INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL

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1 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL ** Decisão com Incerteza Parte 1 ** Profa. Vitória Pureza 2º Semestre

2 Roteiro Critérios de Decisão em Situações de Incerteza Teoria de Utilidade Axiomas de Von Neumann-Morgenstern Relação entre a Função de Utilidade e a Atitude em relação ao Risco Winston, cap. 13

3 Decisões em Situações com Incerteza Nestas situações, considera-se que um tomador de decisão primeiro escolhe uma ação a i de um conjunto A={a 1, a 2,..., a k } de ações disponíveis O estado do sistema é então observado; com probabilidade p j, o estado do sistema é s j S={s 1, s 2,..., s n } Se a ação a i tiver sido escolhida e o estado do sistema é s j, o tomador de decisão recebe uma recompensa r ij. Este modelo é chamado de modelo de tomada de decisões do estado do sistema

4 Critérios de Decisão em Situações de Incerteza Exemplo de modelo de estados do sistema Um vendedor de jornais vende jornais na esquina de 2 avenidas, e a cada dia ele precisa determinar quantos jornais devem ser vendidos. O vendedor paga $0,20 por cada jornal e vende cada um deles por $0,25. Jornais não vendidos no fim do dia são descartados. O vendedor sabe que cada dia ele pode vender entre 6 e 10 jornais com probabilidade uniforme Neste exemplo: S={6, 7, 8, 9, 10} e p i =1/5, para todo i={6, 7, 8, 9, 10} O vendedor precisa escolher uma ação (número de jornais a comprar a cada dia) do conjunto A={6, 7, 8, 9, 10}

5 Note que se o vendedor faz um pedido de i jornais e j jornais são demandados, então: i jornais são comprados a um custo de $0,20 Min(i,j) jornais são vendidos a um preço de $0,25 (ele pode ter comprado menos jornais do que o demandado, ou seja, i < j) Portanto, se o vendedor faz um pedidos de i jornais e j jornais são demandados, ele obtém uma recompensa ou lucro líquido de r ij, tal que: r ij = 0,25i 0,20i = 0,05i ( i j) r ij = 0,25j 0,20i ( i j)

6 Valores de r ij para cada valor de i e j PEDIDO DE JORNAIS (AÇÃO) JORNAIS DEMANDADOS (ESTADO) ,30 0,30 0,30 0,30 0,30 7 0,10 0,35 0,35 0,35 0,35 8-0,10 0,15 0,40 0,40 0,40 9-0,30-0,05 0,20 0,45 0, ,50-0,25 0 0,25 0,50 Não foi considerada a possibilidade do vendedor pedir 1,2,...,5 jornais ou mais de 10 jornais A razão disso é que estas ações são dominadas pelas ações de pedidos de 6, 7,...,10 jornais Uma ação a i é dominada por uma ação a i se para todo s j S, r ij r i j, e para algum estado s j, r ij < r i j Se uma ação a i é dominada, então em nenhum estado do sistema, a i será melhor que a i, e em pelo menos um estado do sistema, a i é inferior a a i (a i sempre seria uma escolha melhor)

7 Se o vendedor pedir 1, 2,..., 5 jornais, ele obterá um lucro (qualquer que seja o estado do sistema) de $0,05i Ou seja, na melhor das hipóteses (5 jornais), terá um lucro de $0,25 Pela tabela da recompensa, vemos que para i=1, 2,..., 5, o pedido de 6 jornais domina pedidos de i jornais, pois se consegue um lucro mínimo de $0,30 Da mesma forma, fazer um pedido de i jornais (i > 11) é dominado pelo pedido de 10 jornais. Nenhuma das ações em A={6, 7,..., 10} são dominadas Portanto, o vendedor deve escolher sua ação do conjunto A={6, 7, 8, 9,10}

8 1. MAXIMIN Critérios para Escolha da Ação Para cada ação, determine o pior resultado (menor recompensa). O critério MAXIMIN escolhe a ação com o melhor pior resultado (Max {Min j S r ij } PEDIDO DE JORNAIS PIOR ESTADO DO SISTEMA RECOMPENSA NO PIOR ESTADO 6 6, 7, 8, 9, 10 0, , , , ,50 O critério MAXIMIN recomenda o pedido de 6 jornais, uma vez que ele assegura que pelo menos haverá uma recompensa de $0,30

9 2. MAXIMAX Critérios para Escolha da Ação Para cada ação determine o melhor resultado (maior recompensa). O critério MAXIMAX escolhe a ação com o maior valor de Max j S r ij PEDIDO DE JORNAIS ESTADO QUE RESULTA NO MELHOR RESULTADO MELHOR RESULTADO 6 6, 7, 8, 9, 10 0,30 7 7, 8, 9, 10 0,35 8 8, 9, 10 0,40 9 9, 10 0, ,50 O critério MAXIMAX recomenda o pedido de 10 jornais, uma vez que no melhor estado, haverá uma recompensa de $0,50

