Teoria do Consumidor: Preferências e Utilidade

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1 Teoria do Consumidor: Preferências e Utilidade Roberto Guena de Oliveira 13 de março de 2011 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

2 Sumário 1 Função de utilidade 2 Hipóteses sobre preferências e função de utilidade 3 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

3 Função de utilidade Função de Utilidade Definição: Uma função U:X R é chamadade função de utilidadecaso, para quaisquer x,y X, x y U(x) U(y). Uma função de utilidade simplesmente atribui números reais a todas as cestas de bens do conjuntode consumo de tal sorte que cestas de bens mais preferidas recebam números mais elevados. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

4 Função de utilidade Condição suficiente para a existência de uma função de utilidade Caso as preferências de um consumidor sejam completas, transitivas e contínuas, então, elas podem ser representadas por uma função de utilidade contínua. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

5 Função de utilidade Exemplo: construindo uma função de utilidade x 1 x 3 x 2 x 0 C x 2 C x 3 C x 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

8 Função de utilidade Exemplo: construindo uma função de utilidade x 1 x 3 l 1 x 2 x 0 C x 2 C x 3 C x 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

9 Função de utilidade Exemplo: construindo uma função de utilidade U(x 2 )=l 1 x 1 x 3 l 1 x 2 x 0 C x 2 C x 3 C x 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

10 Função de utilidade Exemplo: construindo uma função de utilidade U(x 2 )=l 1 x 1 x 3 x 2 l 1 l 2 x 0 C x 2 C x 3 C x 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

11 Função de utilidade Exemplo: construindo uma função de utilidade U(x 2 )=l 1 x 1 x 3 U(x 0 )=U(x 1 )=l 2 x 2 l 1 l 2 x 0 C x 2 C x 3 C x 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

12 Função de utilidade Exemplo: construindo uma função de utilidade U(x 2 )=l 1 x 1 x 3 U(x 0 )=U(x 1 )=l 2 x 2 l 1 l 2 l 3 x 0 C x 2 C x 3 C x 0 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

13 Função de utilidade Exemplo: construindo uma função de utilidade U(x 2 )=l 1 x 1 x 3 U(x 0 )=U(x 1 )=l 2 x 2 l 1 l 2 l 3 x 0 C x 2 C x 3 C x 0 U(x 3 )=l 3 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

14 Utilidade Ordinal Função de utilidade Do modo como definimosafunção de utilidade,esta tem por função ordenar as cestas de bens, atribuindo números maiores paras as cestas mais desejadas, não importando o valor absoluto desses números. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

15 Função de utilidade Utilidade Ordinal Do modo como definimosafunção de utilidade,esta tem por função ordenar as cestas de bens, atribuindo números maiores paras as cestas mais desejadas, não importando o valor absoluto desses números. Por exemplo, no slide anterior a função de utilidade poderia ser a raiz quadradada distância entre a origem e a curva de indiferença, pois a ordenação das cestas seria mantida. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

16 Função de utilidade Utilidade Ordinal Do modo como definimosafunção de utilidade,esta tem por função ordenar as cestas de bens, atribuindo números maiores paras as cestas mais desejadas, não importando o valor absoluto desses números. Por exemplo, no slide anterior a função de utilidade poderia ser a raiz quadradada distância entre a origem e a curva de indiferença, pois a ordenação das cestas seria mantida. Também poderia ser considerada como função de utilidade o quadrado dessa distância. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

17 Função de utilidade Utilidade Ordinal Do modo como definimosafunção de utilidade,esta tem por função ordenar as cestas de bens, atribuindo números maiores paras as cestas mais desejadas, não importando o valor absoluto desses números. Por exemplo, no slide anterior a função de utilidade poderia ser a raiz quadradada distância entre a origem e a curva de indiferença, pois a ordenação das cestas seria mantida. Também poderia ser considerada como função de utilidade o quadrado dessa distância. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

18 Função de utilidade Transformações Monotônicas Sejam U(x) uma função de utilidade que represente adequadamente as preferências de um consumidor e ƒ, uma função estritamente crescente definida na imagem de U(x), então a função V(x) definida para todo x X como V(x)=ƒ(U(x)) também é uma boa representação das características ordinais das preferências do mesmo consumidor. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

