Teoria da Implementação

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1 Teoria da Implementação Voting games: DES e IDE 1 Voting Games Decisões coletivas não mercado que devem ser selecionadas, via sistemas de votação, em um ambiente de conflito de opiniões em um conjunto de agentes. Decisões de alocações publicas via voto: impostos, gastos públicos, cargos públicos, etc. Problema de decisão coletiva: vários eleitores (agentes individuais) devem escolher um resultado particular entre várias possibilidades (os candidatos ) sobre os quais eles têm conflitos de opinião. (Regra de votação) 2 Sabino Porto Junior /3 1

2 Eleição de um candidato por um procedimento de votação é um Jogo não cooperativo: Jogadores: Eleitores Estratégias dos eleitores: candidatos Resultado escolhido: vencedor da eleição. Não é permitida comunicação entre jogadores Moulin (1981). Procedimento: regra da maioria. 3 MODELO COM INFORMAÇÃO INCONPLETA Notação C = conjunto de candidatos E = conjunto de n-eleitores Regra: o candidato com maior numero de votos vence a eleição Jogo na forma estratégica: 4 Sabino Porto Junior /3 2

3 Suposições: Jogador 1 não vota Cada jogador ordena de forma crescente os candidatos (exclui-se indiferença) u i em C. Estratégias dos jogadores: X =... = X = C 2 X ( C) 1 c (2 ) n x = ( x1,..., xn) v( x) = x1( S( x) ) S( x) = conjunto de candidatos empatados no primeiro lugar 5 Onde: X 1 = é o conjunto de aplicações que associa um elemento x1 de X para cada parte X de C (há 2c partes); x= vetor de estratégia (jogador 1 voto Minerva) v(x) = candidato eleito 6 Sabino Porto Junior /3 3

4 Forma estratégica do jogo: X,..., X ; u o v,..., u o v) ( 1 n 1 i o v = i u v[ u ( )] n Proposição: Se há no mínimo 3 eleitores, então, toda estratégia é uma estratégia de segurança. Esse resultado mostra que para cada jogador i, obtém-se: xi X i, min { ui o v( xi, x i )} = minu i ( c) x i X i c C A noção de Security strategy: não permite, nesse procedimento, discriminar entre os candidatos. Então vamos considerar a nocao de Segurança forte: nesse caso, mostra-se, que o procedimento não permite aos jogadores escolher um candidato. 7 Imagine um jogador i ( 1) que obtém o maior valor para função ganho em u i (s -i ). Proposição: se ele joga uma estratégia de segurança forte, então, ele joga, necessariamente para o candidato melhor do seu ponto de vista. Isso ocorre porque, ao votar em seu único candidato preferido, jogador i maximiza o vetor z(x i ) pelo ordenamento lexicográfico. Proposição: estratégia ótima em jogos eleitorais onde cada jogador ignora as opiniões dos demais jogadores: vote para o seu próprio candidato favorito é uma estratégia de segurança forte. 8 Sabino Porto Junior /3 4

5 Modelo com informação completa Cada eleitor pode obter informação sobre os demais participantes C= 3 candidatos E = 3 eleitores Jogador 1 tem o voto de Minerva Estratégias: X 1 =X 2 =X 3 =C Voto: (x 1, x 2, x 3 ) Resultado: v(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 se x 2 =x 3 (dois votos para x 2 ) = x 1 se x 2 x 3 ( cada candidato obtém um voto e o jogador 1 usa o voto de Minerva para o seu candidato 9 preferido) Ordenamento particular das preferências dos eleitores: Nesse caso a escolha coletiva com base na regra da maioria não é uma relação binária transitiva: Paradoxo eleitoral ou de Condorcet. Mostra-se que existe um EDI. u ( c ) > u ( c ) > 3 u ( c ) > 2 u1 ( c2 ) > u1 ( c3 ) u2( c1 ) > u2( c2 ) u ( c ) > u ( c ) I II III 1o C1 C3 C2 2o C2 C1 C3 3o C3 C2 C1 10 Sabino Porto Junior /3 5