10 Critérios para Escolha da Ação 3. MINIMAX ARREPENDIMENTO (L. J. Savage) Este critério usa o conceito de custo de oportunidade para chegar a uma decisão Para cada possível estado do sistema s j, encontre uma ação i*(j) que maximize r ij (ou seja, i*(j) é a melhor ação possível se o estado do sistema for realmente s j ) Para cada ação e estado s j, a perda de oportunidade (ou arrependimento) para a i em s j é r i*(k), j - r ij Exemplo: Se j=7, a melhor decisão é pedir i*(7)=7 jornais, resultando em um lucro de r 77 =7(0,25) 7(0,20)= 0,35 Suponha que tenham sido pedidos 6 jornais. Como r 67 =6(0,25) 6(0,20)= 0,30, a perda de oportunidade é 0,35 0,30 = 0,05. Em outras palavras, ao escolhermos pedir 6 jornais, estaremos deixando de ganhar 0,05, caso a escolha ótima (i=7) tivesse sido feita

11 Matriz de arrependimento PEDIDO DE JORNAIS (AÇÃO) JORNAIS DEMANDADOS (ESTADO) ,30 0,30=0 0,35 0,3= 0,05 0,40 0,30=0,10 0,45-0,30=0,15 0,50-0,30=0,20 7 0,30 0,10=0,20 0,35 0,35= 0 0,40 0,35=0,05 0,45-0,35=0,10 0,50-0,35=0,15 8 0,30+ 0,10=0,40 0,35 0,15= 0,20 0,40 0,40=0 0,45-0,40=0,05 0,50-0,40=0,10 9 0,30+0,30=0,60 0,35+0,5= 0,40 0,40 0,20=0,20 0,45-0,45=0 0,50-0,45=0, ,30+0,50=0,80 0,35+0,25= 0,60 0,40 0=0,40 0,45-0,25=0,20 0,50-0,50=0 Máximo arrependimento de cada ação PEDIDO DE JORNAIS (AÇÃO) MÁXIMO ARREPENDIMENTO 6 0,20 7 0,20 8 0,40 9 0, ,80 MINIMAX ARREPENDIMENTO procura minimizar o desapontamento sobre o que poderia ter sido obtido com a ação ótima. Portanto, seria recomendado o pedido de 6 ou 7 jornais

12 Critérios para Escolha da Ação 4. VALOR ESPERADO O VALOR ESPERADO escolhe a ação que resulta no maior valor esperado de recompensa. Como pode ser visto na tabela abaixo, este critério recomendaria o pedido de 6 ou 7 jornais PEDIDO DE JORNAIS VALOR ESPERADO 6 1/5(0,30 + 0,30 + 0,30 + 0,30 + 0,30) = 0,30 7 1/5(0,10 + 0,35 + 0,35 + 0,35 + 0,35) = 0,30 8 1/5(-0,10 + 0,15 + 0,40 + 0,40 + 0,40) = 0,25 9 1/5(-0,30 + 0,05 + 0,20 + 0,45 + 0,45) = 0, /5(-0,50-0, ,25 + 0,50) = 0

13 Pizza Hut e Domino competem pelo mercado de pizzas. Cada empresa precisa determinar simultaneamente se deve adotar uma campanha de marketing de pequeno, médio ou grande porte. Pizza Hut acredita que seja igualmente provável que Domino adote qualquer uma das campanhas. Para cada possível ação de cada empresa, os lucros de Pizza Hut são apresentados na tabela abaixo. Determine a campanha escolhida por Pizza Hut considerando os critérios maximin, maximax, minimax arrependimento, e valor esperado Matriz de lucros (recompensas) de Pizza Hut PORTE DA CAMPANHA DE PIZZA HUT (AÇÃO) PORTE DA CAMPANHA DE DOMINO (ESTADO) PEQUENO MÉDIO GRANDE PEQUENO $6000 $5000 $2000 MÉDIO $5000 $6000 $1000 GRANDE $9000 $6000 $0

14 Os critérios discutidos aqui podem parecer razoáveis mas muitas pessoas tomam decisões sem usar nenhum deles. Um modelo de tomada de decisão individual Modelo de Utilidade de Von Neumann-Morgenstern é discutido a seguir

