LIÇÕES DE TEORIA DOS JOGOS

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1 LIÇÕES DE TEORIA DOS JOGOS Marilda Antônia de Oliveira Sotomayor e Maurício Soares Bugarin São Paulo, maio de 2007 Livro encaminhado ao CNPq como parte do relatório técnico do Projeto Edital Universal número / Direitos autorais reservados. Qualquer forma de reprodução é expressamente proibida. Marilda Sotomayor e Maurício Bugarin,

2 CAPÍTULO 1 O TEOREMA DE ARROW Objetivos: Apresentar e demonstrar o Teorema da Impossibilidade de Arrow. 1.1-INTRODUÇÃO Num problema típico de teoria da escolha individual, um agente seleciona uma opção em um conjunto de alternativas disponíveis. Podemos predizer que o agente racional escolherá uma alternativa mais preferida, no sentido de que lhe dá o maior ganho ou payoff, ou ainda, uma alternativa que resulta na melhor conseqüência para ele. Como veremos neste livro, num problema de teoria dos jogos existem vários indivíduos, cada um escolhendo uma ação em seu conjunto disponível de ações. As regras do jogo então determinam um payoff ou uma conseqüência para cada indivíduo, que depende das ações escolhidas por todos os agentes. Portanto, dadas as regras do jogo, ao escolher uma ação, cada indivíduo racional tentará selecionar aquela que lhe dará o maior ganho possível; porém cada um deve levar em conta que os outros estarão fazendo a mesma tentativa de obter o que eles mais preferem. Às vezes este procedimento leva a uma competição entre os participantes, em que a alternativa resultante nem sempre corresponde a uma alternativa preferida por todos os agentes. Em outras situações isto leva a uma cooperação de benefício mútuo; e em geral, a uma combinação desses dois comportamentos extremos. Em qualquer caso, as decisões tomadas por grupos de indivíduos diferem fundamentalmente das decisões tomadas por um único indivíduo. É justamente na natureza dessa diferença entre escolha individual e teoria dos jogos que se baseia a teoria de escolha social, que é introduzida neste capítulo. 2

3 1.2-FUNÇÃO DE BEM ESTAR SOCIAL Considere a seguinte situação de escolha. Um grupo de indivíduos (uma sociedade) deseja ir a um restaurante para comer uma pizza, que será repartida entre eles. Os tipos de pizza aceitáveis para qualquer indivíduo do grupo são: x, y e z. Suponhamos que ninguém sabe que tipos de pizza o restaurante escolhido oferece. Assim a sociedade precisa considerar as suas escolhas sobre todos os possíveis subconjuntos de {x, y, z}. A questão que surge naturalmente é: individuais? Como efetuar essas escolhas coletivas levando em conta as escolhas Este assunto é tratado no livro seminal de Kenneth Arrow (1951, 1963), que deu origem à teoria da escolha social. Por sua contribuição à teoria econômica, Arrow foi prêmio Nobel de Economia em 1972, juntamente com Sir John Hicks. O ponto de partida para a análise dessa questão são as preferências individuais. Assume-se que qualquer indivíduo j é caracterizado por uma relação de preferência R j (ou j ) sobre o conjunto de alternativas {x, y, z}. Isto é, R j é uma relação binária sobre {x, y, z} completa e transitiva. Assim, xr j y ou x j y significa que o indivíduo j acha a pizza x pelo menos tão boa quanto a pizza y; lê-se j prefere (fracamente) x a y. Por R j ser completa, o indivíduo j é sempre capaz de dizer se prefere 1 a a b, se prefere b a a ou se é indiferente entre os dois tipos de pizza, quaisquer que sejam as alternativas a e b no conjunto {x, y, z}. Além disso, como R j é transitiva, se j prefere a a b e b a c, então j também prefere a a c, quaisquer que sejam as alternativas a, b, c em {x, y, z}. É natural supor que cada indivíduo j faz escolhas consistentes com a relação de preferências R j : se tiver que escolher, por exemplo, entre x e y, e escolhe x então ele prefere x a y. Isto significa dizer que as escolhas individuais são racionais. Exigir que cada R j seja completa parece razoável. Quer dizer que dados dois tipos de pizza quaisquer do conjunto {x, y, z}, o indivíduo j é capaz de dizer se prefere um tipo ao outro ou se é indiferente entre ambos. No entanto, a transitividade é uma exigência forte, como sugere o exemplo a seguir. 1 Por convenção, usa-se a expressão j prefere a a b com o significado ar j b. 3