6 Dominância iterada: Jogador 1: c 1 é dominante (qualquer que seja a jogada dos demais, votar em c1 gera um resultado para o 1 que não pode ser melhorado). Jogador 2: c 2 é dominada por c 1 e c 3. Porém, c 1 não é dominada. (c 1 >c 2 ). Jogador 3: c 1 é dominada. 11 Eliminação de estratégias I: Para 1: c 2 e c 3 são descartadas; Para 2: c 2 é descartada; Para 3: c 1 é descartada. Eliminação II: c 3 é dominante para 2 e 3. Raciocínio do jogador 3: 1 jogará c1 e 2 não jogará c 2, portanto, c 2 não tem chance de ser eleito. Porém, se 3 votar em c 2, ele corre o risco de eleger c 1 no caso de dois votar em c 3. Já se ele votar em c 3, então, ele tem uma chance de eleger seu segundo melhor. 12 Sabino Porto Junior /3 6

7 Jogador 2: espera que 1 jogue c1 e que 3 não jogará c 1, portanto, se ele votar em c 3, este tem condições de ser eleito graças ao voto de 3. Portanto, a EIED leva à eleição de c 3 com dois votos. Observações: o eleito é o pior candidato do ponto de vista do 1 (presidente). Proposição: num procedimento com maioria simples e com paradoxo de Condorcet e informação completa o comportamento racional descentralizado leva à eleição do pior candidato para o jogador com o voto Minerva. ( o privilegio vira-se contra o seu possuidor) Proposição: se o jogo fosse de informação incompleta o candidato favorito do presidente seria eleito. Pois todos votariam, devido a estratégia de segurança, no seu melhor candidato e o voto de Minerva faria a diferença. 13 Método Score Borda, 1781: leva a resultados diferentes. Regra de Borda: método de votação Jean Charles de Borda ( ) Método: cada votante ordena todos os candidatos em ordem de preferência. Para cada votante o pior resultado obtém 0 pontos, o segundo pior candidato obtém 1 ponto, etc. O número de pontos ganhos por cada candidato é igual à soma de seus pontos entre os votantes. O candidato com maior número de pontos é eleito. Cada jogador pode declarar qualquer ordem entre candidatos. 14 Sabino Porto Junior /3 7

8 Regra de Borda Cada ordenação de candidatos é uma estratégia Função de resultados indica o escolhido. Ex. N = {1, 2}; X = {x, y, z, w} ρj= é o conjunto de todas as ordenações possíveis de preferências sobre o conjunto X f(.) = é o candidato que possui a maior soma de pontos. Preferências Verdadeiras: 15 Rj = >j = verdadeira preferência do jogador j. R1 R2 3 x y 2 y w 1 z x 0 w z Candidato y: detém o maior número de pontos segundo as preferência verdadeiras. Contudo, jogador 1 pode declarar R 1: R 1 3 x 2 z 1 w 0 y 16 Sabino Porto Junior /3 8

9 Agora: f(r 1, R2) = x = o candidato favorito do jogador 1. Portanto, a regra de Borda é manipulável pelo agente 1. No jogo induzido com preferências verdadeiras R, declarar R1 não é a ação mais favorável para o jogador 1 quando o jogador 2 joga R2. Nesse caso é melhor para o jogador 1 jogar R 1 em vez de R1. Portanto, no jogo induzido, declarar as verdadeiras preferências não é uma estratégia dominante para o jogador 1 Portanto, dizemos que uma regra de escolha social é manipulável se existe um perfil de preferências R, tal que no jogo induzido com verdadeiras preferências R, declarar as verdadeiras preferências não é uma estratégia dominante para algum agente. 17 Se um esquema de votação é não manipulável então, para toda preferência R, declarar a preferência Rj é uma estratégia dominante para cada jogador j no jogo induzido com verdadeiras preferências dadas por (R1,..., Rn). Mecanismos não manipuláveis: todo agente tem sempre como estratégia dominante declarar suas verdadeiras preferências. Regra ditatorial: regra social não manipulável Regra ditatorial: se sempre escolhe o melhor resultado para um agente pré-fixado (o ditador) entre todos os resultados possíveis. 18 Sabino Porto Junior /3 9

10 Forma de jogo ditatorial: se existe um indivíduo j tal que, para todo resultado x existe uma estratégia Sj(x) para j tal que se j escolhe Sj(x) então o resultado será x, não importando o que os outros escolham. Proposição: toda regra de escolha ditatorial induz uma forma de jogo ditatorial. 19 Toda regra de escolha social não ditatorial com no mínimo 3 resultados é manipulável. Logo pode ser vantajoso para algumas pessoas obter informações sobre as preferências dos outros membros da sociedade e agir estrategicamente com base em tal informação. 20 Sabino Porto Junior /3 10