19 Função de utilidade Transformações Monotônicas Sejam U(x) uma função de utilidade que represente adequadamente as preferências de um consumidor e ƒ, uma função estritamente crescente definida na imagem de U(x), então a função V(x) definida para todo x X como V(x)=ƒ(U(x)) também é uma boa representação das características ordinais das preferências do mesmo consumidor. A função V(x) definida acima é chamadade transformação monotônica da função U(x). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

20 Função de utilidade Transformações Monotônicas Sejam U(x) uma função de utilidade que represente adequadamente as preferências de um consumidor e ƒ, uma função estritamente crescente definida na imagem de U(x), então a função V(x) definida para todo x X como V(x)=ƒ(U(x)) também é uma boa representação das características ordinais das preferências do mesmo consumidor. A função V(x) definida acima é chamadade transformação monotônica da função U(x). Duas funções de utilidade quaisquer representam as características ordinais das mesmas preferências se, e somente se, uma é uma transformação monotônica da outra. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

21 Utilidade Cardinal Função de utilidade Caso, ao contrário do que dissemos até aqui, seja dado um significado ao valor que a função de utilidade associa a cada cesta de bens, dizemos que a função de utilidade é cardinal, ou que os aspectos cardinais da função de utilidade são relevantes. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

22 Função de utilidade Utilidade Cardinal Caso, ao contrário do que dissemos até aqui, seja dado um significado ao valor que a função de utilidade associa a cada cesta de bens, dizemos que a função de utilidade é cardinal, ou que os aspectos cardinais da função de utilidade são relevantes. Os primeiros economistas neoclássicos trabalhavam com a hipótese de utilidade cardinal. Porém, hoje se sabe que toda a teoria microeconômica positiva e grande parte da microeconomia normativa dependem apenas dos aspectos ordinais da função de utilidade. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

23 Utilidade Marginal Função de utilidade Definição A utilidademarginal do bem, UMg, é definida por UMg (x)= U(x) Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

24 Função de utilidade Taxa Marginal de Substituição: definição equivalente Considere a função j (,x ) (x =( 1,...,,...,,..., )) definida por j n U( 1,...,,..., j (,x ),..., n )=U(x ) A taxa marginal de substituiçãono ponto x, em unidadesdo bem j por unidadedo bem, é definida por TMS j (x )= j(,x ). Diferenciando em relação a a definição de j (,x ) e calculandoigualdadeem x vem U(x ) + j(,x ) U(x ) j =0 TMS= UMg (x ) UMg j (x ) Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

25 Exercício Função de utilidade Encontre a expressão da a taxa marginal de substituição para as seguintes funções de utilidade: 1 U(, )= 2 U(, )= + 3 U(, )=ln +. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

26 Hipóteses sobre preferências e função de utilidade Monotonicidade e função de utilidade 1 Monotonicidade Fraca: Se comparada a y, x contém quantidades maiores de todos os bens, então U(x) > U(y). 2 Monotonicidade Forte: Se, quando comparada a y, x possui pelo menos as mesmas quantidades de todos os bens e uma quantidademaior de, pelo menos, um bem, então U(x)>U(y). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

27 Hipóteses sobre preferências e função de utilidade Exercício Expresse as hipóteses de não saciedade local, de convexidade e de convexidade estrita em termos da função de utilidade, supondo que esta exista. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

28 Substitutos Perfeitos Características: TMS constante. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

29 Substitutos Perfeitos Características: TMS constante. Com escolha certa de unidades de medida, TMS= 1. Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

30 Substitutos Perfeitos Características: TMS constante. Com escolha certa de unidades de medida, TMS= 1. Função de utilidade U(, )= + TMS= 1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

31 Complementos Perfeitos Características: α Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

32 Complementos Perfeitos Características: Uma unidade adicional de só tem utilidade quando combinada com α unidadesde. α Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

33 Complementos Perfeitos Características: Uma unidade adicional de só tem utilidade quando combinada com 1 α unidadesde. α Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

34 Complementos Perfeitos Características: Uma unidade adicional de só tem utilidade quando combinada com 1 α unidadesde. Com escolha certa de unidades de medida, α=1. Função de utilidade: α U(, )=min{α, } Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

35 Complementos Perfeitos Características: Uma unidade adicional de só tem utilidade quando combinada com 1 α unidadesde. Com escolha certa de unidades de medida, α=1. Função de utilidade: α U(, )=min{α, } Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