4 A partir de uma relação de preferência R j define-se uma relação de indiferença j da seguinte forma: j é indiferente entre a e b, a j b, se ar j b e br j a. 2 Se R j for transitiva, então a relação de indiferença j também será transitiva. Considere agora o conjunto de alternativas X={x 0, x 1, x 2,, x 100 }, onde x 0 é uma xícara de chá com uma colher de açúcar; x 1 é uma xícara de chá com uma colher menos 1/100 da colher de açúcar; ; x 99 é uma xícara de chá com uma colher menos 99/100 da colher de açúcar; x 100 é uma xícara de chá sem açúcar. É natural esperar que o indivíduo j seja indiferente entre x 0 e x 1 ; entre x 1 e x 2 ; ; entre x 99 e x 100. Entretanto ele dificilmente será indiferente entre x 0 e x 100 : uma xícara de chá sem açúcar e uma com uma colher de açúcar. Por outro lado, o exemplo a seguir mostra que a intransitividade, ou seja uma situação na qual as preferências não são transitivas, pode ser considerada irracional. Considere o conjunto de alternativas X={x, y, z}. Suponha que o indivíduo j prefere (estritamente) x a y, y a z, mas prefere (estritamente) z a x. Suponha que j tenha z. Como ele prefere y a z, estará disposto a pagar uma certa quantia, digamos, $0,10, para trocar z por y; novamente, como prefere x a y, estará disposto a pagar, digamos, $0,10, para trocar y por x. Finalmente, como prefere z a x, ele estará disposto a pagar uma certa quantia, seja $0,10, para trocar x por z. Assim, com uma preferência intransitiva, ele termina com a mesma alternativa que possuía, mas $0,30 mais pobre. Assumindo pois as propriedades básicas das preferências individuais (completas e transitivas), passa-se então à construção de uma relação de preferência da sociedade como um todo, que possa ser usada para solucionar o problema de decisão da sociedade: Que relação de preferências da sociedade, sobre o conjunto de alternativas, deve ser usada para representar, racionalmente, as escolhas dessa sociedade? Dada a análise feita sobre preferências individuais, procura-se uma relação binária de preferências da sociedade que seja completa e transitiva. Além disso as preferências da sociedade devem expressar, de alguma forma, as preferências 2 Analogamente, diz-se que j prefere estritamente a a b quando ar j b mas não é verdade que br j a, ou seja, j prefere a a b mas não é indiferente entre a e b. A notação usada é ap j b ou a> j b. 4