11 Implementação e tomada de decisão pública No jogo eleitoral: formulava-se um jogo para captar uma realidade econômica e analisava-se as propriedades do resultado de equilíbrio. Agora: fixa-se um conjunto de resultados satisfazendo algumas propriedades desejáveis e busca-se um jogo que gera aqueles resultados. 21 Teoria da implementação e bemestar econômico. Planejador desenvolve critérios para o Bemestar social, mas não pode fazer cumprir (enforce) a alocação desejável porque ele não dispõe de informações sobre vários parâmetros da situação. Questão nova: como implementar o critério escolhido de bem-estar? Afinal eficiência não é necessária para a otimalidade social. 22 Sabino Porto Junior /3 11

12 Moderna teoria da escolha social e teorias da Justiça: Objetivo: justificar alguma forma funcional particular da função de bem-estar social. Estrutura da teoria da implementação: Objetivo social: dado Problema básico: desenhar jogos cujo o equilíbrio tenha a propriedade desejada pelo objetivo social. Implementar objetivos sociais Ou problema de compatibilidade de incentivos (Hurwicz, 1972). 23 Outras aplicações: Jogos de informação assimétrica: 1. Provisão de bens públicos 2. Design Auctions 3. Discriminação de preços de monopólio 4. Taxação ótima 24 Sabino Porto Junior /3 12

13 DESENHO DE MECANISMO X= Conjunto de alocações viáveis na economia N= conjunto, finito, de indivíduos Cada agente i possui uma característica privada e i E i As preferências dos agentes sobre X são u i - ordinal. m i = mensagem enviada pelo agente i para o planejador. E = conjunto de todas as características dos indivíduos. M= conjunto de mensagens 25 f= regra de escolha social = função correspondência ou função set-valued que assinala um subconjunto de X para cada vetor de característica e. E = M = i E M f : e E i i i f ( e) X 26 Sabino Porto Junior /3 13

14 Regra de escolha: Seleciona alocações verificando os objetivos sociais (eg. Alocações eficientes). Indica o que o planejador faria se dispusesse de todas as informações. Função anuncio: marca uma mensagem global m para cada vetor de característica e: m : e E m( e) M 27 G= função resultado = associa subconjunto de X com cada mensagem global. G : m M G( m) X Diagrama de Hurwicz: E f(.) x m(.) g(.) M 28 Sabino Porto Junior /3 14

15 Mecanismo: par (M, G) que indica como o planejador usa a informação enviada. Objetivo do Planejador: desenhar um mecanismo cuja a alocação de equilíbrio para cada vetor de funções utilidade seja também selecionada pela regra de escolha social. Mecanismo e vetor de utilidades induzem um jogo na forma estratégica: (M 1...M i...m n ; u 1...,u i,...u m ) 29 Jogo estratégico: Jogadores: agentes Espaço de estratégias: Mi (cada jogador pode ou não revelar a sua verdadeira estratégia) Função ganho: u i (G(m), e i ). 30 Sabino Porto Junior /3 15

16 Definição: Um mecanismo (M, G) é dito para implementar uma regra ou escolha social f, para um certo conceito de equilibrio C do jogo Game = (M1,...,Mn; u1...un) se e E, g[m*(e)] f(e) m* = é o vetor de mensagens de equilíbrio. * * * * m = ( m1,..., m i,..., m n ) 31 Suposições: O conjunto de alocações de equilíbrio é não vazio. Total implementação: todo equilíbrio tem que produzir um resultado que é aceitável de acordo com a regra de escolha social que está sendo implementada f é C-implementável nesse ambiente. Para cada agente seu conjunto de mensagens é, por suposição, igual ao seu conjunto de características: M i = E i i MECANISMO DIRETO 32 Sabino Porto Junior /3 16

