Prova FINAL GABARITO

Transcrição

1 Universidade de São Paulo Primeiro Semestre de 2016 FEA-RP REC5003 Microeconomia I Cláudio R. Lucinda Prova FINAL GABARITO Esta é uma prova SEM consulta. A duração da prova é de 4h. Organizem o seu tempo de acordo. Vocês podem responder às questões fora da ordem. Somente lembrem-se de escrever claramente qual questão vocês estão respondendo. Vocês podem responder questões a lápis. Vocês podem usar calculadora Celular não pode ser utilizado durante a prova e deve ficar dentro da mochila. Este caderno de perguntas deve ser devolvido juntamente com a folha de respostas A compreensão da prova é parte da mesma. Portanto, não serão respondidas dúvidas durante a prova. BOA SORTE! 1

2 1. EQUILÍBRIO GERAL (1,0) Considere uma economia de Robinson Crusoé com dois bens de consumo, x e y, e um insumo para a produção, L. A produção de x é dada por Retornos Constantes de Escala: x = L x Em que L x é a quantidade de trabalho alocada para o bem x. A produção de y, por sua vez, envolve um custo fixo de instalação, S > 0, uma não convexidade: y = 0, se L y S y = (L y S) se L y > S S = 20 L 120 Sendo L y a quantidade de trabalho utilizada como insumo para y. A desigualfafe final representa uma limitação de capacidade na produção de y. A firma que produz y alcança a capacidade total e não se expande mais além de L y = 120, y = 100. A quantidade total de trabalho oferecida é: L x + L y = 168 O Robinson é o dono das firmas que produzem x e y e recebe quaisquer lucros que elas gerem. A mão de obra de Robinson é oferecida inelasticamente até 168, com um salário de w. A utilidade do Robinson é: u(x, y) = x + 2y Os preços e alocação a seguir representam um equilíbrio competitivo: p x = 1, p y = 2, w = 1, x = 48, y = 100, L x = 48, L y 120 Pergunta-se: A alocação de equilíbrio competitivo Eficiente em termos de Pareto? Marque a alternativa correta e explique seu raciocínio (a) A não convexidade na tecnologia de produção significa que o Primeiro Teorema do Bem- Estar não é aplicável. Não é possível determinar se a alocação é Eficiente de Pareto. (b) A não convexidade na tecnologia de produção significa que o Segundo Teorema do Bem- 2

3 estar não é aplicável. Não é possível determinar se a alocação é Eficiente de Pareto. (c) O Primeiro Teorema do Bem-Estar se aplica independentemente da não convexidade. A alocação de equilíbrio competitivo é Pareto Eficiente (d) O Primeiro Teorema do Bem-Estar não se aplica. A alocação não é Pareto Eficiente (e) Nenhuma das afirmações é válida GABARITO: A resposta correta é C. O Primeiro Teorema do Bem-Estar não precisa de convexidade. Um equilíbrio competitivo, se existir com a não convexidade, é Pareto Eficiente. 2. EQUILÍBRIO PARCIAL: (2,0) Considere um modelo de equilíbrio parcial com dois bens, l e o numerário m. O preço do numerário é 1 e o preço de l é p. Existem I consumidores e cada um deles tem uma função de utilidade quasilinear da seguinte forma: u i (m i, x i ) = m i + α ln(1 + x i ) Em que x i representa o consumo do bem l pelo indivíduo i e α > 0. Existem também J firmas idênticas, produzindo o bem l. Todas elas possuem a mesma função custo em termos do numerário c(q j ) = θ +βq j +γqj 2, em que q j é a produção do bem l pela empresa j e θ, β, γ > 0. Pergunta-se: (a) (0,5) Qual é a demanda agregada do bem l? (b) (0,5) Qual é a oferta agregada do bem l? (c) (1,0) Represente graficamente e algebricamente o equilíbrio no mercado do bem l. GABARITO: (a) A Demanda individual do camarada é x * i = α 1, se p < α, e zero caso p contrário. A Demanda de mercado é a soma destas demandas individuais: X(p) = i x * i = I ( α p 1) (b) O Custo Marginal da firma j é dado por CMg j = β + 2 γq j, o que ao substituir p no lugar de CMg j e reorganizando, leva a: 3

4 q j (p) = p β, se p > β 2γ 0, caso contrário. A oferta de mercado é dada pela multiplicação da oferta individual pelo número de empresas, ou seja: Q(p) = j q j = J ( p β 2γ ) (c) Igualar as duas, encontrar a quantidade e dividir por J e por I 3. EXTERNALIDADES: (3,0) Existem duas usinas de eletricidade a carvão em Winterfell, uma de Ramsay Bolton e outra de Jon Stark. As duas usinas queimam carvão e geram eletricidade e, portanto, produzem fumaça como subproduto. A usina de Ramsay Bolton pode reduzir sua fumaça, mas a um custo de: c B (x B ) = 5x 2 B Em que x B representa o número de unidades de fumaça eliminadas por Bolton. A planta de Jon Snow é um pouco menos eficiente, e seu custo total para reduzir a poluição em x S unidades é dado por: c S (x S ) = 7x 2 S + 10x S O governo de Winterfell contratou uma equipe de ambientalistas que calcularam o benefício total da redução de fumaça na cidade, dado por 100(x B + x S ). Pergunta-se: (a) (1,0) Calcule o nível socialmente ótimo de redução de poluentes em cada uma das usinas (b) (1,0) O governo de Winterfell decidiu colocar um imposto sobre a produção de eletricidade. Supondo que uma unidade de eletricidade gere uma unidade de poluição, qual seria o imposto necessário para alcançar os valores de redução de poluição calculados no item anterior? Mostre o problema de otimização da firma (c) (0,5) Suponha que, ao invés de impostos, o governo de Winterfell tente regular as quantidades. Como é complicado escrever uma lei para cada empresa, ele simplesmente declara 4