5 individuais. Uma função de bem estar social, definida a seguir, é uma regra de construção de preferências sociais a partir de preferências individuais. Definição 1.1-Função de bem-estar social. Sejam N={1,, n} um conjunto de indivíduos representando uma sociedade e X um conjunto de alternativas ou escolhas possíveis para a sociedade. Seja ainda ρ o conjunto de todas as relações de preferência completas e transitivas que podem ser definidas sobre X. Para cada j em N seja ρ j ρ o conjunto das possíveis preferências completas e transitivas do indivíduo j e seja ρ n = ρ 1 ρ 2 ρ n. Uma função de bem estar social (FBS) F é qualquer função de ρ n em ρ: F: ρ 1 ρ 2 ρ n ρ R=(R 1, R 2,, R n ) a R S =F(R)=F(R 1, R 2,, R n ) Assim, uma FBS agrega n preferências individuais completas e transitivas (um perfil de preferências) numa única preferência completa e transitiva: a preferência social. Observe que, apesar de uma FBS ser completa e transitiva, sua definição não inclui nenhum tipo de propriedade que garanta uma certa compatibilidade com as preferências individuais. Destarte, o problema de decisão da sociedade pode ser reformulado a seguinte forma: Que FBS escolher? Arrow (1951) analisou esse problema primeiro considerando que FBS não escolher, conforme ilustrado nos exemplos clássicos a seguir. Exemplo 1.1-A regra da maioria de Condorcet. A regra da maioria de Condorcet diz que uma alternativa x é pelo menos tão boa quanto uma alternativa y (xr S y) se o número de indivíduos na sociedade que preferem x a y é maior ou igual ao número de indivíduos que preferem y a x. Esta regra não 5

6 corresponde a uma FBS uma vez que a preferência social R S não é transitiva. De fato, considere uma sociedade com três indivíduos A, B, e C, e suponha que existem três alternativas X={x, y, z}. As preferências dos indivíduos encontram-se descritas nas colunas a seguir, nas quais uma alternativa que se encontra mais ao alto é estritamente preferida à alternativa que se encontra mais abaixo; assim, por exemplo, xp A yp A z em que P A é a relação de preferências estritas associada a R A.. A B C x y z y z x z x y É fácil verificar que, segundo a regra da maioria, xp S yp S z mas zp S x. Assim, a regra da maioria de Condorcet pode selecionar uma relação de preferências sociais nãotransitiva, não sendo pois uma FBS. Este fenômeno é conhecido como Paradoxo de Condorcet, por ter sido inicialmente estudado no século 18 pelo filósofo francês Marquis de Condorcet ( ). Exemplo 1.2-Regra da pluralidade dos votos. A regra da pluralidade dos votos, ou regra da decisão majoritária, estabelece que cada indivíduo numa sociedade vote por sua alternativa preferida e então uma alternativa x será preferida a y pela sociedade (xr S y) se receber pelo menos tantos votos quanto y, sendo estritamente preferida (xp S y) se receber mais votos que y. Esta regra, que é muito utilizada em processos eleitorais, possui uma característica indesejável, conforme descrito a seguir. Cena no restaurante: Voltemos ao exemplo do restaurante. O garçom informa que o restaurante faz as pizzas x, y e z. Existem agora sete indivíduos, sendo três deles com as preferências do tipo A do exemplo anterior, dois outros com preferências do tipo B e os dois restantes com preferências do tipo C. O representante do grupo pede a pizza x, a mais votada pelo grupo. O garçom vai até a cozinha e, ao voltar, comenta: A pizza y não está boa hoje. 6

7 Os indivíduos de B, desencantados com y, mudam suas preferências para R dadas pelas preferências estritas a seguir: z x y Com as novas preferências de B a preferência do grupo muda para R S : z P S x P S y. Assim, o representante do grupo solicita uma alteração no pedido, dizendo: Pedimos a pizza x porque acreditávamos que y estivesse boa. Como y não está boa, desconsidere o pedido anterior e traga-nos a pizza z. O princípio que a regra da pluralidade viola é conhecido como: A.1-Independência das alternativas irrelevantes: As preferências entre duas alternativas x e y devem depender apenas de como as pessoas ordenam x em relação a y, e não de como ordenam as outras alternativas. Essa propriedade pode ser expressa da seguinte forma: Sejam x e y duas alternativas e sejam (R 1, R 2,, R n ) e (R 1, R 2,, R n ) dois perfis de preferências tais que para cada j=1,, n, xr j y xr j y. Então, xr S y xr S y. A independência das alternativas irrelevantes aparece como uma propriedade mínima a ser satisfeita por qualquer FBS que possa ser considerada "bem comportada". Ela diz que a preferência social entre duas alternativas é totalmente determinada pelas individuais sobre essas duas alternativas. Arrow listou mais três princípios que considerou que uma boa FBS deve satisfazer: A.2-Unanimidade (ou princípio de Pareto): Se xp j y para todo j=1,,n, então xp S y. Ou seja, se todos os indivíduos de uma sociedade preferem estritamente a alternativa x à alternativa y, então a sociedade como um todo também deve preferir estritamente x a y. 7

