Lista 1 de MicroeconomiaI

Transcrição

1 Lista 1 de MicroeconomiaI Edson Daniel e Arthur Mendes Março, 2013 Atenção: Exercícios com * devem ser entregues na monitoria de quinta (14/03). 1 Preferências 1) Responda verdadeiro ou falso e JUSTIFIQUE. 1. A monotonicidade das preferências dos consumidores exige que, dadas duas cestas (x 0, y 0 ) e (x 1, y 1 ), com x 0 x 1 e y 0 > y 1, então (x 1, y 1 ) > (x 0, y 0 ) em que > denota a preferência estrita. 2. Se excluirmos os bens classificados como males, as curvas de indiferença terão inclinação negativa. 3. Monotonicidade e preferências não-convexas definem preferências bem-comportadas. 4. Se o consumidor apresenta preferências não-convexas, dadas duas cestas A e B com quantidades diferentes dos mesmos bens x e y, ele prefere uma cesta que contenha média ponderada das quantidades contidas nas cestas A e B a qualquer uma das cestas A ou B. 5. Uma lanchonete oferece quatro tipos de sucos: laranja, melão, manga e uva. Um consumidor considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de melão, suco de laranja pelo menos tão bom quanto de manga, suco de melão pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de uva pelo menos tão bom quanto de manga. Esse consumidor também considera suco de uva pelo menos tão bom quanto de laranja e suco de melão pelo menos tão bom quanto o de manga. Tal consumidor apresenta preferências completas e transitivas. 1

2 Questões 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5 do J. Reny. 2 Teoria do Consumidor 1) Considere uma função de utilidade u(x 1, x 2 ) diferenciável qualquer. Seja v(u) uma transformação monotonica de u. Resolva: a) max u(x 1, x 2 ) s.t.p 1 x 1 + p 2 x 2 = m b) max v (u(x 1, x 2 )) s.t.p 1 x 1 + p 2 x 2 = m c) Discuta a relação entre os dois problemas. Qual característica da função de utilidade gerou este resultado? 2*) Considere o problema: max x,y x α y s.t.x + py 10 x 0, y 0 a) Mostre formalmente que a função de utilidade é fracamente monótona e que representa preferências estritamente convexas para α > 0. Você pode utilizar as idéias do problema 1 para simplificar o problema. b) Ache as funções de demanda marshaliana, hickisiana e de utilidade indireta. 3*) Resolva o seguinte problema: max x,y lnx + y s.t.2x + y 10 x 0, y 0 4) Uma maneira de conferir que as restrições de não negatividade não são ativas é olhar 2

3 para a taxa marginal de substituição quando os fatores chegam arbitrariamente perto de zero. Suponha uma função f(x 1, x 2 ). A T MS 12 (x 1, x 2 ) é a quantidade de x 1 necessária para manter a função f constante enquanto x 2 varia uma pequena quantidade. T MS 12 (x 1, x 2 ) lê-se como a taxa marginal de substituição do bem 1 pelo bem 2 no ponto (x 1, x 2 ). Formalmente: T MS 12 (x 1, x 2 ) = dx 1 dx 2 (x1,x 2 )= f(x 1,x 2 ) x 2 f(x 1,x 2 ) x 1 a)considere f(x 1, x 2 ) xy. Partindo de um ponto onde x, y > 0, o que acontece com a T MS x y quando y diminui e aproxima zero? O que acontece com lim x 0 MRS xy? b)considere a função x + y. Quem é lim y 0 MRS xy? Quem é lim x 0 MRS xy? c)considere a função lnx + y. Quem é lim y 0 MRS xy? Quem é lim x 0 MRS xy? 5*)Derivando o Teorema do Envelope: Considere o problema M(α, β) = max x f(x, α, β) sujeito a g(x, α, β) = 0. Mostre que: dm(α, β) dα = f(x, α, β) dα + λ g(x, α, β) α 6) Para cada função, derive as demandas marshalianas e hickisianas e as funções de dispêndio e utilidade indireta. a)u(x 1, x 2 ) = max(x 1, x 2 ) b)u(x 1, x 2 ) = min(x 1, x 2 ) c)u(x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2 d)u(x 1, x 2 ) = x x e)u(x 1, x 2 ) = 1 2 lnx lnx 2 7) Um bêbado consume gin ou tônica. Para ele quanto mais melhor mas reivindica a seguinte proporção em seus drinks: o quadrado da quantidade de limão em uma dose seja igual a soma dos quadrados das quantidades de gin e tônica. Ache uma função de utilidade que represente as preferências do bêbado. Ache a demanda marshaliana por limão, tônica e gin. 3

4 8*) Considere um consumidor com a função de utilidade u(x 1, x 2 ) = e (x 1+lnx 2 ) Quais propriedades sobre função de utilidade podem facilitar esse problema? 2. Qual restrição de não negatividade vai ser ativa para quantidades baixas de renda? 3. Derive a demanda marchaliana e a função de utilidade indireta. 4. Derive a função de dispêndio 9 )Considere a seguinte função de utilidade indireta: v(p 1, p 2, m) = 1. Quais são as funções de demanda? m p 1 +p 2 2. Qual é a função dispêndio 3. Qual é a função utilidade? 10)Considere a função de utilidade: u(x 1, x 2 ) = min(2x 1 + x 2, x 1 + 2x 2 ) 1. Desenhe as curvas de indiferença para u = 20. Qual a área u 20? 2. Para quais valores de P 1 P 2 o ótimo será x 1 = 0? 3. Para quais valores de P 1 P 2 o ótimo será x 2 = 0? 4. Se x 1 e x 2 são maiores do que zero, e o ótimo é único, qual deve ser o valor de x 1 x 2? 11)Assuma que existe um consumidor com preferencias fracamente monótonas e convexas e que maximiza sua utilidade. Para cada par de cestas, especifique se a cesta 1 é, ou em relação a cesta 2. 4

5 1. Suponha que você tem os dados: 1. Cesta1: x 1 = 3, x 2 = 3, Cesta2: x 1 = 6, x 2 = Cesta1: x 1 = 3, x 2 = 3, Cesta2: x 1 = 2.5, x 2 = Suponha que você observa que quando p 1 = 1, p 2 = 1 e m = 10 o consumidor escolhe x 1 = 2 e x 2 = 8 1. Cesta1: x 1 = 4, x 2 = 1, Cesta2: x 1 = 3, x 2 = 6 2. Cesta1: x 1 = 6, x 2 = 4, Cesta2: x 1 = 3, x 2 = 8 1. Suponha que você tem duas observações. Quando p 1 = 1, p 2 = 1 e m = 10 o consumidor escolhe x 1 = 2 e x 2 = 8. Quando p 1 = 1, p 2 = 3 e m = 15 o consumidor escolhe x 1 = 15 e x 2 = 0 1. Cesta1: x 1 = 5, x 2 = 2, Cesta2: x 1 = 0, x 2 = Cesta1: x 1 = 5, x 2 = 2, Cesta2: x 1 = 6.5, x 2 = 0 5