Experiência Aleatória

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1 Probabilidades

2 Experiência Aleatória Experiência aleatória é uma experiência em que: não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar, mas conhece-se o universo dos resultados possíveis. Exemplo 2.1 Alguns exemplos de experiências aleatórias: Lançamento de uma moeda e observação do lado voltado para cima. Observação do sexo numa série de nascimentos. Inquérito ao rendimento de um certo conjunto de famílias. Inquérito sobre o número de filhos de um casal. Probabilidades 2

3 Espaço de Resultados Espaço de resultados ou espaço amostra (Ω) conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória Para os exemplos anteriores temos: Ω={1,2,3,4,5,6} Ω= { Feminino, Masculino } Ω= IR + Ω= IN 0 Probabilidades 3

4 Noção de acontecimento Acontecimento qualquer subconjunto do espaço de resultados Da definição anterior segue que Ω e o conjunto vazio ( ) são acontecimentos. Ω - acontecimento certo - acontecimento impossível Acontecimento elementar qualquer subconjunto de Ω composto por apenas um elemento Acontecimento composto qualquer subconjunto de Ω composto por mais de um elemento Probabilidades 4

5 Acontecimentos Seja Ω o espaço de resultados de uma experiência aleatória. Diz-se que A Ω se realizou se o resultado, ω, da experiência é um elemento de A, i.e., ω A. Exemplo 2.2 Considere-se a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado e a observação do número inscrito na face voltada para cima. Ora, Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} Considere-se o acontecimento A - saída da face par. Se lançarmos o dado e sair face 2, então o acontecimento realizou-se e diz-se que ocorreu um sucesso. Se lançarmos o dado e sair a face 3, então o acontecimento não se realizou e diz-se que ocorreu um insucesso. Probabilidades 5

6 Acontecimentos (cont.) Ā diz-se acontecimento complementar ou contrário a A, ao acontecimento que se realiza se e só se o acontecimento A não se realiza. A B (ou A+B), diz-se união ou soma de A com B ao acontecimento que consiste na realização de A ou de B (ou de ambos). A B (ou AB), diz-se intersecção ou produto de A com B ao acontecimento que consiste na realização de ambos os acontecimentos A e B Probabilidades 6

7 Acontecimentos (cont.) A-B diz-se diferença dos acontecimentos A e B ao acontecimento que consiste na realização de A mas não de B. Os acontecimentos A e B dizem-se incompatíveis, disjuntos ou mutuamente exclusivos, se não podem ocorrer conjuntamente, i.é, se A B= Probabilidades 7

8 Conceitos de Probabilidade Definição Clássica Em 1812, Laplace apresenta a seguinte definição de probabilidade, para o caso de Ω finito: Probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis, todos supostos igualmente prováveis Se uma experiência tem n resultados diferentes (n casos possíveis), igualmente prováveis que se excluem mutuamente e n(a) desses têm a característica A, então a probabilidade associada ao acontecimento A é dada por n( A) A) = n Probabilidades 8

9 Conceitos de Probabilidade (cont.) Definição Frequencista A probabilidade de qualquer acontecimento A define-se através do limite da frequência relativa desse acontecimento, numa sucessão de experiências realizadas sob o mesmo conjunto de condições, isto é, n( A) A) = lim n n em que: n - número de experiências realizadas n(a) - número de vezes que o acontecimento A se verificou. À medida que se aumenta o número de provas realizadas sob condições idênticas, a frequência relativa tende a estabilizar para um valor que será a probabilidade do acontecimento. Probabilidades 9

10 Conceitos de Probabilidade (cont.) Definição Axiomática Dada uma experiência aleatória, seja Ω o espaço de resultados associado. Probabilidade, P, é uma função que a cada acontecimento de Ω associa um número real satisfazendo o seguinte conjunto de axiomas: A 1 ) A) 0 para todo A Ω A 2 ) Ω)=1 A 3 ) Se A e B são acontecimentos disjuntos (A B= ) então A B )=A)+B) Probabilidades 10

11 Probabilidade Com base nos axiomas A 1, A 2 e A 3 podem deduzir-se as seguintes propriedades: )=0 Ā)=1-A) A-B)=A)-A B) Se A B então A) B) A) 1 A B )=A)+B)-A B ) Probabilidades 11