8 A.3-Domínio irrestrito: F é definida para qualquer perfil de preferências (R 1,, R n ) que possa ser definido sobre X. Equivalentemente, Dom(F)= ρ ρ ρ. Como procura-se uma regra que possa ser aplicada a qualquer sociedade, qualquer ordenação das alternativas pode vir a corresponder às preferências de algum indivíduo. Assim, não se deveria restringir a priori o domínio das possíveis preferências individuais. A.4-F não deve ser ditatorial: F é ditatorial se existe um indivíduo j (ditador) tal que para quaisquer alternativas x e y em X, e para todo perfil de preferências (R 1,, R n ) ρ n, se xr j y então xr S y, em que R S =F(R 1,, R n ). Esta propriedade diz que uma regra social na qual as preferências de um indivíduo sempre se impõem às preferências dos outros, independentemente de quais sejam estas preferências, não pode ser uma regra adequada. 1.3-O TEOREMA DE ARROW Definição 1.2-Sejam X um conjunto de alternativas, N um conjunto de indivíduos com preferências respectivas R j, j N sobre X, e T um subconjunto de N. Então diz-se que x é (estritamente) preferível a y em T, xp T y, se xp j y para todo j T. Definição 1.3-Dadas duas alternativas x, y em X, e um subconjunto T N de indivíduos, dizemos que T determina x contra y se para todo perfil de preferências (R 1,, R n ) =(R T, R N\T ) em que xp T y e yp N\T x, se R S =F(R T, R N\T ), então xp S y. Ou seja, T determina x contra y se os indivíduos em T conseguem impor à sociedade suas preferências estritas de x por y quando ao resto dessa sociedade prefere estritamente y a x. 8

9 Lema 1.1-Seja F uma FBS satisfazendo os axiomas A.1, A.2 e A.3. Suponha que existem pelo menos três alternativas disponíveis: X 3. Então existem x* e y* em X e j* em N tais que {j*} determina x* contra y*. Demonstração: Seja D={T N; x,y X tal que T determina x contra y}. Então: (i) D φ, pois N D pela propriedade de Pareto (A.2). (ii) Assim D é um conjunto parcialmente ordenado pela inclusão, finito e não vazio. Logo D possui um elemento minimal com relação à inclusão. (iii) O conjunto vazio φ não está em D, φ D. Caso contrário, existiriam x e y tais que se yp N x então xp S y, contrariando novamente o princípio de Pareto (A.2). Seja T* em elemento minimal de D. Pela observação anterior, T* 1. Mostremos que, de fato, T* =1. Suponhamos, por absurdo, que existe j* N tal que T*={j*} T**, onde j* T** e T** 1. Sejam x* e y* duas alternativas tais que T* determina x* contra y*. Como X 3 existe z x*, y*. Pela propriedade do domínio irrestrito (A.3) podemos considerar as seguintes preferências estritas: 3 j* T* \ {j*}=t** N \ T* x* z y* y* x* z z y* x* Temos que x*p S y* pois T* determina x* contra y*. Se zp S y* então, por A.1, T** determina z contra y*, mas então T** D, o que contraria a minimalidade de T*. Como R S é completa isto implica que y*r S z. Portanto x*p S y*r S z e por transitividade 4 x*p S z. Por A.1 segue que {j*} determina x* contra z, donde {j*} D, uma nova contradição pois {j*} T*, T* é minimal e T* >1. Assim, um elemento minimal de D com relação à inclusão é um conjunto unitário. Definição 1.4-Um indivíduo j é dito determinante se {j} determina w contra z para quaisquer alternativas w e z em X com w z. 3 Por A.1 a definição das preferências nas demais alternativas, se existirem, são irrelevantes no que diz respeito à comparação entre as alternativas x*, y* e z. 4 Vide exercício