5 que as duas usinas devem reduzir a fumaça em uma unidade. Mostre que isso não é eficiente tanto matematicamente quanto intuitivamente. (d) (0,5) Suponha que Tyrion Lannister foi eleito como Prefeito de Winterfell. Ele declara que as duas usinas tem que reduzir, NO TOTAL a poluição em cinco unidades. E, além disso, ele declara que as empresas poderão negociar títulos que dão a elas, por unidade, direito a não reduzir a poluição em uma unidade. Como Tyrion não é muito fã dos Stark, ele dá à usina de Ramsay Bolton 5 títulos e zero títulos. Ou seja, espera-se que Jon reduza a poluição em 5 unidades e Ramsay não precisaria reduzir nada. Haverá negociação entre as partes? Explique em detalhes GABARITO: (a) O ótimo social acontece quando o custo marginal social é igual ao benefício marginal social: 10x B = 100 x B = 10 14x S + 10 = 100 x S = (b) Cada firma, i = B, S escolhe o x i para maximizar T x i c i (x i ), o que dá uma CPO do tipo c (x i ) = T. Se T = 100, leva pro item (a). (c) Intuitivamente, isso é ineficiente porque o custo marginal de se reduzir a poluição é diferente entre as usinas. Elas deveriam reduzir em níveis diferentes. Matematicamente, o custo de se abater a poluição na usina de Jon Snow é c (1) = = 24. Na usina de Bolton, por outro lado o Custo Marginal é c B = 10. Ou seja, se Bolton reduzisse um pouco mais a poluição e Snow um pouco menos, mantendo a poluição total inalterada, seria mais econômico. (d) O Custo Marginal de se reduzir poluição na usina de Snow quando ele tem nenhum dos títulos e não polui nada é x S = 10, enquanto o Custo Marginal de se reduzir poluição na usina de Bolton com ele poluindo 5 unidades é 50. Se Bolton vender um título a qualquer preço maior que 10, os dois ficam melhores. 4. CUSTOS E PRODUÇÃO: (2,0) Considere a função de produção q = f(z 1, z 2 ) = Os dois preços de insumos são w 1 e w 2. Pergunta-se (a) (0,5) Desenhe a isoquanta correspondente ao nível de produção q = 10. min{2z 1, z 1 + z 2 }. 5

6 (b) (1,0) Obtenha a função custo c(q, w) associada a esta tecnologia. (c) (0,5) Mostre que c(w, q) é uma função côncava de w 1 GABARITO: (a) Note que, quando z 1 < z 2, min{2z 1, z 1 + z 2 } = 2z 1. Ou seja, a isoquanta correspondente a q = 10 é uma linha vertical com z 1 = 50. Agora, com z 1 > z 2, temos que min{2z 1, z 1 + z 2 } = z 1 + z 2, o que significa que a isoquanta correspondente a q = 10 é a linha de inclinação 1 que liga os pontos (50,50) e (100,0) (b) Quando w 1 < w 2, a combinação de mínimo custo é o canto da isoquanta quando z 2 = 0. Neste caso, z 1 = q 2 e c(w, q) = w 1 q 2. Caso w 1 > w 2, é ótimo escolher z 1 + z 2 = q2 2, o que implica c(w, q) = (w 1+w 2 )q 2 2. (c) Substituir os valores nos casos anteriores e desenhar. 5. INCERTEZA: (2,0) Um indivíduo com comportamento em situações de incerteza expresso pela maximização da utilidade esperada possui a seguinte função utilidade pelo dinheiro: Pergunta-se: u(x) = xγ γ, γ < 1 (a) (0,5) Este indivíduo possui aversão relativa ao risco constante, crescente ou decrescente? (b) (0,5) Este indivíduo possui aversão absoluta ao risco constante, crescente ou decrescente? (c) (1,0) Este indivíduo possui riqueza W e possui um produto que possui probabilidade p de quebrar e que, se quebrar, sua perda de riqueza será L. Com probabilidade 1 p ele não vai quebrar e não incorrerá em perda. O custo de uma garantia do produto é C e pagará L se o produto quebrar. Suponha que o custo da garantia excede a perda esperada pl. Escreva uma equação para o nível de riqueza que o deixa indiferente entre comprar a garantia ou não. GABARITO: (a e b) Temos que u = x γ 1 e u = (γ 1)x γ 2. Podemos escrever o coeficiente de aversão absoluta ao risco como λ = u u (γ 1)xγ 2 = = γ 1 x γ 1 x μ = x u u = (γ 1) 6

7 Podemos dizer que o indivíduo tem aversão absoluta decrescente ao risco e aversão relativa constante ao risco. (c) Reorganizando, W * vai ser tal que p(w * L) γ + (1 p)(w * ) γ = (W * C) γ 7