faremos p x = ). Resolvendo os problemas dos consumidores, obtemos: x A = 2 + ; y A = 2 + x B = ; yb = Utilizando as condições de equilíbrio de mercado, segue que x A + x B = 6 6

7 logo ( ) 4 + 8py (2 + ) + = 6 6 que me dá p = 0. Substituindo nos vetores de demanda individuais, 7 x A = 24 7 ; y A = 24 0 x B = 8 7 ; y B = 8 5 (b) O problema de Pareto é {x A,x B,y A,y B } 2 ln x A + 2 ln y A 3 ln x B ln y B + ln x A ū x A + x B = 6 y A + y B = 6 Substituindo as restrições de factibilidade na função objetivo, podemos montar o seguinte lagrangeano: L = 2 ln x A+ [ 2 ln y A+λ 3 ln (6 x A) + 2 ] 3 ln (6 y B) + ln x A ū As CPOs são: [ = λ 2x A 3(6 x A ) 2y A = λ [ x A 2 3(6 y A ) 3 ln x B ln y B + ln x A ū = 0 Substituindo a seguinda equação na primeira, obtemos 3(6 x A ) 4(x A 9) = 3 ( 3 ) 2 y A 2 ] ] () 7

8 Assim, as alocações Pareto eficientes são caracterizadas pela equação anterior (que me dá a curva de contrato) e pelas condições de factibilidade. (c) Substituindo as alocações de equilíbrio competitivo na equação da curva de contrato obtida, obtemos: 3(6 x A ) 4(x A 9) = 0, 3465, 25 = 3 ( 3 ) 2 y A 2 Portanto, o equilíbrio competitivo não é Pareto eficiente. (d) O que faz com que as alocações de equilíbrio não sejam paretoeficientes é a existência de externalidades. Vemos neste exercício que a utilidade do agente B é afetada positivamente pelo consumo do bem x pelo agente A. Porém, quando A escolhe o quanto consumir, não leva em conta isso. Se o indivíduo B pudesse pagar o indivíduo A para que este consumisse mais do bem x, ambos poderiam melhorar. Entretanto, como não existe este mercado, o o Teorema do Bem Estar falha. 8