12 Exemplo Exemplo 2.3 Num restaurante registaram-se, durante bastante tempo, os pedidos dos clientes, tendo-se chegado à conclusão que, para terminar a refeição, 20% do clientes pedem só sobremesa, 40% pedem só café e 30% pedem café e sobremesa. a) Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situação anterior. b) Determine a probabilidade do acontecimento pedir café c) Determine a probabilidade do acontecimento não pedir sobremesa d) Determine a probabilidade do acontecimento nem pede café nem sobremesa e) Determine a probabilidade do acontecimento pedir café ou sobremesa f) Os acontecimentos pedir café e pedir sobremesa são disjuntos? Probabilidades 12

13 Probabilidade Condicional Definição A probabilidade condicional de A dado B (ou sabendo B, ou se B) é o quociente entre a probabilidade conjunta do acontecimento A e B e a probabilidade do acontecimento dado, ou seja, A B) A B) =, se B) > B) 0 Probabilidades 13

14 Probabilidade Condicional (Exemplo) Exemplo 2.4 Uma determinada companhia investigou junto de cada um dos seus 280 empregados qual o estado civil (e.c.) e qual o tipo de assistência médica (a.m.) pretendida, de entre três tipos à escolha. Os resultados obtidos encontram-se na seguinte tabela: a.m. e.c. Solteiros Casados Total Tipo Tipo Tipo Total Qual a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, preferir a assistência do tipo 1? Suponha agora que o individuo escolhido é casado. Qual a probabilidade de ele preferir assistência do tipo 1? Probabilidades 14

15 Probabilidade Condicional (Exercício) Exercício 2.1 Um indivíduo que trabalha em Lisboa, mas reside na margem Sul do Tejo, tem diariamente duas possibilidades para se dirigir ao trabalho: o barco ou o autocarro. Ele gosta muito de ir de barco, pelo que escolhe o barco 75% das vezes. A probabilidade de chegar atrasado ao trabalho é 16,35%. Sabe-se ainda que a probabilidade de ir de barco e chegar atrasado é 11,25%. a) Qual a probabilidade de chegar atrasado, sabendo que veio de barco? b) Qual a probabilidade de chegar atrasado, sabendo que não veio de barco? c) Qual a probabilidade de chegar atrasado ou vir de barco? d) Qual a probabilidade de vir de barco, sabendo que chegou atrasado? e) Qual a probabilidade de não chegar atrasado e não vir de barco? Probabilidades 15

16 Probabilidade da intersecção de acontecimentos Como A B) = A B) B) e B A B) A) = A) vem A B)=A B)B)=B A)A) Probabilidades 16

17 Acontecimentos Independentes Definição Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente independentes (ou simplesmente independentes) se e só se A B)=A) e B A)=B) Da definição anterior e da definição de probabilidade condicional resulta que dois acontecimentos A e B são mutuamente independentes se e só se Exemplo 2.3 (cont.) A B)=A)B) Os acontecimentos pedir café e pedir sobremesa são independentes? Probabilidades 17

18 Teorema da probabilidade total Teorema da Probabilidade Total Sejam A 1, A 2,..., A n acontecimentos definindo uma partição sobre Ω, i.é., A 1 A 2 L An = Ω e Ai A j = φ ( i j Se Ai)>0, então para qualquer acontecimento B Ω tem-se ). B) = n i= 1 A ) B i A i ) Probabilidades 18

19 Teorema de Bayes Teorema de Bayes Sejam A 1, A 2,..., A n acontecimentos formando uma partição de Ω, onde Ai)>0. Seja B um outro acontecimento de Ω, tal que B)>0. Então para i=1,2,,n tem-se A i B) = n A ) B A ) A i= 1 i ) B A ) i i i Probabilidades 19

20 Teorema de Bayes (Exemplo) Exemplo 2.5 O José está indeciso em ir passar o fim de semana fora e telefonou para o serviço meteorológico para saber qual a previsão do tempo. Disseram-lhe que havia 20% possibilidades de chover. Se chover o José tem uma probabilidade de 0,25% de ir para o Algarve. Se não chover esta probabilidade aumenta para 0,85. a) Qual a probabilidade do José ir para o Algarve? b) O José foi passar o fim de semana para o Algarve. Qual a probabilidade de ter chovido? Probabilidades 20