15 Teoria de Utilidade Considere uma situação na qual uma pessoa receberá uma recompensa r i com probabilidade p i (i=1,2,...,n). Isto é denotado de loteria(p 1, r 1 ; p 2, r 2 ;..., p n, r n ) Uma loteria é geralmente representada por uma árvore na qual cada ramo representa um resultado possível da loteria e o número de cada ramo representa a probabilidade de que o resultado ocorrerá. Portanto, a loteria (1/4,$500; ¾, $0) pode ser denotada por: 1/4 $500 ¾ $0

16 Suponha que tenhamos que escolher entre duas loterias (L 1 e L 2 ). Com probabilidade 1, a loteria L 1 resulta em $10.000: 1 L 1 $ A loteria L 2 consiste em jogar uma moeda balanceada. Se a face de cima for cara, recebe-se $ e se for coroa, recebe-se $0: L 2 ½ ½ $ $0 L 1 resulta em um ganho esperado de $ e L 2 resulta em um ganho esperado de $

17 Apesar de L 2 ter um valor esperado maior que L 1, a maioria das pessoas prefeririam L 1, porque ela oferece a garantia de um retorno relativamente grande, enquanto L 2 resulta em uma chance substancial de um ganho igual a 0. Em resumo, a maioria das pessoas, prefeririam L 1 pois ela envolve menor risco ou incerteza que L 2. Nosso objetivo é determinar um método que uma pessoa possa usar para escolher uma entre duas loterias. Considere: L 1 pl 2 : a pessoa prefere L 1 a L 2 L 2 pl 1 : a pessoa prefere L 2 a L 1 L 1 il 2 : a pessoa é indiferente entre as duas loterias (as loterias são equivalentes)

18 Método de Von-Neumann-Morgenstern Considere que se deseje classificar as seguintes 4 loterias: 1 L 1 $ L 2 ½ ½ $ $0 L 1 3 $0 L $ $500

19 1. Identifique o resultado mais favorável ($30.000) e o menos favorável (-$10.000) 2. Para todos os outros possíveis resultados (r 1 =$10.000, r 2 =$500 e r 3 =$0), determine a probabilidade p i tal que o tomador de decisão seria indiferente entre duas loterias: 1 r i e p i 1- p i $ $10.000

20 Suponha que: 2a) Para r 1 =$10.000, o tomador de decisão seja indiferente entre: 1 $ e 0,1 $ $ b) Para r 2 =$500, o tomador de decisão seja indiferente entre: 0,9 1 $500 e 0,62 0,38 $ $ c) Para r 2 =$0, o tomador de decisão seja indiferente entre: 0,60 $ $0 e 0,40 $10.000

21 3. Construa as loterias L 1, L 2, L 3 e L 4 tal que L i i L i e cada L i envolva apenas o melhor ($30.000) e o pior (-$10.000) possíveis resultados De 2a) vemos que L 1 i L 1, onde: 0,90 $ L 1 0,10 $ De 2c) vemos que L 2 i L 2, onde: ½ $ L ½ 0.40 $ $10.000

22 L 2 é uma loteria composta na qual com probabilidade ½ recebe-se $ e com probabilidade ½, joga-se uma loteria com 0,6 de probabilidade de se obter $ e 0,4 de probabilidade de se obter $ Uma loteria L é composta se para algum i, existe uma probabilidade p i de que o ganho do tomador de decisão é de jogar uma outra loteria L. Se uma loteria não é composta, ela é chamada de loteria simples.

23 Note que L 2 é uma loteria que resulta em: Probabilidade 0,5 + 0,5(0,6) = 0,8 de se obter $30.000, e Probabilidade 0,4(0,5)=0,2 de se obter $ Portanto, L 2 i L 2 i L 2,, onde: L 2 0,8 0,2 $ $ Obtenha L 3 tal que L 3 i L 3, e L 4 tal que L 4 i L 4

24 Como L i i L i, pode-se classificar L 1, L 2, L 3 e L 4 classificando L 1, L 2, L 3 e L 4 Considere duas loterias cujos únicos possíveis resultados sejam $ ( o mais favorável) e $ ( o menos favorável). O tomador de decisão precisa simplesmente escolher a loteria com maior chance de ter o resultado mais favorável Aplicando este conceito de L 1 a L 4 : Para L 1 = 0.9 Para L 2 = 0.8 Para L 3 = 0.6 Para L 4 = Logo, L 1 p L 2 p L 4 p L 3

25 Descrição Formal do Método de Von- Neumann-Morgenstern A utilidade da recompensa r i (u(r i )) é o número q i tal que o tomador de decisão é indiferente entre as seguintes duas loterias: 1 r i e q i 1- q i Resultado mais favorável Resultado menos favorável Esta definição força u(menos favorável)=0 e u(mais favorável)=1 Para o exemplo anterior, u($30.000)=1 e u(-$10.000)=0. Além disso u($10.000)=0.9, u($500)=0.62 e u($0)=0.60. A especificação de u(r i ) para todos os resultados r i é chamada de função de utilidade do tomador de decisão