10 Lema 1.2-Seja F uma FBS satisfazendo A.1, A.2 e A.3. Suponha que X 3 e sejam j* um indivíduo e x* e y* duas alternativas tais que, como no lema anterior, {j*} determine x* contra y*. Então {j*} é determinante. Demonstração: Pelo lema 1.1, {j*} determina x* contra y*. Como X 3 existe z em X, z x*, y*. Por A.3 (e por A.1) podemos considerar as preferências estritas: j* N \ j* x* y* y* z z x* Como { j*} determina x* contra y*, x*p S y*; por Pareto (A.2), y*p S z; por transitividade, x*p S z. Então, pela independencia de alternativas irrelevantes (A.1), { j*} determina x* contra z Tome, agora, w z. Se w=x*, então { j*} determina w contra z. Suponha agora que w x*. Considere as preferências estritas: j* N \ j* w z x* w z x* Por A.2, wp S x*; além disso x*p S z, pois j* determina x* contra z; logo wp S z por transitividade. Então, por A.1, j* determina w contra z. Como w e z são arbitrários o lema está demonstrado. Lema 1.3-Seja F uma FBS satisfazendo A.1, A.2 e A.3. Suponha que X 3 e seja j um indivíduo da sociedade. Se j é determinante então j é um ditador. Demonstração: Se j é determinante então j faz prevalecer sua opinião sempre que os outros estão contra. Temos que mostrar que j sempre faz prevalecer sua opinião, mesmo quando os demais agentes não estão necessariamente contra j. Então, dados x, y, z X, considere as preferências estritas: 10

11 j N \ j x z z z x y y As duas últimas colunas acima, referentes ao conjunto de agentes N \ j, dizem que todos os agentes desse conjunto preferem estritamente z a x e z a y, mas podem ter qualquer preferência no que diz respeito à comparação entre x e y. Por A.3 estas preferências estão no domínio de F. Então xp S z, pois j é determinante; além disso, por A.2, zp S y; logo, por transitividade, xp S y; mas então, por A.1, xp S y para toda (R 1,, R n ) tal que xp j y. Logo j é um ditador. Teorema 1.1 (Teorema da Impossibilidade de Arrow)-Se o conjunto de alternativas X tiver pelo menos três elementos ( X 3) então não existe nenhuma função de bemestar social que satisfaça simultaneamente A.1, A.2, A.3 e A.4. Demonstração: Assumamos que F é uma FBS satisfazendo A.1, A.2 e A.3. Pelos lemas 1 e 2, existe um indivíduo j* determinante. Pelo lema 3, j* é um ditador e portanto a função F não satisfaz A.4, o que conclui a demonstração do teorema. Observação-O Teorema da Impossibilidade de Arrow parte de cinco propriedades básicas que se poderia esperar de uma regra que agregue preferências individuais: a transitividade, a independência de alternativas irrelevantes, o Princípio de Pareto, a não restrição do domínio das preferencias individuais e a não imposição sistemática das preferências de um indivíduo sobre os outros. O teorema mostra que não existe uma função de bem-estar social com essas propriedades mínimas. Esse resultado teve profundo impacto na teoria da escolha pública e muita pesquisa tem sido feita no sentido de relaxar as exigências de uma "boa" FBS para obter-se um teorema de existência, como por exemplo, assumir um domínio possivelmente restrito para as preferências individuais. No entanto, subsiste a dificuldade de se obter uma regra de decisão social adequada. Tal dificuldade abre caminho para que cada indivíduo tente manipular os processos de tomada de decisão social a seu favor, como veremos nos capítulos a seguir. 11