17 Justificativa: A escolha social que um planejador usa para um Mecanismo tem que considerar o comportamento estratégico de todos os agentes diante da regra de escolha isso pode gerar um procedimento recursivo longo e complexo, então, é especificar um mecanismo direto simples ou one step. 33 Suposições novas: O conjunto de mensagens de cada jogador é restrito ao conjunto de preferências, isto é, ao vetor: u = (u 1 (e 1 ),...,u i (e i ),...,u m (e n )). Mecanismo direto honesto: a possibilidade de má representação estratégica das preferências pelos jogadores é descartada. Manipulação de uma regra de escolha por um jogador: o agente i pode manipular a regra de escolha social f pelo profile de preferência u U ( = todos os ordenamentos possíveis em X), se existe um profile ' u U tal que: u ( f ( u, u ) u ( f ( u)) i i i > i 34 Sabino Porto Junior /3 17

18 Portanto, o agente i tem um incentivo para manipular f mal-representando suas preferencias usando u e não u. Def: um mecanismo direto é verdadeiro se não existe preferência admissível no qual f é manipulável. Conseqüência: para cada agente toda escolha que maximiza utilidade deve depender apenas de suas próprias preferências e não de suas expectativas sobre as preferências que os agentes anunciarão. Assim, cada agente irá anunciar apenas seu verdadeiro ordenamento de preferências. 35 Definição III: Um mecanismo direto G é dito ser implementável verdadeiramente uma regra de escolha social f, para algum conceito de equilíbrio C, se: O mecanismo direto é verdadeiro e dizer a verdade é consistente com o equilíbrio do jogo. Quando todo jogador anuncia a verdadeira preferência, o resultado pertence a f(u): g(u*) f(u), assumindo-se que o conjunto de alocações de equilíbrio é não vazio. Diz-se também que, nesse ambiente, a regra de escolha f é C-implementável verdadeiramente. 36 Sabino Porto Junior /3 18

19 Implementação em EED: A noção anterior de implementação é mais fraca porque permite que algum equilíbrio do jogo possa render um resultado inconsistente com a f. Agora: noção forte de implementação porque a escolha de Estratégia dominante por um agente é ótima qualquer que seja a escolha dos outros jogadores. Contudo, é difícil implementar uma regra de escolha social em EED. Regra de escolha social ditatorial: se há um agente tal que sua alocação preferida sempre corresponde 37 ao resultado selecionado pela f. Teorema (Gibbard, 1973; Satterthwaite, 1975) Se X contém pelo menos 3 alocações, U é o conjunto de todos perfis de preferências possíveis e para toda a alocação em X existe um perfil de preferência tal que a regra de escolha social f é um valor único, então, f é verdadeiramente implementável em EED e eficiente sse ela é ditatorial. Toda regra de escolha social não ditatorial com no mínimo 3 resultados é manipulável. Teorema da impossibilidade 38 Sabino Porto Junior /3 19

20 Este resultado é um marco na teoria da implementação: requer que os agentes anunciem diretamente seus ordenamentos de preferências como inputs da regra de escolha. (esta já era uma suposição da teoria da escolha social clássica) 39 Teorema (Gibbard, 1973) Qualquer regra de escolha social implementável em EED é também verdadeiramente implementável em EED. Corolário: se uma regra de escolha social não pode ser verdadeiramente implementável, entao ela não pode ser implementável em EED. Este resultado é chamado: Princípio da REVELAÇÃO. 40 Sabino Porto Junior /3 20

21 Princípio da Revelação: Ao considerar que um resultado é implementável, nos necessitamos considerar apenas resultados que são implementáveis por mecanismos diretos. Esse principio foi descoberto de forma mais ou menos independente por: Gibbard (1973); Green e Laffont (1977); Dasgupta e Maskin (1979) e Myerson (1979). Principio da revelação para EED; Principio da revelação para Equilíbrios Bayesianos 41 Pesquisa: Identificar ambientes nos quais uma f eficiente e não ditatorial fosse verdadeiramente implementável em EED. Problema seminal: criar um mecanismo no qual todos os agentes, não importando quais sejam as suas preferências, têm um incentivo para revela-la [suas preferências] verdadeiramente ao tomador de decisão pública o resultado obtido é que o teorema da impossibilidade vigora. Saída: restringir preferências (pico único regra da maioria é verdadeira-consistente e eficiente); preferencias sobre o espaço-euclidiano de dimensão 1(mecanismo 42 Groves-Clarke- Vickrey) Sabino Porto Junior /3 21