LISTA DE EXERCÍCIOS 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Matemática MTM 5 Estatística Turma 22 Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara LISTA DE EXERCÍCIOS 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Questão Decida se a variável aleatória raciocínio é discreta ou contínua Explique seu a) representa o número de acidentes com motos durante um ano em Belo Horizonte b) representa o volume de sangue colhido um exame de sangue c) representa o período necessário chegar ao trabalho d) representa o número de dias chuvosos no mês de julho em Mariana MG Parte I Variáveis Aleatórias Discretas Questão 2 Decida se cada uma das tabelas a seguir representa uma distribuição de probabilidade Caso não seja identifique a(s) propriedade(s) que não foram atendidas a) Uma empresa gravou o número de linhas telefônicas em uso por hora durante um dia útil A variável aleatória representa o número de linhas telefônicas em uso x b) Um sociólogo pesquisou as famílias em uma cidade pequena A variável aleatória representa o número de crianças por família x c) Um inspetor de qualidade verificou as imperfeições em rolos de tecido por uma semana A variável aleatória representa o número de imperfeições encontradas x

2 d) Um centro de serviços do 9 (telefone emergência dos Estados Unidos) registrou o número de ligações recebidas por hora A variável aleatória representa o número de chamadas por hora durante um determinado dia x Questão 3 Seja E o experimento referente ao lançamento de um dado não viciado E seja X a variável aleatória face obtida no lançamento desse dado a) X é uma variável aleatória discreta ou contínua? Justifique b) Obtenha a distribuição de probabilidade de X c) Obtenha a função de probabilidade de X d) Trace o gráfico da função de probabilidade de X Questão 4 Seja E o experimento referente ao lançamento de um dado viciado de tal forma que a probabilidade de obtenção de cada face é diretamente proporcional ao valor de cada face E seja X a variável aleatória face obtida no lançamento desse dado a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X b) Obtenha a função de probabilidade de X c) Trace o gráfico da função de probabilidade de X Questão 5 Uma comissão de formatura decide realizar uma rifa contendo 5 bilhetes que serão vendidos a R$ 2 cada Serão sorteados 4 prêmios nos valores de R$ 5; R$ 25; R$ 5 e R$ 75 Você compra um bilhete a) Qual o valor esperado do seu lucro? b) Interprete esse valor Questão 6 Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 4 Para dois lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X : número de caras obtidas no experimento Obtenha: a) A distribuição de probabilidade d) E (X ) b) A função de probabilidade e) Interprete o valor E (X ) c) O gráfico da função de probabilidade f) V (X ) Questão 7 Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas vender Após alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 5 e nesse caso ela é escolhida ser recuperada com probabilidade 5 Admita que o processo de recuperação é infalível O custo de cada muda produzida é R$ ; acrescido de R$ 5 se precisar ser recuperada Cada muda é vendida a R$ 3 e são descartadas as

3 mudas não recuperadas de ataque de fungos Seja X a variável aleatória ganho por muda produzida Obtenha: a) A distribuição de probabilidade d) E (X ) b) A função de probabilidade e) Interprete o valor E (X ) c) O gráfico da função de probabilidade f) V (X ) Questão 8 Um caminho chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas Sem enganos o trajeto é feito em hora Se enganos acontecem na primeira etapa acrescente minutos ao tempo do trajeto Para enganos na segunda etapa o acréscimo é 2 e a terceira 3 minutos Admita que a probabilidade de engano é ; 2 e 3 a primeira segunda e terceira etapas respectivamente a) É provável haver atraso na chegada à festa? b) Determine a probabilidade de haver atraso c) Determine a probabilidade do atraso não passar de 4 minutos Parte II Variáveis Aleatórias Contínuas Questão 9 Uma va possui a seguinte função densidade de probabilidade: k x k( x) x x 5 5 x x a) Determine o valor de k c) Calcule P ( X 3) b) Trace o gráfico da fdp Questão Uma va possui a seguinte função densidade de probabilidade: k k(2 x) x x 2 caso contrário Pede-se: a) A constante k que f (x) seja uma fdp d) P ( X ) b) O gráfico da fdp e) P X 2

4 3 c) P X f) P ( X 2) 2 2 Questão Suponha que uma variável aleatória contínua possua a seguinte fdp: 6 x x 2 3 x x 2 2 x 3 Determine: a) E (X ) b) V (X ) Questão 2 Uma variável contínua tem função densidade de probabilidade dada por: x 4 x 3 a) Faça o gráfico da função acima e verifique que ela satisfaz as condições ser fdp b) Determine P ( X 2) P ( X 2) e P ( X 2) c) Calcule P X P X P X d) Obtenha P X X Questão 3 Suponha que uma variável aleatória contínua tenha densidade de probabilidade dada por: 6 x k x 3 5 a) Qual é o valor de k? b) Quanto vale b tal que P ( X b)? 9

5 Questão 4 Suponha que o peso de recém-nascidos (em kg) pode ser considerado uma variável aleatória com a seguinte fdp: x 3 9 x 4 2 x 2 2 x 6 Qual a probabilidade de escolhendo ao acaso uma criança ela ter peso: a) Inferior a 3 kg? b) Entre e 4 kg? c) Pelo menos 3 kg? Questão 5 Suponha que o tempo em meses a recuperação de pacientes submetidos a um certo tipo de cirurgia do aparelho digestivo pode ser modelado por uma variável aleatória contínua X cuja fdp é dada por: 3 x 2 a) Determine o tempo médio de recuperação b) Calcule a variância 5 2 x x 5 Questão 6 Suponha que o comprimento de fósseis encontrados em uma certa região dado em centímetros pode ser representado por uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por: 24 ( x 4) 92 x 2 2 x 2 a) Calcule a média e a variância de X b) Se um museu decide comprar os fósseis encontrados pagando R$ os de comprimento menor que cm e R$ 2 os demais quanto paga em média por exemplar?

6 Questão 7 O consumo de combustível de um certo automóvel é uma variável aleatória medida em quilômetros por litro Admita que a densidade de probabilidade dessa variável é expressa pela seguinte função: x 2 x x x 2 a) Determine a média e a variância do consumo b) Sendo R$ 7 o preço do litro do combustível qual será a média da despesa em uma viagem de quilômetros com esse automóvel? ALGUMAS RESPOSTAS OU AUXÍLIO DE SOLUÇÃO: Questão a) vad b) va c) va d) vad Questão 2 a) Não b) Sim c) Não d) Sim Questão 3 b) x c) P( x) 6 x outros valores de x Questão 4 a) x b) x P( x) 2 x outros valores de x Questão 5 Seja X a variável aleatória lucro obtido por um comprador Distribuição de probabilidade: x

7 a) E ( X ) x p( x) R$ 35 b) Como o valor esperado é negativo você pode esperar perder R$ 35 por cada bilhete que comprar Questão 6 a) X 2 d) f) 48 Questão 7 a) x 5 2 d) R$ f) 2335 reais 2 Questão 8 Seja A a variável aleatória atraso (minutos) chegar à festa a p(a) a) P ( A ) 496 b) P( A 4) 436 Questão 9 a) 25 4 c) 5 Questão a) 3 2 c) 2 7 d) e) 3 f) Questão a) b) Questão 2 b) e c) e d) Questão 3 a) k b) b Questão 4 a) b) c) 8 8 Questão 5 a) 72 meses b) 369 meses 2 Questão 6 a) E ( X ) 2; V ( X ) 36 b) R$ 5833 Questão 7 a) E ( X ) ; V ( X ) 67 b) R$ 636