12 1.4-EXERCÍCIOS Exercício 1.1-Propriedades da relação de preferência estrita. Sejam R uma relação de preferências definida sobre um conjunto X e seja P a relação de preferências estrita definida a partir de R, ou seja, (x, y X), (xpy xry (yrx)). Suponha que R é transitiva. Prova que: (i) A relação P também é transitiva. (ii) A relação P satisfaz: (x, y, z X), (xpy yrz xpz). Exercício 1.2-Pluralidade de votos. Mostre que a regra de decisão majoritária satisfaz aos axiomas A.2, A.3 e A.4. Exercício 1.3-Preferências com pico único. Considere um conjunto de alternativas X=[a,b] R. Uma relação de preferências R i definida em X tem pico único se existir p i X tal que, para cada x, y X, (x<y p i yp i x) e (x>y p i yp i x), em que P i denota as preferências estritas derivadas de R i. Restrinja o domínio das preferências dos agentes àquelas que tem pico único e considere a preferência social S determinada pelo voto majoritário. Observe que S é completa. (i) No domínio de preferências considerado, cada agente i é caracterizado por sua alternativa preferida, p i. Um agente h é dito mediano se pelo menos metade do total dos agentes prefere (fracamente) uma alternativa menor que p h, e pelo menos metade prefere uma alternativa maior que h: #{i N p i p h } N /2 e #{i N p i p h } N /2. Mostre que um agente mediano sempre existe. (ii) Mostre que a alternativa preferida por h será a alternativa preferida pela sociedade: x X, hr S x. 12

13 Exercício 1.4-Preferências com pico único. Suponha que por razões técnicas é requerido que todos os trabalhadores de uma dada firma trabalhem o mesmo número de horas e a firma deseja fixar esse número. É razoável supor que cada trabalhador ordene as diferentes horas de trabalho de acordo com o nível de renda-lazer proporcionado. Quanto mais ele trabalha mais ele ganha e menos tempo para lazer ele tem. Portanto é razoável supor que existe um ponto onde a utilidade individual alcança um máximo e que a utilidade decresce se o número de horas trabalhadas varia para a esquerda ou a direita deste ponto (observe que estamos restringindo o domínio das preferências ao conjunto das preferências com um único pico). Supondo X={x, y, z}, mostre que se o número de trabalhadores é ímpar então a regra de decisão majoritária é transitiva. (Dunkan Black mostrou que se o número de indivíduos da sociedade é ímpar e as preferências individuais possuem um único pico, então a regra de decisão majoritária é transitiva). Exercício 1.5-Função utilitarista clássica. Considere o seguinte critério para avaliação de alunos. Existem 3 matérias: Português, Matemática e Física. Em cada matéria k é feita uma ordenação dos alunos s 1,,s n segundo as notas obtidas na disciplina k. Seja u k (s j ) a nota do estudante s j na matéria k. Definimos a preferência R k por: s i R k s j u k (s i ) u k (s j ). Cada matéria k tem um peso p k. A classificação geral dos alunos é obtida tomando-se a soma ponderada das notas de cada aluno nas três matérias. Isto é, 3 s R s p u p u. i S j ( S ) k k ( S ) k k I K = 1 K = 1 Este critério satisfaz A-1? A-2? É transitivo? 3 I Exercício 1.6-Seja X={a 1,...,a 10 } um conjunto formado por dez alunos de uma turma do curso de economia. Os alunos estão cursando três disciplinas 1, 2 e 3. Ao término do semestre os alunos fazem provas nas três disciplinas, que determinam suas menções finais de acordo com a seguinte regra: (a) Os alunos com as duas maiores notas recebem a menção A. (b) Os alunos com as três maiores notas seguintes recebem a menção B. (c) Os alunos com as três maiores notas seguintes recebem a menção C. (d) Os alunos com as duas últimas notas recebem a menção D. 13