36 Complementos Perfeitos α TMS=0 TMS=0 TMS=0 Características: Uma unidade adicional de só tem utilidade quando combinada com 1 α unidadesde. Com escolha certa de unidades de medida, α=1. Função de utilidade: U(, )=min{α, } Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

37 Complementos Perfeitos Características: TMS indefinida α TMS indefinida TMS indefinida TMS=0 TMS=0 TMS=0 Uma unidade adicional de só tem utilidade quando combinada com 1 α unidadesde. Com escolha certa de unidades de medida, α=1. Função de utilidade: U(, )=min{α, } Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

38 Neutros é um neutro Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

39 Neutros é um neutro Função de utilidade U(, )= Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

40 Preferências quase lineares Características TMS depende exclusivamentede. Função de utilidade: U(, )= ( )+ TMS= ( ) Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

48 Preferências Homotéticas Características: TMS depende apenas de /. Sempre podem ser representadas por uma função de utilidade homogênea de grau 1 ou por uma transformação monotônica de tal função (funções homotéticas). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

49 Preferências Homotéticas Características: TMS depende apenas de /. Sempre podem ser representadas por uma função de utilidade homogênea de grau 1 ou por uma transformação monotônica de tal função (funções homotéticas). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

50 Preferências Homotéticas =1 Características: TMS depende apenas de /. Sempre podem ser representadas por uma função de utilidade homogênea de grau 1 ou por uma transformação monotônica de tal função (funções homotéticas). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

51 Preferências Homotéticas =1 Características: TMS depende apenas de /. Sempre podem ser representadas por uma função de utilidade homogênea de grau 1 ou por uma transformação monotônica de tal função (funções homotéticas). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

52 Preferências Homotéticas = 1 2 Características: TMS depende apenas de /. Sempre podem ser representadas por uma função de utilidade homogênea de grau 1 ou por uma transformação monotônica de tal função (funções homotéticas). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

53 Preferências Homotéticas = 1 2 Características: TMS depende apenas de /. Sempre podem ser representadas por uma função de utilidade homogênea de grau 1 ou por uma transformação monotônica de tal função (funções homotéticas). Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

54 Exercícios 1 Mostre que, caso a função de utilidade seja homogênea de grau 1, a taxa marginal de substituição depende exclusivamente das razões entre as quantidades consumidas dos bens. 2 Sejam U(, ) uma função de utilidade, ƒ( ) uma função monotonicamente crescente definida na imagem de U e V(, )=ƒ(u(, )). Mostre que a taxa marginal de substituição obtida a partir de V é a mesma qua obtida a partir de U, isto é, mostre que U( 1, ) U( 1, ) = V(, ) V(, ) Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

55 Exemplo: preferências Cobb-Douglas U(, )= α 1 1 α, 0<α<1 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

56 Exemplo: preferências Cobb-Douglas U(, )= α 1 1 α, 0<α<1 2 TMS=α Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

57 Exemplo: preferências Cobb-Douglas Variações U(, )= α 1 1 α, 0<α<1 2 TMS=α U(, )=A α 1 β 2, A,α,β>0 U(, )=αlog +(1 α)log ; 0<α<1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

58 Curvas de indiferença para preferências Cobb-Douglas =1 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

59 Exemplo: função de utilidade CES U(, )= α ρ 1 +(1 α) ρ 2/ρ, 0<α<1 TMS= α 1 α 1 1 ρ Outra formulação U(, )= α (σ 1)/σ 1 +(1 α) (σ 1)/σ σ/(σ 1) 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

60 Exercício Mostre que, quando ρ tendeazero, a função de utilidade CES tende a uma função de utilidade Cobb-Douglas com a forma U(, )= α α 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

61 Curva de indiferença para uma função de utilidade CES para diferentes valores de ρ 2 ρ=1 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

62 Curva de indiferença para uma função de utilidade CES para diferentes valores de ρ 2 ρ= 1 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

63 Curva de indiferença para uma função de utilidade CES para diferentes valores de ρ ρ=0 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

64 Curva de indiferença para uma função de utilidade CES para diferentes valores de ρ 2 ρ= 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

65 Curva de indiferença para uma função de utilidade CES para diferentes valores de ρ ρ= 2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23

66 Curva de indiferença para uma função de utilidade CES para diferentes valores de ρ 2 ρ=2 Roberto Guena de Oliveira ( ) Preferências 13 de março de / 23