26 Para uma dada loteria L = (p 1, r 1 ; p 2, r 2 ;..., p n, r n ), defina a utilidade esperada da loteria L, E(U para L), por: No nosso exemplo: E( U paral) E(U para L 1 ) = 1.(0,9) = 0,9 E(U para L 2 ) = 0,5.(1) + 0,5.(0,6) = 0,80 E(U para L 3 ) = 1.(0,6) = 0,6 E(U para L 4 ) = 0,02.(0) + 0,98.(0,62) = 0,6076 n i 1 p u( i r i ) Note que L i i L i e que L i resultou em uma probabilidade E(U para L) para $ e em uma probabilidade 1 - E(U para L) para -$ Assim, ao escolher entre as loterias L 1, L 2, L 3 e L 4 (ou equivalentemente entre L 1, L 2, L 3 e L 4 ), pode-se escolher entre elas através dos critérios de utilidade esperados: L 1 p L 2 se e somente se E(U para L 1 ) > E(U para L 2 ) L 2 p L 1 se e somente se E(U para L 2 ) > E(U para L 1 ) L 1 i L 2 se e somente se E(U para L 1 ) = E(U para L 2 )

27 Axiomas de Von Neumann-Morgenstern Von Neumann e Morgenstern provaram que se a preferência de uma pessoa satisfaz os axiomas seguintes, ela pode escolher entre loterias usando o critério da utilidade esperada AXIOMA 1: AXIOMA DA ORDENAÇÃO COMPLETA Para quaisquer duas recompensas r 1 e r 2, um dos seguintes precisa ser verdadeiro: o tomador de decisão (1) prefere r 1 a r 2, (2) prefere r 2 a r 1, ou (3) é indiferente entre r 1 e r 2. Além disso, se a pessoa prefere r 1 a r 2 e prefere r 2 a r 3, então ela deve preferir r 1 a r 3 (transitividade das preferências)

28 Axiomas de Von Neumann-Morgenstern AXIOMA 2: AXIOMA DA CONTINUIDADE Se o tomador de decisão prefere r 1 a r 2 e prefere r 2 a r 3, então para algum c (0 < c < 1), L 1 i L 2, onde 1 L 1 r 2 e Usamos o axioma da continuidade quando encontramos, por exemplo, que L 3 i L 3, onde L 2 c 1- c r 1 r 3 1 L 3 $0 L $ $10.000

29 Axiomas de Von Neumann-Morgenstern AXIOMA 3: AXIOMA DA INDEPENDÊNCIA Suponha que o tomador de decisão seja indiferente entre as recompensas r 1 e r 2. Seja r 3 qualquer outra recompensa. Então para qualquer (0 < c< 1), L 1 i L 2, onde c r 1 c r 2 L c r 3 L c r 3 L 1 e L 2 diferem apenas no fato de que L 1 tem uma probabilidade c de gerar a recompensa r 1, enquanto L 2 tem uma probabilidade c de resultar na recompensa r 2. Portanto, o axioma da independência implica que o tomador de decisão vê uma chance c de r 1 e uma chance c de r 2 serem de valor idêntico, e esta visão vale para todos os valores de c e r 3

30 Axiomas de Von Neumann-Morgenstern AXIOMA 3: AXIOMA DA INDEPENDÊNCIA Aplicamos o axioma da independência quando concluímos que L 2 i L 2, onde L 2 ½ ½ $ $0 ½ $ L 2 $ ½ $10.000

31 Axiomas de Von Neumann-Morgenstern AXIOMA 4: AXIOMA DA PROBABILIDADE DESIGUAL Suponha que o tomador de decisão prefere a recompensa r 1 à recompensa r 2. Se duas loterias têm apenas r 1 e r 2 como possíveis resultados, ele preferirá a loteria com a maior probabilidade de obter r 1 Usamos o axioma da probabilidade desigual quando concluímos, por exemplo, que L 1 era preferível a L 2 porque L 1 tinha uma chance de 0.9 para $ e L 2 tinha uma chance de 0.8 para $30.000

32 Axiomas de Von Neumann-Morgenstern AXIOMA 5: AXIOMA DA LOTERIA COMPOSTA Suponha que quando todos os possíveis resultados são considerados, uma loteria composta L resulta (para i=1,2,...,n) em uma probabilidade p i de receber uma recompensa r i. Então L i L, onde L é uma loteria simples Por exemplo, considere a seguinte loteria composta: Então, P(-$4)=1/2 + ½*0.4 = 0.7 e P($6)=½*0.6 = 0.3 Assim, L i L onde ½ 0.60 $ L -$4 ½ -$ $4 L 0.3 -$6