14 Os critérios de correção das provas são suficientemente detalhados, de forma que não existem dois alunos com a mesma nota. Define-se a média geral do aluno j da seguinte forma: m j =(χ j1 +χ j2 +χ j3 )/3 em que χ jt = 4 (respectivamente 3, 2, 1) se o aluno obteve menção A (respectivamente B, C, D) na disciplina t. (i) Construa uma preferência R t sobre o conjunto de alunos para a disciplina t da seguinte forma: (ii) jr t k χ jt χ kt Mostre que R t é completa e transitiva. Construa uma referência social R S a partir das preferências individuais R t da seguinte forma: jr S k m j m k em que m j é calculado da forma descrita acima. Mostre que R S é completa e transitiva. (iii) Considere a função de bem-estar social F que associa ao perfil de preferências individuais (R 1, R 2, R 3 ) a preferência social R S acima descrita. Então F é uma regra de cálculo da classificação geral dos alunos a partir de suas notas em cada disciplina. O que significa dizer que F é ditatorial? Mostre que F não é ditatorial, exibindo para cada candidato a ditador j uma configuração de preferências individuais que contradiz a propriedade da ditadura. (iv) Mostre que o domínio de F não é irrestrito. (v) Mostre que a propriedade de Pareto é satisfeita. (vi) Prove que não vale a propriedade de independência de alternativas irrelevantes. Execício 1.7-Regra de Borda. Considere a seguinte regra de escolha social. Existem l alternativas a 1, a 2,...,a l e n agentes. Cada agente i atribui uma nota c i (a) a cada alternativa a, da seguinte forma: (i) Se todas as preferências forem estritas, a alternativa mais preferida recebe nota 1, a segunda mais preferida recebe nota 2,..., a l-ésima mais preferida recebe nota l. Por exemplo, se a 1 P a 2 P...Pa n, então c i (a 1 )=1,..., c i (a n )=n. 14

15 (ii) Se houver indiferença, a nota atribuída a todas as alternativas indiferentes corresponde à nota média das notas que seriam dadas se as alternativas estivessem ordenadas por preferência estrita. Por exemplo, se a 1 Pa 2 a 3 Pa 4 P...Pa n, então c i (a 1 )=1, c i (a 2 )=c i (a 3 )=2,5, c i (a 4 )=4,..., c i (a n )=n. Defina uma relação de preferência social R S por ar S b i c i (a) i c i (b). Analise as propriedades da função de bem estar social correspondente. Exercício 1.8-Oligarquia. Uma relação de preferências R é dita quase-transitiva se a relação de preferências estrita correspondente, P, é transitiva. (i) Mostre que toda relação transitiva é quase-transitiva mas que a volta não é verdadeira. (ii) Sejam N um conjunto de agentes e O N um subconjunto não trivial de N: O >1, O N. Defina uma relação de preferência social S, a partir das preferências individuais, da seguinte forma: a S b a h b para algum h O. Mostre que S é quase-transitiva, não é transitiva, e a regra que associa S às preferências individuais da forma acima satisfaz as propriedades A.1 a A.4 de uma função de bem-estar social bem comportada. REFERÊNCIAS Arrow, Kenneth J., Social Choice and Individual Values. New Haven, Yale University Press, 1951, Este é o trabalho original: um dos raros exemplos de uma peça de um trabalho realmente seminal, que é entretanto de fácil leitura. Sen, Amartya K., Collective Choice and Social Welfare, San Francisco, Holden-Day, Este livro oferece um bom tratamento da teoria de escolha social até Kelley, Jerry S., Arrow Impossibility Theorems, New York, Academic Press,

16 Este livro inclui alguns importantes desenvolvimentos não incluídos no livro de Sen. Porém o tratamento não é de leitura fácil. 16